Phương trình vi phân và phương trình tích phân volterra trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGUYỄN XUÂN NGHĨA

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2013


Mục lục
MỞ ĐẦU

2

1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử . . .
1.2 Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không
Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động trên không gian Banach

5
5

. . . .
gian
. . . . 12
. . . . 18

2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG
GIAN BANACH
21
2.1 Phương trình tích phân Volterra và Định lý Bielecki . . . . . . . . 21
2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương trình vi phân autonomous và non-autonomous . .
3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục . . . . . . . . . .
3.2.1 Phương trình vi phân autonomous . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous . . . . . . . . . . .
3.3 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân . . . . . .
3.3.1 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình thuần nhất
3.3.2 Ổn định mũ đều của nghiệm của phương trình không
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

35
35
35
36
45
46
50
55
55
72
79
80


MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân trong toán học được xuất hiện từ đời sống thực tiễn
cũng như trên cơ sở phát triển của các khoa học khác nhau, bao gồm cả khoa
học tự nhiên và khoa học xã hội. Một phương trình vi phân là một kết quả của
việc mô tả (bằng toán học) các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình
sinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật...
Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân đó là định luật II Newton về
chuyển động của một vật thể,
dx
(t) = F (t),
(1)
dt
trong đó hằng số m là khối lượng của vật thể, x(t) là vận tốc của vật thể tại thời
m.

điểm t, dx
dt (t) = a(t) là gia tốc tại thời điểm t của vật thể và F (t) là lực hỗn hợp
tác động vào vật thể tại thời điểm t.
Thông thường, lực hỗn hợp F (t) còn phụ thuộc vào cả vận tốc x(t) nữa. Vậy
phương trình (1), với f (t, x) = m1 F (t, x), được viết lại thành
dx
(t) = f (t, x(t)).
dt

(2)

Đây chính là một phương trình vi phân tổng quát cấp một ẩn là hàm x(t). Việc
nghiên cứu phương trình (2) sẽ giúp chúng ta biết được các tính chất của vận
tốc x(t) tại thời điểm t bất kỳ của vật thể.
Giả sử chúng ta yêu cầu thêm một điều kiện cho trước về vận tốc tại thời
điểm ban đầu
x(t0 ) = x0 ,
(3)
khi đó với các giả thiết kỹ thuật nào đó đặt lên cho phương trình (2) thì nó cùng
với điều kiện (3) được chuyển về phương trình
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.

(4)

t0

Phương trình (4) chính là một phương trình tích phân Volterra. Như vậy phương
trình tích phân Volterra được xuất hiện khi nghiên cứu phương trình vi phân
tương ứng.
2


MỞ ĐẦU

Các kết quả thu được của lý thuyết phương trình vi phân trong không gian
thực cũng đã rất nhiều, nhưng không phải là tổng quát. Vậy nên để có kết quả
tổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân trong các không gian
tổng quát hơn. Một trong số đó là không gian Banach. Lý thuyết phương trình
vi phân trong không gian Banach được bắt nguồn từ công trình nghiên cứu của
Hille và Yosida (1948) về sự tồn tại nghiệm của phương trình dx
dt = Ax với A
là một toán tử không liên tục trong không gian Banach, các kết quả thu được
dựa trên ngôn ngữ của nửa nhóm toán tử. Năm 1953 Kato đã nghiên cứu thành
công sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình dx
dt = A(t)x với
A(t) là các toán tử không liên tục. Sau đó, trong những bài báo của mình, Hille,
Yosida, Phillips và Kato đã đặt nền móng cho lý thuyết phương trình vi phân
với toán tử không liên tục. Nó đã trở thành một lĩnh vực toán học độc lập, thú
vị và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Luận văn

"Phương trình vi phân và phương trình tích phân
Volterra trong không gian Banach"
được chia thành ba chương:
Chương 1. Những kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm cung cấp cơ

sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm về không gian Banach và
các kết quả liên quan. Sau đó là định nghĩa đạo hàm và tích phân của hàm nhận
giá trị trong không gian Banach. Tiếp theo là khái niệm mới và quan trọng, nửa
nhóm toán tử, nó được sử dụng suốt về sau. Các kết quả của chương này chủ
yếu được trích từ [1], [9] và [10].
Chương 2. Phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân Volterra
loại II, chỉ đưa ra một phương pháp giải là phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một
số ví dụ minh họa. Định lý Bielecki được chứng minh rất "nhẹ nhàng" và nó
để áp dụng vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi
phân ở chương sau. Các kết quả chủ yếu được trích từ [4], [10] và [12].
Chương 3. Phương trình vi phân trong không gian Banach. Chương
này trình bày các dạng phương trình vi phân bao gồm thuần nhất, không thuần
nhất, autonomous, non-autonomous và đưa ra công thức nghiệm tương ứng.
Cuối cùng là ứng dụng các công thức nghiệm đó vào nghiên cứu tính ổn định
mũ đều của nghiệm của phương trình vi phân. Các kết quả chủ yếu được trích
từ [6], [8] và [10].
3


Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc
của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng
như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin
học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như
các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, đã có công lao dạy dỗ
tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan

tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà nội, tháng 09 năm 2013
Tác giả luận văn
Nguyễn Xuân Nghĩa

4


Chương 1

NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

Đại cương về không gian Banach và lý thuyết toán tử

Trước tiên chúng ta đưa ra những sự kiện cơ bản nhất về không gian metric.

Khái niệm không gian metric
Định nghĩa 1.1. Không gian metric là một tập X = ∅ cùng với một hàm số
d : X × X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau:
• d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

(tính xác định dương);

• d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X

(tính đối xứng);

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X

(bất đẳng thức tam giác).

Hàm số d được gọi là khoảng cách hay metric trên X. Số d(x, y) được gọi là
khoảng cách giữa x và y . Không gian metric khi đó được ký hiệu là (X, d). Nếu
khoảng cách d đã rõ, thì ta ký hiệu ngắn gọi là X. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi
là một điểm của không gian metric X.

Tôpô trong không gian metric
Định nghĩa 1.2. Cho dãy điểm {xn } của không gian metric (X, d). Ta nói rằng
(i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X nếu d(xn , x) −→ 0 khi n −→ +∞.
Khi đó ta ký hiệu xn −→ x khi n −→ +∞ hoặc lim xn = x, và gọi x là
n→+∞

giới hạn của dãy {xn }.
(ii) Dãy {xn } là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ d (xm , xn ) < ε.
5


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hoặc tương đương
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p , xn ) < ε, ∀p = 1, 2, . . .

Định nghĩa 1.3. Không gian metric đầy đủ là một không gian metric X mà
mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một phần tử của X.
Định nghĩa 1.4. Cho (X, d) là một không gian metric, điểm x0 ∈ X và số r > 0.
(i) Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập
B(x0 , r) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < r};

(ii) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập
B[x0 , r] := {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r};

(iii) Lân cận của điểm x0 là một tập U (x0 ) chứa hình cầu mở nào đó tâm x0 ;
(iv) Tập G ⊂ X là tập mở nếu với mọi a ∈ G, tồn tại một lân cận U (a) ⊂ G;
(v) Tập F ⊂ X là tập đóng nếu phần bù của nó X\F là tập mở.
Tính chất 1.1. Đối với một không gian metric, chúng ta có
(i) Hợp tùy ý các tập mở là một tập mở;
(ii) Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở;
(iii) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng;
(iv) Giao tùy ý các tập đóng là một tập đóng.
Định nghĩa 1.5. Cho A là một tập hợp trong không gian metric X. Khi đó
(i) Điểm x ∈ X được gọi là điểm trong của tập A nếu tồn tại một lân cận U (x)
của x sao cho U (x) ⊂ A;
(ii) Tập hợp các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu int A;
(iii) Điểm x ∈ X được gọi là điểm dính của tập A nếu mọi lân cận U (x) của x
đều có giao U (x) ∩ A = ∅;
(iv) Tập hợp các điểm dính của A được gọi là bao đóng của tập A, ký hiệu A;
(v) Tập A được gọi là trù mật trong X nếu A = X.
6


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tính chất 1.2. Cho A là một tập trong không gian metric X, chúng ta có
(i) A = A ⇐⇒ A đóng;
(ii) A = A ⇐⇒

∀{xn } ⊂ A : xn −→ x =⇒ x ∈ A ;

(iii) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∃{xn } ⊂ A : xn −→ x ;
(iv) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > 0 ∃x0 ∈ A : d(x, x0 ) < ε .

Định lý Baire về phạm trù
Để phát biểu được Định lý, trước tiên chúng ta cần vài khái niệm sau.
Định nghĩa 1.6. Cho (X, d) là một không gian metric và tập A ⊂ X.
(i) Tập A được gọi là tập không đâu trù mật nếu mỗi tập mở U ⊂ X đều tồn
tại một hình cầu mở B ⊂ U có giao B ∩ A = ∅.
(ii) Tập A được gọi là tập thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó có thể biểu diễn
dưới dạng hợp của một số đếm được những tập không đâu trù mật.
(iii) Tập A không phải là tập thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là tập thuộc
phạm trù thứ hai.
Mệnh đề 1.1. Mỗi tập đóng không phải là tập không đâu trù mật đều chứa một
hình cầu mở.
Định lý 1.1 (Định lý Baire về phạm trù). Mọi không gian metric đủ đều
là tập thuộc phạm trù thứ hai trong chính nó.

Khái niệm không gian Banach và Nguyên lý ánh xạ co
Định nghĩa 1.7. Không gian (tuyến tính) định chuẩn là một không gian tuyến
tính X trên trường số F cùng với một hàm số || · || : X −→ R thỏa mãn ba tiên
đề sau:
• ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X và ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0

(tính xác định dương);

• ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ F

(tính thuần nhất dương);

• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X

(bất đẳng thức tam giác).

Hàm số || · || được gọi là chuẩn trên X. Số ||x|| được gọi là chuẩn của x và
không gian định chuẩn khi đó được ký hiệu là (X, || · ||). Nếu chuẩn || · || đã rõ, thì
7


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

ta ký hiệu ngắn gọn là X. Mỗi phần tử x ∈ X được gọi là một điểm hay vector
của không gian định chuẩn X.
Khi F = R ta nói (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn thực. Khi
F = C ta nói (X, || · ||) là không gian tuyến tính định chuẩn phức.
Nhận xét 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, || · ||) là một không gian
metric với khoảng cách được xác định bởi
d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ X.

Do đó tất cả các tính chất của không gian metric đều đúng cho không gian tuyến
tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.8. Cho dãy điểm {xn } của không gian định chuẩn X. Ta nói rằng
(i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X nếu ||xn − x|| −→ 0 khi n −→ +∞.
Khi đó ta ký hiệu xn −→ x khi n −→ +∞ hoặc lim xn = x, và gọi x là
n→+∞

giới hạn của dãy {xn }.
(ii) Dãy {xn } là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ ||xm − xn || < ε.

Hoặc tương đương
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ ||xn+p − xn || < ε, ∀p = 1, 2, . . .

Định nghĩa 1.9. Không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn
đầy đủ là một không gian tuyến tính X mà mọi dãy Cauchy đều hội tụ đến một
phần tử của X.
Trong suốt luận văn này khi không nhấn mạnh gì thêm thì ta luôn ngầm hiểu
X là không gian Banach trên trường số thực hoặc phức.
Định nghĩa 1.10. Một ánh xạ T đưa không gian Banach X vào chính nó được
gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một hằng số L ∈ [0, 1) sao cho
||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ X.

Chúng ta có Định lý quan trọng sau đây được Banach đưa ra năm 1922.
Định lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co). Cho X là một không gian Banach. Nếu
ánh xạ T : X −→ X là một ánh xạ co thì phương trình
T (x) = x

luôn có nghiệm duy nhất x ∈ X.
8


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nhận xét 1.2. (i) Điểm x thỏa mãn T (x) = x được gọi là điểm bất động của
ánh xạ T.
(ii) Nguyên lý ánh xạ co được phát biểu mạnh hơn là: mọi ánh xạ co trong
không gian metric đủ đều có điểm bất động duy nhất.

Lý thuyết toán tử tuyến tính trong không gian Banach
Định nghĩa 1.11. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính trên trường F = R; C.

(i) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là một toán tử. Khi Y = F ta nói
A là một phiếm hàm.
(ii) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là một ánh xạ tuyến tính hoặc toán
tử tuyến tính nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn:
• DA là không gian con của X;
• A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA ;
• A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA , ∀λ ∈ F.

Khi Y = F ta nói A là một phiếm hàm tuyến tính.
(iii) Không gian con DA của X được gọi là miền xác định của A. Không gian
con RA := A(DA ) của Y được gọi là miền giá trị của A.
Nhận xét 1.3. (i) Cho DA là một không gian con của X. Khi đó, toán tử
A : DA ⊂ X −→ Y là toán tử tuyến tính khi và chỉ khi
A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA , ∀λ, µ ∈ F.

(ii) Từ nay về sau, khi không cần nhấn mạnh, ta thường xét DA = X.
Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.12. Một toán tử tuyến tính A : X −→ Y được gọi là liên tục hay
bị chặn nếu từ điều kiện xn −→ x kéo theo Axn −→ Ax khi n −→ +∞.
Tính chất 1.3. Một toán tử tuyến tính A : X −→ Y là liên tục nếu và chỉ nếu
tồn tại một hằng số K > 0 sao cho
||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈ X.

9


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.13. Chuẩn của toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y là một số
thực không âm, được ký hiệu và xác định bởi

||A|| := sup ||Ax||.
||x||≤1

Tính chất 1.4. Đối với toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y ta có
||Ax||
= inf{K > 0 : ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x}.
x=0 ||x||

||A|| = sup ||Ax|| = sup
||x||=1

Định nghĩa 1.14. Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn.
(i) Ta định nghĩa không gian các toán tử tuyến tính liên tục như sau
L (X; Y) := {A : X −→ Y A là toán tử tuyến tính liên tục };
L (X) := L (X; X) = {A : X −→ X A là toán tử tuyến tính liên tục }.

(ii) Không gian liên hợp của X là không gian
X∗ := L (X; R) = {A : X −→ R A là phiếm hàm tuyến tính liên tục }.
(iii) Toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y là toán tử
A∗ : Y∗ −→ X∗ xác định bởi
A∗ ϕ(x) = ϕ(Ax), ∀ϕ ∈ Y∗ .

Tính chất 1.5. Đối với hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y, ta có
(i) Không gian L (X; Y) đầy đủ nếu Y đầy đủ;
(ii) Không gian X∗ luôn đầy đủ;
(iii) Toán tử A∗ là toán tử tuyến tính liên tục và ||A∗ || = ||A||.

Các Định lý cơ bản
Định lý 1.3 (Định lý Hahn-Banach). Cho G là một không gian con của
không gian tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục

trong G đều có thể thác triển bảo chuẩn lên toàn bộ X, nghĩa là
∀f ∈ G∗ ∃F ∈ X∗ : F |G = f, ||F ||X = ||f ||G .

Nhận xét 1.4. Nếu không gian con G trù mật trong X thì thác triển trên là
duy nhất.
10


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hệ quả 1.1. Cho G là một không gian con đóng của không gian tuyến tính định
chuẩn X. Khi đó, với mọi điểm x0 ∈ G đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính
liên tục f ∈ X∗ sao cho
||f || = 1, f |G = 0 và f (x0 ) = d(x0 , G) > 0.

Hệ quả 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó, với mọi
điểm x0 = 0 của X đều có một phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ sao cho
||f || = 1 và f (x0 ) = ||x0 ||.

Ta có Định lý sau cũng thường gọi là Nguyên lý bị chặn đều. Nó nói về mối
liên hệ giữa tính bị chặn điểm và tính bị chặn đều của một họ toán tử.
Định lý 1.4 (Định lý Banach-Steinhaus). Cho X là không gian Banach và
Y là không gian tuyến tính định chuẩn. Giả sử họ {At : t ∈ T } là một họ những
toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y. Khi đó, nếu với mọi x ∈ X, tồn tại một
hằng số Mx > 0 sao cho
||At x|| ≤ Mx , ∀t ∈ T,

thì cũng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho
||At || ≤ M, ∀t ∈ T.

Nói một cách khác, nếu
∀x ∈ X, sup ||At x|| < +∞, thì sup ||At || < +∞.
t∈T

t∈T

Hệ quả 1.3. Cho X là không gian Banach và Y là không gian tuyến tính định
chuẩn. Khi đó, giới hạn từng điểm của dãy toán tử tuyến tính liên tục từ X vào
Y cũng là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y .
Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa 1.15. Toán tử tuyến tính A : DA ⊂ X −→ Y được gọi là toán tử
đóng nếu từ các điều kiện
xn −→ x, xn ∈ DA
Axn −→ y

kéo theo

x ∈ DA
Ax = y.

Định lý 1.5 (Định lý đồ thị đóng). Mọi toán tử đóng đưa không gian Banach
X vào không gian Banach Y đều là toán tử tuyến tính liên tục.

11


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.2

Đạo hàm và tích phân của hàm nhận giá trị trong không
gian Banach

Định nghĩa đạo hàm và các tính chất cơ bản
Giả sử (X, || · ||) là một không gian Banach, [a, b] , −∞ < a < b < +∞, là một
khoảng đóng và x : [a, b] → X là một hàm cho trước.
Định nghĩa 1.16. Chúng ta gọi đạo hàm (Fréchet) của hàm x(·) tại điểm t là
giới hạn (nếu tồn tại)
dx
x(t + h) − x(t)
(t) := lim
.
dt
h
h→0

(1.1)

Khi đó ta cũng nói hàm x(·) khả vi (Fréchet) tại điểm t. Đôi khi ta cũng ký hiệu
đạo hàm bởi x (t) =

dx
(t).
dt

Tại t = a (t = b), chúng ta hiểu giới hạn (1.1) là giới hạn bên phải (bên trái).
Khi hàm x(·) khả vi tại mọi t ∈ [a, b], thì ta nói hàm x(·) khả vi trên đoạn [a, b].
Bây giờ là các ví dụ minh họa. Nó còn được sử dụng về sau.
Ví dụ 1.1 (Đạo hàm của hàm vector). Cho hàm vector
x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn .

Khi đó, hàm vector x(t) khả vi khi và chỉ khi các hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)
khả vi, và
x (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)).

Thật vậy, nếu các hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) khả vi, ta xét
x(t + h) − x(t)
− (x1 (t), . . . , xn (t)) =
h

n

k=1

xk (t + h) − xk (t)
− xk (t)
h

2

−→ 0, h −→ 0.

Vậy hàm vector x(t) khả vi và
x (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)).

Ngược lại, nếu hàm vector x(t) khả vi và x (t) = (y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)). Ta chú ý
với mọi k = 1, 2, . . . , n thì
xk (t + h) − xk (t)
− yk (t) ≤
h

=

n

xk (t + h) − xk (t)
− yk (t)
h

k=1

2

x(t + h) − x(t)
− x (t) −→ 0 khi h −→ 0.
h
12


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Vậy các hàm số thành phần xk (t) khả vi và xk (t) = yk (t) từ đó
x (t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)).

Ví dụ 1.2 (Đạo hàm của hàm ma trận). Cho hàm ma trận



x11 (t) x12 (t) . . . x1n (t)
 x (t) x22 (t) . . . x2n (t) 
x(t) =  21

 = (xij (t))m×n
...
xm1 (t) xm2 (t) . . . xmn (t)

là những phần tử của Mm×n (R) ≡ L (Rn ; Rm ).
Khi đó, hàm ma trận x(t) khả vi khi và chỉ khi các hàm số thành phần xij (t)
khả vi, và


x11 (t) x12 (t) . . . x1n (t)
 x (t) x22 (t) . . . x2n (t) 
x (t) =  21
 = (xij (t))m×n .
...
xm1 (t) xm2 (t) . . . xmn (t)

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức
m

n

a2ij ,

|aij | ≤ A ≤
i=1 j=1

với A = (aij )m×n và i, j bất kỳ trên tập chỉ số.
Thật vậy, theo Định nghĩa của chuẩn, ta có
m

||A|| = sup ||Ax|| = sup
||x||≤1

i=1

n

j=1
n

m

a2ij

≤ sup
||x||≤1

aij xj

||x||≤1
m

i=1

2

n

j=1

x2j

n

a2ij .

≤

j=1

i=1 j=1

Tiếp theo ta chọn x ∈ Rn sao cho thành phần xj = 1, còn lại đều = 0, thì ||x|| = 1.
Từ đó
m

a2ij ≥ |aij |.

||A|| ≥ ||Ax|| =
i=1

Áp dụng bất đẳng thức trên. Khi các hàm số thành phần xij (t) khả vi thì
x(t + h) − x(t)
− (xij (t)) ≤
h

m

n

i=1 j=1

13

xij (t + h) − xij (t)
− xij (t)
h

2

−→ 0, h −→ 0.


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Vậy hàm ma trận x(t) khả vi và
x (t) = (xij (t))m×n .

Ngược lại, khi hàm ma trận x(t) khả vi và x (t) = (yij (t))m×n , ta có
xij (t + h) − xij (t)
− yij (t) ≤
h

x(t + h) − x(t)
− x (t) .
h

Suy ra các hàm số thành phần xij (t) cũng khả vi và xij (t) = yij (t), từ đó
x (t) = (xij (t))m×n .

Tiếp theo ta đưa ra các tính chất cơ bản của phép tính vi phân Fréchet. Nó
cũng giống như đạo hàm thông thường.
Tính chất 1.6. Nếu hàm x(t) khả vi tại điểm t thì nó liên tục tại điểm đó.
Tính chất 1.7. Khi các phép toán về các hàm có nghĩa, chúng ta có các công
thức sau, nếu vế phải tồn tại.
1. [x(t) + y(t)] = x (t) + y (t);
2. [αx(t)] = αx (t), α ∈ R;
3. [x(t) ◦ y(t)] = x (t) ◦ y(t) + x(t) ◦ y (t);
4. (x ◦ y) (t) = x (y(t)) ◦ y (t).

Định nghĩa tích phân và các tính chất cơ bản
Tiếp theo chúng ta định nghĩa tích phân Bochner-Riemann của hàm x(·) giống
như tích phân Riemann cổ điển. Chúng ta sẽ thực hiện như sau.
Định nghĩa 1.17. (1) Ký hiệu {∆n } là dãy các phân hoạch của đoạn [a, b], tức
là
∆n = {tni }, i = 0, 1, . . . , mn ,
a = tn0 < tn1 < . . . < tnmn = b.

(2) Chúng ta nói rằng dãy {∆n } là chuẩn tắc nếu
lim

sup |tni − tni−1 | = 0.

n→+∞ 1≤i≤mn

14

(1.2)

Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(3) Bây giờ chúng ta định nghĩa một hàm x(·) xác định trên đoạn [a, b] là khả
tích Bochner-Riemann nếu đối với mỗi dãy chuẩn tắc những phân hoạch
{∆n } và đối với bấy kỳ cách chọn điểm θin ∈ (tni−1 , tni ) thì dãy tổng Riemann
sau hội tụ
mn

(tni−1 − tni )x(θin ).

n

S (∆n ) =

(1.3)

i=1

Khi đó giới hạn
b

x(t)dt := lim S n (∆n )
n→+∞

a

(1.4)

được gọi là tích phân Bochner-Riemann của hàm x(·) trên đoạn [a, b] .
Nhận xét 1.5. Giống như trong giải tích cổ điển chúng ta có thể chỉ ra rằng

giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy phân hoạch và nó luôn tồn tại
đối với mọi hàm liên tục.
Cũng có sự tương tự như tích phân Lebesgue, chúng ta định nghĩa tích phân
Bochner-Lebesgue như sau.
Định nghĩa 1.18. (1) Một hàm x : [a, b] −→ X được gọi là hàm đơn giản nếu
nó có dạng
n

x=

xi χEi

(1.5)

i=1

trong đó {Ei } là họ hữu hạn các tập đo được rời nhau phủ lên đoạn [a, b],
các phần tử xi ∈ X và χEi là hàm đặc trưng của tập Ei , nghĩa là
χEi (t) =

1
0

nếu t ∈ Ei
.
nếu t ∈ Ei

(2) Một hàm x(·) xác định trên đoạn [a, b] được gọi là hàm đo được mạnh nếu
có một dãy hàm đơn giản {xn } hội tụ đến x hầu khắp nơi, tức là
lim ||xn (t) − x(t)|| = 0 với hầu hết t ∈ [a, b].

n→+∞

(1.6)

(3) Đối với hàm đơn giản x(·) chúng ta định nghĩa tích phân Bochner-Lebesgue
như là
n
b

|Ei |xi ,

x(t)dt :=
a

i=1

trong đó |Ei |, i = 1, 2, . . . , n, là ký hiệu độ đo Lebesgue của tập Ei .

15

(1.7)


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(4) Đối với hàm đo được mạnh x(·), chúng ta nói rằng x(·) là khả tích BochnerLebesgue nếu tồn tại một dãy hàm đơn giản {xn } sao cho
b

||xn (t) − x(t)||dt = 0.

lim

n→+∞

(1.8)

a

Khi đó giới hạn
b

b

x(t)dt := lim

xn (t)dt

n→+∞

a

(1.9)

a

luôn tồn tại và được gọi là tích phân Bochner-Lebesgue của hàm x(·) trên
đoạn [a, b] .
(5) Đối với hàm x(·) khả tích Bochner-Lebesgue (hoặc Bochner-Riemann) trên
đoạn [a, b], chúng ta định nghĩa

a

b

x(t)dt := −
b

(1.10)

x(t)dt.
a

Từ nay về sau, nếu không có chú thích gì thêm, thì ta luôn hiểu tích phân
được xét là tích phân Bochner-Lebesgue. Tương tự như trong lý thuyết tích
phân Riemann cổ điển và lý thuyết tích phân Lebesgue thông thường chúng ta
có thể chỉ ra các tính chất cơ bản sau:
Tính chất 1.8. 1. Hàm đo được mạnh x(t) là khả tích Bochner-Lebesgue nếu
và chỉ nếu hàm số ||x(t)|| khả tích Lebesgue. Khi đó ta có ước lượng
b

b

x(t)dt ≤
a

||x(t)||dt.
a

2. Nếu hàm x khả tích Bochner-Riemann thì nó cũng khả tích Bochner-Lebesgue
và hai tích phân đó bằng nhau.

3. Nếu x khả tích Bochner-Riemann (hoặc Bochner-Lebesgue) thì
b

c

x(t)dt =

b

x(t)dt, a ≤ c ≤ b.

x(t)dt +

a

a

c

4. Nếu x, y khả tích Bochner-Riemann (hoặc Bochner-Lebesgue) thì
b

b

[αx(t) + βy(t)]dt = α
a

b

y(t)dt, α, β ∈ R.

x(t)dt + β
a

a

5. Nếu A là toán tử tuyến tính liên tục thì
b

A

b

x(s)ds =
a

Ax(s)ds.
a

16


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Tính chất 1.9 (Tính liên tục của tích phân phụ thuộc tham số). Cho
miền D = {x ∈ X : ||x − x0 || ≤ δ}. Giả sử f : [a, b] × D → X là hàm liên tục theo
hai biến. Khi đó, tích phân phụ thuộc tham số
b

J(x) =

f (t, x)dt
a

là một hàm liên tục theo x trên tập D.
Tính chất 1.10 (Định lý Fubini về đổi thứ tự lấy tích phân). Giả sử
f : [a, b] × [c, d] → X là hàm liên tục theo hai biến. Khi đó, ta có đẳng thức
b

d

d

f (t, s)ds
a

b

dt =

c

f (t, s)dt
c

ds.

a

Mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân

Định nghĩa 1.19. Một hàm x : [a, b] → X được gọi là liên tục tuyệt đối trên
đoạn [a, b] nếu với mọi ε > 0 luôn tồn tại δ > 0 sao cho với bất kỳ họ khoảng rời
nhau (a1 , b1 ), . . . , (an , bn ) của đoạn [a, b] ta đều có
n

n

(bi − ai ) < δ =⇒
i=1

||x(bi ) − x(ai )|| < ε.
i=1

Nhận xét 1.6. Hàm liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] thì liên tục trên đoạn đó.
Tính chất 1.11 (Định lý cơ bản thứ I của Giải tích). Nếu hàm x(t) khả
t
tích trên đoạn [a, b] thì trên đoạn đó tích phân y(t) = a x(s)ds, t ∈ [a, b], là một
hàm liên tục tuyệt đối, khả vi hầu khắp nơi và ta có công thức
d
dt

t

x(s)ds = x(t), với hầu hết t ∈ [a, b].

(1.11)

a

Tính chất 1.12 (Định lý cơ bản thứ II của Giải tích). Nếu hàm x(t) liên

tục tuyệt đối trên đoạn [a, b] thì trên đoạn đó nó khả vi hầu khắp nơi, có đạo
hàm x (t) khả tích và ta có công thức Newton-Leibniz
t

x (s)ds = x(t) − x(a), với tất cả t ∈ [a, b].

(1.12)

a

Nhận xét 1.7. Với giả thiết mạnh hơn, ta có hai kết quả hay dùng sau:
Công thức (1.11) đúng ∀t ∈ [a, b] nếu hàm x(t) liên tục trên đoạn [a, b].
Công thức (1.12) đúng ∀t ∈ [a, b] nếu hàm x(t) khả vi trên đoạn [a, b] và có
đạo hàm x (t) khả tích trên đoạn đó.
17


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.3

Nửa nhóm liên tục mạnh tác động trên không gian Banach

Cho X là một không gian Banach. Chúng ta có hai khái niệm quan trọng sau.
Định nghĩa 1.20. Ta nói rằng họ U (t) t≥0 những toán tử tuyến tính liên tục
tác động trên X là một nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 − nửa nhóm) nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
• U (0) = I

(toán tử đồng nhất trên X);

• U (t)U (s) = U (t + s), ∀t, s ≥ 0

(tính chất của nửa nhóm);

• lim U (t)x = x, ∀x ∈ X

(tính liên tục mạnh).

t

0

Định nghĩa 1.21. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh U (t) là toán tử A
được định nghĩa như sau:
U (t)x − x
tồn tại ;
t
t 0
U (t)x − x
• Ax = lim
, ∀x ∈ DA .
t
t 0
• DA =

x ∈ X : lim

Chú ý 1.1. Toán tử sinh là toán tử tuyến tính nhưng nói chung không liên tục.
Ví dụ 1.3. Cho X là một không gian Banach. Giả sử A là toán tử tuyến tính

liên tục từ X vào chính nó. Khi đó họ
U (t) = e

tA

:=

+∞ k k
t A
k=0

k!

,

t ≥ 0,

là nửa nhóm liên tục mạnh với toán tử sinh chính là toán tử A. Thật vậy,
⊕ etA xác định tốt. Vì
||tk Ak ||
tk ||A||k
≤
k!
k!
k

k

k

k

t ||A||
||t A ||
và chuỗi số +∞
hội tụ nên chuỗi số +∞
hội tụ theo dấu hiệu so
k=0
k=0
k!
k!
+∞ tk Ak
tA
sánh. Do đó chuỗi k=0 k! hội tụ tuyệt đối, hay e tồn tại và cũng là toán tử
tuyến tính liên tục (Hệ quả của Định lý Banach-Steinhaus), suy ra etA xác định
tốt.
⊕ e0A = I. Điều này là hiển nhiên.

18


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

⊕ etA esA = e(t+s)A , ∀t, s ≥ 0. Thật vậy
tA sA

e e

+∞ k k
t A

=

k=0
+∞

k!

n=0 k+m=n
+∞
n

n=0
+∞

=
n=0

1
n!

sm Am
m!

m=0

=

=

+∞

k=0

tk Ak sm Am
(quy tắc Cauchy về nhân chuỗi lũy thừa)
k!
m!
n!
tk sn−k An
k!(n − k)!

(t + s)n n
A = e(t+s)A .
n!

⊕ lim etA x = x, ∀x ∈ X. Thật vậy, từ chỗ
t

0

tA

+∞ k k
t A

−I =

e

k=1

k!

suy ra
tA

||e

− I|| =

+∞ k k
t A

≤

k!

k=1

+∞ k
t ||A||k

k!

k=1

= et||A|| − 1 −→ 0, khi t −→ 0+ .

Hay là

lim etA = I =⇒ lim etA x = x, ∀x ∈ X.

t

0

t

0

Vậy họ etA t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
⊕ Tiếp theo, ta chứng minh với mọi x ∈ X, thì
etA x − x
= Ax.
t
0

lim

t

Quả vậy, từ chỗ
tA

e

−I =

+∞ k k
t A

k=1

k!

= tA

+∞ k−1 k−1
t A

k!

k=1

= tA + tA

+∞ k−1 k−1
t A
k=2

k!

suy ra
etA − I
−A = A
t

+∞ k−1 k−1
t A
k=2

k!

≤ ||A||

+∞ k−1
t ||A||k−1
k=2

k!

≤ ||A||

+∞ k−1
t ||A||k−1
k=2

(k − 1)!

Từ đó
etA − I
− A ≤ ||A||
t

+∞ k
t ||A||k
k=1

k!

= ||A||. et||A|| − 1 −→ 0, khi t −→ 0+ .

19

.


Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Hay là
etA − I
etA x − x
= A =⇒ lim
= Ax, ∀x ∈ X.
t
t
0
t 0

lim

t

Vậy A là toán tử sinh của nửa nhóm etA

t≥0

với miền xác định DA = X.

Nhận xét 1.8. Khi t ∈ R, ta vẫn xác định được họ toán tử
U (t) := e

tA

=

+∞ k k
t A
k=0

k!

và thu được các kết quả như trên mà chứng minh không thay đổi.

Những tính chất cơ bản của nửa nhóm liên tục mạnh
Tính chất 1.13. Giả sử U (t) là nửa nhóm liên tục mạnh. Khi đó,
(a) Hàm ξ(t) = U (t)x liên tục theo t trên nửa khoảng [0, +∞), ∀x ∈ X.
(b) Tồn tại hai hằng số M ≥ 1 và α ≥ 0 sao cho
||U (t)|| ≤ M eαt , ∀t ≥ 0.

Tính chất 1.14. Đối với toán tử sinh A với miền xác định DA , ta có
(a) Miền xác định DA trù mật trong không gian X;
(b) Toán tử sinh A là toán tử đóng;
(c) Miền xác định DA = X khi và chỉ khi A liên tục.
Tính chất 1.15. Hai nửa nhóm liên tục mạnh có cùng một toán tử sinh thì
trùng nhau.

20


Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA TRONG KHÔNG
GIAN BANACH
2.1

Phương trình tích phân Volterra và Định lý Bielecki

Cho (X, || · ||) là một không gian Banach và [a, b] , −∞ < a < b < +∞, là một
khoảng đóng. Ký hiệu CX [a, b] là không gian các hàm liên tục từ [a, b] vào X. Ta
trang bị cho tập CX [a, b] một chuẩn mới
|||x||| = sup ||x(t)||.

(2.1)

a≤t≤b

Khi đó, CX [a, b] cùng với chuẩn mới này trở thành một không gian Banach. Giả
sử K(t, s, x) là một hàm liên tục từ [a, b] × [a, b] × X vào X. Ta có định nghĩa.
Định nghĩa 2.1. (i) Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : CX [a, b] → CX [a, b]
xác định bởi
t

K(t, s, x(s))ds, a ≤ t ≤ b.

V (x)(t) =

(2.2)

a

(ii) Phương trình tích phân Volterra là phương trình có dạng
t

K(t, s, x(s))ds + y(t), a ≤ t ≤ b.

x(t) =

(2.3)

a

Hay tương đương
x = V (x) + y.

(2.3)

Trong đó x ∈ CX [a, b] là hàm ẩn cần tìm, V là toán tử tích phân Volterra và hạng
tử tự do y ∈ CX [a, b] là một hàm cho trước.
(iii) Nghiệm của phương trình tích phân (2.3) là hàm x(t) xác định, liên tục trên
đoạn [a, b] và thỏa mãn phương trình đó khắp nơi.
21


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

Nhận xét 2.1. (i) Nếu hàm K(t, s, x) tách được thành K(t, s)x tức là K(t, s, x) =
K(t, s)x, với K : [a, b] × [a, b] → L (X) liên tục, thì hàm K(t, s) được gọi là nhân
của toán tử V .

(ii) Phương trình ta xét ở trên là phương trình tích phân Volterra loại II.
Phương trình tích phân Volterra loại I là phương trình có dạng
t

K(t, s, x(s))ds = y(t)

(2.4)

a

hay tương đương
V (x) = y.

(2.4)

Trong đó V là toán tử tích phân Volterra.
(iii) Nếu phương trình tích phân Volterra loại I có nhân K(t, s) cùng với hàm
y(t) khả vi liên tục theo t và toán tử K(t, t) khả nghịch với mọi t ∈ [a, b] thì nó
đưa về được phương trình tích phân Volterra loại II theo cách sau: đạo hàm hai
vế phương trình
t

K(t, s)x(s)ds = y(t)
a

cho ta

t

K(t, t)x(t) +

a

Từ đó

t

− K −1 (t, t)

x(t) =
a

∂K
dy
(t, s)x(s)ds = (t).
∂t
dt

∂K
dy
(t, s)x(s) ds + K −1 (t, t) (t) .
∂t
dt

(iv) Vì phương trình vi phân với điều kiện ban đầu được đưa về phương trình
tích phân Volterra loại II. Nên trong mục đích của chúng ta chỉ phương trình
tích phân Volterra loại II được nghiên cứu.
Tiếp theo, chúng ta đưa ra Định lý chính của phần này, ý nghĩa của nó là
mọi toán tử tích phân Volterra luôn là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki khi hàm
K(t, s, x) tương ứng thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Đồng thời Định lý cũng là
một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân

Volterra tương ứng.
Định lý 2.1 (Định lý Bielecki). Giả sử rằng hàm K(t, s, x) thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo x và đều theo t, tức là
||K(t, s, x) − K(t, s, y)|| ≤ L(s)||x − y||, ∀t, s ∈ [a, b], ∀x, y ∈ X,

và hệ số L(s) là một hàm khả tích địa phương theo s. Khi đó,
22

(2.5)


Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

(i) Toán tử tích phân Volterra V là một ánh xạ co theo chuẩn Bielecki,
t
a

||x||B,p = sup e−p

L(s)ds

||x(t)||, với p > 1.

(2.6)

a≤t≤b

(ii) Phương trình tích phân Volterra (2.3) luôn có nghiệm duy nhất x ∈ CX [a, b] .
Hơn nữa, nghiệm này phụ thuộc liên tục vào y.

Chứng minh. (i) ⊕ Trong không gian CX [a, b] chúng ta xét chuẩn Bielecki
t
a

||x||B,p = sup e−p

L(s)ds

||x(t)||, với p > 0.

(2.7)

a≤t≤b

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng chuẩn || · ||B,p tương đương với chuẩn ||| · ||| và toán
tử V thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz p1 theo chuẩn Bielecki
|| · ||B,p , tức là
1
||V (x) − V (y)||B,p ≤ ||x − y||B,p .
p

(2.8)

Thật vậy, tính tương đương suy ra từ ước lượng
b
a

C1 ||| · ||| ≤ || · ||B,p ≤ C2 ||| · |||, với C1 = e−p

L(s)ds

> 0, C2 = 1 > 0.

Và do đó, không gian CX [a, b] cũng là không gian Banach theo chuẩn Bielecki.
⊕ Tiếp theo, để có tính Lipschitz, ta xét
||V (x) − V (y)||B,p = sup e−p

t
a

L(s)ds

t
a

L(s)ds

||V (x)(t) − V (y)(t)||

a≤t≤b
−p

= sup e

t

K(t, s, x(s)) − K(t, s, y(s)) ds

a≤t≤b

≤ sup e−p

t
a

a
t
L(s)ds

a≤t≤b

K(t, s, x(s)) − K(t, s, y(s)) ds
a

≤ sup e−p

t
a

t
L(s)ds

a≤t≤b

L(s) x(s) − y(s) ds, (do tính Lipschitz của K )
a

= sup e−p

t

a

t
L(s)ds

a≤t≤b

L(s)ep

s
a

L(u)du

e−p

s
a

L(u)du

x(s) − y(s)

a

≤ ||x − y||B,p . sup e

−p

t

a

a≤t≤b

t
L(s)ds

L(s)ep

s
a

L(u)du

ds

a

1
≤ .||x − y||B,p .
p

Ước lượng cuối có được là vì
t
p

L(s)e
a

s

a

t

L(u)du

s
s
1
1
d ep a L(u)du = ep a L(u)du
ds =
p a
p
t
t
1
1
1
= ep a L(u)du − < ep a L(s)ds .
p
p
p

23

s=t
s=a

ds

Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN
BANACH

Do đó khi lấy p > 1, thì V là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki với hệ số co p1 .
(ii) ⊕ Theo phần (i) thì toán tử tích phân Volterra V là ánh xạ co, suy ra
toán tử U (x) = V (x) + y cũng là ánh xạ co, vì
1
||U (x) − U (y)||B,p = ||V (x) − V (y)||B,p < ||x − y||B,p .
p

Như thế, áp dụng Nguyên lý ánh xạ co cho toán tử U, ta suy ra phương trình
tích phân Volterra
t

x(t) =

(2.9)

K(t, s, x(s))ds + y(t)
a

có nghiệm duy nhất x ∈ CX [a, b] với mọi hàm y ∈ CX [a, b] cho trước.
⊕ Để chứng tỏ nghiệm x này phụ thuộc liên tục vào y, ta chú ý rằng
x = V (x) + y

nên nếu gọi xy và xy0 là hai nghiệm ứng với y và y0 thì
||xy − xy0 ||B,p =||V (xy ) − V (xy0 ) + y − y0 ||B,p
≤||V (xy ) − V (xy0 )||B,p + ||y − y0 ||B,p

1
≤ ||xy − xy0 ||B,p + ||y − y0 ||B,p .
p

Suy ra
||xy − xy0 ||B,p ≤

p
||y − y0 ||B,p −→ 0 khi y −→ y0 .
p−1

Vậy nghiệm x tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào y.
Nhận xét quan trọng sau đây sẽ còn được sử dụng về sau.
Nhận xét 2.2. (i) Đối với toán tử tích phân Volterra V , chúng ta không cần
giả thiết K(t, s, x) là một hàm liên tục, mà chỉ cần giả thiết rằng đối với t, x cố
định nó là hàm đo được mạnh, khả tích địa phương theo s và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz (2.5). Khi đó toán tử V vẫn là một ánh xạ co (chứng minh không
thay đổi) với cùng một hằng số co như trên.
(ii) Các kết quả của Định lý Bielecki vẫn đúng khi chúng ta xét trên nửa
khoảng vô hạn [a, +∞). Nhưng với giả thiết thêm vào là K(t, s, 0) = 0. Vì khi đó
không gian sau cùng với chuẩn Bielecki sẽ trở thành không gian Banach,
CX [a, +∞) :=

x ∈ CX [a, +∞) :

sup

e−p

t

a

L(s)ds

||x(t)|| < +∞ ,

a≤t<+∞

và toán tử tích phân Volterra V vẫn là ánh xạ co miễn là p > 1.
24