Một định lý hội tụ mạnh giải bài toán chấp nhận tách và bài toán điểm bất động trong không gian banach (luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ THỊ THANH NGA

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH GIẢI BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Trương Minh Tuyên
2. TS. Li ZhenYang

THÁI NGUYÊN - 2019




ớ ỡ
ổ tọ ỏ t ỡ s s rữỡ ữớ
t t ữợ ú ù tổ tr sốt q tr ồ t ự
t
ổ t ỡ t ổ tr
trữớ ồ ồ ồ t t ú
ù tổ tr sốt q tr ồ t ự t rữớ

tổ ụ ỷ ớ ỡ t tợ ỳ ữớ t
tr ỗ ở t ú
ù tổ tr q tr ồ t ự


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t
▼ð ✤➛✉
❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

p✲❧ç✐

✐✐
✐✈
✶
✸

✤➲✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✶✳✷

❙ü ❤ë✐ tö ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✸

❍➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✹

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✶✳✺

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

p✲❧ç✐

✤➲✉

✶✳✷

⑩♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✶✳✸

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳✶

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳✷

P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✹

❇➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✺

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♠↕♥❤ tr→✐ ✷✹

❈❤÷ì♥❣ ✷ ▼ët ✤à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤
✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✷✻
✷✳✶

P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥

✷✳✷

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✸

❱➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✺

❑➳t ❧✉➟♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

✹✵
✹✶




ởt số ỵ t tt
E

ổ

E

ổ ố ừ

R

t ủ số tỹ

inf M

ữợ ú ừ t ủ số

M

sup M

tr ú ừ t ủ số

M

max M

số ợ t tr t ủ số

min M

số ọ t tr t ủ số

rxX F (x)

t ỹ t ừ

t rộ

x

ợ ồ

(A)

ỳ ừ t tỷ

I

t tỷ ỗ t

Lp ()

ổ t

lp

ổ số tờ

E

M

F

tr

X

x
A

ợ tr ừ số

{xn }

lim inf xn

ợ ữợ ừ số

{xn }

xn x0



{xn }

ở tử

xn



{xn }

ở tử

lim sup xn

M

p

tr

p

n
n

x0

x0

x0

Jp

ố

E ()

ổ ỗ ừ ổ

E ( )

ổ trỡ ừ ổ

F ix(T )



F (T )

t t ở ừ

T

E
E




✈
✐♥tM

♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣

❡rr

s❛✐ sè ❝❤♦ tr÷î❝

PC

♣❤➨♣ ♠➯tr✐❝ ❧➯♥

f

M

C

♣r♦❥C

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥ ❧➯♥

iC

❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ ❧ç✐

C

C







H1



C

H2

Q t ỗ õ rộ ừ ổ rt

tữỡ ự

T : H1 H2

ởt t tỷ t t

t t P õ ữ s
ởt tỷ

x C

s

T x Q.



tờ qt ừ t t t ữủ t
ữ s
õ ừ

H1

H2

Ci i = 1, 2, ..., N



Qj j = 1, 2, ..., M

t ỗ

tữỡ ự

ởt tỷ

1
(M
x S = N
j=1 Qj ) = .
i=1 Ci T



ổ t P t ữủ ợ t ự
sr ổ t ữủ t õ
trỏ q trồ tr ổ ử tr ồ ữớ ở
tr tr tr tữ ổ ử t õ t
ử t tr t ỵ tt trỏ ỡ
t r

C = F (PC )t

t ở ừ tr tứ

H1



C õ t t ởt trữớ ủ t ừ t
t ở t tờ qt ừ t t ở t
ữủ t ữ s

j = 1, 2, ..., M

Ti : H1 H1 i = 1, 2, ..., N

ổ tr

tỷ

H1



H2



Sj : H2 H2

tữỡ ự

1
x S = N
M
i=1 F ix(Ti ) T
j=1 F ix(Sj ) = .



t tr ổ ừ
t út ữớ t tr ữợ q t ự
õ ởt số t ự t ữỡ
ợ t ởt ừ t ợ t
t t t ở t tự
ử ừ tr t q ừ


✷
◆✳❙✳ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✼❪ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣ t➻♠ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛
❇➔✐ t♦→♥ ✭✵✳✷✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ t♦→♥ tû
❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♠↕♥❤ tr→✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
♣❤↔♥ ①↕✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

p✲❧ç✐ ✤➲✉✱ trì♥ ✤➲✉✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉❀ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥✱

♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥❀ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝õ❛ t♦→♥ tû ❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♠↕♥❤ tr→✐✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët ✤à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈➔
❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ♠ët ❝→❝❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦➳t
q✉↔ ❝õ❛ ❚✉②❡♥ ❚✳▼✳ ✈➔ ❍❛ ◆✳❙✳ tr♦♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶✼❪ ✈➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✐➳✉ ❧❛✐ ❣❤➨♣
t➻♠ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ t→❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣
❝õ❛ t♦→♥ tû ❇r❡❣♠❛♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ♠↕♥❤ tr→✐ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✈➔ trì♥ ✤➲✉✳

p✲❧ç✐

✤➲✉


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠ ✹ ♠ö❝✳ ▼ö❝ ✶✳✶ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥
❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ trì♥ ✤➲✉✳ ▼ö❝ ✶✳✷ ❣✐î✐ t❤✐➺✉
✈➲ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ▼ö❝ ✶✳✸ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉
♠➯tr✐❝ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tê♥❣ q✉→t ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳ ▼ö❝
✶✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ t♦→♥ tû ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ tê♥❣
q✉→t ✈➔ t♦→♥ tû ❣✐↔✐ ♠➯tr✐❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝
t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷✱ ✶✶✱ ✶✷❪✳

✶✳✶

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ p✲❧ç✐ ✤➲✉ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥
✤➲✉

✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕
❈❤♦

X

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ✈➔

X∗

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐

♥❣➝✉ ❝õ❛ ♥â✳ ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❤ì♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ t❤è♥❣ ♥❤➜t sû ❞ö♥❣

.

❦➼ ❤✐➺✉
t↕✐ ✤✐➸♠

✤➸ ❝❤➾ ❝❤✉➞♥ tr➯♥

x∈X

✈➔

tç♥ t↕✐

X ∗ ❀ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ x∗ ∈ X ∗

x, x∗

✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳
x∗∗ ∈ E ∗∗ ✱

X

✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

x∈E

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤↔♥ ①↕ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

s❛♦ ❝❤♦

x, x∗ = x∗ , x∗∗ ,
✈î✐ ♠å✐

x∗ ∈ E ∗ ✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳

❣✐❛♥

lp

❤❛②

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✱ ❝→❝ ❦❤æ♥❣

Lp (Ω)✱

✈î✐

1 < p < ∞✱

❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕ ✭①❡♠ ❬✷❪✮✳




ú ỵ

t t ữợ ổ õ t t

t tr t t
ổ

Y

t

X

X

ỗ ổ t t ợ ổ

ụ ổ

ồ ổ õ ừ ổ ổ
ổ

E

ổ ủ

E

ừ õ

ổ

ỹ ở tử tr ổ
{xn}


tr ổ t t

xE

ồ ở tử ởt tỷ

ữủ ỵ

xn

x

E

ữủ



lim xn , x = x, x ,

n
ợ ồ

x X

t
{xn }



ở tử

ổ rt

x

l2

{xn }

ở tử



tự

xn x 0

t

ữủ ổ ú t


{en }



en = (0, . . . , 0,
ợ ồ

x

1

tr tự n

, 0, . . .),

n 1 ở tử ổ ữ ổ ở tử ổ

en = 1

ợ ồ

n 1

E ởt ổ t t {xn} E
ở tử x E õ {xn }

ự

ợ ộ

x , Hxn = xn , x

n 1

ợ ồ

t

x E

{Hxn } E

õ ợ ộ

x E



t õ

x , Hxn = xn , x x, x .


õ t q ừ ỵ ợ ở t t õ

sup xn = sup Hxn < .
n



n

X ổ Y ổ t t {An } L(X, Y )
ợ ộ x X {An x} ở tử tr Y t supn An < .



ữủ ự

E ởt ổ t t A E
ởt t t tữỡ ố {xn } A tọ xn

ự

sỷ

xn

x

õ tỗ t

>0

x õ xn x

ởt

{xnk } {xn }

s

xnk x ,
ợ ồ




k 1

{xnk } A

{xnk }

s

õ

y = x



A

t t tữỡ ố tỗ t

xnkl y

sỹ ở tử t ở tử

r t tự t

xnk



xnkl

{xnkl }

xnkl

y

t ữủ

xnkl y ,
t ợ

xnkl

y

xn x



r ú tổ tữớ sỷ ử t t ữợ ừ
ổ



tr

E ởt ổ õ

s tữỡ ữỡ



E ổ

ồ tr E õ ởt ở tử

ữợ t ố ỳ t õ t õ tr ổ
t t

C t ỗ õ rộ ừ ổ ổ
t t X t C t õ
ự


xn

t

x



ự ự sỷ tỗ t

x
/ C.

x

ữ

C

tự tỗ t

ỵ t t ỗ tỗ t

>0

s

y, x x, x ,

{xn } C
x X

s

t


✻
✈î✐ ♠å✐

y ∈ C✳

✣➦❝ ❜✐➺t✱ t❛ ❝â

xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε,
✈î✐ ♠å✐

n ≥ 1✳

◆❣♦➔✐ r❛✱ ✈➻

✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥✱ ❝❤♦

n → ∞✱

xn

x✱

♥➯♥

xn , x∗ → x, x∗

✳ ❉♦ ✤â✱ tr♦♥❣ ❜➜t

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

x, x∗ ≤ x, x∗ − ε,
✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ✈æ ❧þ✳ ❉♦ ✤â✱ ✤✐➲✉ ❣✐↔ sû ❧➔ s❛✐✱ ❤❛②

C

❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❈❤ó þ ✶✳✶✳✶✵✳

◆➳✉

C

❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ②➳✉✱ t❤➻ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥

C

❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✳

✶✳✶✳✸ ❍➔♠ ❧ç✐ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ❝♦♥ ♥➔②✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ ❧ç✐ t❤æ♥❣ q✉❛ ❦❤→✐
♥✐➺♠ tr➯♥ ✤ç t❤à✱ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ❣✐↔♥ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔②
❝→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶✳
✐✮ ❍➔♠

f

❈❤♦

D⊂E

❧➔ ♠ët t➟♣ ❧ç✐✱

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣ ♥➳✉ ❞♦♠

f : D → R ∪ {±∞}✳

f =∅

✈➔

f (x) > −∞(∀x ∈ D)✱

tr♦♥❣ ✤â
❞♦♠
✐✐✮ ❍➔♠

f

f = {x ∈ D : f (x) < ∞}.

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤➔♠ ❧ç✐ tr➯♥

D

♥➳✉ ❡♣✐

f

❧➔ t➟♣ ❧ç✐ tr♦♥❣

E × R✱

tr♦♥❣

✤â
❡♣✐
✐✐✐✮ ❍➔♠
♠é✐

f :D⊂E→R

f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}.

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ ✤✐➸♠

x∈D

♥➳✉ ✈î✐

ε > 0 ❝â ♠ët δ > 0 s❛♦ ❝❤♦ f (x) − ε ≤ f (x) ✈î✐ ♠å✐ x ∈ D✱ x − x < δ.

❍➔♠

f

✤✐➸♠

x ∈ D.

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ tr➯♥

❉÷î✐ ✤➙② ❧➔ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐✳

D

♥➳✉

f

♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ t↕✐ ♠å✐




ử

õ
t



f

f : R R số ữủ

x4 x = 0
f (x) =
1 x = 0.

ỷ tử ữợ t



x = 0

ữ ổ tử

x = 0

t t

f

ổ tử t

tr trữớ ủ õ t ồ



x = 0

ợ ồ

>0

ợ ồ

>0

số ữỡ t ý t õ

f (0) = 1 < 1 f (x),
ợ ồ

x

õ

ú ỵ

f

ỷ tử ữợ t



{xn } D

f

0

ỷ tử ữợ t

xn

tọ

x

xD

ợ ồ

t õ

f (x) lim inf f (xn ).
n

f

ỗ tr

D



f [tx + (1 t)y] tf (x) + (1 t)f (y),
ợ ồ


f

x, y D

t [0, 1]

ồ

ữủ ồ ỗ t tr

t tr

E ì R

D

tr ỗ t

f

ừ õ t ỗ

tữỡ ữỡ ợ

f [tx + (1 t)y] < tf (x) + (1 t)f (y),
ợ ồ

x, y D x = y

ử
f (x) = x

X



t (0, 1)

ởt ổ t t õ

ỗ tr

t ợ ồ

ồ

X

x, y X

ồ

t [0, 1]

t õ

tx + (1 t)y tx + (1 t)y = t x + (1 t) y ,
tữỡ ữỡ ợ

f [tx + (1 t)y] tf (x) + (1 t)f (y).
õ

f

ỗ tr

X




D E ởt t ỗ f :

D R {} ởt

ỗ tr D õ t õ ữợ


ồ ỹ t ữỡ ừ f tr D ỹ t t ử
ừ f tr D



f ỗ t tr D t ỹ t ừ f õ t

ự

x0 D

sỷ

ởt ỹ t ữỡ ừ

ổ ỹ t t ử õ tỗ t


x0 D

ừ

x0

x1 D

ởt ỹ t ữỡ ừ

f

s

f ữ x0

f (x1 ) < f (x0 )

tỗ t ởt

U

s

f (x0 ) f (x),
x D U

ợ ồ

ợ

t (0, 1)

ừ ọ t õ

xt = x0 + t(x1 x0 ) D U

õ t ữủ

f (x0 ) f (xt ) = f [tx1 + (1 t)x0 ] tf (x1 ) + (1 t)f (x0 ).
r

f (x0 ) f (x1 )

t ừ

f

sỷ

tr

x1



t ợ

f (x1 ) < f (x0 )



x0

ởt ỹ

D

x2

ỹ t ừ

f

tr

D

ợ

x1 = x2

õ

f (x1 ) = f (x2 ) = m = min f (x).
xD

ứ t ỗ t ừ

f

s r

f(
t ợ

x1 + x2
1

) < (f (x1 ) + f (x2 )) = m,
2
2

m = minxD f (x) ỹ t ừ f

õ t

ữợ t ởt sỹ tỗ t ỹ t ừ ởt
ỗ tữớ ỷ tử ữợ tr ổ


C

t ỗ õ rộ ừ ổ

E f : C (, ] ởt ỗ tữớ ỷ
tử ữợ tr C s f (xn ) xn

x0 dom(f ) s
f (x0 ) = inf{f (x) : x C}.

õ tỗ t



ự


f (xn ) m

{xnk }
ợ

t

ừ

{xn }

m =



m = inf{f (x) : x C}



s

{xn }

õ

{xnj }

n

ừ

{xn }



{xn }

xnk

õ tỗ t

{xn } C

s

ổ t tỗ t ởt

tt

f (xnk )

t

tỗ t
s

xnj

x0 C

f

ỷ tử ữợ tr

tổổ t õ

m f (x0 ) lim inf f (xnj ) = lim f (xn ) = m.
n

j

õ

m = f (x0 )

ữủ ự

ổ pỗ
t tr ử ú tổ ởt số ỡ
trú ồ ổ ữ t ỗ t trỡ ổ ỗ ổ
trỡ

ổ E ữủ ồ ỗ t ợ ồ
x, y E, x = y x = 1,

y = 1 t õ

x+y
< 1.

2

ú ỵ

ỏ õ t t ữợ tữỡ

E ữủ ồ ỗ t ợ ồ x, y SE
x+y
tọ
= 1 s r x = y ợ ồ x, y SE x = y t õ
2
tx + (1 t)y < 1 ợ ồ t (0, 1) tr õ

ữỡ s ổ

SE = {x E :


tỗ t

() > 0

ổ

s ợ ồ

ổ õ

t r

x = 1}.

E

x, y E

ữủ ồ ỗ ợ ồ



> 0

x = 1 y = 1, x y

t

x+y
1 ().
2
E

ởt ổ ỗ t õ ổ

ỗ t ữủ ổ ú ử ữợ r
õ


✶✵

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✵✳

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✺✹✮ ❳➨t

.

❦❤æ♥❣✮ ✈î✐ ❝❤✉➞♥

β

= x

c0

+β
i=1

❑❤✐ ✤â✱

✭❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ ❞➣② sè ❤ë✐ tö ✈➲

β ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
∞

x

E = c0

(E, . β ), β > 0

1/2

|xi |2
i2

, x = (xi ) ∈ c0 .

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t ♥❤÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❧ç✐ ✤➲✉✳
✣➸ ✤♦ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

δE (ε) = inf 1 −

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✷✶✳
❝❤➾ ❦❤✐

❧➔ ❤➔♠ sè

x+y
: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε .
2

▼æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ✤♦↕♥

δE (2) = 1

E

E ✱ ♥❣÷í✐ t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✿ ▼æ

[0; 2]✳

❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

E

E

❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱

❧ç✐ ❝❤➦t ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✺✾✮✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

δE (ε) > 0, ∀ε > 0

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✷✳

❈❤♦

H

E

❧➔ ❧ç✐ ✤➲✉ ❦❤✐ ✈➔

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✻✵✮✳

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❦❤✐ ✤â ♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛

H

✤÷ñ❝ ①→❝

✤à♥❤ ❜ð✐

ε2
1 − , ε ∈ [0, 2].
4

δH (ε) = 1 −

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✸✳

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✺✻✮

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉ ❜➜t ❦➻ ❧➔

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

E

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ✤➲✉✱ t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✳ ●✐↔ sû
✈à tr♦♥❣

E∗

●✐↔ sû

✈➔

SE ∗ := {j ∈ E ∗ : j = 1}

E

❧➔

❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥

f ∈ SE ∗ ✳

{xn }

❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣

SE

s❛♦ ❝❤♦

xn , f → 1✳

{xn }

❧➔

{xni }

✈➔

❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛

♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤②✳
●✐↔ sû

{xnj }

❝õ❛

{xn }

❦❤æ♥❣ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤②✱ ❦❤✐ ✤â tç♥ t↕✐

{xn }

s❛♦ ❝❤♦

ε>0

✈➔ ❤❛✐ ❞➣②

xni − xnj ≥ ε.
❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱

E

❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ✤➲✉✱ ♥➯♥

xni + xnj
2

∃δ(ε) > 0

< 1 − δ.

s❛♦ ❝❤♦



õ t õ

xni + xnj
2

f

xni + xnj
2

f

< f (1 ) = 1 ,
t ợ

xn x

s

limn xn = 1

f (xn ) 1

ó r

x SE





E



x E



n

t ữủ

x, f = 1

p > 1 ổ E

c>0

s


[0, 2]

ợ ồ

ử



1



E ()



E () p

2p+1

2

E = Lp ()





E = lp

ợ

1 < p <

t t õ

1 < p < 2

2 p <

õ ổ

Lp ()



lp

2ỗ



1


pỗ



p 2

ổ trỡ


ổ

x SE

tỗ t t


tr

pỗ

ữủ ồ

E () cp ,



x =

ổ

số tỹ

tỗ t ởt số

{xn }

tứ t tử ừ t õ

xn , f 1

õ tứ

ỵ s s r



E

fx E

E

s

E

ữủ ồ trỡ ợ ộ

x, fx = x



fx = 1

ởt ổ t t

ữủ ồ t t

x SE

ợ ộ

y SE

tỗ t

ợ

d
x + ty x

( x + ty )t=0 = lim
.
t0
dt
t


ổ



E



ởt ổ t t õ

E ợ ộ j SE tỗ t x SE s x, j = 1.


✶✷
❛✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ♥â ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① t↕✐ ♠å✐

E

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

x ∈ SE ✳
❜✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥

✭✶✳✸✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐
❝✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥

E

❞✮ ❈❤✉➞♥ tr➯♥
✈î✐ ♠å✐

E

❣✐î✐ ❤↕♥

x ∈ SE .

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐

tç♥ t↕✐ ✤➲✉ ✈î✐ ♠å✐

y ∈ SE

x ∈ SE ✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✸✮

y ∈ SE .

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ✤➲✉ ♥➳✉ ❣✐î✐ ❤↕♥ ✭✶✳✸✮ tç♥ t↕✐ ✤➲✉

x, y ∈ SE .

❚❛ ❝â ✤à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙② ♠æ t↔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ trì♥ ✈➔ tr➻♥❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ❝õ❛
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✷✾✳

E

✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤è✐ ♥❣➝✉

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✾✷✮

E∗

❝õ❛ ♥â✳

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â✱

t❛ ❝â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉✿
❛✮

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥✳

❜✮

◆➳✉ E ∗ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ t❤➻ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧ç✐ ❝❤➦t✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✵✳ ▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤

❜ð✐

ρE (τ ) = sup{2−1 x + y + x − y

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✸✶✳

x = 1,

▼æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ t➠♥❣ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✷✳

−1:

[0; +∞)

E

y = τ }.

❧➔ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤✱

✭①❡♠ ❬✷❪ tr❛♥❣ ✾✺✮✳

E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ lp ❤♦➦❝ Lp (Ω)✱ t❤➻ t❛

1


(1 + τ p )1/p − 1 < τ p , 1 < p < 2,
p
ρE (τ ) = p − 1
p−1 2


τ 2 + o(τ 2 ) <
τ , p ≥ 2.
2
2

❬✶✷❪ ◆➳✉

❝â

✣à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤♦ t❛ ❜✐➳t ✈➲ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ ✤✉♥ trì♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤

E

✈î✐ ♠æ ✤✉♥ ❧ç✐ ❝õ❛

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✸✳
t❛ ❝â

E∗

✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳

✭①❡♠ ❬✶✶❪ tr❛♥❣ ✼✵✮

❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ✤â








E () : [0, 2]}, > 0
2

E ( ) = sup{ E () : [0, 2]}, > 0
2
E ( ) = sup{

t

ứ ỵ s r

0 (E) =
tr õ

0 (E )
2



0 (E ) =

0 (E)
,
2

0 (E) = sup{ : E () = 0}, 0 (E) = lim 0



ổ

E

E ( )
.


ữủ ồ trỡ

E ( )
= 0.
0

lim

ứ t t õ ỵ ữợ

ỵ

E ởt ổ õ

tr

t õ s


E ổ trỡ t E ổ ỗ



E ổ ỗ t E ổ trỡ

ử
1 < p <

ồ

ổ



rt

ổ



lp

Lp ()

ợ

ổ ỗ trỡ tr




q trỡ

số tỹ

tỗ t số

q > 1

c>0

ổ

E

ữủ ồ

s

E ( ) c q , > 0.

ố



ố

Jp : E 2E



ợ

1


Jp (x) = {x E : x, x = x p , x = x

p1

}.

ữủ

ú ỵ
0 Jp (x)
t

f E



E



sỷ

x = 0

s

E



ố

Jq

f =1

q trỡ

t õ

Jp (x) = t x = 0 t

õ t q ừ ỵ tỗ

x, f = x



ổ

ủ

õ

xE

ợ ồ

x = x

p1

f Jp (x)

pỗ trỡ t ổ ố

ỗ ợ

Jp

r

1/p + 1/q = 1

ởtởt ỡ tr tọ

ố ừ

E

r trữớ ủ

Jp = (Jq )1 tr



ữợ ởt số t t ỡ ừ ố

E ởt ổ Jp ố

tr E ợ 1 < p < õ t õ s


Jp (x) t ỗ ợ ồ x E

Jp (x) t õ tr E

ự

t ý

f, g Jp (x)

õ ợ ồ

t [0, 1]

t õ

x, tf + (1 t)g = t x, f + (1 t) x, g
=t x

p

+ (1 t) x

p

= x p.
ứ t ỗ ừ

.

t õ

tf + (1 t)g t f + (1 t) g = t x
= x
sỷ

x = 0

õ tứ

p1
p1

+ (1 t) x

p1

.

tf + (1 t)g = supxSE | x, tf + (1 t)g |

tf + (1 t)g |

x
, tf + (1 t)g |
x

1
|t x, f + (1 t) x, g |
x
1
=

(t x p + (1 t) x p )
x
=

= x

p1

,

t ủ ợ t ữủ

tf + (1 t)g = x

p1

.


s r





tf + (1 t)g Jp (x)

r t

fn



f

Jp (x)

tr

E

{fn } Jp (x)

tự



ợ ồ

t [0, 1]

õ tr
r



x, fn = x

p

E

t ỗ

t sỷ

{fn } Jp (x)

n

p

fn = x



p1

ợ ồ

n 1

f

x x, f = x
f x

t

fn

f

r

t ữủ

x, f = x p .
ứ tự tr t õ

tọ

f Jp (x)

x, fn = x


Jp (x)

õ

p1



p

õ

.



t õ

f lim inf fn = lim inf x
n

p1

n

= x

p1

,

t ủ ợ t ữủ

f = x
ứ s r

f Jp (x)

p1

.



õ t ữủ ự

E ởt ổ Jp ố
tr E ợ 1 < p < õ t õ

x y, f g 0,
ợ ồ x, y E ồ f Jp (x) g Jp (y)
ự

ứ ừ ố

f Jp (x) g Jp (y)

t

ữủ

x, f = x p , f = x

p1

, y, g = y p , g = y

r

p1

.

ổ t t X {xn } X tọ xn
x t x
lim inf n xn
t t q ừ ỵ tỗ t x X s x = 1 x, x = x
xn x xn , x x, x = x r
x = lim xn , x lim inf x
n

n

xn = lim inf xn .
n


✶✻
❉♦ ✤â

x − y, f − g = x, f − y, f − x, g + y, g
= x

p

− y, f − x, g + y

≥ x

p

− y

f − x

g + y

= x

p

− y

x

p−1

y

= ( x − y )( x

− x

p−1

− y

p

p−1

p−1

p
p

+ y

) ≥ 0.

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✳

❬✶✽❪

❈❤♦ x, y ∈ E ✳ ◆➳✉ E ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q ✲trì♥ ✤➲✉✱

t❤➻ tç♥ t↕✐ ❤➡♥❣ sè Cq > 0 s❛♦ ❝❤♦

x−y

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✷✳✻✳
✶✳✸

q

≤ x

q

− q y, Jq (x) + Cq y q .

▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt

H

❧➔

2✲trì♥

✭✶✳✾✮

✤➲✉ ✈➔ t❛ ❝â

Cq = 2✳

❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥ ✈➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥

✶✳✸✳✶ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥
❈❤♦
❞♦♠f

f : E −→ (−∞, ∞]

× ✐♥t

❞♦♠f

−→ [0, +∞)

❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❧ç✐ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉①✳ ❍➔♠ sè
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

∆f (y, x) = f (y) − f (x) − y − x,
❣å✐ ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣❛♠♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
◆➳✉

E

Jp (x)

Df :

f

f (x) ,

✭①❡♠ ❬✼❪✮✳

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✈➔ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔

✈➔ ❞♦ ✤â ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❇r❡❣♠❛♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐

f (x) =
f

1
x

p

p

✱ t❤➻

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐

1
∆p (x, y) = ( x p − y p ) − y − x, Jp (x)
p
1
1
= x p − y, Jp (x) + y p
q
p
1
= ( x p − y p ) − y, Jp (x) − Jp (y) .
q

f (x) =


✶✼
❉➵ t❤➜② r➡♥❣ ✈î✐ ♠å✐

x, y, z ∈ E ✱

t❛ ❝â

∆p (x, y) = ∆p (x, z) + ∆p (z, y) + z − y, Jp (x) − Jp (z) ,

✭✶✳✶✵✮

∆p (x, y) + ∆p (y, x) = x − y, Jp (x) − Jp (y) .

✭✶✳✶✶✮

❚❤➟t ✈➟②✱ ❜✐➳♥ ✤ê✐ ✈➳ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✵✮✱ t❛ ❝â

∆p (x, z) + ∆p (z, y) + z − y, Jp (x) − Jp (z)
1
= ( x p − z p ) − z − x, Jp (x)
p
1
+ ( z p − y p ) − y − z, Jp (z)
p
+ z − y, Jp (x) − Jp (z)
1
= ( x p − y p ) − y − x, Jp (x)
p
∆p (x, y).
❇✐➳♥ ✤ê✐ ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✶✳✶✶✮✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝

1
∆p (x, y) + ∆p (y, x) = ( x p − y p ) − y − x, Jp (x)
p
1
+ ( y p − x p ) − x − y, Jp (y)
p

= x − y, Jp (x) − Jp (y) .
❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ ♥➳✉

E

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

p✲❧ç✐

✤➲✉✱ t❤➻ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤

❇r❡❣♠❛♥ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉✿

τ x−y
✈î✐ ♠å✐

x, y ∈ E

✈➔

τ >0

p

≤ ∆p (x, y) ≤ x − y, Jp (x) − Jp (y) ,

✭✶✳✶✷✮

❧➔ ♠ët sè ❞÷ì♥❣ ♥➔♦ ✤â✳

✶✳✸✳✷ P❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❇r❡❣♠❛♥
❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝✳
❚❛ ❝â ♠➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕ E ✳ ❑❤✐ ✤â✱ t➟♣ C 0 = x ∈ C : x = inf{ y : y ∈

C} ❧➔ ❣ç♠ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤➛♥ tû✳


✶✽
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

xn → d✱
❝♦♥

✣➦t

n → ∞✳

❦❤✐

{xnk } ⊂ {xn }
x ∈ C✳

s✉② r❛

d = inf{ y : y ∈ C}✳

❑❤✐ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ❞➣②

❚ø t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛

s❛♦ ❝❤♦

x nk

x✳

{xn }

{xn } ⊂ C

s❛♦ ❝❤♦

✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✽✱ tç♥ t↕✐ ❞➣②

❚ø t➼♥❤ ✤â♥❣ ②➳✉ ❝õ❛

C

✭▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✮✱

❉♦ ✤â✱ tø t➼♥❤ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ ❞÷î✐ ②➳✉ ❝õ❛ ❝❤✉➞♥✱ t❛ ❝â

x ≤ lim xn = d.
n→∞

x = d = inf{ y : y ∈ C}

❙✉② r❛

❤❛②

x ∈ C 0✳

❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✳ ●✐↔ sû tç♥ t↕✐
❝❤➦t ❝õ❛

C✱

t❛ ❝â

tx + (1 − t)y < d

✈î✐ ♠å✐

y=x

t ∈ (0, 1)✱

✈➔

y ∈ C 0✳

❚ø t➼♥❤ ❧ç✐

✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈î✐

d = inf{ y : y ∈ C}✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✷✳ ●✐↔ sû C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❇❛♥❛❝❤ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ ♣❤↔♥ ①↕ E ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ x ∈ E tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♣❤➛♥ tû

PC x ∈ C s❛♦ ❝❤♦
x − PC x = inf x − y .
y∈C

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✶ ❝❤♦ t➟♣

x−C

t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚ø ❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳✷✱ ♥➳✉

C

❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t

❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥

E✱

t❤➻ t❛ ❝â →♥❤ ①↕

PC : E −→ C

①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

x − PC x = inf x − y ,
y∈C

✈î✐ ♠å✐

x ∈ E✳

⑩♥❤ ①↕

PC

♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝ tø

✣➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ♠➯tr✐❝

PC

E

❧➯♥

C✳

✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❜ð✐ ♠➺♥❤ ✤➲ ❞÷î✐ ✤➙②✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳✸✳ ❈❤♦ E ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕✱ ❧ç✐ ❝❤➦t ✈➔ trì♥✳

❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣ ✈➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ E ✱ x ∈ E ✈➔ z ∈ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱
❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
❛✮
❜✮

z = PC x❀
y − z, j(x − z) ≤ 0 ✈î✐ ♠å✐ y ∈ C ✳





E

ởt ổ ỗ t trỡ ữỡ tỹ ữ

ỹ tr r


C : E C

ữủ

C (x) := r min p (y, x), x E,
yC

tự

C (x)

C

tr

ỹ t t ừ r



C (x)

t r sỹ tỗ t t ừ
t

p (x, y)

Df (y, x)

ợ ộ

x E

ỗ t tữớ ỷ tử ữợ tr

{Df (y, x) : y C}

ữợ

0

t t ừ ữợ ú tỗ t

tỗ t

{yn } C

C

ồ

n 1

tự tỗ t số





yn k

K

s

Df (yn , x) K

ợ

{ynk } {yn }

s

ứ õ t õ

1
yn
p
õ



s

lim Df (yn , x) = d.

{Df (yn , x)}

t

d = inf yC Df (y, x)

n
r



{yn }

p

p1

x

yn K

1
x
q

p

< .

tỗ t

C (x) C

ứ t ỷ tử ữợ ừ

Df (ã, x)

t õ

d Df (C (x), x) lim inf Df (ynk , x) = lim Df (yn , x) = d.
k

r

Df (C (x), x) = d

s r t t ừ

k

ứ t ỗ t ừ

Df (ã, x)



C (x)

P r ữủ trữ t t ữợ

C :

E C r

z C x, Jp (x) Jp (C x) 0, z C.
ự

sỷ ú õ tứ

Df (z, C (x)) 0

t õ

Df (z, C x) + z C x, Jp (C x) Jp (x) 0
1

( z p C x p ) z C x, Jp (C x)
p


ợ ồ

z C



+ z P iC x, Jp (C x) + z C x, Jp (C x) Jp (x) 0
1
( z
p
1
( z
p

p

C x p ) z, Jp (x) + C x, Jp (x) 0

p

1
x p ) z x, Jp (x) ( C x
p

p

x p ) C x x, Jp (x)

Df (z, x) Df (C x, x).
r

C x

r ừ

ữủ sỷ

C x

Df (C x, x) Df (z, x)
ồ

t (0, 1)

1
( C x
p
1
( C x
p



C

r ừ

ợ ồ

zt = tz + (1 t)C x C

x

z C

ợ ồ



t (0, 1)

C

x



t ỗ

õ

C

õ t õ

z, C x C

Df (C x, x) Df (zt , x)

ợ

tữỡ ữỡ ợ

p

1
x p ) C x x, Jp (x) ( zt
p

p

zt p ) + t z C x, Jp (x) 0

p

x p ) z x, Jp (x)

Df (C x, zt ) + t z C x, Jp (x) Jp (zt ) 0.


Df (C x, zt ) 0

t > 0

t õ

z C x, Jp (x) Jp (zt ) 0.


t 0+

t ữủ

z C x, Jp (x) Jp (C x) 0.
ữủ ự

ú ỵ
ứ trữ ừ r t õ

p (C x, z) p (x, z) p (x, C x), z C.


E

ởt ổ rt

tữỡ ự ợ

f

f (x) =

1
x
2

trũ ợ tr

2



t r