Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

PHẠM THỊ THỦY

ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ
TÌM ƯỚC SỐ VÀ XÁC ĐỊNH TẬP ĐỒNG DƯ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số:
60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. ĐẶNG HUY RUẬN

Hà Nội - Năm 2013


Mục lục
MỞ ĐẦU
1

2

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
6
7
10
11
11
12

2 CÂY SINH ƯỚC
2.1 Cây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Đặc điểm của cây và cây có hướng
2.2 Cây sinh ước . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Thuật toán xây dựng cây sinh ước
2.2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

16
16
16
18
22
22
22
24

.
.
.
.
.
.
.
.

27
27
27
27
28
31
39
49
51

3

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa đồ thị . . . . . . . .
1.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng hình học
1.1.3 Xích, chu trình, đường và vòng
1.1.4 Đồ thị liên thông và chu số . .
1.2 Đồ thị được gán nhãn . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Nguồn . . . . . . . . . . . . . . .

NGUỒN ĐỒNG DƯ
3.1 Nguồn đồng dư . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa nguồn đồng dư
3.1.2 Định nghĩa Euclid . . . . .
3.1.3 Thuật toán xây dựng nguồn
3.2 Nguồn giao . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . .

1

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
đồng dư .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.


MỞ ĐẦU
Toán học rời rạc nghiên cứu các cấu trúc có tính chất rời rạc không liên tục.
Toán rời rạc bao gồm các lĩnh vực như quan hệ, lý thuyết đồ thị, logic toán,
ngôn ngữ hình thức . . . , trong đó lý thuyết đồ thị là một bộ phận trọng tâm với
nhiều khối lượng kiến thức khá lý thú và được nghiên cứu nhiều nhất.
Lý thuyết đồ thị là một chuyên ngành toán học hiện đại đã được ứng dụng
vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau, bởi vì lý thuyết đồ thị là phương
pháp khoa học có tính khái quát cao và có tính ổn định vững chắc vì thế thông
qua đồ thị có thể mã hóa các mối quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu.
Vận dụng lý thuyết đồ thị để mô hình hóa các mối quan hệ trong giảng dạy
sẽ chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù và nâng cao được hiệu quả giảng
dạy thúc đẩy quá trình tự học, tự nghiên cứu của học sinh theo hướng tối ưu
hóa. Đặc biệt việc vận dụng lý thuyết đồ thị trong giảng dạy còn nhằm rèn luyện
năng lực hệ thống hóa kiến thức và năng lực sáng tạo của học sinh.
Từ nhận thức trên, đề tài
"Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư"
không những là nhiệm vụ em phải thực hiện trong kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp,
mà thực sự là đề tài em rất quan tâm và say mê nghiên cứu.
“Ứng dụng đồ thị tìm ước số và tập đồng dư” là đề tài mang tính nghiên cứu
lý thuyết, có tầm quan trọng và ý nghĩa thiết thực cao.
Luận văn bao gồm phần mở đầu và ba chương:
Chương 1. Một số khái niệm cơ bản
Nhằm trình bày những khái niệm cơ bản nhất về đồ thị, là cơ sở tìm hiểu sâu
sắc hơn các vấn đề tiếp theo. Mỗi phần gồm: Định nghĩa, định lý và các tính
chất cơ bản của đồ thị. Ngoài ra, trong chương này còn trình bày một số phương
pháp biểu diễn đồ thị, mỗi phương pháp đều có những ưu và nhược điểm riêng,
vì vậy cần lựa chọn phương pháp, sao cho phù hợp với đặc điểm từng bài toán

và đạt được hiệu quả về thuật toán.
2


MỞ ĐẦU

Chương 2. Cây sinh ước
Cây là một trường hợp riêng của đồ thị, để nghiên cứu hết các tính chất,
khái niệm về cây cần cả một khối lượng kiến thức đồ sộ và đã có những đề tài
nghiên cứu sâu về cây. Trong chương này chỉ đề cập tới những điểm chính nhất,
cơ bản nhất về cây và tập trung khai thác những ứng dụng của nó.
Những ứng dụng của cây thì rất nhiều, trong chương chỉ đề cập tới những
ứng dụng cơ sở nhất, nhưng cũng thiết thực nhất. Đó là ứng dụng của cây để
giải các bài toán tìm ước số.
Chương 3. Nguồn đồng dư
Đây là chương cuối cùng và là chương sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng nhất.
Trong chương này sẽ nhắc lại thuật toán khá gần gũi với cuộc sống. Đó là thuật
toán xây dựng đồ thị xác định tập đồng dư, được gọi tắt là nguồn đồng dư.
Từ cách xây dựng tập đồng dư ta có thể thấy được ứng dụng của nó vào việc
chuyển các bài toán phức tạp trong tính toán về các bài toán giải đơn giản.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013.

3


Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1

Các khái niệm cơ bản

Hai chữ “đồ thị” vẫn thường xuyên xuất hiện trong đời sống toán học và cả
trong đời sống hàng ngày.
Trong các giờ toán, chúng ta từng nói tới đồ thị của các hàm số. Hay trong
các công sở, các nhân viên phải lập các biểu đồ theo dõi lượng tiêu thụ điện. Nói
chung, khái niệm đồ thị là một khái niệm khá quen thuộc với chúng ta nhằm
biểu diễn tương quan qua lại giữa hai hoặc nhiều đối tượng toán học khác nhau.
Ở đây, khái niệm đồ thị vẫn được dùng theo nghĩa đó nhưng nó mang tính
trừu tượng hơn.
1.1.1

Định nghĩa đồ thị

Tập hợp X = ∅ các đối tượng và bộ E các cặp sắp thứ tự và không sắp thứ tự
các phần tử của X được gọi là một đồ thị,đồng thời được ký hiệu bằng G(X, E)
hoặc bằng G = (X, E) hoặc bằng G(X).
Các phần tử của X được gọi là đỉnh. Cặp đỉnh không sắp thứ tự gọi là cạnh,
cặp đỉnh sắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng hay cung.
Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứa
các cung được gọi là đồ thị có hướng. Nếu đồ thị chứa cả cạnh lẫn cung thì nó
được gọi là đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp.
Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh
(hai hoặc nhiều hơn hai cung và hướng). Các cạnh (cung) này được gọi là các
cạnh (cung) bội.

4

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Một cung hay một cạnh có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh. Cung
hay cạnh loại này được gọi là khuyên hay nút.
Cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a thì x, y được gọi là các
đỉnh hay hai đầu của cạnh (cung) a, và a được gọi là cạnh (cung) thuộc đỉnh
x, y .
Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u và đi vào đỉnh v , thì u được gọi là đỉnh đầu,
còn v được gọi là đỉnh cuối của cung b.
Cặp đỉnh x, y được gọi là hai đỉnh kề nhau, nếu x = y và là hai đầu của cùng
một cạnh hay một cung.
Đối với mọi đỉnh x dùng D(x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được nối với
x bằng ít nhất một cạnh; D+ (x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ x có cung
đi tới; D− (x) dùng để chỉ tập đỉnh mà mỗi đỉnh này có cung đi tới x.
Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và có chung
đỉnh (nếu a, b là cung thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hay
đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b).
Ví dụ 1.1.
Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh:
X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 },
Tập cạnh và cung:
E = {(x1 , x2 ) , (x2 , x3 ) , (x4 , x6 ) , (x5 , x6 ) , (x3 , x3 ) , (x1 , x6 ) , (x5 , x5 )}
= { a1 ,
a2 ,
a3 ,
a4 ,
a5 ,
b1 ,
b2 }
Trong đó a1 , a2 , a3 , a4 , a5 - các cạnh, b1 , b2 - các cung, cung b1 có x1 là đỉnh

đầu, x6 là đỉnh cuối.
Đồ thị G(X, E) không có khuyên và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng
không quá một cạnh, được gọi là đồ thị đơn hay đơn đồ thị và thông thường gọi
là đồ thị.
Đồ thị G(X, E) không có khuyên và có ít nhất một cặp đỉnh được nối với
nhau từ hai cạnh trở lên được gọi là đa đồ thị.
Đa đồ thị vô hướng là một bộ G(X, E), trong đó:
(1) X = ∅ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.
(2) E là một họ các cặp không có thứ tự của X gọi là các cạnh.
Đa đồ thị có hướng là một bộ G(X, E), trong đó:
(1) X = ∅ là tập hợp hữu hạn gồm các đỉnh của đồ thị.
(2) E là một họ các cặp có thứ tự của X gọi là các cung.
Một đồ thị hay đa đồ thị có khuyên, thì nó được gọi là đồ thị hay đa đồ thị
có khuyên.
5


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Đồ thị vô hướng (có hướng) G(X, E) được gọi là đồ thị đầy đủ, nếu mỗi cặp
đỉnh được nối với nhau bằng đúng một cạnh (một cung với chiều tùy ý).
Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) được gọi là hữu hạn nếu số đỉnh của nó hữu hạn,
tức tập X có lực lượng hữu hạn.
Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị có hướng hoặc không có hướng.
Số cạnh và cung thuộc đỉnh x được gọi là bậc của đỉnh x và ký hiệu bằng m(x).
Đỉnh có bậc bằng 0 gọi là đỉnh biệt lập.
Đỉnh có bậc bằng 1 gọi là đỉnh treo.
Cạnh (cung) có ít nhất một đầu là đỉnh treo được gọi là cạnh (cung) treo.
1.1.2

Biểu diễn đồ thị bằng hình học

Đồ thị có nhiều cách biểu diễn, nhưng trong phần này chỉ trình bày cách biểu
diễn bằng hình học.
Giả sử có đồ thị G(X, E)
Để có dạng biểu diễn hình học của G ta cần biểu diễn đỉnh và cạnh.
Biểu diễn đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian tương
ứng với các phần tử của tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử này để ghi
trên các điểm tương ứng.
Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh với hai đỉnh đầu là x, y thì nó được biểu diễn bằng
một đoạn thẳng hay một đoạn cong nối giữa hai điểm x, y và không đi qua các
điểm tương ứng trung gian khác.
Biểu diễn cung: Nếu cung có đỉnh đầu là x, đỉnh cuối là y , thì nó được biểu
diễn bằng một đoạn thẳng hoặc một đoạn cong được định hướng đi từ x sang y
và không qua các điểm tương ứng trung gian khác.
Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E). Đôi khi
người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là đồ thị.

6


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.2.
Dạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E) cho trong ví dụ 1.1:

1.1.3

Xích, chu trình, đường và vòng

Đối với đồ thị (đa đồ thị) vô hướng có khái niệm xích (dây chuyền) và chu
trình, còn đối với đồ thị (đa đồ thị) có hướng tồn tại khái niệm đường và vòng.
Tuy vậy, người ta vẫn thường dùng khái niệm đường cho cả đồ thị và đa đồ thị
vô hướng.
1.1.3.1. Xích, chu trình
Giả sử G(X, E) là một đồ thị hay đa đồ thị vô hướng.
Dãy α các đỉnh của G (X, E) :
α = [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xn−1 , xn ]

được gọi là một xích hay một dây chuyền, nếu ∀i (1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh
xi , xi+1 kề nhau (có cạnh nối với nhau).
Các đỉnh x1 , xn được gọi là hai đỉnh đầu của xích α được gọi là độ dài của
xích α, đồng thời được ký hiệu bằng |α|.
Các đỉnh x1 , xn được gọi là hai đỉnh đầu của xích α. Ngoài ra, còn nói rằng
xích α nối giữa các đỉnh x1 và xn . Để chỉ rõ đỉnh đầu và đỉnh cuối ta còn ký
hiệu α bằng α [x1 , xn ].
Một xích với hai đầu trùng nhau, được gọi là một chu trình.
Xích (chu trình) α được gọi là xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay cơ bản) nếu
nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.

7


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.3.
Cho đồ thị:

α1 = x1 x2 x3 x4 x5 x6 là xích đơn và sơ cấp.
α2 = x2 x3 x4 x5 x1 x2 x5 là xích đơn, nhưng không sơ cấp.

α3 = x1 x2 x4 x5 x6 x1 là chu trình đơn và sơ cấp.
α4 = x1 x5 x2 x4 x5 x6 x1 là chu trình đơn, nhưng không là chu trình sơ cấp.

1.1.3.2. Đường, vòng
Giả sử G(X, E) là đồ thị hay đa đồ thị có hướng. Dãy đỉnh β của G(X, E)
β = [x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xm−1 , xm ]

được gọi là một đường hay một đường đi, nếu ∀i (1 ≤ i ≤ m − 1) đỉnh xi là đỉnh
đầu, còn xi+1 là đỉnh cuối cùng một cung nào đó từ xi → xi+1 .
Tổng số vị trí của tất cả các cung xuất hiện trong β được gọi là độ dài của
đường β , đồng thời được ký hiệu bằng |β|.
Đỉnh x1 được gọi là đỉnh đầu, đỉnh xm được gọi là đỉnh cuối của đường β .
Người ta còn nói rằng, đường β xuất phát từ đỉnh x1 và đi tới đỉnh xm . Đường
β còn được ký hiệu bằng β [x1 , xm ].
Một đường có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau được gọi là một vòng.
Đường (vòng) β được gọi là đường (vòng) đơn (sơ cấp hay cơ bản), nếu nó
đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần.

8


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.4.
Cho đồ thị có hướng:

β = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 ] là đường đơn và đường sơ cấp.
β1 = [x2 x3 x4 x5 x7 x6 x2 ] là vòng đơn và vòng sơ cấp.
β2 = [x7 x2 x3 x4 x5 x7 x6 ] là đường đơn, nhưng không là đường sơ cấp.
β3 = [x1 x2 x3 x4 x2 ] không là đường.

β4 = [x1 x7 x2 x5 x7 x2 x4 ] không là đường đơn, nhưng không là vòng sơ cấp.
β5 = [x1 x7 x2 x5 x7 x6 x1 ] là vòng đơn, nhưng không là vòng sơ cấp.

Hai xích (chu trình) được gọi là rời nhau, nếu chúng không có cạnh chung.
Hai đường (vòng) gọi là rời nhau nếu chúng không có cạnh chung.
Để dễ hình dung ta gọi chu trình có độ dài 3, 4, 5, ..., n là chu trình tam
giác, tứ giác, ngũ giác, ..., n giác.
1.1.3.3. Một số tính chất
Định lý 1.1. Trong một đồ thị vô hướng với n (n ≥ 3) đỉnh và các đỉnh đều có
bậc không nhỏ hơn 2 luôn luôn tồn tại chu trình sơ cấp.
Chứng minh.
Vì đồ thị hữu hạn, mà mỗi xích sơ cấp đi qua từng đỉnh không quá một lần,
nên số xích sơ cấp trong đồ thị G(X, E) là một số hữu hạn. Bởi vậy luôn luôn
xác định được xích sơ cấp có độ dài cực đại trong đồ thị G(X, E).
Giả sử α = [x1 , x2 , ..., xk−1 , xk ] là một trong những xích sơ cấp có độ dài cực
đại. Do bậc của mỗi đỉnh thuộc G không nhỏ hơn 2, nên x1 phải kề với một đỉnh
y nào đó khác x2 . Ngược lại, nếu đỉnh y khác với đỉnh xi (3 ≤ i ≤ k) thì xích sơ
cấp
9


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

α = [y, x1 , x2 , ..., xk−1 , xk ]

có độ dài |α | = |α| + 1 > |α|.
Như vậy, đã đi tới mâu thuẫn với tính độ dài cực đại của xích α, nên
y = xi (3 ≤ i ≤ k) và trong đồ thị có chu trình sơ cấp β = [x1 , x2 , ..., xi−1 , xi , x1 ].
Định lý 1.2. Trong một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n ≥ 4) và các đỉnh đều có
bậc không nhỏ hơn 3 luôn luôn tồn tại chu trình sơ cấp có độ dài chẵn.

Chứng minh.
Giả sử α là một trong những xích sơ cấp độ dài cực đại
α = (x1 , x2 , ..., xi−1 , xi , xi+1 , ..., xj−1 , xj , xj+1 , ..., xk−1 , xk )

Vì α có độ dài cực đại, mà bậc x1 không ít hơn 3, nên ngoài x2 thì x1 phải
kề thêm với hai đỉnh khác thuộc α: xi (3 ≤ i ≤ k) , xj (3 ≤ j ≤ k). Khi đó được hai
chu trình sơ cấp:
α1 = (x1 , x2 , ..., xi−1 , xi , x1 )
α2 = (x1 , x2 , ..., xi , xi+1 , ..., xj−1 , xj , x1 )

Nếu một trong hai chu trình α1 , α2 có độ dài chẵn. Khẳng định được chứng
minh.
Ngược lại nếu cả hai chu trình α1 , α2 đều có độ dài lẻ. Khi đó xích
α3 = (x1 , x2 , ..., xi−1 , xi ) có độ dài chẵn và xích α4 = (xi , xi+1 , ..., xj , xj+1 , x1 ) có
độ dài chẵn,nên chu trình (x1 , x2 , ..., xi−1 , xi , xi+1 , ..., xj , xj+1 , x1 ) có độ dài chẵn.
Khẳng định được chứng minh.
1.1.4

Đồ thị liên thông và chu số

1.1.4.1. Đồ thị liên thông
Hai đỉnh x, y được gọi là cặp đỉnh liên thông, nếu hoặc giữa x và y có ít nhất
một xích nối với nhau, hoặc tồn tại ít nhất một đường đi từ x sang y hoặc từ y
sang x.
Đồ thị vô hướng G(X, E) được gọi là đồ thị liên thông, nếu mọi cặp đỉnh của
nó đều liên thông với nhau.
Đồ thị có hướng G(X, U ) được gọi là đồ thị liên thông mạnh, nếu mọi cặp
đỉnh của nó đều liên thông.
Giả sử a là đỉnh bất kì của đồ thị G. Dùng Ca để ký hiệu tập con các đỉnh
của G, gồm đỉnh a và tất cả các đỉnh liên thông với a trong đồ thị G.

Đồ thị con của G có tập đỉnh Ca được gọi là một thành phần liên thông của
đồ thị G.

10


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.4.2. Chu số
Giả sử G(X, U ) là một đa đồ thị vô hướng với n đỉnh, m cạnh, p thành phần
liên thông. Đặt ρ (G) = n − p.
Đại lượng m − ρ (G) = m − n + p được gọi là chu số của đa đồ thị G và được
ký hiệu bằng ν (G).

1.2

Đồ thị được gán nhãn

1.2.1

Định nghĩa

Giả sử có bảng chữ cái Σ = {t1 , t2 , ..., ti , ti+1 , ..., tn }. Đồ thị G mà mỗi cạnh c
của nó được đặt tương ứng với ký hiệu ti ∈ Σ (trên cạnh c ghi ký hiệu ti ) được
gọi là đồ thị gán nhãn. Ký hiệu ti được gọi là nhãn của cạnh c. Đồ thị với nhãn
của tất cả các cạnh đều là số được gọi là đồ thị có trọng số.
Ví dụ 1.5.
S = {a, b, g}

Đồ thị được gán nhãn (trên bảng chữ cái S = {a, b, g}).

11


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.6.

Đồ thị được gán nhãn trên {0, 1, 2, 3, 4}
G1 là đồ thị có trọng số.
1.2.2

Nguồn

1.2.2.1. Định nghĩa nguồn
Nguồn là một đa đồ thị có hướng được gán nhãn, mà trên đó tách ra một
đỉnh được gọi là đỉnh vào (đỉnh vào được đặt trong một ô tròn có mũi tên đi
vào) và một tập con các đỉnh được gọi là các đỉnh ra hay đỉnh kết (mỗi đỉnh kết
được đặt trong một ô chữ nhật).
Ví dụ 1.7.
Cho nguồn I

Nguồn có đỉnh vào là v , các đỉnh ra là đỉnh x5 , x6 .
12


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.2.2.2. Nhãn của đường
Giả sử ∀a, b ∈ I và T là một đường nào đó đi từ đỉnh a đến đỉnh b

và cung cis có nhãn là tis (1 ≤ s ≤ n).
Khi đó dãy ký hiệu ti1 ti2 ...tis ...tin được gọi là nhãn của đường T và ký hiệu là
T¯ = ti1 ti2 ...tis ...tin

Ví dụ 1.8.
T là đường đi từ x2 đến x5 (ở ví dụ 1.7.)

Ta gọi T¯ = t7 t2 t3 - nhãn của T. Ngoài ra còn một đường khác từ x2 đến x5 :

Ta có nhãn của T1 là T1 = t7 t4 .
Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh a và đi đến đỉnh b
trong nguồn I được ký hiệu là NI (a, b) .
Trong ví dụ 1.8. ta có:
NI (x2 , x5 ) = T , T1 = {t7 t2 t3 , t7 t4 }

1.2.2.3. Nhãn của nguồn
Giả sử nguồn G có đỉnh vào là V là tập con các đỉnh ra là F
Tập gồm nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào (V ) và đi tới các
đỉnh kết (F ),
NI (V, a) được gọi là nhãn của nguồn I đồng thời ký hiệu bằng
a∈F

N (I)
NI (V, a).

N (I) =
a∈F

13

Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Ví dụ 1.9.
Hãy lập nguồn sinh tất cả các số tự nhiên N = {0, 1, 2...}, tức lập nguồn I ,
mà nhãn của nó là tập số tự nhiên.
Lời giải.
Để có nguồn I ta cần xác định đỉnh và cung:
1. Đỉnh
Nguồn I gồm 3 đỉnh:

2. Cung
a) Sinh số 0: Để sinh số 0 là số tự nhiên duy nhất bắt đầu và kết thúc bằng
0, nên ta kẻ một cung từ đỉnh v sang s1 với nhãn là 0.
b) Tất cả các số tự nhiên còn lại đều không bắt đầu bằng 0. Bởi vậy, từ đỉnh
v sang đỉnh s2 kẻ 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
c) Mỗi số tự nhiên có thể có độ dài tùy ý và kết thúc bằng một trong các
chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, nên để sinh các đoạn cuối của các số thì tại đỉnh s2
ta vẽ thêm 10 khuyên với các nhãn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Từ đó ta có nguồn sinh
các số tự nhiên như sau:

14


Chương 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Có thể rút gọn thành đồ thị sau:

Trong bài luận văn này xin phép sử dụng dạng rút gọn.

Ví dụ: Muốn sinh số 2013:
- Từ đỉnh vào đi theo cung 2 đến s2
- Tại đỉnh s2 ta lần lượt đi theo khuyên 3 nhãn 0, 1, 3.
- Khi đó đường ta đã đi xuất phát từ đỉnh vào V với nhãn là
2013 và có đỉnh cuối là đỉnh kết (s2 ), nên đường này sinh được số 2013.

15


Chương 2

CÂY SINH ƯỚC
Cây là một khái niệm đặc biệt trong lý thuyết đồ thị được Cayley nghiên cứu
từ rất sớm bởi vì loại đồ thị này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mạng.
Trong toán học nhờ cây có thể thực hiện xác định thứ tự, xác định số cách
sắp xếp, số các số nguyên thỏa mãn những điều kiện nào đó và ước của các số
nguyên dương... Trong luận văn này xin trình bày ứng dụng của cây để xác định
số ước của các số nguyên dương.

2.1
2.1.1

Cây
Định nghĩa

Một đồ thị vô hướng liên thông, không có chu trình và có ít nhất hai đỉnh
được gọi là một cây (Hình 2.1).

16

Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

Đồ thị hữu hạn có hướng G = (X, U ) là cây có hướng gốc x1 ∈ X , nếu nó có
ít nhất hai đỉnh và thỏa mãn ba điều kiện sau:
1) Mỗi đỉnh khác x1 là điểm cuối của một cung duy nhất.
2) Đỉnh x1 không là điểm cuối của bất kỳ một cung nào.
3) Đồ thị G(X, U ) không có vòng (Hình 2.2).

Một đồ thị vô hướng, mà mỗi một thành phần liên thông của nó đều là cây,
được gọi là bụi (Hình 2.3).

Hình 2.3

17


Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

2.1.2

Đặc điểm của cây và cây có hướng

Định lý 2.1. Giả sử H là một đồ thị vô hướng với n đỉnh (n > 1). Để đặc trưng
cho một cây, thì sáu tính chất sau đây tương đương:
(1) H liên thông và không có chu trình;
(2) H không có chu trình và n − 1 cạnh;
(3) H liên thông và có n − 1 cạnh;
(4) H không có chu trình và nếu thêm một cạnh nối giữa hai đỉnh bất kì không
kề nhau, thì đồ thị nhận được H có một chu trình (và chỉ có một mà thôi);

(5) H liên thông và khi bớt một cạnh bất kì thì đồ thị mất tính liên thông;
(6) Mọi cặp đỉnh của H đều được nối với nhau bằng một xích và chỉ một mà
thôi.
Chứng minh.
Định lý được chứng minh theo phương pháp vòng tròn.
Ký hiệu số cạnh của đồ thị H bằng m, số thành phần liên thông bằng p. Khi
đó chu số của đồ thị H (số chu trình của H ) là ν (H) = m − n + p
(1) ⇒ (2) : Theo tính chất (1): p = 1 và chu số ν (H) = m − n + 1 = 0;
Nên m = n − 1, tức đồ thị H có n − 1 cạnh. Ta có tính chất (2).
(2) ⇒ (3) : theo tính chất (2): m = n − 1 và ν (H) = 0, nên ta có:
ν (H) = m − n + p = n − 1 − n + p = 0

Suy ra p = 1, nên đồ thị H liên thông.
Ta có tính chất (3).
(3) ⇒ (4): Theo tính chất (3): Đồ thị H liên thông và có n − 1 cạnh, nên p − 1 và
m = n − 1. Do đó
ν (H) = m − n + p = n − 1 − n + 1 = 0,
Nên đồ thị H không có chu trình. Ngoài ra, nếu thêm vào một cạnh nối giữa hai
đỉnh không kề nhau, thì đồ thị H nhận được sẽ có chu số:
ν (H) = m + 1 − n + 1 = n − 1 + 1 − n + 1 = 1,
Nên đồ thị H có chu trình và chỉ có một mà thôi.
Ta có tính chất (4).
(4) ⇒ (5) : Lấy hai đỉnh bất kỳ x, y của đồ thị H . Theo tính chất (4): Nếu thêm
vào cạnh (x, y), thì đồ thị mới nhận được H có chu trình. Điều này chứng tỏ
cặp đỉnh x, y đã có xích nối với nhau, tức H liên thông.
Giả sử bớt đi một cạnh nào đó, chẳng hạn (u, v) mà đồ thị nhận được vẫn
liên thông. Điều này chứng tỏ trong đồ thị H giữa các đỉnh u, v ngoài cạnh (u, v)
còn có xích nối giữa chúng, tức là H có ít nhất một chu trình đi qua các đỉnh
18

Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

u, v . Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất (4): Đồ thị (H) không có chu trình. Bởi

vậy, nếu bớt đi một cạnh tùy ý thì đồ thị nhận được từ H sẽ không liên thông.
Ta được tính chất (5).
(5) ⇒ (6) : Giả sử trong đồ thị H tồn tại cặp đỉnh nào đó, chẳng hạn x, y được
nối với nhau bằng từ hai xích trở lên. Khi đó, nếu ta bỏ đi một cạnh nào đó
thuộc một trong hai xích này, thì xích còn lại vẫn đảm bảo cho x, y liên thông.
Như vậy, ta đã đi tới mẫu thuẫn với tính chất (5). Do đó, mọi cặp đỉnh của H
đều được nối với nhau bằng một xích và chỉ một mà thôi. T được tính chất (6).
(6) ⇒ (1) : Giả sử H không liên thông. Khi đó có ít nhất một cặp đỉnh không có
xích nối với nhau, nên mâu thuẫn với tính chất (6).
Giả sử H có chu trình. Khi đó có ít nhất một cặp đỉnh nằm trên chu trình
này được nối với nhau bằng ít nhất hai xích. Như vậy ta cũng đi đến mâu thuân
với tính chất (6). Bởi vậy đồ thị H có tính chất (1).
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.2. Một cây có ít nhất hai đỉnh treo.
Chứng minh.
Định lý này có hai cách chứng minh:
Chứng minh thứ nhất
Giả sử cây H có không quá một đỉnh treo. Ta tưởng tượng có một khách bộ
hành đi theo đồ thị H , xuất phát từ đỉnh tùy ý (trong trường hợp không có đỉnh
treo) hay từ đỉnh treo (trong trường hợp đồ thị có một đỉnh treo): Nếu hành
khách tự cấm mình không đi qua cạnh nào hai lần, khi đó không thể gặp đỉnh
nào hai lần (do đồ thị H không có chu trình). Mặt khác, khi tới mỗi đỉnh hành
khách đó luôn luôn có thể đi ra bằng một cạnh mới (vì mỗi đỉnh khác đỉnh đều
xuất phát đều có ít nhất hai cạnh). Như vậy, hành khách sẽ đi mãi không bao
giờ dừng lại. Đó là điều không thể xảy ra vì đồ thị H có hữu hạn đỉnh. Bởi vậy

đồ thị H phải có ít nhất hai đỉnh treo.
Định lý được chứng minh.
Chứng minh thứ hai
Giả sử H = (X, E) là một cây.
Vì H là đồ thị hữu hạn, nên trong H chỉ có một hữu hạn xích. Bởi vậy xác
định được những xích có độ dài cực đại.
Giả sử α = (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk ) là một trong những xích có độ dài cực đại. Vì
H có ít nhất hai đỉnh, nên |α| ≥ 1. Bởi vậy k > 1.

19


Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

Ta sẽ khẳng định rằng x1 và xk là các đỉnh treo, tức mỗi đỉnh này cho có một
cạnh đi ra.
Giả sử ngược lại, x1 không phải là đỉnh treo, nên ngoài x2 nó còn phải nối
với đỉnh xi nào đó, mà xi = x2 . Vì H liên thông, nên x2 và xi có xích nối với
nhau. Khi đó trong cây H có chu trình β = (x1 , x2 , ..., xi−1 , x1 ). Ta đã đi tới mâu
thuẫn với tính chất của cây, nên x1 là đỉnh treo.
Tương tự ta cũng khẳng định được xk là đỉnh treo.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.3. Mọi cây có hướng khi bỏ định hướng các cung đều trở thành cây.
Chứng minh.
Giả sử cây có hướng H = (X, U ) có gốc tại x1 và đồ thị vô hướng G = (X, E)
nhận được từ cây có hướng H sau khi bỏ định hướng các cung.
1) Đồ thị G liên thông
Do điều kiện 1) mỗi đỉnh x = x2 đều có đường từ x1 đi tới. Thật vậy, giả sử
x = x1 và từ x1 không có đường đi tới x.
Nếu x là đỉnh biệt lập, thì nó không thể là đỉnh biệt lập, thì phải có đỉnh y

là điểm xuất phát của một đường đi tới x. Nhưng do từ x1 không có đường đi
tới x, nên y = x1 , mà nó cũng không là đỉnh cuối của bất kỳ cung nào. Như vậy
ta đã đi tới mâu thuẫn với điều kiện 1). Do đó, mọi đỉnh x = x1 từ x1 có đường
đi tới nó, nên trong G mọi đỉnh x đều có xích nối với x1 . Bởi vậy đồ thị G liên
thông.
2) Đồ thị G không có chu trình
Thật vậy, giả sử G có chu trình, thì trong H dãy cung tương ứng với các cạnh
thuộc chu trình này sẽ hoặc lập thành một vòng hoặc có ít nhất hai cung có
chung điểm cuối. Như vậy, ta đi tới mâu thuẫn với điều kiện 1) hoặc điều kiện
3). Nên đồ thị G không có chu trình và liên thông. Do đó G là một cây.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.4. Một cây với n đỉnh có đúng n − 1 cạnh.
Chứng minh.
Chứng minh bằng quy nạp theo số đỉnh n của cây.
1) Cơ sở quy nạp
Với n = 2. Khi đó cây có một cạnh nên khẳng định thỏa mãn.
2) Quy nạp
Giả sử khẳng định đã đúng với n = k , tức một cây gồm n = k + 1 đỉnh.
20


Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

Giả sử H là một cây tùy ý gồm k + 1 đỉnh. Khi đó H có ít nhất hai đỉnh treo.
Giả sử x là một trong những đỉnh treo của H . Ta loại đỉnh x và cạnh thuộc
nó khỏi cây H và được đồ thị H = H − {x}. Khi đó H cũng là đồ thị liên thông.
Giả sử ngược lại: H là đồ thị không liên thông. Khi đó nó phải có ít nhất hai
thành phần liên thông. Giả sử G1 , G2 là hai trong các thành phần liên thông của
H.
Vì đồ thị H liên thông, nên từ đỉnh x phải xuất phát hai xích α1 , α2 : xích α1

nối x với G1 , còn xích α2 nối x với G2 . Như vậy từ x xuất phát ít nhất hai cạnh.
Ta đi tới mâu thuẫn với tính chất đỉnh treo của x, nên đồ thị H liên thông.
Do H không có chu trình, nên đồ thị con của nó là H cũng không có chu trình.
Đồ thị H liên thông và không có chu trình, nên nó là cây.
Cây H chứa k đỉnh, nên có k − 1 cạnh.
Khôi phục lại đỉnh x và cạnh thuộc nó, tức là trở lại cây H với k + 1 đỉnh. Ngoài
k − 1 cạnh thuộc H cũng là các cạnh thuộc H thêm cạnh thuộc đỉnh x, nên cây
H có k cạnh.
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.5. Trong một cây tùy ý, giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn luôn được
nối bằng một xích và chỉ một mà thôi.
Chứng minh.
Giả sử H là cây tùy ý và A, B là hai đỉnh bất kì của cây H .
Vì H là đồ thị liên thông, nên các đỉnh A, B phải có xích nối với nhau.
Mặt khác, do H là cây nên trong H không có chu trình.
Bởi vậy ngoài xích đã nối giữa A, B không còn xích nào khác.
Định lý được chứng minh.

21


Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

2.2
2.2.1

Cây sinh ước
Định nghĩa

Đối với mỗi số nguyên dương m. Một trong những vấn đề đặt ra là cần xác

định các ước số của m. Ta có thể dùng cây sinh ra các ước số trong m. Ta gọi
cây loại này là cây sinh ước (hay cây ước số).
Đối với mỗi số nguyên dương m có n ước số u1 , u2 , ..., ui , ui+1 , ..., un . Ta dùng
U (m) ký hiệu tập ước số của m
U (m) = {u1 , u2 , ..., ui , ui+1 , ..., un }.
2.2.2

Thuật toán xây dựng cây sinh ước

Để xây dựng cây T sinh các ước số của m ta sẽ thực hiện theo ba bước sau:
1) Phân tích m ra dạng thừa số nào đó chẳng hạn
m = m1 × m2 × ... × mi × mi+1 × ... × mn

Sau đó đối với mỗi số mi (1 ≤ i ≤ n) ta xác định tập ước U (mi ) của mi
U (mi ) = {ci1 , ci2 , ..., ciki , ..., cisi }

2) Xác định cây sinh ước
Cây sinh ước được xác định bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số i.
Lấy đỉnh O làm gốc của cây.
a) Cơ sở quy nạp
Xây dựng tầng 1
Với i = 1 tại bước xuất phát ta lấy đỉnh O làm gốc của cây.
Giả sử thừa số m1 có các ước số là c11 , c12 , ..., c1k1 , ..., c1s1 . Khi đó từ gốc O kẻ
s1 cạnh và trên các đỉnh còn lại của các cạnh này ghi một cách tương ứng các
ước số của m1 . Như vậy, tầng 1 sinh tập ước số của m1 là
U (m1 ) = {c11 , c12 , ..., c1k1 , ..., c1s1 }.
Xây dựng tầng 2
Với i = 2.
Giả sử thừa số m2 có các ước số là c21 , c22 , ..., c2k2 , ..., c2s2 . Khi đó từ mỗi đỉnh
c1t (1 ≤ t ≤ s1 ) ta kẻ s2 cạnh và trên đỉnh còn lại của các cạnh này ghi một cách

tương ứng s2 số c21 , c22 , ..., c2k2 , ..., c2s2 . Như vậy, tầng 2 sinh tập ước số của m2 là
U (m1 ) = {c21 , c22 , ..., c2k2 , ..., c2s2 }.
b) Quy nạp
Giả sử thừa số mi có các ước số là ci1 , ci2 , ..., cisi và cây T đã xây dựng được
đến tầng thứ i = l, tức các cạnh mà trên đầu của chúng ghi lần lượt các ước của
22


Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

số ml−1 , còn đầu kia ghi các ước của số ml .
Khi đó tầng thứ i = l + 1 được xây dựng như sau:
Từ mỗi đỉnh clr (1 ≤ r ≤ sl ) kẻ sl+1 cạnh và các đỉnh còn lại của cạnh này ghi
một cách tương ứng sl+1 số cl+1,1 , cl+1,2 , ..., cl+1,sl+1 . Như vậy, tầng thứ i sinh tập
ước số của mi là
U (mi ) = cl+1,1 , cl+1,2 , ..., cl+1,sl+1 .
Quá trình kết thúc sau khi xây dựng xong tầng thứ l. Khi đó ta được cây T
sinh tất cả các ước của m.
3) Xác định tập ước U (m)
Giả sử d là một đường nào đó xuất phát từ gốc O đi đến đỉnh treo Q mà trên
đường này từ đỉnh thứ hai ghi lần lượt dãy ước c1 , c2 , ..., ci , ..., cn . Trong đó ci là
ước của số mi , ci ∈ U (mi ) (1 ≤ i ≤ n). Khi đó
t = c1 × c2 × ... × ci × ... × cn

là một ước của m.
Bởi vậy để tìm tất cả các ước của m ta phải liệt kê toàn bộ các đường xuất
phát từ gốc O và đi tới các đỉnh treo. Sau đó xác định tích của dãy số ghi trên
từng đường ta sẽ được tất cả các ước của m, tức cây sinh được tập U (m).

23

Chương 2. CÂY SINH ƯỚC

2.2.3

Ứng dụng

Bài toán 2.1. Hãy tìm tất cả các ước số của số 210.
Lời giải.
1) Phân tích 210 ra thừa số
210 = 2 × 3 × 5 × 7

Khi đó năm tập ước cần xác định
U (2) = {1, 2}; U (3) = {1, 3} ; U (5) = {1, 5} ; U (7) = {1, 7} và U (210).
2) Xây dựng cây T xác định tập U (210) gồm tất cả các ước số của 210.

24