Biểu diễn glauber đối với biên độ tán xạ của các hạt dirac năng lượng cao trong thế nhẵn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (421.84 KB, 40 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Phan Thị Giang
BIỂU DIỄN GLAUBER ĐỐI VỚI BIÊN ĐỘ
TÁN XẠ CỦA CÁC HẠT DIRAC NĂNG LƯỢNG CAO
TRONG THẾ NHẴN
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN
Hà Nội - 2013
0
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1
CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI
1.1. Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài ............................................................ 5
1.2. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trên thế ngoài .................................... 8
1.3. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ của hạt có spin .................................. 15
CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH
2.1. Phương trình Dirac ........................................................................................ 18
2.2. Thế ngoài tĩnh ................................................................................................. 19
CHƯƠNG 3: TÁN XẠ HẠT DIRAC LÊN THẾ NGOÀI
VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
3.1. Biểu diễn biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm ......................... 21
3.2. Biên độ tán xạ của hạt Dirac ở các trường ngoài khác nhau ..................... 24
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 31
PHỤ LỤC A ........................................................................................................... 34
PHỤ LỤC B ........................................................................................................... 36
1
MỞ ĐẦU
Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được trong cơ học
lượng tử phi tương đối tính trước đây, đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số
liệu thực nghiệm về tán xạ các hạt với năng lượng lớn /9/ . Chính vì vậy, trong vùng
tương đối tính và năng lượng cao việc tổng quát hoá gần đúng eikonal trên cơ sở
một lý thuyết chặt chẽ là một bài toán khá lý thú của lý thuyết trường lượng tử /310/.
Phép gần đúng eikonal thực tế trong lý thuyết trường tương ứng với việc tuyến
tính hoá hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của hạt trao đổi là nhỏ.
Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng
cao và còn được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng /6, 8, 15-18/. Bức tranh vật lý
ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc
lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên hệ tương thích giữa các quá trình trao
đổi lượng tử ảo riêng biệt với nhau. Tại vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ thì
mọi phương pháp được nêu ở trên, đều cho ta biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ (
hay còn gọi là biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ).
Tán xạ thế năng lượng cao đã được nhiều tác giả nghiên cứu trong gần đúng
eikonal, song các nghiên cứu này chủ yếu dành cho các hạt vô hướng với trường
ngoài. Thật lý thú nếu mở rộng phép gần đúng này cho các bài toán tán xạ của các
hạt có spin.
Mục đích của Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu bài toán tán xạ của
hạt Dirac trên thế ngoài.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục và tài liệu dẫn.
Chương 1, Bài toán tán xạ trên thế ngoài. Việc tìm biên độ tán xạ trên thế ngoài
được tiến hành theo hai cách: i/ tìm biểu thức chính xác của hàm sóng sau tán xạ; ii/
tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Trong chương 1 và 2, chúng ta vận dụng cách
tìm thứ nhất, còn chương 3 ta vận dụng cách thứ hai tìm biên độ tán xạ. Trong $ 1.1
của chương 1, dựa vào phương trình Schrodinger tôi giới thiệu vắn tắt cách thu
nhận biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài. Ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ
2
nhỏ ta thu nhận được biểu diễn Glauber (hay người ta còn gọi là biểu diễn eikonal )
cho biên độ tán xạ. Việc tổng quát hóa kết quả này cho hạt cùng với spin tán xạ lên
thế ngoài được trình bầy ở mục $ 1.2. Ở đây chúng tôi đã chỉ ra biểu diễn eikonal
cho biên độ tán xạ chỉ có được khi nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm
khác nhau trùng với tích thông thường của các thế ngoài, nếu giao hoán tử của
chúng ở các thời điểm khác nhau bằng không.
Chương 2, Bài toán tán xạ cho hạt Dirac ở trường ngoài. Cách thu nhận biên
độ tán xạ của hạt trên thế ngoài bằng phương pháp tương tự của chương 1 qua việc
tìm hàm sóng. Xuất phát từ phương trình tương đối tính cho hạt Dirac ở trường
ngoài biên độ tán xạ của hạt nhận được bằng công thức tương tự (1.1.15). Trong
mục $ 2.1 tìm biên độ tán xạ tổng quát cho hạt trên thế ngoài sử dụng phương trình
Dirac cải biến-phương trình Dirac dạng toàn phương, thay cho phương trình Dirac
dạng tuyến tính thông thường. Việc cải biến này cho ta đưa vào phương trình một
tham số mới , song trên mặt khối lượng cả hai loại phương trình Dirac đều cho
cùng một biểu thức của biên độ tán xạ, điều này có nghĩa trên mặt khối lượng biên
độ tán xạ không phụ thuộc vào tham số mới . Ở mục $ 2.2 khi trường ngoài
không phụ thuộc vào thời gian, ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta thu
được biểu diễn eikonal cho hạt Dirac tán xạ trên thế ngoài, ở đây ta bàn luận trong
những trường hợp nào T-tích của các thế ngoài ở các thời điểm khác nhau trùng với
T- tích thông thường của các toán tử thế ngoài .
Chương 3, Bài toán tán xạ và phương pháp tích phân phiếm hàm. Khác với hai
chương 1&2 là xuất phát từ phương trình cho hạt ở trường ngoài, việc tìm biên độ
tán xạ bằng cách tìm hàm sóng sau khi tán xạ, ở đây ta tìm biên độ tán xạ qua việc
tìm hàm Green của hạt ở thế ngoài. Bước đầu chúng ta thu được biểu thức tổng
quát cho hàm Green của hạt ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Bằng việc
tách các cực điểm liên quan đến đường ngoài của hàm Green của hạt ở thế ngoài,
chúng ta tìm được biểu thức giải tích tổng quát cho biên độ tán xạ của hạt lên thế
ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Việc tính các tích phân phiếm hàm ta sử
dụng phép gần đúng eikonal hay phép gần đúng quỹ đạo thẳng. Trong mục $ 3.1 ta
3
giới thiệu cách thu nhận biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân
phiếm hàm. Trong mục $3.2, với các trường ngoài cụ thể khác nhau, ở vùng năng
lượng cao và góc tán xạ nhỏ ta đã thu được biểu diễn tán xạ Glauber của hạt Dirac
trên thế ngoài. Khác với quá trình tán xạ các hạt không có cấu trúc nội tại- không
có spin lên thế ngoài, trong biên độ tán xạ của hạt có spin sẽ xuất thêm số hạng mới
bổ xung trong biên độ tán xạ. Số hạng bổ xung này diễn tả việc quay spin của hạt
trong quá trình tán xạ.
.
4
CHNG 1
BI TON TN X TRấN TH NGOI
Trong chng ny tụi nghiờn cu bi toỏn tỏn x th, vic tỡm biờn tỏn x
qua vic tỡm hm súng sau khi tỏn x da vo phng trỡnh Schrodinger trng
ngoi cho ht khụng cú spin trong mc $ 1.1. Mc $ 1.2 dnh cho vic thit lp biu
thc cho biờn tỏn x ca ht trờn th ngoi. Nu V - l ln ca th ngoi , E nng lng ca ht, -l gúc tỏn x, a chiu di tỏn x; k 2
ỳng eikonal hp l vi iu kin sau
2m
E thỡ phộp gn
2
1
1
V
ka
1 v
V
E
V
E
E
2
c tha
món, v ta thu c biu din eikonal cho biờn tỏn x- hay ngi ta cũn gi l
biu din Glaubert, ngi u tiờn thu c cụng thc ny trong c hc lng t
/22/ . Kt qu thu c trong mc $ 1.2 c tng quỏt húa cho bi toỏn tỏn x ca
ht cú spin mc $1.3. vựng nng lng cao v gúc tỏn x nh, ta thu c biu
din Glauber cho ht cú spin tỏn x trờn trng ngoi, trong iu kin giao hoỏn t
ca cỏc th ti cỏc thi im khỏc nhau thỡ giao hoỏn vi nhau.
Bi toỏn tỏn x trong c hc lng t c nghiờn cu trờn c s ca phng
trỡnh Schrodinger :
r ự r
r
ộ h2 2
ờỳy (r ) = E y (r ) .
ẹ
+
U
(
r
)
ờ 2m
ỳ
ở
ỷ
gii phng trỡnh ny, ta t tõm tỏn x vo gc ta 0, chn hng
ca cỏc dũng ht ti dc theo trc 0z. Ta thy rng xa tõm tỏn x ht ti chuyn
r
ng t do nờn chuyn ng ca nú c mụ t bi súng phng : Ytoi (r ) = e ikz
gn tõm tỏn x ht s b tỏn x. Hm th U(r) mụ t tng tỏc ca ht vi
tõm lc cú th gi thit rng hm ny ch khỏc khụng trong mt min khụng gian
hu hn r < a no ú m ta gi l min tỏc dng lc . Khi ú hm súng b thay i.
5
Sau đó hạt bị tán xạ khi ở khá xa tâm thì lại chuyển động tự do. Chuyển động của
những hạt bị tán xạ phải được mô tả bởi các sóng phân kỳ.
Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn
(r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới và sóng tán xạ :
ikr
tán xa r toi r f ( , )
e
r
(1.1.1)
Biên độ của sóng phân kỳ f ( , ) gọi là biên độ tán xạ.
$ 1.1 Biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài
Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình
Schrodinger:
é h2 2
r ù r
r
êÑ + V (r )úψ(r ) = Eψ(r )
(1.1.2)
ê 2m
ú
ë
û
r
r
2mE
2mV (r )
2
sử dụng các ký hiệu k = 2 và U (r ) =
phương trình (1.1.2) có dạng :
h
h2
2 k 2 (r ) U (r ) (r )
(1.1.3)
Nghiệm của phương trình vi phân (1.1.3) có thể được viết dưới dạng phương trình
tích phân:
(r ) (r ) d 3 r ' G0 (r, r ')U (r ')(r ')
(1.1.4)
trong đó hàm ( r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế thế tự do:
r
éÑ 2 + k 2 ùf (r ) = 0
ú
ëê
û
(1.1.5)
Nghiệm của phương trình (1.1.5) có dạng sóng phẳng hướng theo trục 0z đã chọn :
r
r
f (r ) = e i k .z
(1.1.6)
Hàm Green G0 (r, r ') là nghiệm của phương trình:
2 k 2 G0 (r, r ') (3) (r r ')
1
G0 r , r ' 2 k 2 (r r ')
6
=
is r r /
1
2
3
e
3
k 2 s2 d s
(1.1.7)
Chuyển sang tọa độ cầu s, , : d 3 s = s 2 ds sin θdθdφ
is r r /
2
i s r r / cos
e
s2
3
d
s
ds
d
sin
e
k 2 s2
0 k 2 s 2 0 0
Ta có :
e
is r r / cos
0
is r r / cos
e
sin d /
is r r
1
eis r r / e-is r r /
is r r /
0
is r r /
is r r '
-is r r '
e
2 se
se
2 2 d 3 s 2 2 ds 2 2 ds
k s
i r r ' 0 k s
k s
0
2
=
i r r '
is r r '
se
k 2 s 2 ds
(1.1.8)
Áp dụng lý thuyết thặng dư của hàm phức :
is r r '
se
k 2 s 2 ds
is r r '
se
ik r r '
ds
ie
k 2 s2
(1.1.9)
Thay kết quả (1.1.9) vào (1.1.7) ta thu được biểu thức tường minh của hàm Green:
r r
ik r - r '
r r
1 e
G 0 (r , r ') = r r
4p r - r '
(1.1.10)
Thay (1.1.10) và (1.1.6) vào (1.1.4) ta thu được nghiệm của phương trình (1.1.3):
ur
1
y (r ) = e ikz 4p
r r
ik r - r '
r
r
e
ò d r ' r r U (r ')y (r ') .
r- r'
3
(1.1.11)
Như đã phân tích ở trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận
của hàm sóng. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác
định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy dò (detectors) các hiệu
ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng
r ' r và do đó suy ra gần đúng sau:
7
r ' 2
r.r '
r r' r
O
r
r
(1.1.12)
Từ (1.1.12), chúng ta có thể viết lại biểu thức (1.1.11) dạng:
y r® ¥
r
1
(r ) = e ikz 4p
1
3
òd r 'r e
ik ( r -
r ur
r .r '
)
r
r
r
U (r ')y (r ')
(1.1.13)
suy ra:
r r = e ikz + f ( q, j )
e ikr
r
(1.1.14)
với
f ( q, j ) = -
1
4p
r
r
rr
3
- ikr
d
r
'
e
U
(
r
')
y
(
r
')
ò
r
được hiểu như là biên độ tán xạ của hạt trên thế ngoài U(r), ở đây k k .
r
8
(1.1.15)
$1.2. Biu din eikonal cho biờn tỏn x trờn th ngoi
Trong phn ny, ta s ch ra s hp lý ca cỏc phộp gn ỳng eikonal cho quỏ
trỡnh bao gm cỏc gúc tỏn x nh v xung lng vo ln. Xut phỏt t phng trỡnh
Schrodinger (1.1.3)
2 k 2 (r ) U (r ) (r )
rr
ikr
r
r
Ta t: (r ) = e (r ) v chn k dc theo hng z. Khi ú ta cú:
2 k 2 eikr r U r eikr r
eikr r k 2 eikr r U r eikr r
ikr
ike r eikr r k 2eikr r U r eikr r
2ik r U r r 2 r
2ik U r r 2 r
S dng ký hiu r (b, z) v chn k dc theo hng z suy ra:
(1.2.1)
r ự r
r
ộ ả
ờ2ik - U (b , z )ỳ(b , z ) = - ẹ 2(b , z )
ờở ả z
ỳ
ỷ
(1.2.2)
(1.2.3)
Nghim ca phng trỡnh (1.2.3) cú th vit di dng:
r
r
(b , z ) = (b , z ) -
+Ơ
r r
r
2
2
d
b
'
ũ ũ dz ' Ge (b , z, b ', z ')ẹ (b ', z ')
(1.2.4)
- Ơ
(b, z) tho món phng trỡnh:
2
ik
U
(
b
, z) (b, z) 0 .
z
(1.2.5)
b, z U b, z b, z
z
b, z
1
z
U b, z
2ik
b, z
2ik
r
r
Ly tớch phõn hai v vi iu kin biờn l (b ) = (b , z đ - Ơ ) = 1 ta thu c:
1
z
r
U ( b ,u ) du
r
2 ik ũ
(b , z ) = e - Ơ
9
(1.2.6)
Và hàm Ge (b, z, b ', z ') thoả mãn phương trình:
(2)
2
ik
U
(
b
,
z
)
G
(
b
,
z
,
b
',
z
')
(
b
b ')( z z ').
e
z
z
1
(1.2.7)
r
r r
r r 2ik ò U ( b ,u ) du
1 (2) r r
Þ Ge (b , z , b ', z ') =
δ (b - b ')δ ( z - z ')e z '
2ik
1
- ¥
r
1
z
r
r r 2ik ò U ( b ,u ) du 2ik -ò¥ U ( b ,u ) du
1 (2) r r
=
δ (b - b ')δ ( z - z ')e z '
.e
2ik
=
r
r
r r
1 (2) r r
δ (b - b ')δ ( z - z ')η(b , z )η- 1 (b , z )
2ik
(1.2.8)
Thay (1.2.8) vào (1.2.4) ta thu được
z
2 2 /
1
/ 1
b , z b , z 1
dz
b
, z b '2 b , z
z
2ik
(1.2.9)
Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau:
b , z b , z 1
/
dz
K
b
,
z
',
b,
(b , z ')
z '
z
z'
dz K b , z ', b ,
(
b
,
z
')
dz '' K b , z '' , b , '' (b , z '') ...
z '
z
z
(1.2.10)
/
ở đây biểu thức của K b, z, b , tác động lên một hàm g(z) bất kỳ cho bởi:
z
1 1 2
2
K b , z , b , g ( z )
(b , z ) b 2 g ( z )
z
2ik
z
r
r
r r
r
Thay chuỗi của φ(b , z ) từ (1.2.10) vào hàm y (r ) = e i k .r j (r ) ta được:
10
(1.2.11)
r eikr r
'
z
z ' '
'
'
' z '' ''
'
e b , z 1 dz K b , z (b , z ) dz K b , z (b , z ) dz K b , z (b , z '' ) ...
z
eikr b , z eikr b , z dz ' K b , z ' (b , z ' )
ikr
eikr b , z
z
'
z
dz ' K b , z ' (b , z ' ) dz '' K b , z '' (b , z '' ) ...
Ở trên chúng ta đã thay K b, z, b ,
K ( b, z) cho biểu thức gọn hơn.Thay
z
r
ψ (r ) vừa tìm được vào biểu thức biên độ tán xạ (1.1.15) ta được :
f ,
1
3 ' ik ' r
d
r
e
U r r '
4
1
ikr
3 ' ik ' r
ikr
d
r
e
U
r
e
b
,
z
e
b
,z
4
eikr b , z
z
z
dz K b , z b , z
z'
'
'
'
dz K b , z b , z dz K b , z b , z ...
'
'
'
''
''
''
Cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng:
f ( q, j ) = f ( 0) ( q, j ) + f (1) ( q, j ) + f (2) ( q, j ) + ...
(1.2.12)
ở đây:
f ( 0) ( q, j ) = -
f (1) ( q, j ) = -
1
4p
1
4p
+¥
r uur ur
ur
ur
2
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
)
h
(
b
', z ')
ò ò
(1.2.13)
- ¥
+¥
z'
r uur ur
ur
ur
ur
ur
2
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')
h
(
b
',
z
')
dz
''
K
(
b
',
z
")
j
(
b
', z ")
ò ò
ò
- ¥
- ¥
(1.2.14)
f (2) ( q, j ) = -
1
4p
+¥
ur
ur
r uur ur
2
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')
h
(
b
', z ')
ò ò
- ¥
z"
ur
ur
ur
ur
dz
''
K
(
b
',
z
")
j
(
b
',
z
")
dz
'''
K
(
b
',
z
''')
j
(
b
', z ''')
ò
ò
z'
´
- ¥
- ¥
11
(1.2.15)
Biểu thức mũ của các hàm e có thể được tính như sau với chú ý
ur
k ' = (k sin q cos f , k sin q sin f , k cos q)
r
k = (0, 0, k )
ur
r ' = (b ' cos f ', b ' sin f ', z ')
rr
k .r ' = kz '
r r
k '.r ' = kb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') + kb ' sin( q) sin( f ) sin(f ')kz ' co s( q)
r ur r
i(k - k ').r ' = ikz '- ikb ' sin( q) cos(f ) cos(f ') - ikb ' sin( q) sin(f ) sin(f ') - ikz ' co s( q)
Ta quan tâm tới hàm f (0) (, ) trong khai triển trên.
1
f ( q, f ) = 4p
( 0)
r
ur
r uur ur
i ( k - k ').r '
d
b
'
dz
'
e
U
(
b
',
z
')
h
(
b
', z ')
ò ò
+¥
2
- ¥
z'
1
= 4p
+¥
2
ò d b ' ò dz 'e
ur
1
du .U (b ',u )
r
2ik ò
U (b ', z ')e - ¥
q
- ikb ' sin( q) cos( j - j ')+ ikz ' .2 sin
2
2
- ¥
(1.2.16)
ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ.
Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau:
2
æqö
q
÷
- ikb ' sin( q) cos( j - j ') + ikz '.2 sin
» - ikb ' q cos( j - j ') + ikz '.2 çç ÷
÷
÷
çè2 ø
2
2
Xét ở gần đúng bậc nhất theo ta nhận được biểu thức sau
- ikb ' sin( q) cos( j - j ') + ikz ' .2 sin 2
q
» - ikb ' q cos( j - j ')
2
(1.2.17)
Bây giờ ta viết lại (1.2.16) như sau:
z'
f ( 0) ( q, f ) = -
1
4p
2p
2
ò d b ' ò dj
0
'e - ikb ' q cos( j - j
ur
1
du .U (b ',u )
r
2ik ò
')
- ¥
ò dz '.U (b ', z ')e
+¥
- ¥
12
1
z'
2m
' ' 2ik du 2 V b ' , z'
1
2 '
' ikb cos
' 2m
dz 2 V b , z e
= d b d e
4
0
2
'
2
'
2
'
2
'
2
ikb' cos '
k
d 2 b ' d ' e
.e
2 i
0
ik
2E
z'
' ' 2ik E duV b ' , z'
'
dz V b , z e
' ' 2 E duV b ' , z'
'
dz V b , z e
ikb cos
k ik
d 2b ' d ' e
2 i 2 E
0
'
1 k2
ikb cos
1 k
d 2 b ' d ' e
4 E
0
'
z'
ik
duV b ' ,u
z'
z'
ik
2
'
'
k
2 '
' ikb cos 2 E
d b d e
. e
2 i
0
duV b ' ,u
1
Vậy suy ra :
f ( 0) ( q, f ) =
k
2p i
ur
¥
2p
b ' db ' ò d j '.e - ikb ' q cos( j - j ') éêe i c (b ') - 1ù
ú
0
ë
û
ò
0
(1.2.18)
ở đây
z'
r
r
k
χ (b ') = dzV (b ', z )
ò
2E - ¥
(1.2.19)
Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc j
và hơn nữa ta có thể bỏ j ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không
được viết lại dạng:
f (0) ()
k
b ' db ' J 0 ( kb ' ) ei( b ') 1 .
i 0
(1.2.20)
ở đây chúng ta đã kí hiệu :
J 0 (kb' q) =
1
2p
2p
ò
'
d j e - ikb q cos j
(1.2.21)
0
Và tính chất J0 t J0 t . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, ta đưa
vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng z au và b at , ở đây a
là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng sử
13
dụng V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong
(1.2.20) được viết lại dạng:
ika V ( t )
1
f ( ) a ka tdtJ0 tka e E 1
i 0
(1.2.22)
ở đây:
t
1 1
duV( at, au).
2 V
(1.2.23)
Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau
d scatt ( ) | f ( ) |2 d | f ( ) |2 .2 sin( )d
d scatt ( )
1
1
2 | f ( ) |2 d 2 | f ( ) |2 .2 sin( )d
2
a
a
a
Để tìm tiết diện tán xạ toàn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu
thức (1.2.22) vào ta nhận được:
scatt ( ) 2
2 f ( ). f * ( ).sin( )d
2
a
a
2
ika VE t ika VE t '
2 .a (ka )2
tdt
t
'
dt
'
1 e
1
e
0 0
a2
sin d J 0 tka J 0 t ' ka
0
ika V t ika V t '
2(ka ) 2 tdt t ' dt ' e E 1 e E 1
0
0
sin d J 0 tka J 0 t ' ka
0
Từ đó ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng:
ika V t ika V t '
scatt
2
2 ka tdt t ' dt ' e E 1 e E 1 sin d J0 tka J0 t ' ka .
2
0
0
0
a
Dễ dàng nói rằng, tỷ số
xạ . Như vậy trong giới hạn
(1.2.24)
V
là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán
E
V
<<1 chúng ta có thể viết sin và phạm vi giới
E
hạn góc của tích phân theo từ 0 tới
V
. Đưa vào biến x ka , ta có:
E
ika VE t ika VE t ' ka VE
scatt
2
tdt
t
'
dt
'
1 e
1 xdxJ0 tx J0 t ' x . (1.2.25)
e
0 0
0
a2
14
Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.22) và tiết
diện tán xạ toàn phần (1.2.25). Ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có thoả
mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố thế không quá phức tạp, định
lý quang học có thể viết được dạng:
scatt
4
Im f 0
k
(1.2.26)
Sử dụng phương trình (1.2.22) và (1.2.26) ta có:
scatt
V
8 tdt sin 2 ka t .
2
0
a
E
(1.2.27)
So sánh phương trình (1.2.24) và phương trình (1.2.27) ta kết luận rằng dưới điều
2
V
V
kiện 1 và ka 1 thì giới hạn eikonal không thoả mãn các định lý quang
E
E
học /23/. Nội dung vật lý của định lý quang học là sự bảo toàn xác suất trong cơ học
lượng tử. Chúng ta có thể làm cho các phép xấp xỉ eikonal an toàn hơn từ việc vi
phạm các định lý quang học hay không? Điều đó là có thể. Chúng ta nhận thấy rằng
trong phương trình (1.2.25) nếu chúng ta lấy giới hạn ka
V
và sử dụng tính
E
chất:
0
xdxJ 0 tx J 0 t ' x
t t '
(1.2.28)
t
Khi đó chúng ta có chính xác biểu thức thoả mãn định lý quang học. Như vậy thông
qua biểu thức của biên độ tán xạ trong giới hạn eikonal dẫn tới dưới những điều
2
kiện
V
V
V
1 và ka 1 , chúng ta cũng cần đặt điều kiện bổ sung ka 1 để
E
E
E
cho nó thoả mãn các định lý quang học. Như vậy, phép gần đúng eikonal hợp lệ
dưới những điều kiện:
V
1
E
và
1
1
ka
V
V
E
E
15
2
(1.2.29)
$1.3. Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ của hạt có spin
Tán xạ thế năng lượng cao cho hạt có spin đã được nhiều người nghiên cứu .
Khi nghiên cứu quá trình tán xạ này, thì nảy sinh câu hỏi sau đây: khi hạt có bậc tự
do nội tại (ví dụ spin ) thì liệu biên độ tán xạ có dạng eikonal đơn giản hay không?
Và những điều kiện nào cần thiết đặt ra cần được thỏa mãn để cho biên độ tán xạ
có dạng eikonal?
1
1
H 0 i r E i r Vi j i r | r i (r )
i
(1.3.1)
jin (r ) eikr u j in
i out (r ) e ikr ui out
trong đó H 0 ( p) - Hamiltonian tự do thỏa mãn điều kiện H 0 (k ) E ; Vi j - ma trận từ
N N yếu tố, phụ thuộc vào các đạo hàm, và cũng tác dụng lên hàm sóng (các thế
không định xứ). Lưu ý, phương trình (1.3.1) là trường hợp riêng của phương trình
chuẩn thế . Tương tự với công thức (1.1.15), biên độ tán xạ ở đây được xác định
bằng công thức:
1
1
f k .k
d 3 r i out r Vi j r | r in j r
(1.3.2)
2 i j
i
Để thu nhận biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ, ở đây chúng ta sử dụng phương
pháp của Glauber để cho phương trình Schrodinger. Giả thiết hàm sóng biểu diễn
dưới dạng :
r exp ikr r
(1.3.3)
ta có
1
1
H 0 i r k E i r Vi j i r k | r i (r )
i
Gỉa thiết ở giới hạn xung lượng lớn các điều kiện sau đây được thỏa mãn
1/ i r các hàm nhẵn
i r
r
1
i r ; ka 1
a
16
(1.3.4)
1
1
2/ lim H 0 k r i E . H 0 k r i r
k
i
i k
1
(1.3.5)
1
3/ lim Vi j r k | r j (r ) Vi j k | r j (r ) O
k
i
k
ij
ij
Điều kiện 1/ được thực hiện cho thế nhẵn và tương tự như sự đúng đắn của quang
hình học. Điều kiện 2/ để cho lớp các Hamiltonian tự do đang nghiên cứu suy ra từ
điều kiện 1/ . Biểu thức gần đúng 3/ có thể gọi điều kiện chuẩn định xứ, vì trong đó
ở xung lượng lớn thế năng không định xứ so với thế định xứ bằng các số hạng bậc
O 1/ k . Điều kiện 3/ không được thỏa mãn để cho phương trình chuẩn thế
Kadushevski , trong trường hợp này sẽ phát triển các phương pháp tính toán khác.
Thay các biểu thức gần đúng từ các điều kiện 2/ và 3/ vào công thức (1.3.4) ta
thu được phương trình khi k
v r j r i Vi j k | r i r
(1.3.6)
ij
H 0 k
- tốc độ của hạt cổ điển tự do, hay nếu ta chuyển đến biến số
k
mới r , r r v ( trong đó r vuông góc với mặt phẳng vuông góc với vận
tốc v ), thì
Trong đó v
j r v i Vi j k | r i r
ij
(1.3.7)
Tương tự như lời giải trong lý thuyết trường lượng tử, lời giải phương trình (1.3.7)
có thể viết dưới dạng T tích lũy thừa theo biến số .
i r v T1 exp i d 1V k | r v u j in
ij
ij
(1.3.8)
Trong vùng tiệm cận k với các điều kiện 1/2/3/ thì biên độ (1.3.2) có dạng
iv
2
f k .k
d
r
exp
i
k
k
2
r ui out d exp i k k v i u j in
(1.3.9)
17
(ở đây thay cho biểu thức
V theo (1.3.6)
Cho rằng góc tán xạ nhỏ
bằng )
1
2
, k k v kR có thể bỏ qua , cụ thể
ka
exp i k k v 1 . Khi đó tích phân có thể thực hiện được và biên độ tán xạ có
dạng tiệm cận dưới đây:
f k .k
iv
d 2 r exp i k k
2
r ui out
i r v u j in
lim
(1.3.10)
Biểu thức (1.3.10) sẽ đưa đến biểu diễn eikonal tương tự như việc thu được biểu
diễn eikonal dựa trên phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze và việc tính các bổ
chính eikonal.
Từ biểu thức (1.3.8) dễ dàng thấy rằng dạng eikonal thông thường cho biên độ tán
xạ có thể thu được, khi mà T tích trật tự các toán tử thế ngoài tại các thời điểm khác
trùng với T- tích thông thường của tích các toán tử thế ngoài. Đối với hạt có spin
tán xạ lên thế ngoài thì điều kiện đủ để biên độ tán xạ có dạng eikonal thông thường
nếu giao hoán tử của các thế ngoài dưới đây bằng không:
V r v ,V r v 0
18
(1.3.11)
CHƯƠNG 2
BÀI TOÁN TÁN XẠ VÀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐỐI TÍNH
Bức tranh vật lý tương tác các hạt năng lượng cao đã được mô tả ở chương 1, về
cơ bản cũng đúng cho tán xạ các hạt mà chúng được mô tả bằng các phương trình
tương đối tính. Chính các phương trình tương đối tính cho phép ta mô tả một cách
hoàn chỉnh quá trình tán xạ năng lượng cao cho hạt có spin. Trong chương này
chúng ta tìm biên độ tán xạ qua việc tìm hàm sóng cho hạt Dirac, mà phương trình
tương đối tính của nó là phương trình Dirac cho hạt ở thế ngoài
$ 2.1 Phương trình Dirac
Ta xem xét tán xạ của hạt Dirac trên một thế ngoài B ( x ) tùy ý
i x m B ( x) ( x) 0
(2.1.1)
in ( x) u p exp ipx
Để sử dụng sơ đồ thu nhận biểu diễn eikonal được mô tả ở chương 1, thì biên độ tán
xạ nhờ phương trình Dirac toàn phương ( x) , mà nó liên quan đến phương trình
tuyến tính Dirac bằng hệ thức sau: ( x) i m B ( x) ( x) ( là số tùy ý ) và
thỏa mãn phương trình:
(i x ) 2 m 2 K i x | x ( x ) 0
in ( x) u p exp ipx
(2.1.2)
K p | x pˆ m B ( x) B ( x) pˆ m B ( x)
(2.1.3)
Biên độ tán xạ được biểu diễn qua nghiệm của phương trình (2.1.2)
F p, q
1
d 4 x out q x K i | x p ( x)
2m
(2.1.4)
Trên mặt khối lượng p 2 q 2 m 2 không phụ thuộc vào trùng với biên độ tán xạ
thông thường
F p, q d 4 x out q x B ( x) p ( x)
19
(2.1.5)
Biểu diễn hàm p ( x) trong (2.1.5) qua nghiệm của phương trình (2.1.2) và sử
dụng phương trình out q ( x) qˆ m 0 . Sự lựa chọn trong (2.1.3) là tùy ý,
không phản ánh vào những kết quả vật lý và có thể lựa chọn để thuận tiện.
$ 2.2. Thế ngoài tĩnh
Để đơn giản ta xét các thế năng tĩnh
K p | x K p | r
(2.2.1)
Theo phương trình (2.1.5) khi p biên độ tán xạ góc nhỏ có dạng
F p, q 2 E p Eq f p, q
f p, q i
p
d
m
2
ˆ u ( p)
r exp i p q r u (q ) lim r ps
s
(2.2.2)
ˆ thỏa mãn
Trong đó pˆ là véctơ đơn vị dọc theo xung lượng ; còn hàm r ps
phương trình
s
1
K p | r ;
2ip
p p
(2.2.3)
Lim r u ( p )
s
Khi năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ các trạng thái tự do của các hạt năng lượng
cao có thể mô tả bằng spinor hai thành phần
u ( p)
1 1
1
vout 1, p
vin ; u (q)
2 p
2
(2.2.4)
Sự quay spin của hạt tán xạ được đồng nhất với sự thay đổi độ xoắn . Biểu diễn
nghiệm (2.2.3) dưới dạng T-tích , biên độ có thể biểu diễn dưới dạng
f p, q i
p
d
m
2
r exp i p q r vi out Gij 1 v j in
20
i
1
1
ˆ
Gi j 1, p Ts exp
dsK
p
|
r
ps
2
2 p
p
(2.2.5)
Thế năng tổng quát B ( x ) có thể biểu diễn như tổng của các thế: như thế vô hướng,
thế giả vô hướng, thế vector , thế trục và thế tenxơ. Nghiên cứu dáng điệu năng
lượng cao của biên độ tán xạ để cho từng loại thế ngoài riêng biệt, và ở đây thế
ngoài không phụ thuộc vào năng lượng. Tham số có thể lựa chọn từ lập luận đơn
giản cách tính hệ số trước xung lượng p trong biểu thức K p | r .
lim
p
i
i
K p | r ds B B pˆ ds
p
2
p
pˆ
p
(2.2.6)
,
Cách lựa chọn khác sẽ làm phức tạp các tính toán.
+ Xét trường hợp các thế ngoài là vô hướng và giả vô hướng ( B V , 5V ) . Chúng ta
chọn 1, và 1, cho V và 5V tương ứng và chúng ta thu được: ở vùng tiệm
cận pha tiến tới rezo tương tự như . Điều này có nghĩa tiết diện tán xạ triệt tiêu
cùng với việc tăng năng lượng .
+ Xét trường hợp các thế ngoài là véc tơ và giả véc tơ. Chúng ta chọn cho thế véc tơ
là 1, còn giả véc tơ 1, và tìm được tương ứng :
Gi j i j exp i r
Gi j i j cos r i 3 sin r
pˆ A r
(2.2.7)
pˆ
Rõ ràng biên độ tán xạ có dạng eikonal. Tiết diện tán xạ khi
hằng số và khác không.
21
p thì tiến tới
CHƯƠNG 3
TÁN XẠ HẠT DIRAC LÊN THẾ NGOÀI
VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
Trong chương này chúng ta sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm 1để tìm
biên độ tán xạ của hạt Dirac trên thế ngoài. Đầu tiên ta biểu diễn hàm Green của
hạt trong trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm. Từ hàm Green toàn phần ở
trường ngoài này, ta tách các cực điểm liên quan đến các đường ngoài , ta tìm được
biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm. Để tính các tích phân phiếm hàm ta
sử dụng phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal .
$ 3.1. Biểu diễn biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm
Biên độ tán xạ của hạt Dirac lên thế ngoài tuỳ ý có thể tìm theo công thức /21/
F p, q | B 2 lim
u ( p) p m G p, q | B q m u (q)
2
2
(3.1.1)
p ,q m
trong đó G p, q | B là ảnh Fourrier G x, y | B :
G ( p, q | B) d 4 x.d 4 y.eipx ipy .G ( x, y | B)
Hàm G x, y | B của phương trình Dirac
i x m B ( x) G x, y | B 4 ( x y )
(3.1.2)
Các spinor u ( p) và u ( p) trên mặt khối lượng thoả mãn phương trình Dirac tự do
và điều kiện chuẩn hoá u ( p)u ( p) 2m .
Các tích phân phiếm hàm liên quan đến các lời giải phương trình bậc hai, thì
đối với biểu diễn biên độ dưới dạng tích phân phiếm hàm ta dẫn ra hàm Green toàn
phương
G x, y | B iˆ x m B ( x ) G x, y | B
1
(3.1.3)
Trong vật lý người ta gọi tíchlà tích phân đường hay tích phân theo quỹ đạo, còn trong
toán học người ta gọi là tích phâm phiếm hàm hay là tích phân liên tục.
22
là một số không đổi, mà ta gọi là tham số bình phương
Hàm số G thoả mãn phương trình
i x m B( x) i x m B( x) G ( x, y | B) 4 ( x y )
hay
(i x )2 im x i x B ( x) im x m 2 m B( x)
G ( x, y | B) 4 ( x y )
2
iB ( x) x mB( x) B ( x)
2
(i x )2 m 2 B ( x) (m 1) i x B( x) iB( x) x G ( x, y | B) 4 ( x y )
Vậy:
m2 G x, y | B 4 ( x y ),
i x 2 2b ( ) i x
Với
(3.1.4)
x
x
m(1 ) iˆ B B 2 ,
x
1
b( ) B B .
2
(3.1.5)
Theo định nghĩa thì vế phải của công thức (2.1.3) không phụ thuộc vào tham
số . Thay (3.1.3) vào (3.1.1) ta có công thức tính biên độ tán xạ của hạt Dirac
trong thế hấp dẫn biểu diễn qua hàm Green toàn phương:
F p, q | B 2 lim
u ( p )( pˆ m)
2
2
p ,q m
d xd ye
4
4
ipx iqy
iˆ x m B ( x) G x, y | B (qˆ m)u (q).
(3.1.6)
Phụ lục A ta chứng minh biểu thức
d
4
xd 4 yeipx iqy B ( x)G x, y | B
23
(3.1.7)
không có cực điểm tại điểm p 2 m2 , nếu các thành phần của B ( x) là hàm khả tích,
tức là:
J lim
( p 2 m2 ) d 4 x.d 4 y.eipxiqy .B( x).G ( x, y | B) 0
2
2
p m
Như vậy (3.1.6) trở thành
F p, q | B 2 lim
u ( p)( pˆ m)
2
2
p ,q m
d xd ye
4
4
ipx iqy
iˆ x m G x, y | B (qˆ m)u (q).
F p, q | B 2 lim
u ( p)( pˆ m)G ( p, q | B)(qˆ m)u (q)
2
2
hay
p ,q m
Chú ý điều này biên độ tán xạ có thể dễ dàng biểu diễn dưới dạng
F p, q | B
1
u ( p) 2 lim
( p 2 m 2 ) q 2 m 2 G q, p | B u (q).
p ,q2 m2
2m
(3.1.8)
Như vậy, các biên độ tán xạ (3.1.1) và (3.1.8) thu được sau khi chuyển tới
mặt khối lượng của các hàm Green thông thường và hàm Green toàn phương là
trùng nhau.
Tại đây ta sẽ gặp sự không đơn trị khi các biên độ ở ngoài mặt khối lượng;
cụ thể chỉ một biên độ tán xạ, nói chung có thể tương ứng với nhiều hàm Green
khác nhau.
Do việc định nghĩa hàm G nên biểu thức (3.1.7) không cho đóng góp vào
biên độ tán xạ, và sự phụ thuộc vào và vế phải của công thức (3.1.8) không tồn
tại.
Chúng ta chứng minh sự bằng nhau của các biên độ (3.1.1) và (3.1.8) nhờ lý
thuyết nhiễu loạn ở Phụ lục B. Kết quả ta thu được biên độ tán xạ thế là:
F p, q | B
t
1
u p d 4 xei ( p q ) x 4 T M ( x | 0) d exp i M ( x | ) uq
0
2m
(3.1.9)
trong đó
24
