Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử phonon âm)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.83 MB, 63 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Nguyễn Xuân Hà
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Nguyễn Xuân Hà
ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM LÊN
HIỆU ỨNG RADIO ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ
HÌNH CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN
(CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS.TS Nguyễn
Quang Báu - người đã trực tiếp huớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi trong quá
trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô
giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, phòng Đào tạo sau Đại học,
Truờng Ðại học Khoa học Tự nhiên – Ðại học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời
gian vừa qua, để tôi có thể học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp này một cách
tốt nhất.
Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, góp ý và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn
tốt nghiệp. Luận văn được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài NAFOSTED
(Number 103.01-2015.22)
Hà nội, ngày 25 tháng 11 năm 2015
Học viên
Nguyễn Xuân Hà
MỤC LỤC
MỤC LỤC ....................................................................................................................
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1 - DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU
ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI
THẾ CAO VÔ HẠN KHI KHÔNG KỂ ĐẾN PHONON GIAM CẦM...............4
1.1. Dây lượng tử. ....................................................................................................... 4
1.1.1. Tổng quan về dây lượng tử. ......................................................................4
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao
vô hạn. ................................................................................................................4
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio-điện trong dây lượng tử hình chữ nhật khi
không kể đến phonon giam cầm.................................................................................. 6
CHƢƠNG 2 - HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH
CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON ÂM) KHI CÓ ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM ...........11
2.1. Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn. ..................................................................................... 14
2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần ...................................................................... 29
2.3. Biểu thức giải tích cho trường radio-điện. ........................................................ 41
Chƣơng 3 - TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH
CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl................................................................................... 44
KẾT LUẬN ..............................................................................................................49
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................50
PHỤ LỤC .................................................................................................................53
DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 3.1: Các tham số vật liệu.................................................................................45
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của trường radio-điện vào tần số của sóng điện từ phân
cực phẳng...............................................................................................................46
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của trường radio-điện vào tần số của bức xạ laser.....47
Hình 3.3: Sự phụ thuộc của trường radio-điện vào nhiệt độ..................................48
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong thời gian gần đây, các nhà khoa học đã tìm ra nhiều phương pháp tạo
ra các cấu trúc nano khác nhau, trong đó có bán dẫn thấp chiều . Những cấu trúc
thấp chiều như các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các
dây lượng tử (quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo
nên nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết
tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (metal organic chemical vapor deposition), epitaxy
chùm phân tử (molecular beam epitaxy)… Trong các cấu trúc nano như vậy, chuyển
động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng tọa độ với một vùng
có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie, các tính chất vật lý
của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất vật lý mới khác, gọi là hiệu
ứng kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, khi đó
đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ năng lượng
bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện của hệ
thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra đời
nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.
Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các
cấu trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của
các nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà
khoa học chú ý nhiều đến sự ảnh hưởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu,
hay còn gọi là sự tương tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và
dây lượng tử nói riêng.
Dưới ảnh hưởng của từ trường điện từ mạnh cao tần, cùng sự tương tác của
điện tử và phonon, trong bán dẫn khối cũng như các hệ thấp chiều xuất hiện các
hiệu ứng vật lý thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [1,2,4,6,1015,18]. Theo đó khi chịu tác dụng của trường ngoài,các hiệu ứng động trong các hệ
thấp chiều như: hiệu ứng âm điện từ, sự gia tăng sóng âm, hiệu ứng Hall [3,8,9]...
cho các kết quả mới cả về định tính lẫn định lượng so với bán dẫn khối. Lý thuyết
1
lượng tử về hiệu ứng radio-điện trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu trong
những năm 80 của thế kỷ trước. Hiệu ứng radio-điện trong các hệ bán dẫn thấp
chiều khi chưa kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm đã được nghiên cứu trong
[7,16,19]. Mặc dù vậy, hiệu ứng radio-điện có tính đến ảnh hưởng của phonon giam
cầm mới chỉ được nghiên cứu trong siêu mạng và hố lượng tử [5,17], còn bài toán
nghiên cứu về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong dây
lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử- phonon âm) chưa
được nghiên cứu. Do đó, trong luận văn này tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Ảnh
hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm)”.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Để tìm được lời giải cho bài toán về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên
hiệu ứng radio-điện trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn (trường hợp
tán xạ điện tử-phonon âm), ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau
như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích phân phiến hàm,
phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm của
nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng
bài toán cụ thể.
Trong luận văn của mình, tôi đã sử dụng:
-
Phương pháp phương trình động lượng tử để xây dựng biểu thức giải tích của
trường radio-điện trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn (cơ chế tán xạ
điện tử - phonon âm). Đây là phương pháp được sử dụng nhiều và có những ưu việt
khi nghiên cứu các vật liệu bán dẫn và bán dẫn thấp chiều.
-
Ngoài ra tôi còn sử dụng chương trình Matlab để tính toán số và đồ thị sự phụ
thuộc của trường radio-điện vào tần số của bức xạ laser , tần số của sóng điện từ
phân cực phẳng và nhiệt độ T với dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl.
2
3. Cấu trúc của luận văn.
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận
văn gồm có 3 chương, cụ thể:
Chương 1: Dây lượng tử và và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio điện trong dây
lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi không kể đến phonon giam cầm.
Chương 2: Phương trình động lượng tử và hiệu ứng radio – điện trong dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn khi có ảnh hưởng của phonon giam cầm.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl.
4. Các kết quả thu đƣợc của luận văn.
Các kết quả chính thu được trong luận văn là:
- Thiết lập được phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm trong dây
lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn.
- Xây dựng được biểu thức giải tích của trường điện từ trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn khi có ảnh hưởng của phonon giam cầm (cơ chế tán
xạ điện tử – phonon âm). Từ đó kết luận hiệu ứng radio điện làm cho cường độ
điện trường phụ thuộc phức tạp và phi tuyến vào tần số của sóng điện từ mạnh,
tần số của song điện từ phân cực phẳng và nhiệt độ của hệ.
- Các kết quả lý thuyết đã được tính toán số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc
của trường radio-điện vào các thông số đối với dây lượng tử hình chữ nhật
GaAs/GaAsAl.
Các kết quả thu được trong luận văn là mới và có giá trị khoa học , góp phần
vào phát triển lý thuyết về hiệu ứng radio-điện trong bán dẫn thấp chiều và đóng
góp vào một bài báo: Do Tuan Long, Dinh Thi Dieu Linh, Nguyen Xuan Ha,
Nguyen Quang Bau (2015), "Influence of Quantum size effects on the
Radioelectric field in a Quantum well", VNU Journal of Science, MathematicsPhysics, Vol. 31, pp.54-59 .
3
CHƢƠNG 1 - DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU
ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT KHI
KHÔNG KỂ ĐẾN PHONON GIAM CẦM
1.1. Dây lƣợng tử.
1.1.1. Tổng quan về dây lƣợng tử.
Dây lượng tử (quantum wires) thuộc hệ cấu trúc bán dẫn một chiều(onedimension systems). Trong dây lượng tử, chuyển động của các hạt tải bị giới hạn
theo hai chiều giới hạn của dây và nó chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều còn
lại, phổ năng lượng trở nên gián đoạn và lượng tử theo hai chiều. Dây lượng tử
được chế tạo bằng nhiều phương pháp khác nhau, người ta có thể tạo ra các dây
lượng tử có hình dạng khác nhau như dây hình trụ, dây hình chữ nhật, ... Mỗi dây
lượng tử được đặc trưng bởi một thế giam giữ khác nhau.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật với
thế cao vô hạn.
Phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được nhờ
vào việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều.
2 2
H
V(r) U(r) E
2m *
(1.1)
Trong đó: U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, : Hàm sóng; E:
Năng lượng; 2 : Toán tử laplace; V(r) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích
thước của dây lượng tử hình chữ nhật. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có
kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx , Ly , Lz ; Lz >> Lx , Ly . Ta luôn giả
thiết z là chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều
này), điện tử bị giới hạn trong hai chiều còn lại (x và y trong hệ tọa độ Descarte);
khối lượng hiệu dụng của điện tử là m*.
0 khi 0 x Lx ;0 y Ly
V
khi x 0 x Lx ; y 0 y Ly
Khi đó hàm sóng có thể viết là:
4
(1.2)
n ,l x , y , z
1 ikz 2
l y
n x 2
e
sin
sin
Ly
Lz
Lx
Lx Ly
0
khi
0 x Lx ;0 y Ly
khi
x 0 x Lx ; y 0 y Ly
Và phổ năng lượng của điện tử:
2 p 2 2 2 n2
l2
En,l p
2m* 2m* Lx 2 Ly 2
(1.3)
Trong đó: n,l : là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hóa x và y.
n 0, 1, 2... là các số lượng tử phương vị.
là các số lượng tử xuyên tâm.
l 1, 2,3...
p 0,0, p z là vecto sóng của điện tử.
Lx ; Ly là kích thước của dây theo 2 phương ox, oy.
Thừa số dạng được cho bởi:
R
I n ,l, n ',l ' eiqr n (r) n, (r)rdr
(1.4)
0
Lấy tích phân theo toàn bộ thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trình Umklapp,
trong trường hợp không kể đến giam cầm phonon, chúng ta được:
I n ,l ,n' ,l '
q
32 4 qx Lx nn ' 1 (1) n n ' cos(qx Lx )
2
(qx Lx ) 2 (qx Lx ) (n n ' ) (n n ' )
4
2
2
2
2
4
2
2
2
32 4 q y Lyll ' 1 (1)l l ' cos(q y Ly )
2
(q y Ly ) 4 2 2 (q y Ly ) 2 (l 2 l '2 ) 4 (l 2 l '2 )
2
(1.5)
Khi kể đến phonon giam cầm, ta có:
I nm,l,,kn ',l ' qz (2 )2
16P
m ,k 1
2
m,k
/q
(1.6)
Trong đó: q 2 qz2 (m / L x )2 (k / L y )2
Lx /2
Ly /2
2
2
n x
l x
n ' x
l ' x
m y
k y
Pm,k dx
dy cos(
)cos( )cos(
)cos(
)cos(
)cos(
)
L
Ly
L
L
L
Ly
L
Ly
x Ly /2
x
y
x
x
Lx /2
5
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng radio điện trong dây lƣợng tử hình chữ
nhật khi không kể đến phonon giam cầm
Hiệu ứng radio- điện liên quan đến việc các hạt tải tự do của sóng điện từ
mang theo cả năng lượng và xung lượng lan truyền trong vật liệu. Do đó các
electron được sinh ra với sự chuyển động có định hướng và hướng này xuất hiện
một hiệu điện thế trong điều kiện mạch hở.
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong một trường sóng điện từ phân
cực phẳng:
E (t ) E eit eit ; H (t ) n, E t
cùng một điện trường không đổi E0 và trường bức xạ cao tần F t F0 sin t .
Trong biểu thức trên n là vectơ sóng của photon.
Với là năng lượng trung bình của hạt tải, τ là thời gian hồi phục xung lượng
thì trường sóng điện từ phân cực phẳng và trường sóng điện từ mạnh phải thỏa mãn
điều kiện: ℏω ≪ và Ωτ ≫1.
Nếu không có tác dụng của trường điện từ phân cực phẳng và trường điện từ
mạnh, các hạt tải trong bán dẫn khối chuyển động định hướng theo E0 . Dưới tác
dụng của 2 trường bức xạ có tần số và sẽ làm cho chuyển động định hướng
của hạt tải theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Sự chuyển động bất đẳng hướng này làm
xuất hiện các điện trường E0 x , E0 y , E0 z trong điều kiện mạch hở. Đó chính là hiệu
ứng radio – điện.
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố hạt tải f ( p, t ) trong bán dẫn khối:
f ( p, t )
f ( p, t )
eE 0 eE (t ) H [ p, h(t )],
t
p
M (q) J l2 (a, q)[f ( p q, t) f ( p, t )] ( p q p l )
= 2
q
l
Trong đó :
6
(1.7)
2
eH
H (t ) e.F p
H
; h(t )
;a
;
mc
H
m2 p 2m
(1.8)
Với p : xung lượng chính tắc của hạt
Jl (x) : hàm Bessel của đối số thực
m : Khối lượng hiệu dụng của điện tử
M(q) :được xác định bởi cơ chế tán xạ của hạt tải
Chúng ta chỉ xét sóng laser ở mức xấp xỉ tuyển tính theo cường độ của nó nên ta
chỉ lấy các số hạng với l 0; 1 trong (1) và chỉ tính đến các số hạng tỉ lệ với
a, q trong gần đúng khai triển hàm Besel. Tức là :
2
J 1; J
2
0
2
a, q
2
4
(1.9)
Hàm phân bố hạt tải được tìm dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần đối
xứng và phản đối xứng:
f p (t ) f 0 f1 ( p, t )
(1.10)
f 0 là hàm số phân bố cân bằng của hạt tải xét trong trường hợp khí điện tử
không suy biến thì ta có phân bố Boltzman
p
f 0 f 0 p n0* exp
k B
(1.11)
Phần phản đối xứng :
f
f1 ( p, t ) P X (t ) 0
p
(1.12)
Ta viết dạng khai triển theo thời gian
f1 ( p, t ) f10 ( p) f1 ( p) eit f1* ( p) eit
(1.13)
f
f
(
p
)
PX 0
Với : 1
p
(1.14)
7
f
f10 ( p) P X 0 0
p
(1.15)
Từ (1.9) và (1.10) ta có :
X (t ) X 0 Xeit Xeit
Theo định nghĩa: mật độ dòng bằng tích tenxo độ dẫn và cường độ điện trường:
J i (t ) jk Ek (t )
Ở thời điểm t=0 thì :
*
*
J (t 0) ( R R )d J 1 J 1
(1.16)
0
J 1 ( R( )d
( )
(Q( ) S ( ))d
1 iH ( )
0
0
(1.17)
Trong đó :
( R( )
( )
(Q( ) S ( ))
1 iH ( )
(1.18)
e2 n
Q
E ( F )
m
(1.19)
S en[ij ( F ) Aij ( F )]X j ( F )
X j ( F )
e
( )
E
m [1 iH ( )]
(1.20)
Trong đó :
n: Mật độ hạt tải
ε: Năng lượng hạt tải
εF : Năng lượng Fecmi
τ: Thời gian hồi phục xung lượng
i;j=1,2,3
λij,Aij: Các ma trận phụ thuộc vào từng cơ chế tán xạ.
8
ij
2
( ij ai0 a0j ); Aij
ij
()
3 ()
1
2
e2 F 2
( ) ( F ) ;
m3
F
Suy ra:
e
( ) e2 n
( )
E ( F ) en[ij ( F ) Aij ( F )]
E d
1 i ( ) m
m [1 i ( )]
0
J1
( F )
e2 n ( F )
()
A
1
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
(1.21)
* e2 n ( )
( F )
()
F
J1
A
1
E
m 1 i ( F )
1 i ()
1 i ( F )
(1.22)
Vậy ta được:
*
J (t 0) J 1 J 1
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
( F )
e2 n
A
1
2E
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Mặt khác ta có :
J (t 0) E (t 0)
Suy ra:
() 1 i 2 () ( F )
( F ) 1 i 2 () ( F )
e2 n ( F )
ij ( )
A
1
m 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Lấy trung bình theo thời gian biểu thức mật độ dòng toàn phần:
J tot t J 0 t J (t ) J 0
Xét điều kiện mạch hở:
J tot t 0
9
Ta tìm được biểu thức giải tích của trường radio điện:
E 0 () A ( F ) E0
2
2
2
Ew
[1
i
(
)
(
)]
(
)[1
i
(
)
(
)]
F
F
F
( F )1 2 ()
A
2 2
2 2
1 ( F )
1 ( F )
( F )
Giải phương trình trên bằng phương pháp lặp và gần đúng tuyến tính theo β
[1 i 2 () ( F )]
2 ( F )[1 i 2 () ( F )] Ew
2
E 0 { ( F ) 1 () A ( F ) ()
A
}
1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
( F )
2 () [1 i 2 () ( F )] ( F )[1 i 2 () ( F )]
{1 () A ( F )
A
}Ew
(1.24)
( F ) 1 2 2 ( F )
1 2 2 ( F )
Với:
W
EW
enc
Trong đó:
∝: là hệ số hấp thụ
: chỉ số khúc xạ
W:Năng thông trung bình của sóng điện từ
c:Vận tốc ánh sáng trong chân không
: Vecto sóng của phonon
Để đơn giản ta chọn:
Oz // n; Ox // E; Oy / / H
Khi đó các vecto thành phần của vecto cường độ điện trường không đổi theo
các trục Ox, Oy, Oz được cho bởi :
2 ()[1 2 () ( F )]
( F )[1 2 ( F )]
E0 x Ew
zx
Azx
2 2
1 2 2 ( F )
( F )[1 ( F )]
10
(1.24)
E0 y Ew ()zy ( F ) Azy
(1.25)
E0 z Ew {1 ()zz ( F ) Azz
2 ()[1 2 () ( F )]
(1.26)
2 ( F )[1 2 ( F )]
Axx }
xx
2 2
2 2
( F ) ( F )[1 ( F )]
1 ( F )
1
Như vậy biểu thức (1.24), (1.25) và (1.26) cho thấy cường độ điện trường phụ
thuộc vào các thông số của dây trong bán dẫn khối dưới tác của trường điện từ và
sóng laser.
11
CHƢƠNG 2 - HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH
CHỮ NHẬT VỚI THẾ CAO VÔ HẠN (CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬPHONON ÂM) KHI CÓ ẢNH HƢỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho hàm phân bố điện tử trong dây lƣợng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn:
Hamiltonian của hệ điện tử -phonon giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật
với thế cao vô hạn khi có mặt sóng điện từ có dạng:
H H0 U
H
,
n, , l , p z
,
,
n ,l p p z A(t ) an ,l p an ,l p m,k ,q bm ,k ,q bm ,k ,q
c
m,k ,q
,
,
,
n ,l p z , n1, ,l1, , m , k , q
,
e
(2.1)
,
,
z
I
m,k
,
n, ,l , p z , n1, ,l1,
C
m,k ,q
a
,
,
,
n , ,l , p z q
,
z
a
,
,
,
n1, ,l1, p z
z
b
m,k ,q
m,k , q
b
Trong đó:
,
n, , l , p z
, e
p z A(t ) : là phổ năng lượng của điện tử trong từ trường ngoài;
c
p z : là xung lượng của điện tử theo phương z.
n,l: là số lượng tử của điện tử (gồm số lượng tử theo phương x và phương y);
m,k: chỉ số lượng tử đặc trưng cho sự giam cầm của phonon;
m,k ,q :là tần số của phonon âm;
c:vận tốc ánh sáng
a ,
,
n ,l p z
,
a,
,
n ,l p z
,
,
: toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, , l , p z
12
(2.2)
a
n ,l , p z
a
n ,l
; a ,
,
n ,l , p z
, pz
a
,
n, ,l , p z
; a ,
,
n ,l , p z
; a ,
,
n ,l , p z
,
n ,l ,n, ,l , p z
,
pz , p z
a ; a 0
,
n,l , p z n ',l , p 'z
bm,k ,q , bm,k ,q : toán tử sinh, hủy phonon ở trạng thái m, k , q
b ; b b ; b
m,k ,q m,k ,q ' m,k ,q ' m,k ,q q ,q '
b ; b b ; b 0
m,k ,q m,k ,q ' m,k ,q m,k ,q '
Thừa số dạng cho điện tử trong dây lượng tử (trong trường hợp dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn) trường hợp có phonon giam cầm:
I nm,l,,kn ',l ' qz (2 )2
16P
m ,k 1
2
m,k
/q
(2.3)
Trong đó: q 2 qz2 (m / L x )2 (k / L y )2
Lx /2
Ly /2
2
2
n x
l x
n ' x
l ' x
m y
k y
Pm,k dx
dy
cos(
)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
)
L
Ly
L
L
L
Ly
L
Ly
x Ly /2
x
y
x
x
Lx /2
A(t ) : thế vecto của trường sóng điện từ mạnh F (t ) Fo sin t . A(t ) liên hệ với
cFo
sóng điện từ bởi hệ thức: A(t )
cos( t)
n ',l , , p ' z
: năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô
hạn.
Hệ số tương tác điện tử- phonon âm có dạng:
2
Cqm,k
.q
qz2 (m / L x )2 (k / L y ) 2
2 vs .V 2 vs .V
V: Thể tích chuẩn hóa (thường chọn V= 1)
13
(2.4)
vs : vận tốc sóng âm.
: mật độ tinh thể.
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật với thế cao vô hạn:
Gọi nn,,l
(t ) an,l ,
a
p
p n ,l , p
z
z
z
t
là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong dây lượng tử
i
Hay: i
nn,l ,
t
p
z
t
nn,l ,
t
p
z
t
an,l ,
a , H
pz n,l , pz
t
an,l ,
a , H U
pz n,l , pz 0
t
(2.5)
Ta lần lượt tính các số hạng trong biểu thức (2.5)
Số hạng thứ nhất: sh1
t
' e
an,l , p an,l , p ,
p A t a ' a '
n ',l ' z
z
z
c
'
n ',l ', p z n ',l ', p z
n ',l ', p z
Ta có:
' e
,
an,l ,
a
p
A
t
a
a
' n ',l ' z c n ',l ', p'z n ',l ', p'z
pz n,l ', pz n ',l ',
pz
n ',l ' pz'
n ',l ', p 'z
e
A t an,l , p an,l , p , a ' a '
n ',l ', p z n ',l ', pz
z
z
c
' e
n ',l ' p z A t an,l , p an,l , p a ' a ' a ' a ' an,l ,
a
pz n ,l pz
n
',
l
',
p
n
',
l
',
p
n
',
l
',
p
z
z n ',l ', p
z
z
z
z
c
n ',l ', pz'
' e
n ',l ' pz A t an,l , p a ' n,n' ,l ,l ' ' a ' an,l ,p n,n' ,l ,l ' '
pz , p z
n ',l ', p z
pz , p z
z n ',l ', p
z
z
c
n ',l ', p 'z
' e
n ',l ' pz A t an,l , p a ' a ' an,l ,p n,n ',l ,l ' '
n ',l ', p z
pz , pz
z n ',l ', p
z
z
c
n ',l ', p 'z
14
t
z
n ',l ' p'
n ',l ', p 'z
e
A t an,l , p , a ' n,n' ,l ,l ' '
n ',l ' pz
pz , p z
z
c
0
Vậy: sh1
t
0
(2.6)
Số hạng thứ hai: sh2
,
b
b
an,l ,
a
pz n ,l , p z
m ,k ,q m ,k ,q m ,k ,q
m ,q
t
0
(2.7)
t
Số hạng thứ ba:
sh3 t an,l ,
a , Cqm,k I nm1 ,,lk1 ,n2l2 a ' a ' bm,k ,q bm ,k , q
pz n ,l , pz
n2 , l2 , pz q
n1 ,l1 pz
n1 ,n2 ,l1 ,l2 , pz' m , k , q
b
a , Cqm,k I nm1 ,,lk1 ,n2l2 a n ,l ,
Ta có: an,l ,
a
b
pz n ,l , pz
m ,k ,q
m ,k , q
'
2 2 p 'z q
n
,
l
,
p
1 1 z
' m ,k ,q
n1 , n2 ,l1 ,l2 , p z
C
m ,k m ,k
n1n2l1l2
q
n1 , n2 ,l1 ,l2 , p 'z m ,k ,q
n1 ,l1 ,m,k,q
I
a a , a
b b
a
n,l , pz n,l , pz n2 ,l2 ,
p 'z q
n1 ,l1 , pz'
m ,k ,q m ,k , q
Cqm,k I nm1n2l1l2 an,l ,p a n ,l ,p q bm,k ,q bm ,k , q
z
1 1
z
n2 ,l2 ,m,k ,q
2 2
t
t
Cqm,k I nm,l,,kn ',l ' an,l ,
a p q bm,k ,q bm ,k , q
p n ',l ',
Cqm,k I nm,l,,kn ',l ' a n',l ', p q an,l ,
bm,k ,q bm ,k , q
p
Cqm,k I nm,l,,kn ',l ' an,l ,
a p q bm,k ,q
pz n ',l ',
z
n ',l ', m , k , q
n ',l ', m , k , q
z
z
a n',l ', p q an,l ,
b
p m,k ,q
z
z
t
z
z
t
z
\
z
an,l ,
a p q bm ,k , q
p n ',l ',
a n',l ', p q an,l ,
b
pz m ,k , q
z
t
15
Cqm,k I nm1n,k2l1l2 a n ,l ,p q an,l ,p bm,k ,q bm ,k , q
n ',l ',m,k, q
t
Chuyển n2 n1; l2 l1; n1 n '; l1 l ' ta suy ra:
sh3 t
z
z
t
Cqm,k I nm,l,,kn ',l ' an,l ,pz an ',l ',pzqbm,k ,q
n ',l ', m , k , q
a n',l ', p q an,l ,
b
p m,k ,q
z
z
t
a
n ',l ', p z q
t
z
t
t
*
a n,l , p a n ',l ', p q bm,k ,q
z
*
an,l ,
b
p m ,k , q
z
(2.8)
Thay (2.6), (2.7), (2.8) vào (2.5) ta được:
i
nn,l ,
(t )
p
z
t
Cqm,k I nm,n,k',l ,l ' an,l ,pz an ',l ',pzq bm,k ,q
n ',l ', m , k , q
a n',l ', p q an,l ,
b
p m,k ,q
z
z
n ',l ', m , k , q
t
a
n ', l ', p z q
t
a n,l , p a n ',l ', p q bm,k ,q
z
*
an,l ,
b
p m ,k , q
z
z
t
t
*
*
t F
t
Cqm,k I nm,l ,n ' l ' Fn,l , p ,n ',l ',
pz q , m , k , q
n ',l ', pz q , n ,l , pz , m, k , q
z
Fn*,l , p ,n ',l ', p q ,m,k ,q t Fn ',l ', p q ,n,l , p ,m,k ,q t
z
z
z
z
n ',l ',m,k, q
Cqm,k I nm,l,,kn ',l ' Fn ',l ', p q ,n,l , p ,m,k , q t Fn*,l , p , n ',l ', p q ,m ,k ,q t
z
z
z
z
Fn,l , p ,n ',l ', p q ,m,k ,q t Fn*',l ', p q ,n,l , p ,m,k ,q t
z
z
z
z
Với: Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
1
2 2
2 ,m,k ,q
t
an ,l ,p an ,l , p bm,k ,q
1 1
2 2
1
1 1
1
2 2
2 , m, k , q
t
Phương trình động lượng tử cho Fn ,l ,p ,n ,l ,p
1 1
i
Fn ,l ,p ,n ,l ,p ,m,k ,q t
1 1
1
2 2
t
2
1
(2.10)
t
2
Xây dựng biểu thức tính Fn ,l ,p ,n ,l ,p
2 2
2 , m, k , q
t :
an ,l ,p an2 ,l2 , p2 bm,k ,q , H an1 ,l1 , p1 an2 ,l2 , p z bm,k ,q , H 0 U
11 1
t
Ta lần lượt tính các số hạng của (2.11)
16
(2.9)
t
(2.11)
Số hạng thứ nhất:
e
,
sht1 t an ,l ,p an ,l ,
b
p A t an ,l , p an ,l , p
p m ,k ,q
n ,l z
z
z
c
1 1 1 2 2 2
n ,l , pz
e
a
n,l p z A t an ,l ,p an ,l ,
bm,k ,q , an,l ,
p
p z n ,l , pz
1
1
1
2
2
2
c
n ,l , pz
e
At
z c
n,l p
n ,l , pz
a a b , a a
n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 m,k ,q n,l , p z n,l , p z
t
t
t
e
a a a
a
b
A t an ,l , p an ,l ,
b a an ,l ,
pz
n ,l , p z n ,l , p z n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 m ,k ,q
z
1 1 1
2 2 p2 m ,k ,q n ,l , p z
c
n,l p
n ,l , pz
e
n,l p z c At an1 ,l1 , p1 an,l , pz bm,k ,q n,n2l ,l2 p2 ,pz an,l ,pz an2 ,l2 ,p2 bm,k ,q n,n1l ,l1 p1 ,p z
n ,l , pz
e
e
n2 ,l2 p2 A t n1 ,l1 p1 A t an ,l ,p an ,l ,
b
p m ,k ,q t
c
c
1 1 1 2 2 2
t
2
Bn2,l
pz
2m* 2m*
Ta có : n ,l , p z
Do đó :
2
e
1
e
e
n ,l p2 A t n ,l p1 A t n ,l ,
n ,l p p2 p1 A t
p
c
c
mc
2
1
2 2
2
1 1 1
e
t
n ,l ,
p2 p1 A t Fn ,l ,p ,n ,l ,
p
n1 ,l1 , p1
p ,m ,k ,q
mc
2 2 2
11 1 2 2 2
(2.12)
Số hạng thứ hai:
sh2
t
,
b
b
an ,l ,p an ,l ,
b
m1 ,k1 ,q1 m1 ,k1 ,q1 m1 ,k1 ,q1
1 1 1
2 2 p2 m , k , q
m , q1
m1 ,k1 ,q1
m1 ,k1 ,q1 n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2
a
a
t
b , b b F t (2.13)
m ,k ,q n1 ,l1 , p1 ,n2 ,l2 , p2 ,m ,k ,q
m,k ,q m1 ,k1 ,q1 m1 ,k1 ,q1
t
17
t
Số hạng thứ ba
sh3 t an ,l ,p an ,l ,
b , Cqm1 ,k1 I nm31l3,nk4l4 a n ,l , p q a n ,l ,
bm ,k ,q bm ,k , q
p
1 1 1
2 2 p2 m , k , q
1
1 1 1
1 1
1
4 4 z
3 3 z
n3 ,l3 ,n4 ,l4 , p z m1 ,k1 ,q1
n3 ,l3 ,n4 ,l4 , p z m1 ,k1 , q1
t
Cqm1 ,k1 I nm31n,4k1 an ,l ,p an ,l ,
b , a
a
b b
1
1 1 1 2 2 p2 m,k ,q n4 ,l4 , p z q n3 ,l3 ,p m1 ,k1 ,q1 m1 ,k1 , q1
t
Xét:
a a b , a a b b
n1 ,l1 , p1 n2 ,l2 , p2 m,k ,q n4 ,l4 , pz q n3 ,l3 pz m1 ,k1 ,q1 m1 ,k1 , q1
a
an ,l ,p n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
n ,l
1 1
1
2
4 4 pz q
z
a n ,l , p q a n ,l
an ,l p an ,l
p
4 4
3 3
z
1 1 1
z
2 p2
2
b
b
b
an ,l ,
a n ,l
b
p
m ,k ,q
m ,k , q
p m ,k ,q
m1 ,k1 ,q1
2 2
2
3 3
z
1
1
1
1
1
1
bm ,k , q bm,k ,q
1
1
1
an ,l p an ,l
b bm ,k ,q bm ,k , q n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
p m ,k ,q
1 1 1
3 3
z
a n ,l , p q an ,l
4 4
2 2
z
1
b
p2
m1 ,k ,q1
1
1
1
1
1
2
z
bm ,k , q bm,k ,q n2 ,l2 ,n4 ,l4 p
1
1
1
2 , p z q
an ,l ,p a n ,l
b bm ,k ,q bm ,k , q n2 ,l2 ,n4 ,l4
p , p q
p m,k ,q
1 1
1
a n ,l
4 4 pz q
3 3
an ,l
2 2
z
Khi đó: sht3 t
b
p2
1
m1 ,k1 ,q1
1
1
n1 ,n4 ,l1 ,l4 ,m1 ,k1 ,q1
1
1
2
z
1
1
1
b
b
Cqm1 ,k1 I nm21l2,kn13l3 an ,l p a n ,l
b
m ,k ,q
m ,k , q
p q m ,k ,q
1
1 1 1
Cqm1 ,k1 I nm21l2,kn14l4 a n ,l
1
1
bm ,k , q bm ,k ,q n1 ,l1 ,n3 ,l3 p ,q
n2 ,l2 ,n3 ,l3m1 ,k1 ,q1
1
4 4 pz q
an ,l
2 2
p2
3 3
2
b
m1 , k1 , q1
1
1
1
bm ,k , q bm,k ,q
1
1
1
1
1
1
t
(2.14)
t
Thay (2.12), (2.13), (2.14) vào (2.1) ta được:
Fn ,l p ,n ,l p ,m,k ,q t
1 1 1
2 2
t
2
i
e
n ,l ,p n ,l ,p p2 p1 A t m,k ,q Fn ,l p ,n ,l p ,m,k ,q t
2 2 2
1 1 1
mc
111 22 2
18
i
b
b
Cm1 ,k1 I nm21l2,kn13l3 an ,l p a n ,l
b
m1 ,k1 ,q1
m1 ,k1 , q1
q1
p
q m ,k ,q
1 1 1
3
3
2
n2 ,n3 ,l2 ,l3 ,m1 ,k1 ,q1
t
i
Cm1 ,k1 I nm1l11,nk41l4 a n ,l , p q an ,l ,
bm ,k ,q bm ,k , q bm,k ,q
q1
2 2 p2
1 1 1
1 1
1
4
4
z
n1 ,n4 ,l1 ,l4 ,m1 ,k1 ,q1
(2.15)
t
Để giải (2.15), trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất:
Fn0,l , p ,n ,l p
1 1 1 2 2 2 m,k, q
t
t
i
e
n ,l ,
p2 p1 A t m,k ,q Fn0,l ,p ,n ,l p ,m,k ,q t (2.16)
p
n
,
l
,
p
1 1 1
2 2 2
mc
11 1 22 2
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln F 0
n1 , l1 , p1 , n2 , l2 p 2 ,m,k, q
t t 0 ,
ta dễ dàng tính
được nghiệm của phương trình thuần nhất (2.16) trên có dạng:
Fn0,l , p ,n ,l
1 1 1 2 2 p2 , m , k , q
t
i
t exp n ,l p n ,l , p
2 2 2
1 1
1
e
p p1 A t m,k ,q dt1 (2.17)
2
mc
Khi đó, nghiệm của phương trình (2.15) có dạng:
Fn ,l ,p ,n ,l
1 1
2 2
1
p 2 ,m ,k ,q
t M t Fn0,l ,p ,n ,l p ,m,k ,q t
1 1
1
2 2
(2.18)
2
Suy ra:
i
Fn ,l ,p ,n ,l p ,m,k ,q t
1 1
1
2 2
2
t
Fn ,l ,p ,n ,l p ,m,k ,q t
M t 0
i
Fn ,l , p ,n ,l p ,m,k ,q t i 1 1 1 2 2 2
M t (2.19)
1 1 1 2 2 2
t
t
0
Thay (2.17), (2.18) và (2.19) vào (2.15), rồi đồng nhất các hệ số ta được kết
quả sau:
i t
M (t ) i
e
exp n ,l
p2 p1 A t m,k ,q dt1
p
n
,
l
p
2 2 2
1 1 1
t
mc
Cqm11 ,k1 I nm21l2,kn13l3 an1 ,l1 p1 an3 ,l3p2q bm,k ,q bm1 ,k1 ,q1 bm1 ,k1 ,q1
n2 ,l2 ,n3 ,l3 ,m1 ,k1 ,q1
Cm1 ,k1 I nm1l11,nk41l4 a n ,l
q
n1 ,l1 ,n4 ,l4 ,m1 ,k1 ,q1
1
4 4 pz q
an ,l
2
2 p2
Suy ra:
19
b
m1 , k1 , q1
t
bm ,k , q bm,k ,q
1 1
1
t
