Day them toan 8

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Chuyªn ®Ò II
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó. Chẳng
hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =



=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ thể
của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương

trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
1
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )

a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42
⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +

( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =

(t/mãn)
-Xét
x 7
≥
:
2
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1

+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a
⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0

b a
⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1
⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+

-Nếu a + 1 = 0
a 1
⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
3
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =

+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   


hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y
≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3

u v
u
u v
8
8
8


=
+ =
=



  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =

 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e) f ) x 3 5

x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
4
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x

ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1

+ = +
=
+ +
=

+
+ = +
+ +
3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =



+ = = + + =



+ = + + =
+ =
+ =






+ + =

4.Cho h phng trỡnh
( )
m 1 x y 3
mx y m
+ =

+ =

a) Gii h vi m = -
2
b) Tỡm m h cú nghim duy nht sao cho x + y dng.

Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn
xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và
x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ
thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2

) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho
trớc và a

0
b. Tính chất
5
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

=

+
' . ' 1d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A
là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b
và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0

, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax

2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối
xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
6
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y

= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của
hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d

1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
7
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1
2
y = x

cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip
im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x

2
.
Bi 8:
8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x=
(d
2
): 4x + 5y 11 = 0
a) Tỡm a bit (P), (d
1
), (d
2
) ng quy.
b) V (P), (d

1
), (d
2
) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c.
c) Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d
2
).
d) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d
1
).
Bi 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x=
v ng thng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng 2.
b) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im
c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng.
8
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
d) Tỡm m sao cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x
1
x
2
tha món:
2 2
1 2
1 1 1
2x x

+ =
Bi 11: Cho hm s: y = ax
2
cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).
Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai
PHN II. KIN THC CN NM VNG
1. Cụng thc nghim:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú = b
2
- 4ac
+Nu < 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a

b
2
+
; x
2
=
a
b
2

2. Cụng thc nghim thu gn:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú

=b
2
- ac ( b =2b

)
+Nu

< 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu

= 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=

a
b

+Nu

> 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. H thc Vi-ột
a) nh lớ Vi-ột:
Nu x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thỡ : S = x

1
+x
2
=
a
b

; P = x
1
.x
2
=
a
c
b) ng dng:
+H qu 1:
Nu phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú: a+b+c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim: x
1
=
1; x
2
=
a
c
+H qu 2:
9
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Nếu phương trình ax

2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
-1; x
2
=
a
c
−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S

x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
– 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu
PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. TOÁN TRẮC NGHIỆM
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx
2
+nx+p = 0 (m ≠ 0) có ∆ = .....
Nếu ∆ ..... thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= .....
Nếu ∆ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=..... ; x
2
= .....

b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆
’
= .....(với q = 2q
’
)
Nếu ∆
’
..... thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
..... thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
= .....
Nếu ∆
’
..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=..... ; x
2
= .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2

là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
b
−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=

a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
1; x
2
=
a
c
10

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
E. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1

= -1; x
2
=
a
c
−
F. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
=
-1; x
2
=
a
c
−
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P
= 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- P x+S

= 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2

=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= -1;
x
2
=
a
c
−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b
−
và tích hai nghiệm là

a
c
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a
≠
0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:
∆
≥ 0)
II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình x

2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=
−−−
=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
11
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0

Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=
−=
⇒



−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.

50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2- 3 )x
2
+ 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
∆ = (2
3
)
2

- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16; ∆ = 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=
−
+−
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b
’
= 3 ; c = – 2 – 3 )

∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4; ∆ = 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−

−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2

– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2 3 x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0
6. 3 x
2
– (1- 3 )x – 1 = 0
7.(2+ 3 )x
2
- 2 3 x – 2 + 3 = 0
12
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0

Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx

x
x
c) 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+ 2 )(x

- 2 )(x + 3) = 0
⇔ x = - 2 ; x = 2 ; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =

2
; x = - 3
b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x
1
= -1(không thoả mãn
ĐK) ; x
2
= 8 (thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x

4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
13

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x
1
=
5
13
−
; x
2

=
5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1

= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =
3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3

2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51
−−
; x
2
=
2
51
+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4

– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=
+
−
+
x
x
x
x

7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−






+
x
x

x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2

+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
−

; x
1
.x
2
=
5
−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1

2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1

2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
14
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +=+

* Bi tng t:
Cho phng trỡnh x
2
+ 2x - 3 = 0 cú 2 nghim l x
1
v x
2
.
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1

3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1

44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOI TON RẩN K NNG SUY LUN
(Phng trỡnh bc hai cha tham s)
Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0
4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0
8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x
1
+ x
2
=

a
b

; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giỏo viờn cn cho hc sinh t suy lun tỡm ra iu kin tng quỏt, giỳp hc sinh ch ng
khi gii loi toỏn ny
Bi 2: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x
2
- 2x+k = 0 ( tham s k)
Gii


= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nu

< 0 1- k < 0 k > 1 phng trỡnh vụ nghim
Nu

= 0 1- k = 0 k = 1 phng trỡnh cú nghim kộp x
1
= x

2
=1
Nu

> 0 1- k > 0 k < 1 phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x
1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1
Kt lun:
15