Lý thuyết về hiệu ứng âm điện từ trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN NGỌC DUNG

LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN - TỪ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH
CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Ngọc Dung

LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN - TỪ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - Năm 2014

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới
GS.TS. Nguyễn Quang Báu, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành luận văn này.
Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng
dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu
làm luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý
lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô
đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu
sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 5 – 2014
Học viên: Nguyễn Ngọc Dung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN- TỪ TRONG HỐ
LƯỢNG TỬ ................................................................................................................3
1.1 Dây lượng tử. ........................................................................................................3
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử .....................................................................................3
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô
hạn. ..............................................................................................................................3

1.2 Tính toán trường âm- điện- từ trong hố lượng tử ..................................................4
CHƯƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN - TỪ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN. .................15
2.1 Lý thuyết hiệu ứng âm điện từ ...........................................................................15
2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với hố thế hình chữ
nhật cao vô hạn ..........................................................................................................17
2.3 Tính toán trường âm - điện- từ trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao
vô hạn. ……………………………………………………...……………..……….23
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
DÂY LƯỢNG TỬ GaAs .........................................................................................32
3.1 Sự phụ thuộc của trường âm - điện - từ vào nhiệt độ..........................................32
3.2 Sự phụ thuộc của trường âm – điện từ vào từ trường .........................................33
Thảo luận kết quả ......................................................................................................34
KẾT LUẬN ...............................................................................................................35
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................36
PHỤ LỤC ..................................................................................................................39
.......................................................................................................................................


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào
từ trường ngoài trong trường hợp từ trường yếu, nhiệt độ cao,
Hình 2.1: Hiệu ứng âm- điện- từ trong khối bán dẫn

Trang 14
Trang 15

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của trường âm - điện – từ vào nhiệt độ
trong dây lượng tử

Trang 32

Hình 3.2. Đồ thị sự phụ thuộc của trường âm - điện- từ vào từ trường
trong dây lượng tử.

Trang 33


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong hai thập niên vừa qua, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm
được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể
[1-6] sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều [7-25]. Những cấu trúc thấp
chiều như các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây
lượng tử (quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên
nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi
kim loại hóa hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc
nano như vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng
tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie,
các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất mới khác,
gọi là hiệu ứng kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu
lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện
của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra
đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.
Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu
trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các
nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà khoa
học chú ý nhiều đến sự ảnh hưởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu, hay còn
gọi là sự tương tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và dây lượng tử

nói riêng.
Các công trình nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng âm-điên-từ trong bán dẫn khối,
bán dẫn mẫu Kane, bán dẫn lưỡng cực, siêu mạng và trong hố lượng tử đã được nghiên
cứu [7,21]. Tuy nhiên, hiệu ứng âm-điện-từ trong dây lượng tử vẫn chưa được nghiên
cứu lý thuyết. Trong khoá luận này sẽ trình bày nghiên cứu tính toán trường âm-điệntừ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn bằng phương pháp phương
trình động tử.

1


2. Phương pháp nghiên cứu.
Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý
thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích
phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu
nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh
giá tùy vào từng bài toán cụ thể. Để tính toán hiệu ứng âm- điện-từ trong dây lượng tử
từ góc độ lượng tử ta sử dụng phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp được
sử dụng nhiều trong nghiên cứu bán dẫn khối, trong siêu mạng, trong bán dẫn thấp
chiều rất có hiệu quả
3. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được chia
làm 3 chương:
Chương 1: Dây lượng tử và hiệu ứng âm - điện- từ trong hố lượng tử.
Chương 2: Biểu thức giải tích của trường âm – điện - từ trong dây lượng tử hình
chữ nhật với hố thế cao vô hạn.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho trường âm- điện- từ trong
dây lượng tử GaAs
Các kết quả chính của khóa luận được chứa đựng trong chương 2 và chương 3.
Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của trường âm - điện - từ trong dây lượng tử
hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng được thực hiện và cho thấy

sự phụ thuộc của trường âm - điện - từ vào nhiệt độ T của hệ và từ trường H. Kết quả
thu được là mới, có những điểm khác biệt so với trường hợp trường âm – điện- từ trong
hố lượng tử.

2


CHƯƠNG 1. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN- TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
1.1 Dây lượng tử.
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử.
Dây lượng tử ( quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển
động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều ( kích thước cỡ 100 nm ), chỉ có một chiều
được chuyển động tự do ( trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn);
vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã
chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được
chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD.
Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường,
bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế
cao vô hạn.
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề
cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng
điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình
Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều
2


H   
2  V(r)  U(r)    E

 2m *


(1.1)

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam giữ
điện tử do sự giảm kích thước. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước
ba trục được giả thiết lần lượt là a, b, L; L >> a, b. Ta luôn giả thiết z là chiều không bị
lượng tử hóa ( điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ
trong hai chiều còn lại( x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện
tử là m*.
0 khi 0  x  a;0  y  b
V 
 khi x  0  x  a; y  0  y  b

3

(1.2)


Khi đó hàm sóng có thể viết là:

 n,N x, y , z 

 1 ikz 2
 n x  2
 N y 
sin 
sin 
 e



 L
a
 a  b
 b 
0


khi
0  x  a;0  y  b
khi x  0  x  a; y  0  y  b;

(1.3)

Và phổ năng lượng của điện tử:
En,N

k 2  2 2  n2 N 2 
k 

 

2m* 2m*  a2 b2 

 

2

(1.4)

Trong đó n, N là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y; k= (0,0,kz)
là véc tơ sóng của điện tử.
1.2 Tính toán trường âm-điện- từ trong hố lượng tử [7,21]
Hamilton của hệ điện tử- phonon âm trong hố lượng tử trong biểu diễn lượng
tử hóa thứ cấp như sau

H  H 0  H e ph

(1.5)

trong đó H0 là năng lượng của các điện tử và phonon không tương tác

H0 



N

( p )aN , p aN , p ,

N , p

Và H e ph là Hamiltonian tương tác điện tử dòng phonon

He ph 



N , N ' , p ,q

CqU N , N ' (q)aN , p q aN ', p cq exp  iqt 

với

q3 1/2
Cq  ic (
) ;
20S
2
l

 l  (1  cs2 / cl2 )1/2 ;

1   l2  l
1   t2 
  q
 (  2)

2

t
2 t 
l


 t  (1  cs2 / ct2 )1/2 ,

4

,


2
1  px2 p y  2

 N ( p )    N     ( ) ,
2  2m 2 m 


1/2

 N,p



 2 
z  z0

N (
) exp(ipx x) exp(ip y y),

 Lx Ly 
a
H



2
2 1/2

ở đây   (c   ) , c ,  lần lượt là tần số cyclotron và tần số đặc trưng cho hố

thế, N = 0, 1, 2…, U N , N '  q  là yếu tố ma trận của toán tử U  exp iqy  l z  .
U N , N '  q    N* , pU N ' , p dV =




aH2 l2 
  p'y , py  q px' , px exp   z0l  m  


4


2


aH2 l  

z  z0 
 
m 
m 
2
m



exp


  dz


a
H

 



 


1

2
1  m  2


  2
N
Lx Ly 2 N !   

 z  z0
  H N2 
 aH



2
 2
Lx Ly



2


a2 


aH3 l2 
 2  exp   z0l  H l
4m
 m



2


  p'y , py  q px' px .


Để tính toán trường âm- điện- từ trong hố lượng tử trước hết chúng ta thiết lập
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử, và chúng ta bắt
đầu từ phương trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lượng
tử. f N , p  aN , p aN , p






t

i

 aN , p aN , p
t

t

 aN , p aN , p , H  .
t

(1.6)

Sử dụng Hamiltonian (1.5) và các phép biến đổi toán tử chúng ta thu được phương
trình động lượng tử cho điện tử tương tác với sóng âm

5


f N , p



t

1



2

 2 3  | C
q cs

N'



  N' , p

 q

q

|2 | U  q  |2

 f

N ' , p  q

 

  N , p  q  f N ' , p

 q



 f N , p 

 

 f N , p   n' , N ' , p

 q

  N , p  q

.

Từ đây ta có phương trình hàm phân bố của điện tử tương tác dòng phonon
ngoài khi có mặt từ trường
f N , p

 eE+c  p , h  ,
p


 f

N ' , p  q

f N , p  f N0, p 1


 2  | C |2 | U |2
 2

q
NN '
  p 
q cs
N'

3



 f N , p   N ' , p



  N ' , p

 q

 q

 

  N , p  q  f N ' , p



 q



 f N , p 

(1.7)

  N , p  q .

Phương trình (1.7) là phương trình cơ sở để tính toán trường âm điện từ trong
hố thế parabol.
Từ phương trình (1.7) bằng cách nhân hai vế với e p (   N , p ) và lấy tổng


m

p ,

theo N và

chúng ta thu được phương trình mật độ dòng riêng R
R

 c h, R   Q  S ,



(1.8)

với:

R

p
p  f ' 
f N ' , p     N ' , p ; Q  e2    E , N , p      N ' , p ,



m
p 
N ' , p m 





N ' , p

1  2 
S 2
 | Cq |2
q cs
3



  N' , p

 q



 |U

N ' , p



NN '

|2



 f
  

p
    N' , p

m

 

  N , p  q  f N ' , p

 q

 f N , p



N ' , p  q

N ' , p q



 f N , p 



  N , p  q .

Giải phương trình (1.8) ta thu được biểu thức của R như sau:

R










Q  S   c h, Q   h, S   c2 2 Q  S , h h .
2 2

1  c



Mật độ dòng toàn phần được cho bởi biểu thức sau:

6






 



j   Rd   L0 Q  L0 S 
0





 

2
Q  c h, Q   c2 2 Q, h h  S  c h, S   c2 2 S , h h d  .
2 2
1




c
0



 

Q    ; S  

Ta đi tính biểu thức:

Q  e2



N ' , p

p  f N ' , p
 E,
m 
p


     N ' , p .






Trong trường hợp xấp xỉ tuyến tính theo E và  ta có thể thay thế hàm f N ', p bằng
hàm f 0  p  . Thực hiên phép chuyển tổng thành tích phân


Qe

2

2



1

 p dp  d
 2  


2

N'



0

0

p  f N ' , p
 E,
m 
p


     N ' , p .




Xét p  p y ta có
f N ', p
p

và d 



f N ', p  N ' , p

 N ' , p



p



f N ', p p y   2
  ,
 N ' , p m   
y

 
dp y   . Do đó:
m


py

2

Q   

e2
2



 2m   
N'

Tương tự ta cũng có biểu thức

1   f

c  N '   
E.

2   


S  

7




S

1
2

 2 

3

q cs



 | Cq |

2

N'

4

 Lx Ly 

2

 2 

2

4



 a 
 2 
m



4
l

6
H


aH2  p y  q  c2 aH2 Kl2 
py
1


 exp  2 Kl


dp y  dpx    N ' , p 

2
4m   2 2  m


f '


 f '

 q N , p   N ' , p  q   N , p  q  q N , p   N ' , p q   N , p  q 
p


 p








1  2 
 2
 | Cq |2

q cs
3


N'

4

L L 
x

2

 2 







2

4

y



 a 

 2 
 m

4
l

6
H


aH2  p y  q  c2 
 a2  2 
1

 p y dp y  d  N ', p    N ' , p 
 exp   H l 
exp

2

2
  l
2 
 4m   2  m


 f

f



q
  N '  N    q 
  N '  N    q  

 N ' , p


 N' , p








1  2 
 2
 | Cq |2
q cs
3


N'

4

 Lx Ly 

2

 2 







2

4



 a 
 2 
 m

4 6
l H

  N  N 

 a2  2 
1
f
 exp   H l 
q  �ng ta có

z
m 
phương trình của dòng từng phần R( ) .
R( )
 c  h, R( )   Q( )  S  
 ( )

Trong đó c  eH / mc là tần số cyclotron,

(2.19)
h  H / H là véc to đơn vị

dọc theo chiều của

từ trường
R( ) 

p

 em f

 (   n ', N ', p ) ; Q( )  e2

n ', N ', p

n ', N ', p

23

f

p
( E, n ', N ', p ) (   n ', N ', p )
p
n ', N ', p m




2

3
2 p
 (2 ) Cq w
S    2
U n, N ,n ', N ' (q) *  (   n ', N ', p ) 

qs n,N,n',N', p,q
m



 ( f n ', N ',k

z  qz



 f n,N,k )  n ', N ',k
z



z q z



  n, N ,k  q 
z

 ( f n ', N ',k q  f n,N,k )  n ', N ',k q   n, N ,k  q
z

z

z

z

z

z



(2.20)

Giải phương trình (2.19), ta nhận được dòng từng phần R( )

R( ) 







 ( )
(Q( )  S ( ))  c ( ) h, Q( )   h, S ( )  
1  c2 2 ( )





 c2 2 ( ) Q( )  S ( ), h h

(2.21)

Chúng ta có mật độ dòng tổng cộng là:


 

 

j   R    d   L0 Q  L0 S
0







 ( )
 Q( )  c ( )(h, Q( )   2c 2 ( )h h, Q( ) d
2 2
1  c ( )
0

j









 ( )
 S ( )  c ( )(h, S ( )   2c 2 ( )h h, S ( ) d
2 2
1  c ( )
0





(2.22)

* Chúng ta tính toán: Q( ) ; S ( )

Q( )  e2

fn ', N ', p
p
z
(
E
,
)   En ', N ', p

*
z
 pz
n ', N ', pz m



Trong trường hợp gần đúng tuyến tính



E và w

(2.23)
chúng ta có thể thay hàm f n ', N ', p

bởi hàm phân bố cân bằng f0 ( En ', N ', p ) .
Chuyển tổng thành tích phân:

1
Q( )  e
2
2





2

 
p

0

f n ', p
pz
z
pz dEz  d * ( E,
) (  En ', N ', p )
z
m

p
0
z

2

24

(2.24)


pz
f
f  n, N , pz
f


pz  n, N , p pz
 n, N , p m*

Ta có:

z

 d 

z

pz
dpz
m*

(2.25)

Từ (2.24) ta được:

1
Q( )  e
2
2









2

n, N , p 0



e2



n, N , p 0



e2

p2 z
f
2

 (  En ', N ', pz ) Edpz
m*  n, N , p
z

p2 z f
 (  En ', N ', pz ) Edpz
m*  n, N , p
z

2 2 2
2 2
 n
 N 2  f
*
2
m



  2m*a2 2m*b2   E
n, N , p



(2.26)

* Tính S ( ) :
2
 4 2 n2  ibq 2
1  2  1
e2k L
S ( )  2
w C 
 e 1
 
2
2 2
qs 2  q  n, N ,n ', N ',pz ,q  kl bL2 
q 2  bq    2 n  


2

3








pz
 f n,N, pz
dp


(


E
)
 En ', N ', pz qz  En, N , pz  q
q
z
n
',
N
',
p
z
2  m*

 p



1

q

f n ', N ', p





 En ', N ', p q  En, N , p  q 
p




z

z

z

z



2
 4 2 n2  ibq 2
1  2  1
e2k L
 2
w C 
q
 e 1
 
2
2 2
2
qs 2  q  n, N ,n ', N ',pz ,q  kl bL2 


q  bq    2 n 


2

3







pz
2 2
 f n ',N', pz   2 2 '2 2
 * dpz (  En ', N ', p z ) 
  * 2 (n  n )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
m
2m b

 2m a

  pz



f n ',N', p
 pz

z

  2 2 '2 2  2 2 '2

  * 2 (n  n )  * 2 (N  N 2 )  q 
2m b
 2m a


25

(2.27)


pz
f
f  n, N , pz
f


pz  n, N , p pz
 n, N , p m*

Ta có:

z

z

pz

dpz
m*

 d 

1
S ( ) 
2

 2 

2

3

 4 2 n2  ibq 2
e2k L
w C 
q
 e 1
 
2
2 2
2
qs  q  n, N ,n ', N ',pz ,q  kl bL2 
q  bq    2 n  



3

2







pz
2 2
 f n ',N', pz   2 2 '2 2
 * dpz (  En ', N ', p z ) 
  * 2 (n  n )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
m
2m b

 2m a

 


f n ',N', p

 2 2

2 2
  * 2 (n '2  n 2 )  * 2 (N'2  N 2 )  q 

2m b

 2m a


1

2

z

 2 

2

3

 4 2 n2  ibq 2
e2k L
2 2
w Cq
e 1




2
2 
*
2
2
qs

n , N ,n ', N ',p z , q  kl bL 
3
m


q  bq    2 n 



3

2





3

2 2 2
2 2 2


 n
 N  2    2 2 '2 2  2 2
  

   * 2 (n  n )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
* 2
* 2 

2m a
2m b 
2m b
  2m a



 2 2
 f
2 2
  * 2 (n '2  n 2 )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
2m b
 2m a
 
 S ( )  Aw

Với A=

f


1  2 
3

(2.28)

s

2

Cq

2

2
 4 2 n2  ibq
e2 k L
2 2
e

1





2
2
*
2
2
n , N , n ', N ',p z , q  kl bL 
3
m


q  bq    2 n 







3

2 2 2
2 2 2


 n
 N  2    2 2 '2 2  2 2
  

   * 2 (n  n )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
* 2
* 2 
2m a
2m b 
2m b
  2m a



 2 2

2 2
  * 2 (n '2  n 2 )  * 2 (N'2  N 2 )  q 
2m b
 2m a






(2.29)



 ( )
Q( )  c ( ) h, Q( )   c2 2 ( )h(h, Q( )) d
2 2
1



(

)
c
0

* L0 (Q)  

26


3
2 2 2
2 2 2

 ( )  e2 m* 
 n
 N  2 f0


  2m*a 2  2m*b2   E  c ( ) 
2 2
1



(

)


c
0



2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
  e2 m 
 e2 m 
 n
 N  f0  2 2
 n

 N  f0 
 h, 



E




h
h
,







c
 2m*a 2 2m*b2  
 2m*a 2 2m*b2   E  d

 









 ( )
e2 m*
1  c2 2 ( )
0





2 2 2
2 2

 n
 N 2  f0



ij E j d

2m*a 2
2m*b2 

 

2 2 2
2 2
c 2 ( ) e2 m* 

 n
 N 2  f0




 ijk hk E j d

1  c2 2 ( )
2m*a 2
2m*b2  

0


c2 2 ( ) e2 m*
1  c2 2 ( )
0







e2 m*

a 

1 ij

2 2 2
2 2

 n
 N 2  f0



hi h j E j d 

2m*a 2
2m*b2 

 

(2.30)



 c a2 ijk hk  2c a3hi h j E j

(2.31)

2 2 2
2 2

 ( )
 n
 N 2  f0




d
1  c2 2 ( ) 
2m*a2
2m*b2 

 
0



Ở đây a  
với

(2.32)

= 1, 2, 3…

 L0 (Q) 

e2m*

a 

1 ij



 c a2 ijk hk  2c a3hi h j E j

(2.33)







 ( )
S ( )  c ( ) h2 ,S( )   c2 2 ( )h h, S ( )  d
2 2
1  c ( )
0

L0 (S )  

f
1
 2
Mà S ( )  A w


 2 

(2.34)

3

 4 2 n2  ibq
C
 1)2 

(e

2
qs
n , n ',N,N',k,q  k bL 
2
q

2 2 2
2 2 2


 n
 N     2 2 '2 2  2 2

2  

 
n  n  * 2 N '2  N 2  q  
* 2
* 2   
* 2
2
2 2
2m a
2m b    2m a

2m b

q (bq)  (2 n)  

e k L



  2 2 '2 2  2 2
 f
   * 2 n  n  * 2 N '2  N 2  q  w
2m b
 2m a
 









Thay (2.35) vào (2.34) ta được

27







(2.35)




 ( )
Aij w j  c ( ) A ijk hk w j  c2 2 ( ) Ahi h j w j  d

2 2
1  c ( )
0

L0 (S )  



 b1 ij  c b2 ijk hk  2c b3hi h j

w

j

 ( )
f
Ad
2 2
1  c ( ) 

0

(2.36)



Với b  

(2.37)



Do mật độ dòng: j i   R( )d  L0 (Q)  L0 (S )  бij E j ijw j

(2.38)


e2 m
a1 ij  c a2 ijk hk  2c a3hi h j
бij 
Với 
  b    b  h  2b h h
1 ij
c 2 ijk k
c 3 i j
 ij

(2.39)

0









 jz  0
j 0
 j y  0

(2.40)

Ta có jz  бzj E j  zj w j  бzx Ex  бzy Ey  бzz Ez   zx w x   zy w y   zz w z  0

 бzy Ey   zz w z  0

(2.41)

j y  бyj E j   yj w j  бyx Ex  бyy Ey  бyz Ez   yx w x   yy w y   yz w z  0
 бyy Ey   yz w z  0

(2.42)

Ta nhân phương trình (2.41) với бzy ,và (2.42) với бyy ta có:
б zy2 E y  бzy zz w z  0
б yy2 E y  б yy yz w z  0
 Ey  EAME 

 zz бzy   yz бyy

(2.43)

бyy2  бzy2

Thời gian phục hồi năng xung lượng  ( ) phụ thuộc vào năng lượng theo dạng:


  
  0 

 kBT 

Có : бzy 

e2 m

c a2

(2.44)

( бzy  б yz ; бzx  бxz )

28

(2.45)

e2 m

бyy 

a1

(2.46)

zz  b1

(2.47)

 yz  cb2

(2.48)

Từ (2.43) ta có:
 Ey  EAME  w

b1

e2 m

c a2  (cb2 )
2

e2 m

a1

2

 e2 m
  e2 m   c 

a
a1  


c 2  

 
  c 

2



 b1a2  b2 a1 
w
 2
2 2 
 a1  c a2 

c
me2

(2.49)

Từ (2.32) ta có:

2
2

 ( )
 2 n2
 2 N 2  f0



d 
1  c2 2 ( ) 
2m*a 2
2m*b2 

 
0



a1  

(




0

kBT

1  c2 2 (





(

0

1   (



kBT

2 2
c

Đặt x 
f



)



kBT

) 2

) 


kBT

2 2 2
2 2

 n
 N 2  f0
  2m*a 2  2m*b2   d 



)

2



(



)

  n
f0

f0
kBT
 N 
d  

d
* 2
* 2 

2m b  0 1  2 2 (  )2 
 2m a
c
kBT
2

2 2

2


d
 dx 
;
kBT
kBT

2

2



p
kBT

f 

1
1  e x 

(2.50)

(2.51)

là hàm phân bố Fermi- Dirac

Khi đó


2 2
 2 2 n2
 0 x kBTx f0
f0
 N 2    0 x
a1  
dx  

dx
2 2 2
* 2

* 2 
2 2 2
1  c 0 x x
2m b  0 1  c 0 x x
 2m a
0

(2.52)

2 2 2
2 2

 2 ( )
 n
 N 2  f0



d 
1  c2 2 ( ) 
2m*a 2
2m*b2 

 
0



Tương tự a2  


2 2
 2 2 n2
 20 x2 1kBT f0
f0
 N 2    20 x2
dx


dx

2 2 2
* 2
* 2 
2 2 2
1  c 0 x x
2m b  0 1  c 0 x x
 2m a
0

 a2  

29

(2.53)


Từ (2.37) ta có:


0(

0

1  

b1  


kBT

2
2
c 0



 20 (

0

1  

b2  

(



k BT


k BT

2
2
c 0

)

(

)

2


A 0 x
f
f
Ad   
dx
2
2 2

1  c 0 x x
0

(2.54)

2


A 20 x 2
f
f
Ad   
dx
2
2 2

1  c 0 x x
0

(2.55)

) 2



k BT

)

Chúng ta sử dụng chú ý sau:


x
f
dx

2
2 
1  c 0 x x
0

F (x)  

(2.56)

Khi đó
2 2
 2 2 n2
 N2
a1   0 kBTF 1,2 ( x)  

* 2
2m*b2
 2m a


 0 F ,2 ( x)


(2.57)

2 2
 2 2 n2
 N2  2
a1   20 kBTF2 1,2 ( x)  


 0 F2 ,2 ( x)
* 2
2m*b2 
 2m a

(2.58)

b1  A 0 F ,2 ( x)

(2.59)

Bằng các tính toán ta có được

EAME 

c A 0
F ,2 F2 1,2  F2 ,2 F 1,2 
me2 kBT
1


 2 2

 2 h2  n2 N 2 
 2 h2  n2 N 2 
  F 1,2 
 2  2  F ,2   c 0  F2 1,2 
 2  2  F2 ,2 
2mkBT  a b 
2mkBT  a b 






(2.60)

Phương trình (2.60) là biểu thức của trường âm- điện- từ trong dây lượng tử
hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Chúng ta có thể thấy rằng sự phụ thuộc của trường
âm- điện- từ và tần số là phi tuyến .

30


Ta xét trường hợp lượng tử hóa khu vực từ trường, ta có c

kBT ta tính cho

1
1
hàm Fermi- Dirac f0  1  exp      F   ,  F là năng lượng Fermi,  
, bằng
kBT

các tính toán ta có được biểu thức trường âm- điện- từ.
2

EAME 

64 0 w Cq  7

3

3e2 m3q 2b2 L4



 





2

eibq  1 e2 k1L
 n2 
  
2
2 2
n , n ', N , N '  kl   qb
  2 n  





  2 2  n '2  n2
N'2  N 2
  

 

2
b2
  2m  a

2

  





3

 2 1
 n2 N 2  2
 a 2  b2  cos     B


 c 0

 

   2 2  n '2  n2
N'2  N 2




q  

  2m  a 2
b2

 

  





q 



(2.61)

Với
 2  1 
 3 2 02c   n2 N 2  
 1   1   2 
2 1 
B  ci 
  2  2    2ci 
  si 

 si 
 cos 


b 
 c 0  2mkBT   a
 c 0   c 0   c 0 
  c 0 

 0 2  n2 N 2   2  1  2  1    1   2  1  2  1  

  si 
  sin 
 ci 
  si 

 
 ci 
m  a 2 b2    c 0 
 c 0    c 0     c 0 
 c 0  
1 x2 k 1

si  x     
;
2 k 1  2k  1 2k  1!





k

1 x2 k

ci  x    ln(x)  
k 1 2k  2 k !


1

(2.62)

k

(2.63)

Biểu thức (2.61) là biểu thức trường âm - điện – từ của dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế cao vô hạn. Từ biểu thức ta thấy sự phụ thuộc của trường âm - điện- từ
vào nhiệt độ T, số sóng q, và từ trường H.
Bằng phương pháp phương trình động lượng tử đạt được biểu thức giải tích
trường âm - điện – từ của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn trong
trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm. Từ biểu thức ta thấy rằng ngoài sự phụ thuộc
vào các tham số đặc trưng dây lượng tử thì trường âm - điện – từ phụ thuộc mạnh vào
sự có mặt của nhiệt độ và từ trường ngoài. Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của trường âm
- điện – từ vào, nhiệt độ của hệ và từ trường ngoài biểu thức (2.61) được tính số cho
trường hợp hố lượng tử GaAs.

31


CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT
CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs

Khảo sát sự phụ thuộc của trường âm - điện- từ vào, nhiệt độ, từ trường, của
dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Các thông số được sử dụng trong
quá trình tính toán này như sau:
Đại lượng

Kí hiệu

Giá trị

Thời gian phục hồi (s)

0

10-12

Vận tốc sóng dọc (ms−1)

cl

2×103

Vận tốc sóng ngang (ms−1)

ct

18×102

Vận tốc sóng âm (ms−1)

vs

5370

Hệ số biến dạng điện thế (eV)

Λ

13.5

Khối lượng hiệu dụng của điện tử (me) M

0.067

Tần số sóng âm (s-1)

109

ωq

Mật độ khối lượng hiệu dụng (kgm-3) 

5320

Chiều dài và chiều rộng của dây (𝐴)̇

a, b

100

Mật độ năng lượng (Wm-2)

W

104

3.1 Sự phụ thuộc của trường âm - điện –từ vào nhiệt độ.
Khảo sát sự phụ thuộc của trường âm - điện- từ vào nhiệt độ khi thay đổi từ trường:
với số sóng q=2.23.106 cm-1, các giá trị của từ trường ngoài H = 4.106 Am-1, H = 3.106
Am-1, H = 2.106 Am-1, thu được kết quả sau:

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của trường âm- điện- từ vào nhiệt độ

32


Sự phụ thuộc của trường âm – điện- từ vào nhiệt độ khi từ trường thay đổi
được mô tả theo đồ thị hình 3.1 là một hàm. Trong đồ thị, trường âm – điện – từ có giá
trị lớn ở những khoảng nhiệt độ thấp và giảm rất nhanh theo chiều tăng nhiệt độ. Ở
những khoảng nhiệt độ cao, trường âm – điện – từ có giá trị nhỏ và gần như không đổi.
Ta thấy ứng với mỗi giá trị từ trường khác nhau thì ta thu được các đường biểu
diễn trường âm - điện- từ khác nhau, và giảm dần khi nhiệt độ tăng dần. Điều này
chứng tỏ, ứng với mỗi từ trường khác nhau thì sự ảnh hưởng của nhiệt độ khác nhau
tới trường âm – điện- từ trong dây lượng tử hình chữ nhật là khác nhau. Đồng thời
giảm dần khi nhiệt độ tăng dần
3.2. Sự phụ thuộc của trường âm- điện-từ vào từ trường
Khảo sát sự phụ thuộc của trường âm- điện- từ vào từ trường ta thấy

Hình 3.2. Sự phụ thuộc của trường âm- điện- từ vào từ trường
Qua đồ thị hình 3.2 ta có thể thấy trường âm – điện- từ phụ thuộc vào từ trường.
Trường âm – điện- từ có giá trị thay đổi khi từ trường thay đổi, sự phụ thuộc là phi

tuyến tính, có rất nhiều cực đại khác nhau.

33


Thảo luận các kết quả thu được
Nhìn vào kết quả tính số và vẽ đồ thị trường âm- điện- từ trong dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn, ta có một số nhận xét sau:
Đồ thị 3.1 cho thấy: trường âm -điện- từ phụ thuộc vào nhiệt độ. Trường âm –
điện- từ có giá trị lớn ở những khoảng nhiệt độ thấp và giảm rất nhanh theo chiều tăng
nhiệt độ. Ở những khoảng nhiệt độ cao, trường âm – điện – từ có giá trị nhỏ và gần
như không đổi. Điều này khác với kết quả thu được của trường âm – điện- từ trong hố
lượng tử ( trường âm- điện –từ ở những giá trị nhiệt độ khác nhau đều có dạng parabol).
Đồ thị 3.2 cho thấy: trường âm -điện- từ còn phụ thuộc vào sự thay đổi của từ
trường. Trường âm – điện- từ có giá trị thay đổi khi từ trường thay đổi, sự phụ thuộc
là phi tuyến tính, có rất nhiều cực đại khác nhau. Điều này cũng khác với kết quả thu
được của trường âm- điện- từ trong hố lượng tử (không có nhiều cực đại).

34


KẾT LUẬN
Đề tài nghiên cứu trường âm - điện - từ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố
thế cao vô hạn. Bài toán vật lý này được nghiên cứu dựa trên phương pháp phương
trình động lượng tử của điện tử trong trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm. Kết quả
được tóm tắt như sau:
1. Xuất phát từ Hamiltonian cho điện tử và phonon âm trong dây lượng tử, thu
được phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử khi có mặt sóng siêu
âm ngoài và phonon trong. Từ đó thu được biểu thức giải tích của hàm phân bố điện
tử, của trường âm - điện- từ trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn.Từ

đó cho thấy trường âm – điện –từ không những phụ thuộc vào các tham số đặc trưng
của dây lượng tử mà còn phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ T và từ trường ngoài H.
2. Kết quả lí thuyết của trường âm - điện – từ trong dây lượng tử với hố thế cao vô
hạn được thực hiện tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận cho trường hợp dây lượng tử
GaAs. Kết quả thu được:
- Trường âm – điện- từ phụ thuộc vào từ trường ngoài là phi tuyến,
- Trường âm – điện – từ phụ thuộc vào nhiệt độ T. Giá trị trường âm – điện- từ thay
đổi nhanh trong vùng nhiệt độ nhỏ. Tuy nhiên, trong vùng nhiệt độ lớn hơn thì trường
âm – điện- từ đạt giá trị rất nhỏ và gần như không đổi.
Các kết quả này có những điểm khác với kết quả thu được đối với trường âm –
điện – từ trong hố lượng tử.

35