Bài tập toán cao cấp tập 3

I.

NGUYEN Đì ......
-TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ buYMH
--------------- ^

----------- ĩ _____- - - « •

^

:

••

- 4

iĩì

n

Tập ba

p ừnh

,

•

TT TT- TV*ĐHQGHN

510.76

NG-T(3)
2013
V-GO

r

nh iềb i
ỉ
X U Ấ t Tb Ẳ N G I Ậ O D l C v î t T
^

'ilPlBpn

n a m

*

V

’
t-'-


NGUYỄN ĐÌNH TRÌ (Chủ bién)
TẠ VĂN ĐĨNH - NGUYỄN Hổ QUỲNH

BÀI TẬP

to An cao cấp
TẬP BA

PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN
(Tái bản lẩn thứ mười bổn)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

số


Chương I

HÀM SỐ NHIỀU BIẾN s ố
A - ĐỂ BÀI
1. Tim miền xác định của các hàm số sau
a) f(x, y) = ỉnxy ;
c) f(x, y) = -y/4 -

b) f(x, y) =
- y2 + ^ x ^ + y 2 _ l ;

y —1
đ) f(x, y) = arcsin------- ;

0 f(x, y) =
h) f(x, y) =

1

e) f(x, y) = y Ị x ì n y
g) f(x, y) = Inx + Insiny ;

y -x
X

i) f(x, y) = Vy “ X In(y + x)
cos^ y
2. Tim giới hạn khi (x, y) —> (0 ,0 ) của các hàm số sau
2
2
X -y
.
a) f(x, y) =
b) f(x, y) = 2
.4 =
2
2
X + y
+y X
V
c)f(x, y )= x a r ctg f ;
X

d
)
f
(
x
,y
)
=

X + y

e) f(x, y) = -----" -

f) f(x, y) =

^ (1 - cos y) ;

x - ú y ^

2

2’

X - xy + y

(ot, P) €
h) f(x, y) =

sin X - shy
shx - sin y ’


3. Tính các đạo hàm riêng cấp mól của các hàm số sau
3'j

a)f(x,y ) =

x‘ -t y
~2

X

+ y

?

b) f(x, y) = ln(x +

2

c) f(x ,y )= y ^ sin - ;

d) f(x,y) = arctgX
-

e) f(x, y) = arcsin(x - 2y) ;

0 f(x, y) = In

- y ^

g) f(x, y )= arctg

X

h) f(x, y) = e’^^cosxsiny

i

i) f(x, y) = In(x + Iny) ;

j) f(x, y) =

k) f(x, y, z) =

Ị) f(x, y, z) = e’^y^sin —

(x > 0 , y > 0 );

(x > 0)

1

n) f(x, y, z) = zsin

m )f(x ,y ,z ) =

"

X+ z
- 4. Khảo sát sự liẻn tục của các hàm số sau và của các đạo, hàm riêng
cấp một của chúng
(x + y )sin

I

nếu (X. y) ^ (0,0)

a) f(x, y) =

ncu(x,y) = (0,0)

0
,3

X -y

3

•

b) f(x, y) = -

nếu(x,y)9t (0,0)

-%

nếu (x, y) = (0,0)

0

nếu (x ^ 0)

c) f(x, y) = xarctgỊ

nếu (x = 0)

0

xsiny - ysinx

nếu(x,y)5t (0,0)

đ) f(x, y) =
0

.

nếu (X, y) = (0,0)


5. Tính đạo hàm của các hàm số hợp sau

a) z=

,

u = cosx, V =

b) z = ln(u^ + v^), u r= xy, V =

—

y

;

;

c) z = x^lny, X = —, y = 3u - 2v;

_

_v

_“ U

d) z = ue + ve

_x

2

u = e , V= yx ;

X

e) z = xe^. X= cost» y =
f)z =x Ậ +

X = te^\ y = e *;

6. Chứng minh rằng
2

2

a) Hàm số z = yln (x - y ) thoả mân phương trình
I . ^ 1 . _ z
—Zjj + ~-Zỳ - —
X *

y y

y2

7 sin— thoả mãn phương trình
y ..

b) Hàm số z =

+ xyZy = yz

hàm số 2 = z(x, y) thoả mãn phưcmg trình

a) 2z'j^ - Zy = 0, bằng phép đổi biến số
. u = x + y. v = x + 2y
b) zx*x - yz'y =

bẳng phép biến đổi số
u = X + y, V = xy

8. Tim vi phân toàn phẩn của các hàm số
2

2

a) z = sin(x + y );
V

X+ y

c )z = ln tg “ ;
^
e) z =

X

b) z = e (cosy + xsiny)
d) z = arctg-—- ^

y
+c * ;

fy

f) X =

,2

c dt


X

g )z =

____

yt^cos2tdt;

h) u -

-__

yỉĩ^ ~ 3 y ĩ f ỹ

Jxy

i) u = xe^ + ye^ + 2£^ ;
■
j) u =
9. Dùng vi phần, tính gần đúne các sổ' sau

(x > 0)

a) Ậ \ , 0 2 Ỷ + ( 0 .0 5 ^ ;

b) ln(^/TÕ3 + ilÕ M -

c) V9.(l ,95)2 +(8,1)2 .

d ) V s i n 2 l . 5 5 + 8 . e ‘' ’« ' ’

N . I-02.

I)

0

Ệ^lto^ính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phưomg

trìnn sau:
a) x^y - y^x =

tính y'

b) xe^ + ye’^-

= 0» tírih y’

c) arctg^ ^

, tính y‘

3

3

d) \ny[x^ +

= arctg~,tính y’, y"
?c

e) y*' + 3 x y + 5x^ = 12, tính y’
f) 2y^ + ^

VỈ

= 3x^ +17, tính y’

g) 3sin— - 2cos— + 1 = o.tính y’ ;

y

y

h) X + y + z = e , tính z \ à y
i) x‘\ ^
2 3

;

= 3xyz, tính z \ ,Zy
3 2

j ) x y z + x y z = x + y + z, tính z’x ,Zy ;
k) xe^ + yz + ze* = 0, tính z'x,2 y
1) xyz = cos(x + y + z). tính z'^,z
x * ‘'y
m)

8

I

_ l

- sin(xyz) = 0, tính z \ , z y ;


T

n) arcsin^

X'^ +

11.

2

I

X* + y - 3x y
-

= a, tính y’ ;

3xy^

a) z = f(x, y) là hàm sô' ẩn xác định bởi hệ thức
'

z - xeỹ = 0

Tính gần đúng f(0,02 ; 0,99)
b) ƠIO hàm sồ'
X+ z
u=
y + z’
Trong đó 2 là hàm số ẩn xác định bời hệ thức ze^ = xc’^+ye^
Tính Uj(,Uy

c) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi hệ thức

Giứng minh rằng
z

đ) F(u, v) là một hàm sỏ' khả vi 2 = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bởi
hệ

thức

\

F(cx - az» cy - bz) = 0

(c^O )

Chứng minh rằng
azl
“ X +■ bz'
“ ‘' y = c
''
e) z = z(x, y) là hàm số ẩn xác định bời hệ thức
'

2

+ y

2

+

ĩ

/

\

2 1
= yf - ,
[yj

Trong đó f là một hàm số khả vi. Chứng minh rằng
(x^ -

- z^)z’x + 2xyz‘y = 2xz

f) Tính đạo hàm cùa các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bời hệ phuỡng trình
X +

y

+

z

=

0
= l

g) y = y(x) là hàm sô' ẩn xác định bởi hệ thức

,

X'^ + y‘^ - 3xy - 1 = 0 .
Tim khai triển hữu hạn đến cấp 3 của y(x) ở lân cận cùa điểm X = 0.
h) Tim khai triển hữu hạn đến cấp 3 ò lân cận điểm X = 0 cùa hàm số
y = y(x) xác định bởi hệ thức
arctg(xy) + 1 =

12.Tính các đạo hàni rtcng câ'p hai của các hàm số sau
a) f(x, y) = x^y +

;

b) f(x, y) = sin(x + y) + cos(x ~ y)

C ) f ( x , y ) = ^ , / Õ ^ r 7 ^

e) f(x, y) = ln(x

;

+y^) ;

d) f(x, y) = x^ln(x + y)
O f(x ,y )= a r c ig i
h) f(x, y) = cos(ax + e^)

g) f(x. y) = x'"'';
13. Tính f" (0,0) và f" (0,0) nếu

a) f(x, y) =

xy
nếu X ^ - y
X+ y

0

nếu X = - y

x^y -

b) f(x, y) =
ứ

y'^x

nếu (x,y) ^ (0,0)
nếu(x,y) = (0,0)

14.a) Ỷim hàm sô' u(x, y) thoả mãn phương trình

u 'j [ y

=0

b) Tim hàm sô' u(x, y) thoả mãn phương trình u"2 = 0
X ,

c) Tim hàm số u(x, y, z) thoả mãn phưcmg trình u’^y2 = 0
d) Tẳiti hàm số u(x, y) biết rằng
u" = 12x^y + 2. u' = x’ - 3 0 x y \ u (0 ,0 )= 1, u(l, 1) = - 2

10


c) Tim hàm số u(x, y), biết rằng
u’^ = X" - 2xy“ + 3, Uy =

- 2x^y + 3

0 Tim hàm sổ' u(x, y) biết
(3x^ - y^)(x^ + y “ )
=

15.

. (3y^ - x")(x^ + y - )

u

y

y?y

xy 2

______ Ị _

a) Chứng minh rằng hàm sô' u(x, y) = In

thoả mân

phưcmg trình
Au : = ^

^

=0

dy^

(phương trình Laplace trong không gian R').
1

b) Chứng minh rằng hàm số u(x, y, z) =

thoả mãn

phưcmg trình
3"U
Au := ^
3x^

3^u
dy^

^

=0

dz^

(phương trình Laplace Irong khống gian R^).
c) Cùng câu hỏi như câu b) với hàm sô'
u(x, y, z) = arctg— + arctg— + arctg —
X
y
z

d) Tim hàm số u(x, y, z) có dang u = f(r), trong đó r =
3 cho
■
^
A

:^2..
:ì2..
_ a^u
a"u
a^u
u = ^ + ^
+ ^

3x
16.

dy

_ ^
= 0

+ y~ + 7} ,

'

3z

íy ì
Chứng minh' rằng hàm -số z = xf
— , trong đó f là môt hàm 'số có
V X/
*

dạo hàm cấp hai liên lục, Ihoà mãn phương irìiih

ZX2Zy 2 =(z"
' xy-'r .

11


17. a) Chứng minh rằng hàm số
/

\

/

\

2 = f I~ +
+ xxg
g -1
\ \XJ>
\x j

trong đó f, g là hai hàm số khả vi liên tục hai lần, thoả mãn phương trình
+ 2 x y z ’x y + y ^ z ’ý 2 = 0 .

(* )

b) Tim hàm sô' z = z(x, y) Ihoà mãn phương trình (*) bằng cách đổi
biến s ố u =

X, V =

—.
X

18. Tim hàm sô' 2= z(x, y)
a) Thoả mãn phương trình
z X2 - a z y •> = 0
bằng cách đổi biến số u = y + ax, V = y - ax.
b) Thoả mãn phưoong trình

bằng cách đổi biến số u = xy, V = —.

19.a) Tính đạo hàm của hàm số u = xy^z^ tại điểm M(j(U 2, -1>
hướng xác định bời vectơ MọMị với M |(0 ,4, - 3 );
b) Tính đạo hàm của hàm sô' z =
hưómg cùa vectơ

V

theo

tại điểm M (l, 1) theo

- xy +

= 6Ỉ + 8J ;

c) Tính đạo hàm của hàm số z = In(x^ + y^) tại điểm M(3, 4) theo
hướng của vectơ grạdz.

®

d) Tíriíi đao hàm của hàm số z = arcsin - Ị

- tai điểm Mq( 1, 1, Ị)

________

theo hưóng của vectơ MqM ịvói M|(3, 2. 3);
.

x2

y2

^

^

a

b

c

e) Tính đạo hàm cùa hàmsố u = ^
^

theo hưóng của bán

,

kính vectơ r của điểm M(x, y, z). Với điéu kiện nào đối với các số
dương a, b, c dạo hàm bằng gradu

12


0 Tính đạo hàm của hàm sổ'
1
^

+ y ^

+

theo hưótig cùa vectơ ĩ có các cosin chỉ hưóng là (cosa, cosp, cosy).
Khi nào đạo hàm ấy triệt tiêu ?
•
20. a) Cho hàm số u = x^y^z^. Tính gradu và ^
‘

tại Mq( 1, -1 , 3)

31

biết rằng ĩ được xác định bải vectơ MqM ị với M|(0, I, 1).
b) Cho hàm số u = xsinyz. Xác định gradu và ^ tại MọCl, 3,0) biết
91
rằng ĩ được xác định bcfi vectơ V = ĩ + 2 J - k.
c) Xét hàm số z = xe^ tại điểm Mq(2, 0). Tính vận tốc biến thiên của
hàm số đó theo hưóng từ Mq đến M|(5, 4). Theo hướng nào thì vận tốc
biến thiên của z có giá trị tuyột đối lón nhất. Tính giá trị ấy.
d) Tim đô lón và hưómg cùa gradu, u = x^+ y.^ +

- 3xyz tại điểm

Mq( 1,2, 1). Tại những điểm nào thì gradu .vuông góc vdfi trục Oz, tại
những điểm nào thì gradu triệt tiêu.
21. Chứng minh rằng
a) Nếu U|, U2 là hai hàm số khả vi, Cj, C2 là hai hằng số thì

grad(C)Uj + C2U2) = C|gradU| + C2 građu2
b) Nếu

U2 là hai hàm số khả vi thì
g r a d ( u p u 2 ) = u ].g rad u 2 + u 2 g ra d u j

c) Nếu f, u là những hàm số khả vi thì
grad(f(u)) = f ’(u).građu

22. a) Khai triển hàm số f(x, y) = 2x^ - xy -

- 6x - 3y + 5 theo

công thức Taylor ờ lân cận điểm Mq( 1, -2).
13


b) Khai triển hàm số f(x, y) =

(x > 0) theo cống thức T;»ylor ở làn

cận điểm Mq( 1,1) đến các số hạiig bộc 3.
23.

Tim cực irị của các hàm số

a) z = 4(x - y ) - x

c) z =

X

2

-y

2

2

V

4

+ y - xe-^ ;
2

2

b)z = x + x y + y + x - y + l

;

4

2

' ^

d) z = 2x + y -

2

e)z= xyln (x + y ) ;

X

- 2y

f) 2 = xy

V
g )z = (x -y )^ + (x + y)-’ ;
i) z =

h) z = x V + 1) + y’

+ y"* - 2(x - y)^ ;

j) z = x^y'^(3x + 2y + 1).

24. Tính giá trị lón nhất và bé nhất cùa hàm số'
a) z =

trong miền D xác định bời

b) z =

trong miển D xác định bời (x -

<4 ;
+ (y - \ I Ỉ Ỷ ^ 9

c) z = x^y(4 - X ~ y) trong miền đóng D giới hạn bởi các đườiig thẳng
X = 0, y = 0, X + y = 6.

d) z = x“ +
2xy + 4x+ 8y trong miền đóng
thẳng x = 0, x= l,y = 0, y = 2

D giới hạn bởicác đường

e) z =
+ 3y^) trong miền D xác định bởi
-h < I
0 z = sinx + sụiy + sin(x + y) trong miền đóng D giớihạn bởi các
đường tỉĩẳng x = 0 , x = ” , y = 0, y = - j
g) z = (a^ - c^)x^ + (b^ - c^)y" +

- l(a - c)x^ + (b - c)y“ + c)^, với
2

'

2

a > b > c, trong miền D xác định bời X + y < 1.
25. Tim cực trị cùa hìim số
a) z = xy với điều kiện X + y = 1
UN

1
b) z _= —
+ — với điéu kiên
^

14

y

1

^l

í


2

2

2

c ) u = x + y + z với điểu k i ê n ^
'

•
.

d)

=

u

X

+y +z

với

„2

a

b

điẻu k i ệ n — + —
X

^2

l2

y

z

= 1, a > b > c

c
+ -

1

=

26. Cho hình cầu bán kính R. Hình hộp chữ nhật nào nội tiêp trong
hình cầu ấy có thể tích lớn nhất!

B - LỜI GIẢI
1.
a) Hàm sò' f(x, y) = Inxy xác định khi xy > 0, vậy miền xác định
cùa nó là tập hợp
i(x, y) G R^: x > 0 , y>OỊ u |(x ,y ) €

b) Hàm số f(x, y) = - 7 ^

: x<0, y<0|

+ . ■*— xác định khi

yịx + y

Ạ - y

-

X

+ y > 0 và

'

X - y > 0. Miền xác định của nó là tập hợp.
2

(x,y) 6 R : X > 0, -X < y < X1

c) Hàm số f(x, y) = >/4 4 -x

2

-y

2

2

- ! xác định khi

2

‘

>Ovàx + y - 1 > 0 . Mien xác định cùa nó là vành khuyên

đóng giới hạn bởi các đường tròn X + y = l , x

+ y =4.

d) Hàm số f(x, y) = arcsin ^ ~ * xác định khi -I < ZZ-1 < J Miền
xác định của nó là tập hợp
l(x, y) G
u

{(x,

e) Hàm số f(x, y) =
nó là tập hợp
. {(x, y) e

: X > 0, 1 - X < y < 1 + x} u

y) G

:*x <

0,

l + X< y <

1-

x}

Iny xác định khi xlny > 0. Miẻn xác định của
•

; X > 0, y > 1 I u {(X, y) G

: X < 0, 0 < y > 1Ị

15


"i

I

o Hàm sô' f(x, y) = —

xác định khi y - X ^0. Miền xác định

y- X

■

cùa nó là tạp hợp
{ (x ,y )e R ^ :y j;x ^ ).
g) Hàm số f(x, y) = Inx + losinỵ xác định khi X > 0 và siny > 0. Miên
xác định của nó ỉà tập hợp
{(x, y) e

: X > 0, 2 n n < y < (2n + 1)7I, n € z Ị.

h) Hàm số f(x, y) = —

xác định khi cosy ^ 0. Miền

xác địnhcủa

COS y

nó là tập hợp
{(x, y) G

: y ^ (2n + 1)^, n € Z}.

i) Hàm số f(x, y) = y f y - ^ In(y + x) xác định k h iy -x > 0 ,v à y + x > 0 .
Miền xác định của nó ỉà tạp hợp
|(x, y) e
,

x 2 - y 2

2. a) f(x, y) = —— ”
■

: y > 0 , -y < X < yỊ.
xác định với V (x, y) ^ (0,0).
•

'

Cho X = 0, ta có f(0, y) = - I , Vy
trục Oy.

0. Vậy‘f(x, y) —> -1 dọc theo

Cho y = 0, ta có f(x, 0) = I, Vx
0. Vậy f(x, y)
1 dọc theo
trục Ox.
Hàm sô' f dần tới hai giới hạn khác nhau theo hai phương khác nhau,
vây khôfig tồn tại giới hạn của f khi (x, y) —> (0 ,0 ).

b) f(x. y) =

■ xác dịnh V (x. y) ^ (0.0).
+ y

.

Cho y = kx» k là hằng số, ta có
f(x, y) = f(x, kx) =

16

k^x

/
:■ / = - ^
X +k X
1+ k X

_

Vx ^ 0

Do đó f(x, y) ^ 0 khi (x, y) —> (0, 0) iheo mọi đưòrng thẳng y = kx.
Điều dó khổng có nghĩa là giới hạn phái tìm bằng 0. Thật vậy, cho
2
X = y , ta có
2

Do đó f(x,

V

1

f(x .y ) = f ( y ^ y ) = ^

= ^

2y"

2

y
)

Vy ;tO

*2

đưòmg parabôn X = y^.

Vậy khồng tồn tại giới hạn của f khi (x, y) -> (0, 0).

y

'

c) f(x, y) = xarctg— .không xác đinh khi X =: 0. Ta có
X

f(x,y)

y<
xarctg—

lim

f(x,y) = 0.

y
arete— .

X

X

X

f i x

Do đó

(x,y)->(0,0)

d) f(x, y) =

3
3
X 4- V

_ _

(x + y)(x^ - xy +
Nhưng |xy| <

+

2

3

_

xác định V(x, y) ^ (0,0). Ta có

y^)

<

V(x, y)

G

X

+ y [x^ +

+ xy ]

R^, do đó

3 7
9
X + y - |( x ^ + y^ )

3

Suy ra

f(x,y)
Vậy

lim

f(x,y) = 0.

(x ,y M ( 0 .0 )

Ị^
e) f(x, y) = ------- ------- (1 -

c o sy ) xác

„
định Vy ^ 0. Theo công thức

khai triển hữu hạn của hàm sô' cosx, ta có
■

I - cosy =

2. BTTCCTIA

'

.

2

khj yr^O ..-

17


Do đó
2

f(x, y) = (Ị +

2 í ì

+ y^) ^ + 0(1) -khi y -> 0

\ -¿

/

Vậy
1

lim.... f(x,y) = ^
(x.y)->(ü,ü)
2
a B
xác định V(x, y)
0 f(x, y) = 2
2
X - xy + y

(0,0).

Khi đó
- xy +
> 0. Một mặt, ta có f(x, x) =
^ nên nếu
a + p - 2 < 0 thì giới hạn đã cho không tồn tại ; mặt khác, nếu a < 0,
hoặc p < 0, thì không tồn tại
lim
f(x,y).
'
■ (x.y)-^(O.O)
Bây giờ ta xét tmờng hợp a + P “ 2> 0, a>0,P>0.E )ặtk = max(|x|, y ).
Ta có

< ka + p

x “ yP

/

vì

X

nên ,

2

-

xy + y

2

2

X - xy + y

=

2

X - Ị

2J

+

X

3y^

y
.

<1

ọ
£

J
. /

+

3x'
.4

3k^

Do đó |f(x.y)| <
Vậy
lim

f(x,y) = 0
.
(x,yM(ũ.O)
Nếu a + p - 2 =í 0 thì
í''

^ a + p - 2 Ị^p

lim f(x,kx) = lim ------------------------------ r (phụ thuộc k)
x->0
x - ^ ũ Ị - k + k^
1 - k + k^
Tóm lại giới hạn chi tồn tại khi a + p - 2 > 0 , a > 0 , p > 0 , giới hạn
ậ'y bằng 0.
g)f(x .y ) =

18

sinx-siny

shx - shy
J

2 s in ^ c o s ^

« . X- y ,
2sh—

X

+y

2. BTTCCT3-B


Khi

(X, y )

lim

-> (O, 0) ta c6

sin

^

^

2

sh ^

j

- ~

~~2^'

^

f(x,y)=l.

(x,y)-»(ü ,ü )

h)
Cho X = y, ta có f(x, x) = -1 Vx ;É0. Vậy f(x, y) -> -1 khi (x, y)
-> (O, 0) dọc theo dường y = X.
Cho y = O, ta được f(x, 0) = 1
đọc theo đường y = 0.
Do đó khồng tồn tại

Vậy f(x, 0) -> 1 khi (x, y)

lim

’

f(x,y).

(x,y)-»(0.0)

3. a) f(x, y) =
f -

•
+ y^)3x^ - (x^ -ị- y^)2x _ x"* - 2xy^ + 3x^y^

* ~

.

(0,0)

(x^+ y^)^

~

(x^ + y^)^

Vì lí do đối xứng giữa Xvà y, ta có
^

2.2

y"* - 2 y x ^ -H- 3 x ^ y

/ 2 , 22.2
(x

y

f(x, y) = ln(x + y¡7K^ +

b)

,

■/

=

Ặ

‘ ■*-

)

j

y

y_______

X+

x > /x ^ +

9
X
c)f(x,y)= y s in Ç,

_
X
=
y2 cos—
.

y

X

= ycos—

f’ = 2ysin—+ y^cos—
^
y
X
V

y

X
X
= 2ysin~ - xcos—
J

y

y

19


y

d ) f ( x , y ) = a r c tg -

X

I
f;

=

2

2

+ y

1 +

\X/
1
f

‘y

=

l

/ y A\2' xÄ
1+

X

2

+ y

2 *

..

vx;

e) f(x, y) = arcsin(x - 2y)
f;

=

_________ !_________ , f

= ___________ 2 _

2y)‘
_

/..2

. „2

„X

f) f(x,y) = Ini'^x^ +
X

f:

VI - (X - 2y)‘
/ 2

. „2

- x) - ln('^'‘ + y ' + x)
.

X

- 1

+ 1

- X

+ X

=

^/x^ +

y
>/

f: =

+■ y-2 + X

X

- X

4

/
1

2x

i

f: =

y ^ ^

x ' -

+ x ^

2x

+ y ^

g) f(x, y) = arctg

+ y ^

-X

+ y ^

Ì

^

+ y■

y2

x ^ + y 2

1

1

(x^ + y ^ )2 x - ( x ^ - y ^ ) 2 x
(x^ + y ^ )^

2

2
x^+y2

20


+

x^

2x'

x-2

1
2 2
X - y

y2

+

■

2,

y2

2x2

•

4xy^
k ^ - • y ''

7
9
X +y

1
2 2
X -y
2 2 2
x'" + y

(x^ + y

2x-

2)2

'

1

_

2 )2y

(x^ + y ^ ) ( - 2 y ) - (x^ - y

y

4x^y

X -y

h) f(x, y) = e^^cosxsiny

= e^^ycosxsiny fy = e ’^^xcosxsiny +

sinxsi ny
COSXcosy.

i)f(x,.y) = ln(x + lny)
1

1

^

^ ” X + Iny’ y ” y(x + Iny)’
f) f(x, y) =
.3y^.lnx.
k) f(x, y, z) =

‘
f¡j =

.zy^"'.lnx

■
'

V*

7

y In y. In X.

1) f(x, y, z) = e’^^^sin —
z
= e ’^ ^ ^ y z s i n —

f „ = e * > • ^ x z s i n ^ + e ’‘5 ' ^ i œ s ^

y

z

z

z
2Ỉ


n^= e * i ' ^ x y s i nz ^ - e * > ' _" 24 “

s -z -

1

1

2x

r,

(x^ + y^ +z^)^

2y

fy =

(x^ + y^ +z^)^
2z .
+ - ^ Ỷ

(x^ +

n) f(x, y, z) = zsin

y
X+ z

r, =

(x + z)
íh

_

1

y

fv = z.---— eos— ---y
X + z
X+ z

■

y

y

y

f, = sin—^ - z.---- —-cos-^~=^^— .
*+ z
(x + z)^
»f+z
4. a) Ta có V(x, y) (0 ,0)
1

f(x y)| = (x^ + y^) sin

<

Do đồ khi (x, y) -► (O, 0), f(x, y) -> o = f(0, 0). Hàm số f(x, y) Uên
tục tại (O, 0). Rõ ràng f(x» y) liên tục tại mọi (x, y) ^ (0, 0), vậy f(x, y)
liên tục trêivR^.
Các đạo hàm riẻng fj^(x,y),fj(x,y) tổn tạỉ tại mọi (x, y) ^ (0, 0). Bây
■

.

_

7

1

giờ xét tại (0,0). Ta có Vx ^ 0, f(x, 0) = X s i n - j

22


f(h,0) - f(0,0)

Do đó f:(0,0) = lim

h->0h

= lim hsin-!r = 0

h->0

h ''

Tương tự ta được f^(0,0) = 0. Vậy các đạo hàm riêng fx(x,y),
fỳ(x,y) tồn tại trên R . Với (x, y) ^ (0,0) la có
1

f:(x,y) = 2x sin

1

cos

1

Do đó với X 0
fx(x,0) = 2xsin-Y - —c o s-ỳ
'^

X

X

V

Từ đó ta thấy rằng không tồn tại
p>‘
-V

lim fv(x,0)
x ^o

tức là fi(x ,y ) không liên tục tại (0, 0). Vì vai trò của X và y đối xứng

nhau nên fỳ(x,y) cũng không liên tục tại (0, 0).

^

Tóm lại f(x, y) liên tục trên R^, các đạo hàm riêng fx(x.y), fý(x,y),
tổn tại trên R^, nhưng chỉ liên tục tại (x, y) ^ (0,0).
b) hàm số f(x, y) =

X

3

-

y

~2

f(x,y)

3
2

m

liên tuc tại mọi (x, y) ^ (0,0). Ta có

I:

Do đó f(x, y) -> 0 = f(0, 0) khi (x, y)
(0, 0). Vậy hàm số f(x» y)
cũng liên tục tại (0,0). Suy ra f(x, y) liên tục trên R .
Với (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng fx(x,y),fỳ(x,y) đểu tồn tại và
liên tục
x(x^ + 3xy^ + 2 y ^ )
( x ^ -f y ^ Ỷ

fỳ(x,y) =

-y(y^ + 3x^y + 2x^)
(x^

+ y^)^

23


Xét lại (0, 0) la có

...

f(h,0) - f(0,0)

fl(0 ,0 ) = lim -------- ;----------h^O

h

-k
_____
. f(0 ,k )-f(0 ,0 )
= -i
fv(0,0) = lim --------;---------- = lim
^

k->0

K

k ^ ò

k

Vây các đạo hàm riêng fj^(x,y), fỳ(x,y) cũng tồn tại (ại (0,0), nhưng
chúng khỏng liên tục tại (0, 0), vì
1 + 3t^ + 2 t^
(l + t2 )2

Do đó khi (X, y) -> (0,0) theo đường y = tx thì
f;(x,y)

I + 3t^ + 2t^

, giới hạn này thay đổi theo t.

Cũng vậy, ta có

■ íýCy.y) =

1 + 3t^ +

Do đó khi (x, y) -> (0,0) iheo đường X= ty thì fỳ (x, y) ->
giới hạn này cũng thay đổi theo t.
.Vậy f(x, y) liên tục trên

các dạo hàm riêng f^(x,y),fý(x,y) tồn

2

lại trên R , nhưng ehỉ liên tục tậi (x, y) ^ (0,0).

1 yì
c) Hàm số f(x, y) = xarctg — liên tục tại mọi

X

0. Ta có Vx

0

vx /

f(x,y)

K
'2

Ek) đó f(x, y)
0 = f(0, y) khi X
'2
X = 0, s u y ra f ( x , y ) li ê n t ụ c tr ê n R .

0. Vậy f(x, y) cũng liên tục tại

Vói X ^ 0, các đạo hàm riêng fx(x,y), f'(x,y) đểu tồn tại và liẻn tục

24


/ \2

y

fl(x,y) = arctg

1

^ + X.-

/

ỵ

\4

.2

y
XJ

)

vX/
/

\2

o

2

- arctg l ]

y
/

1

f ; ( x , y ) = X./
1+

.2

\4

r.

.

N
y

VX/

1

2x‘V

X

- 4 . ..4

X + y

y

vx;
Bây giờ xét tại X = 0. Nếu y
fx(0,y) =

2

0, ta c ó

= lim arctg
h->0
n
h-*0
ìf_ w , y + k) - f(0,y)
^

C (0>y) =
---------------- T ----------------- “
^
k-^o
k

^

0 = 0
Ic_>0

Nếu y = 0, ta có
r ,„ .0 ,.

Iln ,« " ' " ' - ' ” '» ) .

h->0
f (0.0) = Um
^

llm O -0
h->0

= ,im 0 = 0

k->0

k

k-^0

Vậy các đạo hàm riêng fx(x,y), fỳ(x,y) cũng tổnctại tại

X

= 0. Từ các

kếĩ quả trên, ta thấy rằng fỷ(x,y) liên tục trên R^, nhưng fx(x,y) liên
tục trên R^/(0,0).
d) Hàm sốf(x, y) =

21

— ysm^
+. 1y/2

'

'

^

có V(x, y) ^ (0,0).
(

y3
y

- ^

3
+ 0(y^)

____ ___________\

f(x. y) =

2

2

xy(x^ - y^) ^ iL0(y3) - y-0(x^)
3!(x^ + y ^ )

X

2

+ y

2

25


Do đó khi (x, y) —> (0, 0) thì f(x, y) -> 0 = f(0, 0), hàm số f(x, y)
cũng liên tục tại (0,0), vậy nó liên tục trên R .
Vói (x, y) ^ (0, 0), các đạo hàm riêng fx(x,y),fý(x,y) đêu tồn tại và
liên tục
(y^ - x^)siny - y(x^ + y^)cosx + 2xysinx
TxvX^y) -

2
(x^ +

2 .2

%

X_ (y^ “ x^)sinx + x(x^ + y^)cosy + 2xysinx
^

(x^ +

y^ Ỷ

Xét tại (0,0), ta có
f(h.O) - f(0,0)

r ^ m ) = lim
— = lim
U m -------- r ................
....... 0 = 0
h->0
n
h-^0

f:(0,0) =
^

= lim 0 = 0
k-»0

k

k-+0

Bạn đọc hãy chứng minh cặng không tổn tại các giới hạn
lỉm

fi(x.y),

(x .y M (0 ,0 )

lim

fv(x,y).

(x.y)-> (0.0) ^

Như vậy hàm số f(x,

y) liên tục trên R , các

fj^(x,y), fy(x,ý) tồn tại trên nhưng chỉ liên tục
5. a) Ta cổ
z’x =

+

z „ .u ;

đạo hàm rièng

trên r \ o»0).

2 y .v ;

= Zu-Uy + Z v V y

Nhưng

u ’x =

z'u

=

-sinx',

e

u^-2v^ _
.2u,

Uy =

0, v'jj

,

Zy

, v'y

Ị

=

=

Do đó

í;

1_X

= -e<=“ '*-2<*'+y').(2cosxsinx + 4x)

_
2

26

2v

2u
2o

»

”

2

2


,

1

,

.

= p

“ x = y*

,

y

«y

X
2

=

■

2xy
=

1

y +

2

2xy^

2x

^ 2x(l + y^)

x ^ C l + y '^ ) x ^ C l + y"*)

2xy

x^(l + y^)

^.2

X

■X +

Zy 2 2
x V

2 2

^

J

X' \
'

y

/

2
y

2y^

2

! + >■*
c)

-

.

2(y‘» - 1 )

(i + y‘‘)y y(y'* + i)
3u2

.

z'u = 2-î^ln(3u - 2v) +

N
v^(3u

V

- 2v)

„2

z’v = -2 ^ 1 n (3 u - 2v) v^(3u - 2v)

V
J\

d)

Zu = e

- ve

u’ =
Do đó

u

_v

, Zy = ue

Uy = 0,

v'jj

z'x = (e''*' z'= *(cV *'

= 2xy,

v'

,

=

x'

)e* + (e^e™' + e-'" )2xy
+e~^^)x^

X

e) z' =

, _ —u

+e

f

+ xey^ .— = e

\

'+ Í
.

y j
ta

*

_*

_

.2

1

_ V

Zy = x c - .

27