bài giảng toán cao cấp 2

HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG









GII TÍCH 1
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa ngành QTKD)
Lu hành ni b









HÀ NI - 2007
=====(=====



HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

GII TÍCH 1
Biên son : TS. V GIA TÊ













5
LI NÓI U
Gii tích (Toán cao cp A1) là hc phn đu tiên ca chng trình toán dành cho sinh viên
các nhóm ngành Qun tr kinh doanh.  hc tt môn Toán cao cp theo phng thc ào to t
xa, bên cnh các hc liu: sách, giáo trình in, bng đa hình, , sách hng dn cho ngi hc
toán cao cp là rt cn thit. Tp sách hng dn này đc biên son là nhm mc đích trên. Tp
sách đc biên son theo chng trình qui đnh nm 2001 ca B Giáo dc
ào to và theo đ

cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2007.
Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang
ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin
Công ngh BC-VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính
vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các
ngành đi hc và cao đng.
Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công
tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu
ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi
ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc thông qua các ví d
 minh ho. Sau các chng,
ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp di dng trc nghim. Nh các ví d minh ho
đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài
tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn d
a
vào phn hng dn và đáp s đc cung cp  nhng trang cui sách.
Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép
tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình
bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc
vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t
đc và hc qua mng, tu theo kh
nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó.
Nhân đây tác gi cng lu ý rng  bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình
toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính
cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th n
u không t đc mt
cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy
rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp.
Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 45 đn 60 tit:
Chng I: Hàm s và gii hn

Chng II: o hàm và vi phân.
Chng III: Hàm s nhiu bin s
Chng IV: Phép tính tích phân.
Chng V: Phng trình vi phân


6
Tuy rng tác gi đã c gng rt nhiu, song thi gian b hn hp.Vì vy các thiu sót còn
tn ti trong cun sách là điu khó tránh khi. Tác gi chân thành ch đón s đóng góp ý kin
ca các bn đng nghip, hc viên xa gn và xin cm n v điu đó.
Chúng tôi bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh BC-VT, Trung
tâm ào to BC-VT1, Phòng ào to i hc t xa và các bn đng nghip trong B môn Toán
ca Hc vin Công ngh BC-VT đã khuyn khích đng viên, to điu kin cho ra tp tài liu này

Hà Ni, ngày 7 tháng 6 nm 2006
Tác gi
Chng 1: Hàm s mt bin s

7
CHNG I: HÀM S VÀ GII HN
MC ÍCH, YÊU CU
Mi vt xung quanh ta đu bin đi theo thi gian. Chúng ta có th nhn thy điu đó qua
s chuyn đng c hc ca các vt th: ô tô, máy bay; s thay đi ca các đi lng vt lý: nhit
đ, tc đ, gia tc; s bin đng kinh t trong mt xã hi: Giá c phiu, lãi sut tit kim, Tt
c các loi hình đó đc gán mt tên chung là đi l
ng hay hàm s, nó ph thuc vào đi s
nào đó, chng hn là thi gian. Xem xét hàm s tc là quan tâm đn giá tr, tính cht và bin
thiên ca nó. Vic đó đt ra nh mt nhu cu khách quan ca con ngi và xã hi.
Trong chng này, chúng ta cn nm đc các ni dung sau:
1. Mô t đnh tính và đnh lng các hàm s s cp c bn. Nhn bit hàm s s cp, tính

cht gii hn và liên tc ca nó.
2. Khái nim gii hn ca hàm s trong các quá trình khác nhau, các tính cht v gii hn
và thành tho các phng pháp kh các dng bt đnh da trên phép thay th các VCB, VCL
tng đng, đc bit các gii hn đáng nh:

1
sin
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
,
e
xx
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−∞→+∞→
1
1lim
1
1lim

3. Khái nim liên tc, gián đon ca mt hàm s. Các tính cht hàm s liên tc trên mt
đon kín.
4. Các hàm s thng dùng trong phân tích kinh t.
NI DUNG
1.1. CÁC KHÁI NIM C BN V HÀM S
1.1.1. Các đnh ngha c bn
A. nh ngha hàm s
Cho X là tp không rng ca
 . Mt ánh x f t X vào  gi là mt hàm s mt bin s

:
( )
fX
x

fx
→



X gi là tp xác đnh ca
f
,
)(Xf
gi là tp giá tr ca
f
. ôi khi ký hiu

Xxxfy ∈= ),(
, x gi là đi s ( bin đc lp), y gi là hàm s (bin ph thuc)
B. Hàm s chn, hàm s l
Cho X đi xng vi 0 tc là XxXx
∈
−
∈
∀
,
Hàm s
f
(x) chn khi và ch khi )()(
x
f
x
f
−

=
.
Hàm s
f (x) l khi và ch khi ).()(
x
f
x
f
−
−
=

C. Hàm s tun hoàn
Chng 1: Hàm s mt bin s

8
Hàm s f (x) gi là tun hoàn trên X nu tn ti
*
τ
+
∈
 ,(
*
+
 đc kí hiu là tp các s
dng) sao cho
Xx ∈∀
thì
x+
τ

X∈ và f (x+
τ
)= f (x).
S T dng bé nht trong các s
τ
gi là chu kì ca hàm s tun hoàn f(x).
D. Hàm s đn điu
Cho
f (x) vi .Xx
∈

1. Nói rng
f
(x) tng nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx
≤
⇒
≤
∈
∀
.
và
f (x) tng ngt nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx
<
⇒
<
∈

∀
.
2. Nói rng
f (x) gim nu
)()(,,
212121
xfxfxxXxx ≥⇒
≤
∈
∀
.
và
f (x) gim ngt nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx >⇒
<
∈
∀
.
3. Nói rng
f (x) đn điu nu nó tng hoc gim.
Nói rng
f (x) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt.
E. Hàm s b chn
1. Hàm s f (x) b chn trên trong X nu tn ti s A sao cho :
AxfXx ≤∈∀ )(, .
2. Hàm s
f (x) b chn di trong X nu tn ti s B sao cho: ,()
x
XB fx

∀
∈≤.
3. Hàm s
f (x) b chn trong X nu tn ti các s A,B sao cho:

AxfBXx ≤≤∈∀ )(,
.
F. Hàm s hp
Cho
f : X → và g: Y → vi YXf ⊂)( gi ánh x

0
:
( ( ))
gf X
x
gfx
→



Hay y = g(
f (x)) là hàm s hp ca hai hàm f và g.
G. Hàm s ngc
Cho song ánh
: , ,fX Y XY→⊂

Ánh x ngc
XYf →
−

:
1
gi là hàm s ngc ca f

)(
1
yfxy
−
=
Thông thng đi s kí hiu là x, hàm s kí hiu là y, vy hàm ngc ca
)(xfy =
là
hàm s
)(
1
xfy
−
= . Vì th trên cùng mt phng to đ Oxy, đ th ca hai hàm s f và
1−
f là
đi xng nhau qua đng phân giác ca góc phn t th I và III.
1.1.2. Các hàm s s cp c bn
A. Hàm lu tha
Cho
α
∈ . Hàm lu tha vi s m
α
,đc kí hiu là
α
P , là ánh x t

*
+

vào  , xác
đnh nh sau
*
,()
x
Px x
α
α
+
∀∈ =
Chng 1: Hàm s mt bin s

9
Nu 0>
α
, coi rng 0)0( =
α
P . Nu 0
=
α
, coi rng 1)0(
0
=
P
 th ca
)(xP
α

cho bi h.1.1
y

1>
α

1
=
α


10 <<
α


1
0
=
α



0
<
α

O 1

H.1.1
B. Hàm m c s a

Xét
*
\{1}a
+
∈ . Hàm m c s a, kí hiu là x
a
exp , là ánh x t  vào
*
+
 , xác đnh nh
sau:
, exp .
x
a
x
xa∀∈ =  th ca
x
ay = cho bi h.1.2.
C. Hàm lôgarit c s a
Xét
*
\{1}a
+
∈ . Hàm lôgarit c s a, kí hiu là
a
log ,là ánh x ngc vi ánh x
a
exp ,
nh vy
*

( , ) , log
y
a
x
yyxxa
+
∀∈× = ⇔=
 th ca hàm s xy
a
log= cho bi hình h.1.3.
Chú ý: Hàm lu tha có th m rng khi min xác đnh là
 .


y y
log
a
x, a>1
a
x
, a>1

1 O 1 x

a
x
, 0 < a < 1
x log
a
x, 0<a<1

H.1.2 H.1.3

Tính cht ca hàm s lôgarit
1.
01log =
a

Chng 1: Hàm s mt bin s

10
2.
*
, , xy
+
∀∈
yx
y
x
yxxy
aaa
aaa
logglolog
logloglog
−=
+
=


log log
aa

x
x
α
αα
∀∈ =
3.
*
, , log log .log
bba
ab x a x
+
∀∈ =
4.
*
1
, log log
a
a
x
xx
+
∀∈ =−
Chú ý: Sau này ngi ta thng ly c s a là s e và gi là lôgarit Nêpe hay lôgarit t
nhiên ca x, kí hiu y = lnx và suy ra
a
x
x
a
ln
ln

log = , e = 2,718281828459045…,

1
lg 0,434294
ln10
e ==

D. Các hàm s lng giác
Các hàm s lng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đc xét k trong chng trình ph thông
trung hc. Di đây chúng ta ch nhc li mt s tính cht c bn ca chúng.
Tính cht:
1. sinx xác đnh trên
 , là hàm s l, tun hoàn vi chu kì T = 2
π
và b chn:

1sin 1,xx
−
≤≤∀∈

2. cosx xác đnh trên

, là hàm s chn, tun hoàn vi chu kì T = 2
π
và b chn:

1cos 1,xx−≤ ≤ ∀∈
3. tgx xác đnh trên
 \{
,

2
kk
π
π
+∈

}, là hàm s l, tun hoàn vi chu k
π
=T và
nhn giá tr trên khong
),( +∞
−
∞
.
4. cotgx xác đnh trên

\{
,kk
π
∈

}, là hàm s l, tun hoàn vi chu k
π
=T và nhn
giá tr trên khong
),( +∞−∞
.
E. Các hàm s lng giác ngc
1. Hàm arcsin (đc là ác-sin) là ánh x ngc ca sin:
[]

1,1
2
,
2
−→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ππ

Kí hiu là arcsin:
[]
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−→−
2
,
2
1,1
ππ

Vy ta có:
[]
yxxyyx sinarcsin ,
2
,
2
,1,1 =⇔=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−∈∀−∈∀
ππ

 th ca y = arcsinx cho trên hình 1.4




Chng 1: Hàm s mt bin s

11

x





H.1.4 H.1.5
2. Hàm arccosin (đc là ác- cô- sin) là ánh x ngc ca
[
]
[
]
1,1,0:cos −→
π
kí hiu:

[][]
π
,01,1:arccos →−

[]
[
]
yxxyyx cosarccos,,0,1,1
=
⇔
=
∈

∀−∈
∀
π

 th hàm s y = arccosx cho trên hình 1.5


[]
π
π
,0arcsin
2
∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− x

xxx ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− )sin(arcsinarcsin
2

cos
π

Vy
2
arcsinarccos
π
=+ xx
3. Hàm arctang (đc là ác-tang) là ánh x ngc ca
:, ,
22
tg
ππ
⎛⎞
−→
⎜⎟
⎝⎠

kí hiu:

:,
22
arctg
π
π
⎛⎞
→−
⎜⎟
⎝⎠


Vy ta có
, ,
22
x
y y arctgx x tgy
ππ
⎛⎞
∀∈ ∀∈− = ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠


 th ca y = arctgx cho trên hình 1.6.
4. Hàm arccôtang (đc là ác-cô-tang) là ánh x ngc ca cotg
:(0, )
π
→ kí hiu:

cot : 0,
2
arc g
π
⎛⎞
→
⎜⎟
⎝⎠


Vy ta có

, 0, cot cot
2
x
y y arc gx x gy
π
⎛⎞
∀∈ ∀∈ = ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠


 th hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7
y
2
π

arcsinx
-1
2
π
−
O
1
2
π

arccosx
π
y
2

π

1
π
2
π

x
O
Chng 1: Hàm s mt bin s

12

y
2
π
arctg
0
2
π
x
tg


H.1.6

2
π
2
π

π
π
y
x
0
arccotg


H.1.7
Chng 1: Hàm s mt bin s

13
, cot ( cot )
x
garc gx x∀∈ =
Vy
2
cot
π
=+ gxarcarctgx
Ngi ta gi hàm s lu tha, hàm s m, hàm s lôgarit, các hàm s lng giác và các
hàm s lng giác ngc là các hàm s s cp c bn.
H. a thc, hàm hu t.
1. Ánh x P:
X → đc gi là đa thc khi và ch khi tn ti n
∈
 và
1
01
( , , , )

n
n
aa a
+
∈ sao cho
∑
=
=∈∀
n
i
i
i
xaxPXx
0
)( ,
Nu
0≠
n
a , gi n là bc ca đa thc, kí hiu degP(x) = n
2. Ánh x
f :
X →
đc gi là hàm hu t khi và ch khi tn ti hai đa thc
P, Q:
X → sao cho
)(
)(
)(,0)(,
xQ
xP

xfxQXx =≠∈∀

Gi
)(
)(
)(
xQ
xP
xf
=
là hàm hu t thc s khi và ch khi: degP(x) < degQ(x)
3. Hàm hu t ti gin là các phân thc có dng:

k
ax
A
)( −
hoc
k
qpxx
CBx
)(
2
++
+

Trong đó
k
∈


*
, CBAqpa ,,,,, là các s thc và qp 4
2
− <0
Di đây ta đa ra các đnh lí đc chng minh trong lí thuyt đi s
nh lí 1.1: Mi đa thc bc n vi các h s thc đu có th phân tích ra tha s trong dng:

ml
mm
k
l
k
n
qxpxqxpxxxaxP
β
β
αα
) ()() ()()(
2
11
2
1
11
++++−−=
trong đó
),1( li
i
=
α
là các nghim thc bi

i
k ca đa thc, còn
,,
jj j
pq
β
∈

vi
mj , ,2,1= và
mjqpnk
jj
m
j
j
l
i
i
,1;042
2
11
=<−=+
∑∑
==
,
β

nh lí 1.2: Mi hàm hu t thc s đu có th phân tích thành tng hu hn các hàm hu t ti
gin. .
1.1.3. Hàm s s cp

nh ngha: Hàm s s cp là nhng hàm s đc to thành bi mt s hu hn các phép
tính cng, tr, nhân, chia và các phép ly hàm hp đi vi các hàm s s cp c bn và các hng
s, chng h
n
osx 3 2
() ln 2 arcsinx
c
fx e x x
−
=− là mt hàm s s cp.
1.1.4. Các hàm s trong phân tích kinh t
A. Hàm cung và hàm cu
Khi phân tích th trng hàng hóa và dch v, các nhà kinh t s dng khái nim hàm cung
(supply function) và hàm cu (demand function) đ biu din s ph thuc ca lng cung và
lng cu ca mt loi hàng hóa vào giá tr ca hàng hóa đó. Hàm cung và hàm cu biu din
Chng 1: Hàm s mt bin s

14
tng ng là: (), ()
sd
QSpQ Dp==, trong đó: p là giá hàng hóa,
s
Q là lng cung (quantity
supplied), tc là lng hàng hóa mà ngi bán bng lòng bán  mi mc giá;
d
Q là lng cu
(quantity demanded), tc là lng hàng hóa mà ngi mua bng lòng mua  mi mc giá.
Tt nhiên, lng cung và lng cu hàng hóa không ch ph thuc vào giá c ca hàng hóa
đó, mà còn chu nh hng ca nhiu yu t khác, chng hn nh thu nhp và giá ca các hàng
hóa liên quan. Khi xem xét các mô hình hàm cung và hàm cu  dng nêu trên ngi ta gi thit

rng các yu t khác không thay đi. Quy lut th trng trong kinh t hc nói rng, đi v
i các
hàng hóa thông thng, hàm cung là hàm đn điu tng, còn hàm cu là đn điu gim. iu
này có ngha là, vi các yu t khác gi nguyên, khi giá hàng hóa tng lên thì ngi bán s mun
bán nhiu hn và ngi mua s mua ít đi. Các nhà kinh t gi đ th ca hàm cung và hàm cu là
đng cung và đng cu. Giao đim ca đng cung và đng cu gi là đim cân bng ca th
tr
ng.  mc giá cân bng
p
ta có ,
sd
QQQ
=
= tc là ngi bán bán ht và ngi mua mua
đ, th trng không có hin tng d tha hoc khan him hàng hóa.
Chú ý: Trong các tài liu kinh t ngi ta thng s dng trc hoành đ biu din lng Q, trc
tung đ biu din giá p. Cách biu din nh vy tng ng vi vic biu din hàm ngc ca
hàm cung và hàm cu:
11
(), ()
s
d
p
SQpDQ
−−
==. Trong kinh t hc nhiu khi ngi ta vn gi
các hàm này là hàm cung và hàm cu.  th ca chúng đc cho trên H.1.8.
B. Hàm sn xut ngn hn
Các nhà kinh t hc s dng khái nim hàm sn xut đ mô t s thuc ca sn lng hàng
hóa (tng s lng sn phm hin vt) ca mt nhà sn xut vào các yu t đu vào ca sn xut,

nh
vn và lao đng v,v…

1
()
s
pSQ
−
=
1
()
s
pDQ
−
=

H.1.8
Trong kinh t hc khái nim ngn hn và dài hn không đc xác đnh bng mt khong thi
gian c th, mà đc hiu theo ngha nh sau:
Ngn hn là khong thi gian mà ít nht mt trong các yu t sn xut không thay đi. Dài
hn là khong thi gian mà tt c các yu t sn xut có th thay đi.
Khi phân tích sn xut, ngi ta thng quan tâm đn hai yu t
 sn xut quan trng là vn
(capital) và lao đng (labor), đc kí hiu tng ng là K và L.
Trong ngn hn thì K không thay đi, do đó hàm sn xut ngn hn có dng:

()QfL=
Chng 1: Hàm s mt bin s

15

trong đó L là lng lao đng đc s dng và Q là mc sn lng tng ng. Chú ý rng ngi
ta xét hàm sn xut sn lng Q và các yu t sn xut K, L đc đo theo lung (flow), tc là đo
theo đnh kì (hàng ngày, hàng tun, hàng tháng, hàng nm v,v…)
C. Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm li nhun
Tng doanh thu (total revenue), tng chi phí (total cost) và tng li nhun (total profit) ca
nhà sn xut ph thuc vào hàng hóa. Khi phân tích sn xut, cùng vi hàm sn xut, các nhà
kinh t
 hc còn s dnh các hàm s:
1. Hàm doanh thu là hàm s biu din s ph thuc ca tng doanh thu, kí hiu TR vào sn
lng Q:
TR = TR(Q)
Chng hn, tng doanh thu ca nhà sn xut cnh tranh là hàm bc nht:
TR = pQ
trong đó p là giá sn phm trên th trng.
2. Hàm chi phí là hàm s biu din s ph thuc ca tng chi phí, kí hiu TC vào sn lng Q:
TC = TC(Q)
. 3. Hàm li nhun là hàm s biu din s
 ph thuc ca tng li nhun, kí hiu
π
vào sn
lng Q:

()Q
π
π
=

Hàm li nhun có th xác đnh thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:

π

= TR(Q)
−
TC(Q).
D. Hàm tiêu dùng
Lng tin mà ngi tiêu dùng dành đ mua sm hàng hóa và dch v ph thuc vào thu nhp.
Các nhà kinh t s dng hàm tiêu dùng đ biu din s ph thuôc ca bin tiêu dùng, kí hiu C
(consumption) vào bin thu nhp Y (income):
C = f(Y)
Theo qui lut chung, khi thu nhp tng, ngi ta có xu hng tiêu dùng nhiu hn, do đó hàm
tiêu dùng là hàm đng bin.
1.2.GII HN CA HÀM S
1.2.1. Khái nim v gii hn
A. nh ngha gii hn
Ta gi
−
δ
lân cn ca đim a
∈
 là tp ),()(
δ
δ
δ
+
−
=
Ω
aaa
Gi A- lân cn ca
∞+ là tp ),()(
+

∞
=
+
∞
Ω
A
A
vi A>0 và khá ln.
Gi B- lân cn ca
∞− là tp ),()( B
B
−
−
∞
=
−
∞
Ω
vi B>0 và khá ln.
Cho f xác đnh  lân cn đim a (có th không xác đnh ti a )
1. Nói rng
f có gii hn là
l
khi x dn đn a (gi tt: có gii hn là
l
ti a) nu

{
}
εε

ηη
<−⇒Ω∈∀⊂Ω∃>∀ lxfaaxXa )(\)(,)(,0

2. Nói rng
f có gii hn là
∞
+
ti a nu

{
}
AxfaaxXaA >⇒
Ω
∈
∀
⊂Ω∃>∀ )(\)(,)(,0
ηη
.
Chng 1: Hàm s mt bin s

16
3. Nói rng f có gii hn là
∞−
ti a nu f
−
có gii hn là
∞
+
ti a
4. Nói rng

f có gii hn là
l
ti
∞
+
nu

εε
<−⇒+∞Ω∈∀⊂+∞Ω∃>∀ lxfxX
AA
)()(,)(,0 .
5. Nói rng
f có gii hn là
l
ti
∞
−
nu

εε
<−⇒−∞Ω∈∀⊂−∞Ω∃>∀ lxfxX
BB
)()(,)(,0 .
6. Nói rng
f có gii hn là
∞+
ti
∞
+
nu

AxfxXA
MM
>⇒
+
∞
Ω
∈
∀
⊂+∞Ω
∃
>∀ )()(,)(,0 .
7. Nói rng
f có gii hn là ∞− ti
∞
+
nu và ch nu f
−
có gii hn là ∞+ ti

∞+
8. Nói rng
f có gii hn là ∞+ ti
∞
−
nu

AxfxXA
MM
>⇒

−
∞
Ω
∈
∀⊂−∞Ω∃>∀ )()(,)(,0
.
9. Nói rng
f có gii hn là ∞− ti
∞
−
khi và ch khi f
−
có gii hn là ∞+ ti
∞
−
Khi
)(xf có gii hn là l ti a hoc ti
∞
±
nói rng )(xf có gii hn hu hn ti a hoc ti
∞± . Ngc li )(xf có gii hn là ∞± , nói rng nó có gii hn vô hn.
B. nh ngha gii hn mt phía.
1. Nói rng
f có gii hn trái ti a là
1
l
nu

.)(0,),)((0,0
1

εηηε
η
<−⇒<−<∀⊂Ω∃>∃>∀ lxfxaxXa
2. Nói rng
f có gii hn phi ti a là
2
l nu

.)(0,,0,0
2
εηηε
<−⇒<−<∀>∃>∀ lxfaxx

Kí hiu f có gii hn là l ti a thng là:
lxf
ax
=
→
)(lim hoc ()
x
a
f
xl
→
→
Tng t có các kí hiu:
x
lim ( ) , ; lim ( ) , ,
xa
fx fx l

→→±∞
=
+∞ −∞ = +∞ −∞
Kí hiu
f
có gii hn trái ti a là
1
l , thng dùng
(
)
1
)(lim lafxf
ax
==
−
→
−

Tng t
(
)
2
)(lim lafxf
ax
==
+
→
+

H qu: iu kin cn và đ đ

lxf
ax
=
→
)(lim
là .)()( lafaf ==
+−

1.2.2. Tính cht ca hàm có gii hn.
A. Tính duy nht ca gii hn
nh lí 1.3: Nu
lxf
ax
=
→
)(lim thì
l
là duy nht.
B. Tính b chn
nh lí 1.4: Nu
lxf
ax
=
→
)(lim
thì
)(xf
b chn trong mt lân cn ca a.
Chng minh:
Chng 1: Hàm s mt bin s

17
Ly ,1=
ε

{
}
.1)(\)(,0 <−⇒Ω∈∀>∃ lxfaax
η
η

Hay
lllxfllxfxf +≤+−≤+−= 1)()()(
Chú ý:
• Trng hp
−∞=+∞= aa , cng chng minh tng t.
• nh lí đo: Hàm
)(xf không b chn trong lân cn ca a thì không có gii hn hu hn
ti a.
Chng hn
x
x
xf
1
sin
1
)( =
không có gii hn hu hn ti 0.
C. Tính cht th t ca gii hn và nguyên lí kp.
nh lí 1.5: Cho

lxf
ax
=
→
)(lim
. Khi đó:
1. Nu
l
c < thì trong lân cn đ bé ca )(: xfca
<

2. Nu
d
l
< thì trong lân cn đ bé ca dxfa
<
)(:
3. Nu
d
l
c
<
< thì trong lân cn đ bé ca dxfa
<
<
)(: c
Chng minh:
1.
{
}

)()(\)(,,0
1
1
xfccllxfaaxcl <⇒−<−⇒Ω∈∀∃>−=
η
ηε

2.
{
}
dxfldlxfaaxld <⇒−<−⇒Ω∈∀∃−= )()(\)(,,
2
2
η
ηε

3.
{
}
dxfcaaxMin
<
<
⇒Ω∈∀=∃ )(\)(),(
2,1
η
η
η
η

Chú ý: nh lí trên không còn đúng khi thay các bt đng thc ngt bng các bt đng thc

không ngt.
nh lí 1.6: Cho
,)(lim lxf
ax
=
→
khi đó
1. Nu
)(xfc ≤
trong lân cn ca a thì lc
≤

2. Nu
dxf
≤
)(
trong lân cn ca a thì dl
≤

3. Nu
dxfc ≤≤ )(
trong lân cn ca a thì dlc
≤
≤

Nh vào lp lun phn chng, chúng ta thy đnh lí trên thc cht là h qu ca đnh lí 1.
nh lí 1.7( Nguyên lí kp): Cho ba hàm s
hgf ,, tho mãn: )()()( xhxgxf ≤
≤
trên X; và

lxhxf
axax
=
=
→→
)(lim)(lim Khi đó lxg
ax
=
→
)(lim
Chng minh:
εηηηε
<−⇒<−<∀∃>∀ lxfaxx )(0:,,,0
121


ε
η
<
−
⇒
<
−
< lxhax )(0
2

Ly
),(
21
η

η
η
Min= thì
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<−
<−
⇒<−<∈∀
ε
ε
η
lxh
lxf
axXx
)(
)(
0 :


.)()()(
ε
ε
<
−
≤
−≤−<−⇒ lxhlxglxf Tc là lxg
ax

=
→
)(lim
Chú ý: nh lí đúng vi các trng hp
−
∞
=
+
∞
=
aa ,
Chng 1: Hàm s mt bin s

18
nh lí 1.8: Nu trong lân cn ca a có )()( xgxf
≤
và
+
∞
=
→
)(lim xf
ax
thì:

+∞=
→
)(lim xg
ax

Chng minh:

AxfaxxA >⇒<−<∀∃>∀ )(0:,,0
11
ηη

Mt khác
)()(0:,
22
xgxfaxx ≤⇒<−<∀∃
ηη

Ly
AxgaxxMin >⇒<−<∀= )(0:),,(
21
ηηηη
chng t ()
xa
gx
→
→−∞
Chú ý:
• nh lí đúng vi trng hp
−
∞
=
+
∞
=
aa ,

• Tng t có đnh lí khi ()
xa
fx
→
→−∞
D. Các phép tính đi s ca hàm s có gii hn
nh lí 1.9: (Trng hp gii hn hu hn):
1.
() ()
xa xa
f
xlfx l
→→
→⇒ →

2.
() 0 () 0
x
axa
fx fx
→→
→⇔ →

3.
1
()
x
a
f

xl
→
→ và
212
() () ()
xa xa
gx l f x gx l l
→→
→⇒ + →+
4.
( ) . ( ) ,
xa xa
fx l fx l
λ
λλ
→→
→⇒ → ∈
5.
() 0
x
a
fx
→
→ và )(xg b chn trong lân cn ca ().() 0
x
a
afxgx
→
⇒→
6.

1
()
x
a
f
xl
→
→ và
212
() ().() .
xa xa
gx l f x gx ll
→→
→⇒ →
7.
1
()
x
a
f
xl
→
→ và
1
2
2
()
() 0
()
xa xa

l
fx
gx l
gx l
→→
→≠⇒ →
nh lí 1.10 (Trng hp gii hn vô hn):
1. Nu
()
xa
fx
→
→+∞
và
mxg ≥)(
trong lân cn ca a thì
() ()
xa
fx gx
→
+
→+∞

2. Nu
()
xa
fx
→
→+∞
và

0)( >≥ mxg
trong lân cn ca a thì
().()
xa
fxgx
→
→+∞

E. Gii hn ca hàm hp
Cho
: , : fX gY→→ và
Y
X
f
⊂)(
nh lí 1.11: Nu
()
x
a
f
xb
→
→ và ()
yb
gy l
→
→ thì (())
x
a
gfx l

→
→
Chng minh:

)(0 :,
)(0 :,,0
ηδδ
εηηε
ηη
<−⇒<−<∀∃
<−⇒<−<∀∃>∀
bxfaxx
lygbyy

εδ
η
<−⇒<−<∀ lxfgaxx ))((0 : , vy (())
x
a
gfx l
→
→
Chng 1: Hàm s mt bin s

19
F. Gii hn ca hàm đn điu
nh lí 1.12: Cho
: ( , ) , ,fab ab→∈ hoc
,ab
∈

 và là hàm tng.
1. Nu
f b chn trên bi M thì
*
lim ( )
xb
f
xM M
−
→
=
≤
2. Nu
f không b chn trên thì
+
∞
=
−
→
)(lim xf
bx

nh lí 1.12 có th suy din cho trng hp
()
f
x gim trên (a,b).Kt qu cho trên hình 1.9

: ( , )fab→ Kt lun  th

Tng và b

() ()
(,)
xb
x
Sup f x
ab
f
−
→
→

chn trên a b

Gim và b
chn di
(,)
() ()
xb
ab
f
xInffx
−
→
→

Gim và b
chn trên
(,)
() ()
xa

ab
f
x Sup f x
+
→
→

Tng và b
() ()
xa
f
xInffx
+
→
→
chn di

Tng và không
b chn trên
()
xb
fx
−
→
→+∞

Gim và không
b chn di
()
xb

fx
−
→
→−∞

Gim và không
()
xa
fx
+
→
→+∞
b chn trên

Tng và không
()
xa
fx
+
→
→−∞
b chn di

H.1.9
Chng 1: Hàm s mt bin s

20

nh lí 1.13: Nu
)(xf xác đnh ti a và tng  lân cn ca a thì luôn tn ti mt gii hn trái

và mt gii hn phi hu hn ti a đng thi có h bt đng thc:

)(lim)()(lim xfafxf
axax
+−
→→
≤≤
Chng minh:
Rõ ràng:
)(xf tng và b chn trên bi )(af  lân cn bên trái ca a.

)(xf tng và b chn di bi )(af  lân cn bên phi ca a.
Theo đnh lí 1.12, chúng ta nhn đc kt qu cn chng minh. Ta có kt qu
tng t khi f gim. Hình 1.10. mô t đnh lí 1.13.
y



)(
+
af

)(af

)(
−
af

0 a x
H.1.10

1.2.3. Các gii hn đáng nh
A.
1
sin
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
(1.1)
Chng minh: D dàng thy đc
{}
0\
2
,
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∈
ππ

x
thì có bt đng thc kép:
1
sin
cos <<
x
x
x
.
Dùng đnh ngha chng minh đc
1coslim
0
=
→
x
x
. Vy suy ra công thc (1.1)
B.
e
xx
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−∞→+∞→
1
1lim
1
1lim
(1.2)
C.
−
∞
=
+∞
=
+
→+∞→
xx
xx
lnlim ,lnlim
0
(1.3)
Chng minh: Vì lnx tng trên
*

+

nên ti
∞
+
hàm s có gii hn hu hn hoc là ∞+ .
Gi s có gii hn hu hn
l
thì .2lnlimlnlim xlx
xx ∞→+∞→
=
=

Tuy nhiên
ln 2 ln 2 ln ln 2xxll=+→=+ vô lý.
Vy
*
1
ln . , ln ln
x
xo
xxx
x
+
+
→+∞
→
→+∞ ∀ ∈ =− →−∞

Chng 1: Hàm s mt bin s

21
Ví d 1: Chng minh: 0
1
lim ,0sinlim
0
==
±∞→
→
+
x
x
x
x

Gii:

0>∀
ε
(
ε
bé)
{
}
0\)0(
ε
Ω∈∀x có xx <sin .
Ly
εεεη
<⇒<<∀= xxx sin0 :,

0>∀
ε
đ Ax
x
=>⇔<
ε
ε
11

Vy
*
1
, : .AxxA
x
ε
+
∃∈ ∀ > ⇒ < Chng t
1
0
x
x
→±∞
→
Ví d 2: Tính
(
)
11lim ,
22
312

lim
22
4
−−+
−+
−+
∞→→
xx
x
x
xx

Gii:

4
22
22
2132(4).( 2 2) 2.222
.2
2.3 3
22(4).(213)
2
11 0
11
x
x
xxx
xxx
xx
xx

→
→∞
+− − − +
=→=
−− − ++
+− −= →
++ −

Ví d 3: Tính
2
0
3coscos
lim
x
xx
x
−
→

Gii:

2
22
22
2
3
sin2
2
sin2
)3cos1()1(cos3coscos

x
xx
x
xx
x
xx
+−
=
−+−
=
−


22
22
0
3
sin sin
19 19
22
4
22 22
3
22
x
xx
xx
→
=− + →− + =
⎛⎞ ⎛ ⎞

⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠

Ví d 4: Tính
()
2
2
1
2
0
1
lim , lim 1 sin
1
x
x
xx
x
x
x
→∞ →
⎛⎞
−
+
⎜⎟
+
⎝⎠

Gii:

22

2
2
12
.
2
2
1
-2
22
x
12
1 e
11
xx
x
x
x
xx
⎛⎞⎛⎞
+
−−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
+
⎝⎠⎝⎠
→∞
⎛⎞
−
⎛⎞
=− →

⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
⎝⎠


()()
11sin
.
sin
0
1sin 1sin
x
xxx
x
x
xe
→
+=+ →

D. S tn ti gii hn ca các hàm s cp
nh lí 1.14: Hàm s s cp xác đnh ti
0
x thì )()(lim
0
0
xfxf
xx
=

→

Chng 1: Hàm s mt bin s

22
1.3. I LNG VÔ CÙNG BÉ(VCB) VÀ I LNG VÔ CÙNG LN(VCL)
1.3.1. i lng VCB
A. nh ngha:
Hàm s
: X
α
→ , gi là đi lng VCB ti a nu nh
() 0
x
a
x
α
→
→
, a có th là
∞
+
hoc -
∞
H qu:  tn ti
lxf
ax
=
→
)(lim điu kin cn và đ là hàm s lxfx

−
=
)()(
α
là VCB ti a.
B. Tính cht đi s ca VCB
Da vào tính cht đi s ca hàm có gii hn, nhn đc tính cht đi s ca các VCB
sau đây:
1. Nu
nix
i
, ,2,1),( =
α
là các VCB ti a thì tng
∑
=
n
i
i
x
1
)(
α
, tích
∏
=
n
i
i
x

1
)(
α
cng là
VCB ti a
2. Nu
)(x
α
là VCB ti a, )(xf b chn trong lân cn ca a thì )().( xfx
α
là VCB ti a.
C. So sánh các VCB
Cho )(),( xx
β
α
là các VCB ti a.
1. Nu
0
x
a
α
β
→
→ thì nói rng
α
là VCB cp cao hn
β
ti a, kí hiu )(
β
α

o= ti a,
cng nói rng
β
là VCB cp thp hn
α
ti a.
2. Nu
0
xa
c
α
β
→
→≠ thì nói rng
β
α
,
là các VCB ngang cp ti a.
c bit 1=c thì nói rng
β
α
, là các VCB tng đng ti a. Khi đó kí hiu
β
α
~ ti a.
Rõ ràng nu
β
α
, ngang cp ti a thì tn ti hng s c khác không đ:
β

α
c~ ti a.
3. Nu )(
k
o
αγ
= thì nói rng
γ
là VCB có cp cao hn k so vi VCB
α
ti a
4. Nu
0)(c ~ ≠
k
c
αγ
thì nói rng
γ
là VCB có cp k so vi VCB
α
ti a
H qu 1: Nu
11
~,~
β
β
α
γ
ti a thì
1

1
limlim
β
α
β
α
axax →→
=

H qu 2: Nu
)(
β
α
o=
ti a thì
β
β
α
~+
ti a .
H qu 3: Qui tc ngt b VCB cp cao:
Nu
*
α
là VCB cp thp nht trong s các VCB
(
)
mi
i
,1 , =

α

và
*
β
là VCB cp thp nht trong s các VCB
(
)
ni
i
,1 , =
β
ti a . Khi đó:

*
*
1
1
limlim
β
α
β
α
ax
n
j
j
m
i
i

ax →
=
=
→
=
∑
∑

Chú ý: Các VCB đáng nh là:
Chng 1: Hàm s mt bin s

23
1.
0
0, 0
x
x
α
α
→
→>

2.
()
(
)
x
0, 1 a 0, 0 1
x
xx

aa a
→−∞ →+∞
→> →<<

3.
00 0
0, 0, arcsin 0
xx x
sinx tgx x
→→ →
→→ →
4.
0
0
x
arctg
→
→
1.3.2. i lng VCL
A. nh ngha
Hàm s A:
X → gi là đi lng VCL ti a nu nh ()
xa
Ax
→
→+∞ hoc ∞−
(a có th là
∞
+ hoc ∞− ).
H qu: 

)(xA là VCL ti a thì cn và đ là
)(
1
)(
xA
x =
α
là VCB ti a.
B. Tính cht ca VCL
1. Nu
nixA
i
, ,2,1),( = là các VCL cùng du
(
)
∞
+
hay
()
∞− ti a thì tng
∑
=
n
i
i
xA
1
)( là VCL mang du đó ti a.
Nu
nixB

i
, ,2,1),( = là các VCL ti a thì tích
∏
=
n
i
i
xB
1
)( là VCL ti a
2. Nu
)(xA là VCL ti a và )(xf gi nguyên du ti a và lân cn ca nó thì
)().( xfxA là VCL ti a.
C. So sánh các VCL
Cho )(),( xBxA là các VCL ti a
1. Nu
()
()
xa
Ax
Bx
→
→∞ thì nói rng )(xA là VCL cp cao hn )(xB ti a, hay
B
là
VCL có cp thp hn
A
ti a
2. Nu
()

0
()
xa
Ax
c
Bx
→
→≠ thì nói rng BA, là VCL ngang cp ti a.
c bit 1=c thì nói rng BA, là các VCL tng đng ti a, kí hiu
B
A
~
ti a.
H qu 1: Nu
11
~,~ BBAA ti a thì
)(
)(
lim
)(
)(
lim
1
1
xB
xA
xB
xA
axax →→
=

H qu 2: Nu
)(xA là VCL cp cao hn )(xB ti a thì A
B
A
~
+
.
H qu 3: Qui tc ngt b các VCL cp thp:
Nu
*
A là các VCL cp cao nht trong s các VCL mixA
i
, ,2,1),(
=
và
*
B
là VCL
cp cao nht trong s các VCL
njxB
j
, ,2,1),(
=
ti a thì ta có
Chng 1: Hàm s mt bin s

24

)(
)(

lim
)(
)(
lim
*
*
1
1
xB
xA
xB
xA
ax
n
j
j
m
i
i
ax →
=
=
→
=
∑
∑

Chú ý: Các VCL sau đây thng hay dùng:
1.
(

)
, 0
x
x
α
α
→+∞
→+∞ >

2.
()
(
)
, 1 , 0 1
xx
xx
aa a a
→+∞ →−∞
→+∞ > →+∞ < <

3.
(
)
(
)
0
log , 1 log , 0 1
aa
x
x

xa x a
+
→+∞
→
→+∞ > →+∞ < <

4.
()
(
)
0
log , 1 log , 0 1
aa
x
x
xa x a
+
→+∞
→
→−∞ > →−∞ < <
Ví d 5: Tính
x
x
x
x
xx
sin
lim
1
cos.sinlim

0 ∞→→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
,
Gii:
0
0
11
0, cos 1 limsin .cos 0
1sin
0, sin 1 lim 0
x
x
x
x
sinx x
xx
x
x
x
x
→
→
→∞
→∞
→≤⇒ =

→≤⇒ =

Ví d 6: Tính
x
xxtg
x
x
xx
2
32
00
sin
lim ,
4sin
2sin
lim
−
→→

Gii:
1lim
sin
lim~sin,~
2
1
4
2
lim
4sin
2sin

lim
4~4sin
2~2sin
2
2
0
2
32
0
2222
00
==
−
⇒
==⇒
⎭
⎬
⎫
→→
→→
x
x
x
xxtg
xxxxtg
x
x
x
x
xx

xx
xx
xx

Ví d 7: Tìm
1
1
lim ,
2
1
lim ,
22
1
lim
2
2
3
2
2
2
−
+
+
++
−
−+
∞→∞→∞→
x
x
x

xx
x
xx
xxx

Gii:
2
1
2
lim
22
1
lim
2
2
2
2
==
−
−+
∞→∞→
x
x
x
xx
xx


0
1

limlim
2
1
lim
3
2
3
2
===
+
++
∞→∞→∞→
x
x
x
x
xx
xxx

1lim
1
1
lim
2
2
2
2
==
−
+

∞→∞→
x
x
x
x
xx

1.4. S LIÊN TC CA HÀM S
1.4.1. Các khái nim c bn
A. Hàm liên tc ti mt đim
Cho
: fX→ và Xa ∈ . Nói rng )(xf liên tc ti a nu

)()(lim afxf
ax
=
→
hay )lim()(lim xfxf
axax →→
=

Tc là
εηηε
<−⇒<−∀>∃>∀ )()( :,0,0 afxfaxx

B. Hàm liên tc mt phía ti a
Cho
: , .
f
XaX→∈ Nói rng hàm f liên tc bên trái ti a nu

Chng 1: Hàm s mt bin s

25
)()()(lim afafxf
ax
==
−
→
−

Hàm
f liên tc bên phi ti a nu
)()()(lim afafxf
ax
==
+
→
+

H qu:  hàm
)(xf liên tc ti a điu kin cn và đ là:

)()()( afafaf ==
+−

C. Hàm liên tc trên mt khong
1. Hàm
)(xf
liên tc ti mi đim Xx
∈

thì nói rng nó liên tc trên tp
X
.
2. Hàm
)(xf
liên tc trên khong m (a,b) và liên tc trái ti b, liên tc phi ti a nói rng
nó liên tc trên [a,b]
D. im gián đon ca hàm s
1. Nu
)(xf không liên tc ti a, nói rng )(xf có đim gián đon ti
a
x
=
.
2. Nu a là đim gián đon và )(),(
+−
afaf là các s hu hn thì gi a
x
= là đim gián
đon loi 1 ca hàm s và gi
)()()(
−+
−= afafah
f
là bc nhy ca )(xf ti a.
H qu: Nu
)(xf
tng (gim)  lân cn đim a khi đó
)(xf
liên tc ti a khi và ch khi

0)( =ah
f
. iu này suy ra t đnh lí 1.13 ca hàm s đn điu.
3. Nu a là đim gián đon ca
)(xf
và không phi là đim gián đon loi 1 thì nói rng
)(xf
có đim gián đon loi 2 ti a
x
=
.
Các đnh ngha trên đc mô t trên hình 1.11.

y y







1
a
2
a O
3
a
4
a a
1

a
2
a O
3
a b
loi 1 loi 2 liên tc tng khúc
H.1.11
E. Hàm liên tc tng khúc
Hàm
[
]
: , , , .fab ab→∈
Nói rng hàm
f liên tc tng khúc trên
[
]
ba, nu nh ch có mt s hu hn các đim
gián đon loi 1 ca hàm s trên đon đó.

Chng 1: Hàm s mt bin s

26
1.4.2. Các phép toán đi s ca hàm liên tc
nh lí 1.15: Cho
, : , ,fg X a X
λ
→∈∈
1. Nu
)(xf liên tc ti a thì
)(xf liên tc ti a.

2. Nu
)(),( xgxf cùng liên tc ti a thì )()( xgxf
+
liên tc ti a.
3. Nu
)(xf liên tc ti a thì )(xf
λ
liên tc ti a.
4. Nu
)(),( xgxf liên tc ti a thì )().( xgxf liên tc ti a.
5. Nu
)(),( xgxf
liên tc ti a và
0)(
≠
xg
thì
)(
)(
xg
xf
liên tc ti a.
nh lí 1.16: Cho
: , : fX aX gY→∈ →  và .)( YXf ⊂ Nu )(xf liên
tc ti a và
)( yg liên tc ti )(afb = thì hàm hp ))(( xfg liên tc ti a.
Chng minh tng t nh chng minh đnh lí v gii hn ca hàm hp.
Chú ý:
• nh lí 1.16 cng đc phát biu tng t cho
f liên tc trên X và

g
liên tc trên Y.
• S dng đnh lí 1.16, nhn đc các gii hn quan trng di đây:
Vì khi tha mãn đnh lí 1.16 thì
))(lim())((lim xfgxfg
axax →→
=
do đó:

e
x
x
a
a
x
log
)1(log
lim
0
=
+
→
(1.4)
c bit
1
)1ln(
lim
0
=
+

→
x
x
x
(1.5)

)10( ,ln
1
lim
0
≠<=
−
→
aa
x
a
x
x
(1.6)
Tht vy gi )1(log1 +=⇒−= yxay
a
x
. Theo (1.4) s có:

a
ey
y
x
a
aa

y
x
x
ln
log
1
)1(log
lim
1
lim
00
==
+
=
−
→→


()
α=
−+
α
→
x
x
x
11
lim
0
(1.7)

Gi
()
)1ln()1ln(11 yxxy +=+α⇒−+=
α


()
α=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+α
+
==
−+
→→
α
→
x
x
y
y
x
xy
x

x
xxx
)1ln(
)1ln(
lim
)(
lim
11
lim
000

T trên d dàng nhn đc đnh lý sau:
nh lý 1.17: Mi hàm s s cp xác đnh ti
a
x
=
thì liên tc ti a.
1.4.3. Tính cht ca hàm s liên tc trên mt đon
Cho
[
]
: ,fab→ là liên tc, ba
<
.
A.Tính trù mt ca hàm s liên tc
nh lí 1.18: Nu
)(xf liên tc trên
[]
ba, và 0)().(
<

bfaf thì tn ti
(
)
bac ,
∈
đ 0)( =cf
Chng 1: Hàm s mt bin s

27
Chng minh: Thc hin phng pháp chia đôi đon
[
]
ba, . Nu trong quá trình chia đôi tìm
đc đim c s dng li. Nu không tìm đc c thì nhn đc dãy các đon lng nhau
[
]
(
)
nn
ba ,
trong đó
0)(,0)( ><
nn
bfaf và
n
nn
ab
ab
2
−

=− .
Suy ra
0)()lim()(lim
≤
=
=
∞→∞→
cfafaf
n
n
n
n
và 0)()lim()(lim ≥=
=
∞→∞→
cfbfbf
n
n
n
n

trong đó
),( bac ∈ . Vy 0)(
=
cf .
nh lí 1.19: Nu
)(xf liên tc trên
[
]
ba,

khi đó )(xf nhn giá tr trung gian
gia
)(af
và
)(bf
, ngha là:
[
]
[
]
γ
γ
=
∈
∃
∈
∀
)(,,,)(),( cfbacbfaf

Chng minh :
nh lí đúng vi
)(af=
γ
hoc )(bf
=
γ
.
Gi s
)()( bfaf < và xét ).()( bfaf
<

γ
<
t
γ
−
=
)()( xfxg liên tc trên
[
]
ba,
và
0)(,0)( >< bgag . Theo đnh lí 1.18 thì tn ti ),( bac
∈
đ 0)(
=
cg hay
γ
=)(c
f
.
B.Tính b chn ca hàm s liên tc
nh lí 1.20: Hàm s
)(xf liên tc trên
[
]
ba, thì đt đc giá tr ln nht và nh nht trên

[]
ba, , ngha là:

[]
[
]
baxbaxx
Mm
,,,
,
∈
∀
∈∃ có )()()(
Mm
xfxfxf
≤
≤

Chúng ta không chng minh đnh lí này.

TÓM TT NI DUNG CHNG I
• Các khái nim và tính cht c bn v hàm s: đnh ngha hàm s, hàm s tun hoàn,
hàm s chn, l, hàm s hp, hàm s ngc, hàm s cho di dang tng minh, dng n,
dng tham s. Tính cht c bn ca hàm s: đn điu, b chn.
•
Các hàm s s cp c bn: hàm s ly tha, hàm s m, hàm s lôgarit, hàm s lng
giác, hàm s lng giác ngc, đa thc, hàm hu t. Hàm s s cp.
•
Các hàm s đc dùng trong phân tích kinh t
• nh ngha gii hn ca hàm s tng ng vi các quá trình
Chng hn,
f
có gii hn là

l
khi x dn đn a (gi tt: có gii hn là l ti a) nu

{
}
εε
ηη
<−⇒Ω∈∀⊂Ω∃>∀ lxfaaxXa )(\)(,)(,0
• Tính cht ca hàm có gii hn.
A. Tính duy nht ca gii hn
Nu
lxf
ax
=
→
)(lim thì l là duy nht.
B. Tính b chn
Nu
lxf
ax
=
→
)(lim thì )(xf b chn trong mt lân cn ca a.
C. Tính cht th t ca gii hn và nguyên lí kp.