Nghiên cứu áp dụng thuật toán parker xác định dị thường trọng lực bouguer khu vực biển đông và kế cận

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Thành Luân

NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER XÁC
ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC BOUGUER KHU VỰC
BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015

1


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Phạm Thành Luân

NGHIÊN CỨU ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER XÁC
ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC BOUGUER KHU VỰC
BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu.
Mã số: 60440111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. ĐỖ ĐỨC THANH

Hà Nội – 2015
2


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, em muốn gửi lời cảm ơn tới thầy - PGS.TS. Đỗ Đức Thanh, Bộ môn Vật
lý địa cầu, Khoa Vật lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên , Đại học Quốc gia Hà Nội người đã tận tình chỉ bảo , hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiê ̣n luận
văn này.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Địa Cầu, Khoa Vật lý,
Trường Đa ̣i ho ̣c Khoa ho ̣c Tự nhiên – Đa ̣i ho ̣c Quố c gia Hà Nô ̣i, những người đã hết lòng
giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Vật lý và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên vì
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em được tiếp tục học tập, rèn luyện và công tác tại
khoa, trường.
Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người luôn sát cánh,
động viên, chia sẻ cùng em.
Mô ̣t lầ n nữa xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu trên!

Hà Nội, ngày 8/11/2015
Học viên

Phạm Thành Luân

3


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER .................................................................... 2
1.1. Khái niệm biến đổi Fourier ....................................................................................... 2
1.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier ....................................................................... 6
1.2.1. Tính chất đối xứng.......................................................................................... 6
1.2.2. Tính chất tuyến tính ........................................................................................ 7
1.2.3. Sự chuyển dịch ............................................................................................... 7
1.2.4. Đạo hàm.......................................................................................................... 7
1.3. Biến đổi Fourier của một số dị thường đơn giản ...................................................... 8
1.3.1. Các nguồn ba chiều ...................................................................................... 10
1.3.2. Các nguồn hai chiều ..................................................................................... 13
CHƢƠNG 2. THUẬT TOÁN PARKER VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC
XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC ..................................................................... 16
2.1. Thuật toán Parker .................................................................................................... 16
2.2. Một số phương pháp khác xác định dị thường trọng lực ........................................ 22
CHƢƠNG 3. MÔ HÌNH HÓA VÀ KẾT QUẢ ÁP DỤNG THUẬT TOÁN PARKER
XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG BOUGUER KHU VỰC BIỂN ĐÔNG VÀ KẾ CẬN ...... 27
3.1 Mô hình ranh giới phân chia dạng vòm 2D ............................................................. 27
3.1.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 27
3.1.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 27
3.2. Mô hình ranh giới phân chia dạng vòm 3D ............................................................ 30

4


3.2.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 30
3.2.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 30
3.3. Mô hình bể trầm tích 3D ......................................................................................... 34
3.3.1. Thông số mô hình .......................................................................................... 34
3.3.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 35

3.4. Xác định dị thường Bouguer trên biển Đông và kế cận ......................................... 40
3.4.1. Nguồn số liệu ................................................................................................. 40
3.4.2. Kết quả tính toán ............................................................................................ 43
KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 47

5


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Hệ trục tọa độ ................................................................................................... 08
Hình 1.2: Phổ mật độ năng lượng của các dị thường gây bởi một số vật thể đơn giản... 12
Hình 1.3: Nguồn đường thẳng đứng nằm dọc theo trục z giữa z1 và z2 và được quan sát
trên mặt phẳng nằm ngang z0 < z1. ................................................................................... 13
Hình 1.4: Hệ tọa độ và sắp xếp hình học của các nguồn đường khi dùng cho các biến đổi
Fourier các dị thường của chúng. ..................................................................................... 14
Hình 2.1: Bể trầm tích có mật độ thay đổi theo độ sâu .................................................... 18
Hình 2.2: Xấp xỉ vật thể có tiết diện ngang ...................................................................... 22
Hình 2.3: Việc phân chia mỗi cạnh đa giác ..................................................................... 22
Hình 2.4: Mô hình lăng trụ 3 chiều .................................................................................. 24
Hình 3.1: Ranh giới phân chia dạng vòm 2D ................................................................... 27
Hình 3.2: Dị thường trọng lực gây bởi ranh giới phân chia dạng vòm 2D bằng thuật toán
Parker . .............................................................................................................................. 28
Hình 3.3: Kết quả xác định dị thường trọng lực gây bởi ranh giới phân chia dạng vòm
2D bằng hai phương pháp. ................................................................................................ 28
Hình 3.4: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo hai phương pháp ............................ 29
Hình 3.5: Kết quả giải bài toán ngược xác định độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm
2D ...................................................................................................................................... 29
Hình 3.6: Độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm 3D ....................................................... 30
Hình 3.7: Dị thường trọng lực của ranh giới phân chia dạng vòm 3D tính theo thuật toán
Parker ................................................................................................................................ 31

6


Hình 3.8: Dị thường trọng lực của ranh giới phân chia dạng vòm 3D tính theo phương
pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 31
Hình 3.9: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker biểu diễn dưới dạng các đường
đồng mức ........................................................................................................................... 32
Hình 3.10 Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không
gian biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ................................................................ 32
Hình 3.11: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương
pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 33
Hình 3.12: Kết quả xác định độ sâu ranh giới phân chia dạng vòm 3D .......................... 34
Hình 3.13: Chênh lệch độ sâu tính toán và độ sâu mô hình ............................................. 34
Hình 3.14: Độ sâu tới đáy bể trầm tích ............................................................................ 35
Hình 3.15: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker................................................... 35
Hình 3.16: Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không
gian ................................................................................................................................... 36
Hình 3.17: Dị thường trọng lực theo thuật toán Parker biểu diễn dưới dạng các đường
đồng mức ........................................................................................................................... 36
Hình 3.18: Dị thường trọng lực theo phương pháp của Bhaskara Rao trong miền không
gian biểu diễn dưới dạng các đường đồng mức ................................................................ 36
Hình 3.19: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương
pháp của Bhaskara Rao trong miền không gian ............................................................... 37
Hình 3.20: Dị thường trọng lực theo phương pháp Chai và Hinze trong miền tần số..... 38
Hình 3.21: Chênh lệch dị thường trọng lực tính theo thuật toán Parker và theo phương
pháp Chai và Hinze ........................................................................................................... 39

7

Hình 3.22: Kết quả xác định độ sâu bể trầm tích ............................................................. 39
Hình 3.23: Chênh lệch độ sâu tính toán và độ sâu mô hình ............................................. 40
Hình 3.24: Bản đồ đồng mức địa hình khu vực biển Đông và kế cận .............................. 41
Hình 3.25: Bản đồ đồng mức dị thường Free-air khu vực biển Đông và kế cận ............. 42
Hình 3.26: Bản đồ đồng mức hiệu chỉnh trọng lực gây ra bởi địa hình và độ sâu đáy
biển .................................................................................................................................... 43
Hình 3.27: Hiệu chỉnh trọng lực gây ra bởi địa hình và độ sâu đáy biển dạng 3D ......... 44
Hình 3.28: Bản đồ đồng mức dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận ............. 45
Hình 3.29: Bản đồ dị thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận dạng 3D ............... 46

8


MỞ ĐẦU

Thăm dò trọng lực là một trong những phương pháp nghiên cứu cấu trúc bên trong
Trái Đất, cấu tạo địa chất, tìm kiếm và thăm dò các loại khoáng sản. Thăm dò trọng lực
kết hợp cùng với các phương pháp thăm dò khác đã góp phần giải quyết các vấn đề phân
vùng, kiến tạo, thạch học, phát hiện ra các vùng có triển vọng khoáng sản để tiến hành
các công tác thăm dò địa chất, Địa Vật lý chi tiết. Thực tế, hiện nay ở nước ta, phương
pháp thăm dò trọng lực được áp dụng thường xuyên và phổ biến như một trong các
phương pháp cơ bản nhất trong việc nghiên cứu địa chất cũng như tìm kiếm khoáng sản,
tài nguyên thiên nhiên. Tuy nhiên, với số điểm quan sát lớn, việc phân tích, xử lý các số
liệu đo đạc trọng lực mất khá nhiều thời gian. Để khắc phục nhược điểm đó, các nhà Địa
Vật lý đã chuyển việc tính toán trong miền không gian sang miền tần số. Một trong các
phương pháp nổi bật và rút ngắn thời gian nhất là sử dụng thuật toán của Parker.
Chính vì những lý do đó, chúng tôi quyết định lựa chọn luận văn với đề tài:
“Nghiên cứu áp dụng thuật toán Parker xác định dị thường trọng lực Bouguer khu vực
biển Đông và kế cận”. Thuật toán và chương trình được viết bằng ngôn ngữ Matlab đã

được sử dụng để tính toán thử nghiệm trên các mô hình bài toán thuận, ngược 2-3D trước
khi áp dụng cho khu vực biển Đông và kế cận. Kết quả tính toán được so sánh với các
phương pháp khác để thấy được ưu điểm của thuật toán Parker.
Khoá luận này được chia làm ba chương sau:
- Chương 1: Phép biến đổi Fourier
- Chương 2: Thuật toán Parker và một số phương pháp khác xác định dị thường
trọng lực.
- Chương 3: Mô hình hóa và kết quả áp dụng thuật toán Parker xác định dị
thường Bouguer khu vực biển Đông và kế cận.

1


CHƢƠNG 1: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết của phép biến đổi Fourier.
Richard J. Blakely [17] đã khái quát những nội dung quan trọng của phép biến đổi
Fourier và áp dụng chúng để phân tích, xử lý tài liệu từ và trọng lực. Về quá trình phát
triển, có thể nói Tsuboi và Fuchida [20, 21] là những người đầu tiên áp dụng các phép
biến đổi Fourier vào việc minh giải các dị thường trường thế. Họ sử dụng chuỗi Fourier
để chỉ ra mối liên hệ giữa các dị thường trọng lực và các phân bố khối lượng, trong cả hai
trường hợp hai và ba chiều, được giới hạn trong các mặt phẳng ngang. Vào những năm
60, nhiều tác giả đã sử dụng biến đổi Fourier trong việc minh giải các dị thường từ biển,
tiêu biểu là Gudmundson [9], Heirtzler và Le Pichon [13]. Tiếp đó, Harrison [12] đã đưa
ra cái nhìn khái quát về chủ đề này. Cùng thời gian đó, Bhattacharryya [5] đã công bố
một số bài báo quan trọng về biến đổi Fourier của các dị thường từ và trọng lực. Có lẽ
đóng góp có ý nghĩa nhất của ông là ông đã nhận ra rằng nhiều phép biến đổi, chẳng hạn
như nâng trường, hạ trường, chuyển trường về cực, … dễ dàng được thực hiện trong miền
tần số. Sau đây, chúng tôi sẽ tóm lược lại phép biến đổi này.
1.1. Khái niệm biến đổi Fourier

Một hàm tuần hoàn có thể được tổng hợp bằng tổng vô hạn các hàm sin có trọng
số, trong đó các trọng số của các hàm sin được xác định qua phân tích hàm tuần hoàn đó.
Nếu f(x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ X, nó có thể được biểu diễn bằng:
∞

𝐹𝑛 𝑒 𝑖𝑘 𝑛 𝑥

𝑓 𝑥 =

(1.1)

𝑛=−∞

trong đó 𝑘𝑛 =

2𝜋
𝑋

và 𝑖 = −1. Các trọng số 𝐹𝑛 trong tổng này là các số phức và được xác

định bằng tích phân:
1
𝐹𝑛 =
𝑋

𝑥 0 +𝑋

𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘 𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝑥0

2

(1.2)


Bây giờ chúng ta giả sử rằng f(x) không tuần hoàn trên một khoảng hữu hạn của
trục x. Thay vì thế, chúng ta đòi hỏi rằng f(x) có dáng vẻ hợp lý và có biến thiên giam
hãm trong một khoảng hữu hạn của trục x. Nói một cách khác, chúng ta đòi hỏi rằng:
∞

(1.3)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 < ∞
−∞

Các dị thường từ và trọng lực thoả mãn đặc trưng này nếu phạm vi đo đạc lớn hơn
nhiều kích thước ngang của tất cả các vật thể gây dị thường. Việc cho X → ∞ trong
phương trình (1.2) tạo ra biến đổi Fourier của một hàm không chu kỳ f(x).
+∞

(1.4)

𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥

𝐹 𝑘 =
−∞

Biến k trong phương trình (1.4) được gọi là số sóng và có đơn vị là nghịch đảo
khoảng cách; tương tự với tần số góc trong biến đổi Fourier miền thời gian, số sóng có

đơn vị nghịch đảo thời gian. Số sóng tỷ lệ nghịch với bước sóng λ, tức là:
𝑘=

2𝜋
𝜆

Chú ý từ phương trình (1.4) rằng biến đổi Fourier của hàm f(x) được ước lượng ở k
= 0 đơn giản là trung bình của f(x) trên toàn trục x, tức là:
+∞

𝐹 0 =

𝑓 𝑥 𝑑𝑥
−∞

Biến đổi Fourier F(k) nói chung là một hàm phức với các phần thực và phần ảo,
F(k) = ReF(k) + iImF(k). Ta cũng có thể biểu diễn:
𝐹 𝑘 = 𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝛩

𝑘

trong đó:
𝐹 𝑘

=

𝑅𝑒𝐹 𝑘

3

2

+ 𝐼𝑚𝐹 𝑘

2

,


𝛩 𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝐼𝑚𝐹 𝑘
𝑅𝑒𝐹 𝑘

Các hàm 𝐹 𝑘 và 𝛩 𝑘 tương ứng được gọi là biên độ và pha. Năng lượng tổng cộng
của f(x) là:
+∞

𝐸=

𝐹 𝑘

2

𝑑𝑥

−∞

và 𝐹 𝑘

2

được gọi là mật độ phổ năng lượng.

Điều đặc biệt quan trọng là biến đổi Fourier có biến đổi ngược. Tương tự phương
trình 1.1, biến đổi Fourier ngược được cho bởi:
𝑓 𝑥 =

1
2𝜋

+∞

(1.5)

𝐹 𝑘 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑘
−∞

Nếu f(x) thỏa mãn bất đẳng thức (1.3), thì biến đổi Fourier F(k) tồn tại và thỏa mãn cả hai
phương trình (1.4) và (1.5).
Thảo luận ở trên đề cập tới hàm một biến, nhưng biến đổi Fourier có thể được mở
rộng một cách dễ dàng cho các hàm hai biến. Biến đổi Fourier của hàm f(x,y) và biến đổi
ngược của nó được cho bởi :
+∞

+∞

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒 −𝑖

𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 =

−∞

𝑓 𝑥, 𝑦 =

1
4𝜋 2

+∞

𝑑𝑥𝑑𝑦

(1.6)

𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦

(1.7)

−∞
+∞

𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 𝑒 𝑖
−∞

𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦

𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦

−∞

trong đó 𝑘𝑥 và 𝑘𝑦 tương ứng tỉ lệ nghịch với số sóng theo các hướng x và y::

𝑘𝑥 =

2𝜋
𝜆𝑥

𝑘𝑦 =

2𝜋
𝜆𝑦

4


Điều quan trọng là phải chú ý rằng f(x) và F(k) đơn giản là những cách khác nhau
xem xét cùng một hiện tượng. Biến đổi Fourier là biểu diễn một hàm từ miền này (không
gian hoặc thời gian) sang một miền khác (số sóng hoặc tần số). Do đó, các thảo luận sau
đây sẽ đề cập đến miền không gian hoặc miền tần số như hai cách khác nhau để xem xét
cùng một hiện tượng.
Trong phần này và những phần tiếp theo, biến đổi Fourier được ký hiệu bằng ký
hiệu ngắn F[f], tức là:
+∞

𝑓 𝑥 𝑒 −𝑖𝑘𝑥 𝑑𝑥

𝐹𝑓 =
−∞

Những thảo luận ở trên là biến đổi Fourier của một hàm liên tục. Trong thực tế
chúng ta thường gặp các tài liệu được lấy mẫu. Khi đó, chúng ta sử dụng biến đổi Fourier
rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải

tích Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu
hạn các số thực hoặc số phức, biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin
trên các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và
các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong một tín hiệu, để giải phương trình
đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có thể được tính nhanh
bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT). Phép biến đổi này có những hạn chế cả ở
bước sóng dài nhất và bước sóng ngắn nhất. Ví dụ các bước sóng ngắn hơn hai lần
khoảng cách mẫu không thế được biểu diễn một cách đầy đủ bằng biến đổi Fourier rời
rạc. Hạn chế này được biểu diễn trong miền tần số bằng cách sau: Biến đổi Fourier rời
rạc là tuần hoàn với chu kỳ tỷ lệ nghịch với khoảng cách mẫu.
Hãy xem N mẫu liên tiếp của f(x) lấy cách đều nhau một khoảng ∆x. Nếu chúng ta
giả sử rằng f(x) bằng 0 ngoài N mẫu này, thì chúng ta có thể xem N là vô hạn. Trong
trường hợp này, biến đổi Fourier rời rạc 𝐹𝐷 𝑘 liên hệ với biến đổi Fourier thực F(k) bởi
tổng:

5


1
𝐹𝐷 𝑘 =
∆𝑥

+∞

𝐹 𝑘–
𝑗 =−∞

2𝜋𝑗
∆𝑥

(1.8)

Tại 𝑘0 cho trước bất kỳ, rõ ràng chúng ta muốn 𝐹𝐷 𝑘0 bằng 𝐹 𝑘0 . Không may
thay, theo phương trình trên 𝐹𝐷 𝑘0 thực tế là bằng 𝐹 𝑘0 cộng với F(k) được đánh giá ở
vô hạn các số sóng khác. “Sự tự gây nhiễu” này được gọi là aliasing. Chu kỳ của biến đổi
Fourier rời rạc là 𝑘𝑠 =

2𝜋
∆𝑥

, và 𝑘𝑠 được gọi là số sóng mẫu; một nửa số sóng mẫu

gọi là sóng Nyquist. Vì biến đổi Fourier rời rạc tự lặp lại sau
nhất nằm giữa

±𝜋
∆𝑥

2𝜋
∆𝑥

𝜋
∆𝑥

được

, tất cả các thông tin duy

. Vì vậy, số sóng Nyquist là số sóng lớn nhất trong cách sử dụng của

chúng ta. Chú ý rằng có một bước sóng gấp đôi khoảng cách mẫu.
Các dị thường của trường thế, như nhiều hiện tượng vật lý, có thể được xem như
một dải bị hạn chế, tức là, chúng có các biến đổi Fourier giảm theo sự tăng của số sóng.
Vì vậy, các số hạng số sóng cao gây nhiễu trong tổng trên đây có thể tương đối nhỏ, đặc
biệt nếu khoảng cách mẫu được lấy tương đối so với các bước sóng chính của f(x). Các
nguyên lý này là những nguyên lý rất quan trọng trong việc phát triển tính toán số.
1.2. Một số tính chất của biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier có một số đặc trưng quan trọng đặc biệt hữu ích trong các thảo
luận sau. Dưới đây chúng ta dùng các ký hiệu ngắn gọn sau f(x) ↔ F(k) sẽ được hiểu là
f(x) có biến đổi Fourier là F(k).
1.2.1. Tính chất đối xứng
Nếu f(x)↔F(k),và nếu f(x) là một hàm thực, thì F(k) có phần thực là đối xứng và
phần ảo là phản đối xứng đối với k = 0; tức là, nếu f(x) là thực, thì F(k)=F*(-k) trong đó
dấu sao ký hiệu liên hợp phức, và biến đổi Fourier của một hàm thực được gọi là Hermit.
Hơn nữa nếu F(k)= F*(-k) thì f(x) phải là một hàm thực; tức là, đặc trưng Hermit là điều
kiện cần và đủ đối với f(x) là thực.
6


1.2.2. Tính chất tuyến tính
Biến đổi Fourier là một toán tử tuyến tính. Ví dụ, nếu 𝑓1 𝑥 ↔𝐹1 𝑘 , và
𝑓2 𝑥 ↔𝐹2 𝑘 thì:
𝑎1 𝑓1 𝑥 + 𝑎2 𝑓2 𝑥

↔ 𝑎1 𝐹1 𝑘 + 𝑎2 𝐹2 𝑘

trong đó 𝑎1 và 𝑎2 là các hằng số tùy ý.
Nếu f(x) ↔F(k), thì:
𝑓 𝑎𝑥 ↔

1
𝑘
𝐹
𝑎
𝑎

trong đó a là hằng số tùy ý. Điều này ngụ ý rằng khoảng x chứa hầu hết năng lượng của
f(x) tỉ lệ nghịch với độ rộng của dải chứa hầu hết năng lượng của F(k). Đối với các dị
thường trọng lực và từ, đặc trưng tỉ lệ chỉ ra rằng dị thường rộng có phổ biên độ hẹp hơn
dị thường hẹp. Vì độ rộng của dị thường tỉ lệ thuận với độ sâu nguồn của nó, chúng ta có
thể hy vọng rằng sự co hẹp của dị thường đã biến đổi Fourier cũng liên quan với độ sâu
của nguồn
1.2.3. Sự chuyển dịch
Chuyển dịch một hàm dọc theo trục x trong miền không gian tương đương với việc
bổ xung thêm một nhân tử pha tuyến tính vào phép biến đổi Fourier của hàm, tức là, nếu
f(x)↔F(k), thì:
𝑓 𝑥 − 𝑥0 ↔ 𝐹 𝑘 𝑒 −𝑖𝑥 0 𝑘
Chú ý rằng phổ biên độ và phổ mật độ năng lượng của f(x) là không bị ảnh hưởng
bởi sự dịch chuyển f(x) dọc theo trục x.
1.2.4. Đạo hàm
Đạo hàm trong miền không gian tương đương với việc nhân lũy thừa thừa số sóng
trong miền tần số. Ví dụ, nếu f(x)↔F(k), thì
7


𝑑𝑛
𝑓 𝑥 ↔ 𝑖𝑘 𝑛 F 𝑘
𝑑𝑥 𝑛

(1.9)

Nếu hàm phụ thuộc vào hai biến và nếu f(x,y)↔F(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ), thì:
𝜕𝑛 𝜕𝑚
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑖𝑘𝑥
𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑦 𝑚

𝑛

𝑖𝑘𝑦

𝑛

𝐹 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦

(1.10)

1.3. Biến đổi Fourier của một số dị thƣờng đơn giản
Dùng các lý thuyết được trình bày ở phần trước, chúng tôi, có thể suy ra biến đổi
Fourier của các trường thế gây bởi các dạng nguồn khác nhau, như nguồn lưỡng cực,
nguồn đơn cực, nguồn đường và nguồn dải. Các biến đổi này sẽ tạo ra cơ sở cho các
nguồn trọng lực phức tạp, dẫn tới nhiều các ứng dụng bao gồm các tính toán thuận và
ngược, biến đối trường và đánh giá độ sâu đến nguồn.
Gọi r là khoảng cách giữa điểm P ở tọa độ (x, y, z) và điểm Q ở tọa độ (x', y', z').
Biến đổi Fourier của

1
𝑟

là nền tảng quan trọng của thảo luận này vì các trường thế phụ
1

1

𝑟

𝑟

thuộc nhiều vào đạo hàm của . Với biến đổi Fourier của đã biết và với sự trợ giúp của
lý thuyết đạo hàm, nhiều dẫn giải tiếp theo được suy ra. Spector và Bhattacharyya [19] đã
dùng cùng một kiểu phương pháp luận để đưa ra mật độ phổ năng lượng và các hàm tự
tương quan đối với các dị thường lưỡng cực và nguồn đường.
x
P(0,0,z’)

y

Q(0,0,z’)
z

Hình 1.1: Hệ trục tọa độ
Ở đây, trường được đo tại mặt phẳng nằm ngang ở 𝑧0 , và nguồn định xứ trên trục z
tại z'. Chúng ta xem P nằm trên mặt phẳng ngang ở độ cao 𝑧0 và xem Q là cố định và

8


nằm trên trục z tại (0, 0, z'), trong đó 𝑧′ > 𝑧0 (hình 1.1). Biến đổi Fourier 2 chiều của

1
𝑟

được cho bởi:
1
𝐹
=
𝑟

+∞
−∞

+∞

1
𝑥2

−∞

+

𝑦2

+ 𝑧0 −

𝑧′ 2

𝑒 −𝑖

𝑘 𝑥 𝑥+𝑘 𝑦 𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦

Chúng ta có thể đơn giản phương trình này bằng cách chú ý rằng hàm

1
𝑟

(1.11)

là đối xứng trụ

xung quanh trục z và chuyển tích phân về tọa độ cực. Nếu chúng ta đặt
𝑥 = 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝜃 ; 𝑦 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑘𝑥 = 𝑘𝑐𝑜𝑠 𝛷 ; 𝑘𝑦 = 𝑘𝑠𝑖𝑛 𝛷
𝑎=

𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑘 =

𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2

1

Biến đổi Fourier 2 chiều của trở thành:
𝑟

𝐹

1
=
𝑟

2𝜋
0

∞
0

1
𝑎2

+

𝜔2

𝑒 −𝑖𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠

𝜃 −𝛷

𝑎𝑑𝑎𝑑𝜃

(1.12)

Tích phân thên 𝜃 có dạng hàm Bessel bậc 0,
1
𝐽0 𝑧 =
2𝜋

2𝜋

𝑒 −𝑖𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
0

Thay vào biến đổi Fourier tạo ra biến đổi Hankel bậc 0
1
𝐹
= 2𝜋
𝑟

∞
0

1
𝑎2

+

𝐽0
𝜔2

𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

(1.13)

Tích phân này minh họa một kết quả tổng quát là biến đổi Fourier hai chiều của
một hàm đối xứng trụ đưa tới một biến đổ Hankel. Lời giải của biến đổi Hankel đặc biệt
này là:

9


1

𝐹

𝑟

= 2𝜋

𝑒 𝑘

𝑧 0 −𝑧′

𝑘

, z'>𝑧0 , 𝑘 ≠0

(1.14)

Chúng ta chú ý rằng, mặc dù chúng ta đã tìm được biểu diễn thích hợp đối với
F

1
𝑟

1

, không thỏa mãn bất đẳng thức (1.3) vì tích phân
𝑟

+∞
−∞

2𝜋

∞

=
0

0

+∞
−∞

1
𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧0 − 𝑧′
∞

1
𝑎2 + 𝑧0 − 𝑧′

2

𝑎𝑑𝑎𝑑𝜃 = 2𝜋
0

là không hữu hạn. Vì vậy, biến đổi Fourier của

1
𝑟

2

𝑑𝑥𝑑𝑦

1
𝑎2 + 𝑧0 − 𝑧′

2

𝑎𝑑𝑎

không tồn tại theo nghĩa chặt chẽ của

bất đẳng thức (1.3), một thực tế được biểu diễn trong phương trình (1.14) bởi bản chất
không xác định của 𝐹

1
𝑟

ở bước sóng vô hạn ( 𝑘 = 0). Tuy nhiên, chúng ta lại có một

điều may mắn là đạo hàm không gian bất kỳ của

1
𝑟

(và vì vậy các dị thường trọng lực và

từ nói chung) thỏa mãn bất đẳng thức (1.3).
1.3.1. Các nguồn ba chiều
Trong phần này và phần sau, biến đổi Fourier của một số nguồn 2D và 3D đơn

giản sẽ được thảo luận. Dị thường của một vật thể 3D (ví dụ quả cầu) đo được một cách
thích hợp trên một mặt 2D, và nghiên cứu dị thường trong miền tần số đòi hỏi biến đổi
Fourier hai chiều. Cũng vậy, một nguồn 2D đo được dọc theo một tuyến đòi hỏi biến đổi
Fourier một chiều. Chúng ta sẽ tiếp tục gán các nguồn như là các nguồn 2D hoặc 3D tùy
theo hình dáng hình học của chúng, hiểu rằng các dị thường của chúng được phân tích
trong miền tần số ở trường hợp một hoặc hai chiều, một cách tương ứng.
Đơn cực
Hãy xem biến đổi Fourier của hấp dẫn trọng lực quan sát được trên mặt phẳng tại
nằm ngang z = z0 và gây bởi một khối lượng điểm (tương đương với một khối cầu có mật

10


độ đồng nhất) định xứ dưới mặt phẳng. Biến đổi Fourier của thế này có thể được viết
ngay lập tức từ phương trình (1.14). Thế trọng lực của khối lượng điểm 𝜇 được cho bởi

𝑈=

𝛾𝜇
𝑟

trong đó 𝛾 là hằng số hấp dẫn; biến đổi Fourier của thế quan sát được trên mặt

phẳng nằm ngang đơn giản là:
𝐹 𝑈 = 𝛾𝜇𝐹

1
𝑟

= 2𝜋𝛾𝜇

𝑒 𝑘 𝑧 0 −𝑧′
𝑘

(1.15)

, 𝑧′ > 𝑧0

Gia tốc trọng lực 𝑔 liên quan với thế bởi phương trình 𝑔 = 𝛻𝑝 𝑈, như vậy thành
phần bất kỳ của 𝑔 đơn giản là đạo hàm có hướng của U. Đặc biệt, thành phần thẳng đứng
gây bởi một khối lượng điểm là đạo hàm thẳng đứng của

𝑔𝑧 = 𝛾𝜇

𝛾𝜇
𝑟

, tức là:

𝜕 1
𝜕𝑧 𝑟

được quan sát trên mặt phẳng nằm ngang, trường này có biến đổi Fourier được cho bởi:
𝐹 𝑔𝑧 = 𝛾𝜇𝐹

𝜕 1
𝜕𝑧 𝑟

= 𝛾𝜇

𝜕
𝜕𝑧

𝐹

1
𝑟

= 2𝜋𝛾𝜇𝑒 𝑘

𝑧0 −𝑧′

, 𝑧′ > 𝑧0

(1.16)

Một số đặc trưng quan trọng của dị thường trọng lực có thể thấy được từ phương
trình (1.16) và được minh họa trên hình 1.2a. Năng lượng cực đại của trường trọng lực
xảy ra ở 𝑘 = 0 tỷ lệ với khối lượng tổng cộng. Năng lượng giảm dần theo sự tăng của
số sóng; tức là năng lượng tại mỗi bước sóng chiếm ưu thế so với tất cả các bước sóng
ngắn hơn. Tuy nhiên, tốc độ giảm năng lượng so với số sóng phụ thuộc vào độ sâu tới
khối lượng; khối lượng càng sâu, các bước sóng ngắn càng ít ý nghĩa so với các bước
sóng dài của dị thường. Nói cách khác, phương trình (1.16) và hình 1.2 chỉ ra rằng dị
thường trọng lực xấp xỉ là một dải bị giới hạn; mặc dù tất cả các số sóng đóng góp vào dị
thường, các số sóng lớn nhất tương đối không có ý nghĩa.

11


Hình 1.2. Phổ mật độ năng lượng của các dị thường

gây bởi một số vật thể đơn giản.
a) Đơn cực tại độ sâu 1km;
b) Đường khối lượng thẳng đứng với đỉnh ở 1 km và đáy ở 2 km;

Đường thẳng đứng
Hãy xem hấp dẫn trọng lực quan sát được trên mặt phẳng nằm ngang và gây bởi
một đường thẳng đứng dọc theo trục z từ (0, 0, z1) đến (0, 0, z2), trong đó z2 > z1, như
được chỉ ra trên hình 1.3. Khối lượng của một yếu tố dây là 𝜇 = 𝜆𝑑𝑧, trong đó 𝜆 là khối
lượng của độ dài đơn vị. Biến đổi Fourier của trường này tìm được bằng cách tích phân
phương trình (1.16) dọc theo trục z từ 𝑧1 đến 𝑧2 , ta có:
𝑧2

𝐹 𝑔𝑧 = 2𝜋𝛾𝜆

𝑒𝑘

𝑧0 −𝑧′

𝑑𝑧′ =

𝑧1

Với 𝑧2 > 𝑧1 , 𝑧1 > 𝑧0

12

2𝜋𝛾𝜆 𝑘 𝑧 − 𝑘 𝑧
1 − 𝑒 − 𝑘 𝑧2
𝑒 0 𝑒
𝑘

(1.17)


x
P(0,0,z0)

r

Z1

y
Z2

z

Hình 1.3. Nguồn đường thẳng đứng nằm dọc theo trục z giữa z1 và z2 và
được quan sát trên mặt phẳng nằm ngang z0 < z1.
Hình 1.2 chỉ ra phổ năng lượng của biến đổi Fourier này; nó có dạng giống phổ
năng lượng của khối điểm cô lập.
1.3.2. Các nguồn hai chiều
Đối với các nguồn đường dài vô hạn, tương đương với các dây hoặc các hình trụ
đồng nhất, chúng ta có thể chỉ xem một tuyến ở trên và vuông góc với nguồn đường như
được chỉ ra trên hình 1.4. Biến đổi Fourier một chiều của tuyến là thích hợp trong các
trường hợp này, nhưng các dẫn giải và kết quả rất giống với phần trước.
Đường nằm ngang
Thành phần thẳng đứng của lực hấp dẫn tại (x,𝑧0 ) của một đường nằm ngang
(tương đương hình trụ nằm ngang đồng nhất) dài vô hạn song song với trục y và cắt qua
trục z tại z = z’ (hình 1.4) được cho bởi phương trình:
𝑔𝑧 𝑥 = −2𝛾𝜆

𝑧0 − 𝑧′
𝑟2

trong đó λ là khối lượng trên một đơn vị độ dài và 𝑟 =

𝑥 2 + 𝑧 − 𝑧′

2

là khoảng cách

vuông góc từ dây tới điểm quan sát. Hàm này có biến đồi Fourier được cho bởi:
13


𝐹 𝑔𝑧 = −2𝛾𝜆 𝑧0 − 𝑧′ 𝐹

1
= 2𝜋𝛾𝜆𝑒 𝑘
2
𝑟

𝑧0 −𝑧′

, 𝑧0 < 𝑧′

(1.18)

Hình 1.4: Hệ tọa độ và sắp xếp hình học của các nguồn đường khi dùng cho

các biến đổi Fourier các dị thường của chúng.
Nguồn đường song song với trục y và cắt trục z ở z = z’. Trường được đo dọc theo đường nằm ngang ở
trên và vuông góc với nguồn đường.

Chú ý sự tương tự giữa công thức 1.18 và 1.16. Thực tế, phổ mật độ năng lượng
của trường gây bởi một đơn cực, được chỉ ra trên hình 1.2a đồng nhất về dạng với phổ
của trường gây bởi một đường nằm ngang dài vô hạn. Mọi bình luận trước đây liên quan
tới đặc trưng trong miền tần số của dị thường gây bởi đơn cực cũng có thể giữ nguyên đối
với dị thường gây bởi một đường nằm ngang.
Dải thẳng đứng
Một dải thẳng đứng dài vô hạn theo hướng nằm ngang tương đương với một xếp
chồng thẳng đứng các sợi dây nằm ngang tất cả đều dài vô hạn. Giả sử dải trải rộng từ 𝑧1
đến 𝑧2 theo hướng thẳng đứng và kéo dài vô hạn theo các hướng +y và -y. Trường được
quan sát dọc theo một đường ở trên và vuông góc với dải. Biến đổi Fourier của trường
trọng lực thẳng đứng có thể tìm được bằng cách tích phân phương trình 1.18 dọc theo
trục x:

14


𝑧2

𝐹 𝑔𝑧 = 2𝜋𝛾𝜍

𝑒𝑘

𝑧0 −𝑧 ′

𝑑𝑧 ′ =

𝑧1

2𝜋𝛾𝜍 𝑘 𝑧 − 𝑘 𝑧
1 − 𝑒 − 𝑘 𝑧2
𝑒 0 𝑒
𝑘

(1.19)

Với: 𝑧1 < 𝑧2 , 𝑧2 < 𝑧0
trong đó 𝜍 là khối lượng trên một đơn vị diện tích của dải. Phổ mật độ năng lượng của
trường gây bởi nguồn dải này đồng nhất về dạng với phổ mật độ năng lượng của sợi dây
thẳng đứng kéo dài từ 𝑧1 đến 𝑧2 (hình 1.2b).

15


CHƢƠNG 2. THUẬT TOÁN PARKER VÀ MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC
XÁC ĐỊNH DỊ THƢỜNG TRỌNG LỰC

Kể từ khi các phương pháp biến đổi Fourier phát triển, đã có rất nhiều cố gắng để
áp dụng nó trong xử lý tài liệu địa vật lý. Việc liên kết trường trọng lực và biến đổi
Fourier được tạo ra bởi mô hình vỏ là một trong những phương pháp truyền thống. Trong
các phương pháp đó, các trường lý thuyết được tìm ra bằng cách chia nhỏ mô hình thành
các tập hợp các đối tượng đơn giản hơn (ví dụ như chia thành các lăng trụ, các hình hộp
chữ nhật). Các đối tượng đơn giản đó được tính toán một cách đơn lẻ và trường quan sát
được tính bằng tổng trường gây bởi các đối tượng đó. Khi các mô hình phức tạp và có
một lượng lớn các điểm quan sát, thì quá trình tính toán mất nhiều thời gian, bởi vì số
lượng các phép tính tăng bằng tích số điểm quan sát và số điểm được xác định trong mô
hình. Để khắc phục hạn chế đó, Parker [18] đã đưa một phương pháp mới để xác định dị

thường trọng lực cho các mô hình lớp vật liệu không phẳng, có mật độ không đồng nhất
dựa vào một chuỗi biến đổi Fourier.
2.1. Thuật toán Parker
Xét mô hình gồm một lớp vật liệu được giới hạn bởi hai mặt ranh giới. Chọn hệ
trục tọa độ với trục z hướng lên trên. Mặt ranh giới dưới được giới hạn bởi mặt phẳng
ngang z = 0. Mặt ranh giới trên được giới hạn bởi phương trình z = h(r). Các điểm quan
sát thuộc mặt phẳng z = 𝑧0 , mặt phẳng này nằm trên tất cả các địa hình. Vì chiều dài của
lớp vật liệu là hữu hạn và để tránh những vấn đề hội tụ, chúng tôi giả sử rằng bên ngoài
miền D nào đó không có sự xuất hiện của lớp vật liệu, tức là ngoài miền D thì h (r) = 0.
Thế trọng lực tại vị trí 𝑟0 gây bởi lớp vật liệu là:
𝑈 𝑟0 = 𝛾𝜌
𝑉

𝑑𝑉
= 𝛾𝜌
𝑟0 − 𝑟

Biến đổi Fourier thế trọng lực:

16

𝑕 𝑥

𝑑𝑆
𝐷

𝑉

𝑑𝑧
𝑟0 − 𝑟

(2.1)


𝑑𝑆0 𝑈 𝑟0 𝑒 𝑖𝑘 𝑟0

𝐹[U(𝑟0 )] =
𝑋

𝑕(𝑟)

= 𝛾𝜌

𝑑𝑆0

𝑑𝑆 𝑒

𝑋

𝑖𝑘 𝑟0

𝐷

0

𝑑𝑧
𝑟0 − 𝑟

trong đó, X được lấy bằng toàn bộ mặt phẳng x-y
Thay đổi trật tự tích phân, ta thấy rằng:

𝑕 𝑟

𝐹[𝑈] = 𝛾𝜌

𝑑𝑆

𝑒 𝑖𝑘 𝑟0

𝑑𝑧

𝐷

0

𝑋

1
𝑑𝑆0
𝑟0 − 𝑟

Tích phân cuối có thể được tính bằng việc sử dụng hệ tọa độ cực, sau đó sử dụng
một chút kiến thức về đại số, chúng ta thu được:
𝑕 𝑟

𝐹[𝑈] = 𝛾𝜌

𝑑𝑆
𝐷

0

2𝜋𝑒 𝑖𝑘𝑟 – 𝑘
𝑘

𝑧0 −𝑧

𝑑𝑧

Bây giờ, tích phân theo trục z có thể viết dưới dạng rõ ràng như sau:
𝐹 𝑈 = 2𝜋𝛾𝜌

𝑒

𝑖𝑘𝑟 – 𝑘 𝑧0

𝐷

𝑒𝑘𝑕 𝑟 −1
𝑑𝑆
𝑘2

Tích phân trên vẫn chưa phải là một biến đổi Fourier nhưng nhờ vào khai triển của
hàm mũ thứ hai trong chuỗi Taylor và việc sắp xếp lại các tổng và các tích phân nên ta
có:
∞

𝐹 𝑈 = 2𝜋𝛾𝜌𝑒

− 𝑘 𝑧0

𝑘

𝑛=1

𝑛−2

𝑛!

đây là tổng các biến đổi Fourier
Vì 𝑔𝑧 =

+𝜕𝑈
𝜕𝑧

nên biến đổi Fourier của gz là:
𝐹 𝑔𝑧 = − 𝑘 𝐹 𝑈
17

𝐹 𝑕𝑛 𝑟

(2.2)