chuyen đề luong giác

I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư
Giá trò lượng giác

I II II IV
sina + + – –
cosa + – – +
tana + – + –
cota + – + –
3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
+ = + =
4. Cung liên kết:
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau
cos( ) cosa a− =
( ) sinsin a a− =
π
sin cos
2
a a
 
− =
 ÷

 
π
sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2
a a
 

− =
 ÷
 
π
Trang 1
CHƯƠNG I
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
CHƯƠNG I
CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin

tang
p
A
M
Q
B T'
α
T
5. Bảng giá trò lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
II. CÔNG THỨC CỘNG
Công thức cộng:
Trang 2
Cung hơn kém π Cung hơn kém
2
π
sin( ) sina a+ = −

π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
cot( ) cota a+ =

π
cot tan
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
π
3
2
π
2
π

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2

2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3−
–1 0 0
cotg
3
1
3
3

0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan

4 1 tan 4 1 tan
x x
x x
x x
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
π π
III. CÔNG THỨC NHÂN
1. Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
a a
a a
a
a
−
= =
−

2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos
1
t
a
t

−
=
+
;
2
2
tan
1
t
a
t
=
−
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b

a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b

a b
+
+ =
sin( )
cot cot
sin .
b a
a b
a sinb
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
a a a a
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
π π
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
a a a a
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
π π
2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )

2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a

a a a
a a
a
a
= −
= −
−
=
−
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
−
=

+
=
−
=
+
Ph¬ng tr×nh - HƯ ph¬ng tr×nh lỵng gi¸c
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh
( )f x⇔
xác đònh.
cosy x=
: Tập xác đònh D = R; Tập giá trò

1, 1T
 
= −
 
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = cos(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = cos(f(x)) xác đònh
( )f x⇔
xác đònh.
tany x=
: Tập xác đònh
\ ,
2
D R k k Z
 
= + ∈
 
 
π
π

; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = cot(ax + b) có chu kỳ

0
T
a
=
π
* y = cot(f(x)) xác đònh
( ) ( )f x k k Z⇔ ≠ ∈
π
.
* y = f
1
(x) có chu kỳ T
1
; y = f
2
(x) có chu kỳ T
2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )y f x f x= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
Trang 4
NG GIÁC

NG GIÁC
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x
=
+
f/
tan
6

y x
 
= −
 ÷
 
π
g/
cot
3
y x
 
= +
 ÷
 
π
h/
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i/ y =
1
tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1

4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx
d/ y = tanx + cotx e/ y = sin
4
x f/ y = sinx.cosx
g/ y =

sin tan
sin cot
x x
x x
−
+
h/ y =
3
3
cos 1
sin
x
x
+
i/ y = tan x
Bài 4. Tìm chu kỳ của hàm số:
a/
sin2y x=
b/
cos
3
x
y =
c/
2
siny x=
d/
sin2 cos
2
x

y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4
π
i/
3
π
Vấn đề 2: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC
1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác đònh D.
– Tìm chu kỳ T
0
của hàm số.
– Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T
0
có thể chọn:
0
0,x T
 
∈
 
hoặc
0 0
,
2 2
T T
x
 
∈ −
 
 
.
– Vẽ đồ thò trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thò còn lại bằng phép tònh tiến theo véc tơ
0
. .v k T i=
r r
về bên trái và

phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
Trang 5
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y =
f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn
vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục
hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.
Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 

−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
– Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = sinx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên
, .
2
 
 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.

– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
– Tònh tiến theo véctơ
2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Trang 6
1
−π
2
π
−
0
2
π
3
2
π
π 2π

5
2
π







3
2
π
−
−π
2
π
−

2
π
3
2
π
π
2π
5
2
π
y = cosx

–1
y
x




 
x0y
0
–1
0
1 1
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng
0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên khoảng
3
, .
2
 
 ÷
 
π

π
Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx.
– Tập xác đònh: D = R
\ ,
2
k k Z
 
+ ∈
 
 
π
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:
2
lim
x
y
→±
= ∞
π
:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2

 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R
{ }
\ ,k k Z∈
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:

0
lim , lim
x x x
y y
→ →
= + ∞ = − ∞
tiệm cận đứng: x = 0, x = π.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên đoạn

0,
 
 
π
:
– Tònh tiến theo véctơ .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cotx.
Nhận xét:
Trang 7


∞
∞
x0y
0
+∞
–∞
x
y
3
2
π
−
π
2
π
−


2
π
π
3
2
π
2
π
5
2
π




2
− π
3
2
π
−

2
π
−
2
π
π
3
2

π


− π
2π
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn giảm trên tập xác đònh D.
Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx.
– Vẽ đồ thò y = sinx.
– Từ đồ thò y = sinx, ta suy ra đồ thò y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.
Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx
sin , nếu sin x 0
sin
-sin x, nếu sin x < 0.
x
y x

≥
= =


Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = 1 + cosx.
– Vẽ đồ thò y = cosx.
– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn

0, 2
 
 
π
:
Trang 8
y
x
–2π
3
2
π
−
3
2
π
2π
2
π
π
O
−π
2
π
−
y = –sinx
1
–1
π
2

π
−
3
2
π
2π
2
π
π
O
y = /sinx/
y
1
x
x0πy = cosx1
0
–1
01y = 1 + cosx2
1
0
12
2
π
−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π

2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1