de thi HSG toan 12 tinh Nghe an

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2009 - 2010

Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình:
(
)
2
2009 1
x
x x+ −
= 1.
Câu 2 (4,0 điểm).
Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
( )
2
( 1) 1
x y m
y x xy m x
+ =



+ + = +


Câu 3 (2,0 điểm).
Cho ba số dương
, ,x y z

. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 36
9x y z x y y z x z
+ + ≥
+ + +
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho dãy số
( )
n
x
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i,
1
x
= 2
ii,
1 2 1
2
2 ... ( 1)
( 1)
n
n
x x n x
x
n n
−
+ + + −
=
−

với n là số tự nhiên lớn hơn 1.
Tính limu
n
với u
n
= (n+1)
3
.
n
x

Câu 5 (3,0 điểm).
Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Các đường
thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD),
(ABD) tại A’, B’, C’. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 6 (3,0 điểm).
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm
Q sao cho PQ song song với CM. Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP.
Câu 7 (2,0 điểm).
Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi
số thực x, y. Chứng minh rằng 2f(x) + x
2
≥ 2 với mọi số thực x thuộc
;
2 2
π π
 
−
 

 
.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:.................................................................. Số báo danh:.......................
Đề thi chính thức