Đề thi HSG Toán 12(có đáp án)

Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học 2007-2008
Môn thi: toán lớp 12 THPT bảng b
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (6,0 điểm)
a) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình sau có nghiệm:
(m - 3)
x
+ ( 2- m)x + 3 - m = 0.
b) Chứng minh rằng:
3
sinx
cosx
x

>
ữ

, với
x (0; )
2


.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
2
y x 1 x= +
b) Giải hệ:
x y
sinx

e
sin y
sin 2y cos2y sin x cos x 1
x, y 0;
4


=



= +






ữ



Bài 3. (2,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
( )
2
cos 3x 9x 160x 800 1.
8

+ + =


Bài 4. (5,5 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Biết
A(2; - 3), B(3; - 2) và trọng tâm G thuộc đờng thẳng d có phơng trình: 3x y 8 = 0.
Tính bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
b) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình: x
2
+
y
2
2x 4y + 4 = 0 và đờng thẳng có phơng trình: x y 1 = 0. Từ điểm M bất
kỳ thuộc đờng thẳng kẻ hai tiếp tuyến MT
1
, MT
2
đến (C) (T
1
, T
2
là tiếp điểm) .
Chứng minh rằng: đờng thẳng T
1
T
2
luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên .

-----------Hết -----------
Họ và tên thí sinh: ............................................................................ SBD:................................
Đề chính thức