SỬ DỤNG ĐH ĐỂ GIẢI PT, BPT, HPT CHỨA THAM SỐ

ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm
thpt lạng giang số 2
I. KIN THC CN NH
Cho hm s
( )
y f x=
liờn tc trờn tp
D
1. Phng trỡnh
( )
f x m=
cú nghim
x D

( ) ( )
min max
x D
x D
f x m f x



2. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim
x D

( )
min
x D

f x m


3. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim ỳng vi
x D

( )
max
x D
f x m


4. Bt phng trỡnh
( )
f x m
cú nghim
x D

( )
max
x D
f x m


5. Bt phng trỡnh
( )
f x m

cú nghim ỳng vi
x D

( )
min
x D
f x m


II. PHNG PHP GII
gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s m sao
cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh
cú nghim ta lm nh sau:
1. Bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng:
( ) ( )
f x g m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
;f x g m f x g m
)
2. Tỡm TX
D
ca hm s
( )
y f x=
3. Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f x=
trờn
D

4. Tỡm
( ) ( )
min ;max
x D
x D
f x f x


5. Vn dng cỏc kin thc cn nh bờn trờn suy ra giỏ
tr m cn tỡm
Lu ý: Trong trng hp PT, BPT, HPT cha cỏc
biu thc phc tp ta cú th t n ph:
+ t
( )
t x

=
(
( )
x

l hm s thớch hp cú mt
trong
( )
f x
)
+ T iu kin rng buc ca
x D
ta tỡm iu
kin

t K

+ Ta a PT, BPT v dng
( ) ( )
f t h m=
( hoc
( ) ( ) ( ) ( )
;f t h m f t h m
)
+ Lp bng bin thiờn ca hm s
( )
y f t=
trờn
K
+ T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn
III. MT S V D MINH HA
Vớ d 1.(B-06). Tỡm m phng trỡnh sau cú 2
nghim thc phõn bit
2
2 2 1x mx x+ + = +
Gii:
2
2 2 1x mx x+ + = +
( )
( )
2
2
2
1
2 1 0

2
2 2 1
3 4 1 *
x
x
x mx x
mx x x

+





+ + = +



= +

Xột phng trỡnh
( )
*
+
0 0. 1x x= =
, phng trỡnh ny vụ nghim.
Ngha l khụng cú giỏ tr no ca m phng trỡnh
cú nghim
0x
=

+
1
0 3 4x x m
x
+ =
. Ta xột hm s
( )
1
3 4f x x
x
= +
trờn tp
{ }
1
; \ 0
2

+
ữ


Ta cú
( )
2
1
' 3 0f x
x
= + >
vi
{ }

1
; \ 0
2
x

+
ữ


,
suy ra hm s
( )
1
3 4f x x
x
= +
ng bin trờn
{ }
1
; \ 0
2

+
ữ


( )
0 0
1
lim lim 3 4

x x
f x x
x



= + =
ữ

m
;
( )
1
lim lim 3 4
x x
f x x
x
+ +

= + = +
ữ

Ta cú bng bin thiờn ca hm s
( )
f x
S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao im
ca th hm s
( )
1
3 4f x x

x
= +
v ng thng
y m=
trờn min
{ }
1
; \ 0
2

+
ữ


Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha
món yờu cu bi toỏn l
9
2
m
Vớ d 2. Tỡm m phng trỡnh

(
)
( )
2
2 2 1 2 0m x x x x + + +
cú nghim
thuc
0;1 3

+

Gii:
1
x
f(x)
f(x)
1/ 2
0

+
+
+
+
+
9
2
ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số trần mạnh sâm
thpt lạng giang số 2
t
2
2 2t x x= +
( )
2
2 2x x t =
.
Khi ú bt phng trỡnh tr thnh:
( )
2
1 2m t t+

(*)
Ta cú
2
1
' , ' 0 1
2 2
x
t t x
x x

= = =
+
Ta cú bng bin thiờn :
T ú ta cú
1 2t

, t (*) suy ra
2
2
1
t
m
t


+
(1)
Xột hm s
( )
2

2
1
t
f t
t

=
+
trờn tp
[ ]
1;2
Ta cú
( )
( )
( )
2
2
1 1
' 0
1
t
f t
t
+ +
= >
+
vi
[ ]
1;2t
Ta cú bng bin thiờn ca hm s

( )
f t
Bt phng trỡnh ó cho cú nghim
0;1 3x

+


bt phng trỡnh
( )
1
cú nghim
[ ]
1;2t
[ ]
( ) ( )
1;2
2
max 2
3
m f t f = =
Vớ d 3.(A-08). Tỡm m phng trỡnh sau cú 2
nghim thc phõn bit

( )
4 4
2 2 2 6 2 6x x x x m m+ + + = Ă
Gii
iu kin:
0 6x

Xột hm s
( )
4 4
2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + +
trờn tp
[ ]
0;6
Ta cú
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
4 2 4 2
2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + +
( ) ( ) ( )
3 1
4 2
1 1
' 2 .2 2 .2
4 2
f x x x

= + +

( ) ( ) ( ) ( )
3 1
4 2
1 1
2. 6 . 1 2. 6 . 1
4 2
x x

+
( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1 1
. .
2 2
2 6
2 6
x x
x x
= +


( ) ( )
3 3
4 4
1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
x x
x x


ữ
= +
ữ
ữ

( )
( )
( )
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
.
2
2 6
2 6
2 6
x x
x x
x x


ữ
= + +
ữ
ữ

4 4 4 4
1 1 1 1
2 6 2 6x x x x

+ +
ữ ữ


( )
( )
( )
4 4 4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 6 2 6
2 6
2 6
x x x x
x x
x x




ữ
= + + + +

ữ ữ

ữ







ta cú
( )
( )
( )
4 4
2 2
4
4 4
1 1 1 1 1 1
0
2
2 6
2 6
2 6
x x
x x
x x


ữ

+ + + + >
ữ
ữ





vi
( )
0;6x
( )
4 4
' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= = = =
Ta cú bng bin thiờn
S nghim ca phng trỡnh ó cho bng s giao
im ca th hm s
( )
y f x=
v ng thng
y m=
trờn min
[ ]
0;6
Da vo bng bin thiờn ta c giỏ tr ca m tha
món yờu cu bi toỏn l
4
2 6 2 6 3 2 6m+ < +
Vớ d 4.(B-07) Chng minh rng vi mi giỏ tr
dng ca tham s m, phng trỡnh sau cú 2

nghim thc phõn bit:

( )
2
2 8 2x x m x+ =
Gii: iu kin: do
0 2m x
>
. Ta cú:
( )
2
2 8 2x x m x+ =
( ) ( ) ( )
2 4 2x x m x + =
2
x
t
t
0
+
-
1
0
1
2
t
f(t)
f(t)
1
+

2
2
3
1
2
x
f(x)
f(x)
0
-
+
62
0
3 2 6+
4
12 2 3+
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m –
thpt l¹ng giang sè 2
( ) ( ) ( )
2
2
2 4 *
x
x x m
=

⇔

− + =



Nhận thấy phương trình đã cho luôn có 1 nghiệm
2x =
, để chứng minh khi
0m >
phương trình đã cho
có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình
( )
*
luôn có một nghiệm thực
2x >
khi
0m >
Xét hàm số
( ) ( ) ( )
2
3 2
2 4 6 32f x x x x x= − + = + −
trên tập
( )
2;+∞
Ta có
( )
2
' 3 12 0f x x x= + >
với
2x∀ >
( )
3
3

6 32
lim lim 1
x x
f x x
x x
→+∞ →+∞
 
= + − = +∞
 ÷
 
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm
của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng
y m=
trên miền
( )
2;+∞
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi
0m
>
thì
phương trình (*) luôn có 1 nghiệm
2x >
Vậy với
0m

>
thì phương trình đã cho luôn có 2
nghiệm thực phân biệt
Ví dụ 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 2
2 4 2 4x x x x m+ + − − + =
Giải:
Vì
( )
2
2
2 4 1 3 3 0,x x x x± + = ± + ≥ > ∀ ∈ ¡
nên
TXĐ:
D = ¡
Xét hàm số
( )
2 2
2 4 2 4f x x x x x= + + − − +
trên
¡
Ta có:

( )
2 2
1 1
'
2 4 2 4
x x

f x
x x x x
+ −
= −
+ + − +

( )
' 0f x = ⇔
2 2
1 1
0
2 4 2 4
x x
x x x x
+ −
− =
+ + − +
( ) ( )
2 2
1 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + +
(*)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + +
4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + =

4 3 2 3 2 2
2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x+ + − − − + + +
0x⇔ =
Thay
0x
=
vào phương trình (*) được: 1 = - 1. Vậy
phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra
( )
'f x
chỉ mang
1 dấu (không đổi dấu), có
( )
' 0 1 0f = >
( )
' 0,f x x⇐ > ∀ ∈ ¡
Ta có
( )
(
)
2 2
lim lim 2 4 2 4
x x
f x x x x x
→+∞ →+∞
= + + − − +

2 2
4

lim
2 4 2 4
x
x
x x x x
→+∞
=
+ + + − +

2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x
x x x x
→+∞
=
+ + + − +
2=
( )
(
)
2 2
lim lim 2 4 2 4
x x
f x x x x x
→−∞ →−∞
= + + − − +

2 2
4
lim
2 4 2 4
x
x
x x x x
→−∞
=
+ + + − +

2 2
4
lim
2 4 2 4
1 1
x
x x x x
→−∞
=
− + + − − +
2= −
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và đường thẳng

y m=
trên
¡
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
2 2m⇔ − < <
Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm

2
3 2
3 4 0
3 15 0
x x
x x x m m

− − ≤


− − − ≥


Giải:
Ta có:
2
3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤
.
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
⇔

3 2

3 15 0x x x m m− − − ≥
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
3 2
3 15x x x m m⇔ − ≥ +
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
3
x
f’(x)
f(x)
2
+
0
x
f’(x)
f(x)
-
+
-2
2
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m –
thpt l¹ng giang sè 2
Đặt
( )
3 2
3
3 2

3 1 0
3
3 0 4
x x khi x
f x x x x
x x khi x

+ − ≤ <

= − =

− ≤ ≤


Ta có

( )
2
2
3 6 1 0
'
3 6 0 4
x x khi x
f x
x x khi x

+ − < <

=


− < <



( )
' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ±
Ta có bảng biến thiên :
( )
2
15f x m m≥ +
có nghiệm
[ ]
1;4x∈ −
[ ]
( )
2
1;4
max 15f x m m
−
⇔ ≥ +

2
16 15m m⇔ ≥ +
2
15 16 0 16 1m m m⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
16 1m
⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

3 3
sin cosx x m+ =
Giải
( ) ( )
3 3
sin cos sin cos 1 sin .cosx x m x x x x m
+ = ⇔ + − =
Đặt
sin cos 2.sin
4
t x x x
π
 
= + = +
 ÷
 
,
2 2t− ≤ ≤
Khi đó:
( )
2
2
sin cos sin cost x x t x x= + ⇒ = +
2
1
sin .cos
2
t
x x
−

⇒ =
Phương trình trở thành:
2
3
1 1 3
1
2 2 2
t
t m t t m
 
−
− = ⇔ − + =
 ÷
 
Xét hàm số
( )
3
1 3
2 2
f t t t= − +
trên tập
2; 2
 
−
 
Ta có:
( )
2
3 3
'

2 2
f t t= − +

( )
' 0f t = ⇔
2
3 3
0 1
2 2
t t− + = ⇔ = ±
Ta có bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số
( )
y f t=
và đường thẳng
y m=
trên
2; 2
 
−
 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
1 1m⇔ − ≤ ≤
Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình sau có
nghiệm:
3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải:

Đặt
3 0t x= − ≥
2
3x t⇒ = +
. Khi đó bất phương
trình trở thành:
( )
2
3 1m t t m+ − ≤ +
( )
2
2 1m t t⇔ + ≤ +
2
1
2
t
m
t
+
⇔ ≥
+
(*)
Xét hàm số
( )
2
1
2
t
f t
t

+
=
+
trên
( )
0;+∞
Ta có:
( )
( )
2
2
2
2 2
'
2
t t
f t
t
− − +
=
+
( )
2
' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ±
( )
1
1
lim lim 0
2
x x

t
f t
t
t
→+∞ →+∞
+
= =
+
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình
(1) có nghiệm
⇔
bất phương trình (*) có nghiệm
0t >
⇔
( )
( )
0;
3 1
max
4
f t m m
+∞
+
≥ ⇔ ≤
Ví dụ 9.(A-07) Tìm m để phương trình sau có
nghiệm:
2

4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
Giải:
Điều kiện:
1x ≥

2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ − + =
+ +
(1)
4
x
f’(x)
f(x)
-1
+
4
-4
2
0 2

00 --
16
t
f’(t)
f(t)
-
-
-1
-1 1
00 +-
2
1
t
f’(t)
f(t)
0
-
+∞
3 1
4
+
1
2
1 3− +
0+
0
øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m –
thpt l¹ng giang sè 2
Đặt
4

1
1
x
t
x
−
=
+
, khi đó phương trình (1) trở thành:
2
3 2t t m− + =
(*)
Ta có
1x
≥
0t
⇒ ≥
và
4
2
1 1
1
t
x
= − <
+
, vậy
0 1t≤ <
Xét hàm số
( )

2
3 2f t t t= − +
trên tập
[
)
0;1
Có
( ) ( )
1
' 6 2; ' 0 6 2 0
3
f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ =
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f t
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số
( )
y f t=
và đường thẳng
y m=
trên miền
[
)
0;1
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
1
1
3

m⇔ − < ≤
Ví dụ 10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

( ) ( )
1 8 1 8x x x x m+ + − + + − =
Điều kiện:
1 8x
− ≤ ≤
Đặt
1 8t x x= + + −
Ta có:
1 1
'
2 1 2 8
t
x x
= −
+ −
với
1 8x
− < <

' 0t
= ⇔
1 1
0
2 1 2 8x x
− =
+ −
1 8x x⇔ + = −

7
1 8
2
x x x⇔ + = − ⇔ =
Ta có bảng biến thiên:
Từ đó dẫn đến
3 3 2t≤ ≤
Có
( )
2
2
1 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + −
( ) ( )
2
9
1 8
2
t
x x
−
⇒ + − =
, phương trình đã cho trở
thành:
2
9
2
t
t m
−
+ =

2
2 9 2t t m⇔ + − =
Xét hàm số
( )
2
2 9f t t t= + −
trên tập
3;3 2
 
 
Ta có:
( )
' 2 2 0f t t= + >
với
3;3 2x
 
∀ ∈
 
Ta có bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao
điểm của đồ thị hàm số
( )
y f t=
và đường thẳng
2y m=
trên
3;3 2
 

 
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có
nghiệm
9 6 2
6 2 9 6 2 3
2
m m
+
⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤
IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Tìm m để các phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình sau có nghiệm:
1)
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −



2)
4
4
13 1 0x x m x− + + − =
có đúng một nghiệm
3)
6 6
sin cos .sin 2x x m x+ =
4)
cos3 -cos 2 cos -1 0x x m x+ =
có đúng 7 nghiệm
thuộc
;2
2
π
π
 
−
 ÷
 
5)
( ) ( )
2
4 6 2x x x x m+ − ≤ − +
nghiệm đúng với
mọi
[ ]
4;6x∈ −

6)
2
9 9x x x x m+ − = − + +
7)
3 2 4 6 4 5x x x x m− − − + − − + =
có đúng
hai nghiệm thực phân biệt
5
t
f’(t)
f(t)
0
-
-1
0
1
3
1
0
+
1
3
x
t’
t
-1
-
3
3
7

2
8
0
+
3 2
t
f’(t)
f(t)
3
6
3 2
+
9 6 2+