CHUYÊN đề ôn TOÁN THPT HAY NHẤT và mới NHẤT

BÀI GIẢNG. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ - PHẦN 2
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
Mẫu bậc 2
(1) Có 2 nghiệm  Tách đôi dưới dạng  x  a  x  b 
(2) Có 1 nghiệm  Đặt f  x   t
(3) Vô nghiệm  Dạng  x 2  a 2   x  a tan t
(Chú ý: Sử dụng công thức:

1
 tan 2 x  1 )
2
cos x

Ví dụ 1. Tính nguyên hàm:

1
a)  2
dx
x 4

1
b)  2
dx
x  4x  5

x2
c)  2
dx

x  2x  2

x3  3x 2  x
d)  2
dx
x  2x  2

Giải
a) Đặt x  2 tan t  dx 

I 

2
dt
cos2 t

1
1
1
.2. 2 dt  
.2  tan 2 t  1 dt
2
4 tan t  4 cos t
4  tan 2 t  1

1
1
1
 x
  dt  t  C  arc tan    C

2
2
2
2
b)

x

2

1
1
dx  
dx
 4x  5
( x  2)2  1

Đặt x  2  tan t  dx 
I 

1
dt
cos2 t

1
1
1
.
dt  
tan 2 t  1 dt


2
2
tan t  1 cos t
tan t  1
2

  1dt  t  C  arctan  x 2   C

c)

x

2

x2
( x  1)  1
x 1
1
dx   2
dx   2
dx   2
dx
 2x  2
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2

Ta có: A  

x 1
1
dx; B   2
dx
x  2x  2
x  2x  2
2

Đặt x 2  2 x  2  t  2  x  1 dx  dt

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


1 dt 1
1
 A   .  ln t  C  ln x 2  2 x  2 C
t 2 2
2
Tính B  

1
1
dx  
dx
2
x  2x  2
 x  1  1
2

Đặt x  1  tan t  dx 

B

1
dt
cos2 t

dt
dt

  dt  t  C  arctan  x  1  C.

1
2
cos 2 t  tan 2 t  1
cos t.
cos 2 t

1
 I  ln x 2  2 x  2  arctan  x  1  C.
2
d) Ta có:

x3  3x 2  x
5x  2
x2
5x  2
dx


x

1

dx

 x 2
dx
2
 x2  2 x  2

x  2x  2
2
x  2x  2

Đặt B  

5x  2
5x  5  3
5x  5
3
dx   2
dx   2
dx   2
dx
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2
x  2x  2
2

Đặt x 2  2 x  2  t  2  x  1 dx  dt



5x  5
5
5
5
dx  dt  ln t  C  ln x 2  2 x  2  C
x  2x  2
2t
2
2
2

Ta lại có:

x

2

3
3
dx  
dx
 2x  2
( x  1)2  1

Đặt x  1  tan t  dx 



(1)

1
dt
cos2 t

3
3
1
1
dx  
. 2 dt  3
.  tan 2 t  1 dt
2
2
2
( x  1)  1
tan t  1 cos t
tan t  1
 3 dt  3t  C  3arctan( x  1)  C

 2

x2
5

Vậy: I   x   ln x 2  2 x  2  3arctan  x  1  C

2
2

I 

x2
5
 x  ln x 2  2 x  2  3arctan  x  1  C
2
2

Mẫu cao hơn bậc 2
+) Tách tử số dần dần giống mẫu
+) Chia cả tử và mẫu cho 1 biểu thức
+) Đổi biến
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


a)

dx
 ( x  5)( x  2)( x  4)

b)

dx
 x3  5 x

c)

x3
 x4  3x2  2 dx

d)

1  x2
 1  x4 dx

Giải
a)

1

1 

( x  5)  ( x  2)

1

1

1



 ( x  5)( x  2)( x  4) dx   7  ( x  5)( x  2)( x  4) dx   7   ( x  2)( x  4)  ( x  5)( x  4)  dx
1

+) Đặt B  

I 


 1

1 

1

1

 ( x  2)( x  4) dx    x  2  x  4  dx   6 ln x  2  ln x  4   C   6 ln

+) Đặt A =

x2
C
x4

1
1 
x5
 1
dx   

 C.
 dx  ln x  5  ln x  4  C  ln

( x  5)( x  4)
x4
 x5 x4

1
1 1 x2
x 5
 ln
 A  B      ln
7
7 6 x4
x4


C


1
x  2 1 x 5
ln
 ln
 C.
42 x  4 7 x  4

dx
1
1
1 x2  5  x2
1 1
x 

 3
dx  
dx  
dx     2
b)  3
 dx
2
2
x  5x
x  5x
x( x  5)
5 x  x  5
5  x x 5
Ta được:

1

 x dx  ln x  C
x
dx thì đặt x 2  5  t  2 xdx  dt .
5

Đặt B =

x

B

dt 1
1

 ln t  C  ln x 2  5  C
2t 2
2

Vậy

x

3

c) Ta có:

2

dx
1
1

  ln x  ln x 2  5   C
 5x 5 
2


x3
x 2 .x
 x4  3x2  2 dx   x4  3x2  2 dx

Đặt x 2  t  2 xdx  dt .

I 



1
t
1
t
1 A
B
dt  
dt  

dt
2

2 t  3t  2
2  t  1 t  2 
2 t 1 t  2
1 1
2
1

dt  
ln t  1  2 ln t  2   C.

2 t 1 t  2
2

1  x2
d) 
dx =

1  x4

1
1
1
1 2
2
 x2 1 dx    1 x2 dx
x  2
x  2
x
x


3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Đặt x 

1
1 
1

 t  1  2  dx  dt  I   2
dt
x
t 2
 x 

(Nguyên hàm trở về dạng nguyên hàm có mẫu bậc 2 vô nghiệm)
Đặt t =

 I 

2 tanu => dt =

2
du
cos 2 u

2
1  tan 2 u
2
2
du

2
du 
du 
u  C.
2
2
2


(2 tan u  2)cos u
2 tan u  2
2
2

- HẾT -

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT
(1)  sin xdx   cos x  C
(3)

1

 cos

2

x

(2)  cos xdx  sin x  C

dx  tan x  C

(4)

1

 sin

2

x

dx   cot x  C

Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:

1

a)  sin xdx

e)  cos 3xdx

i)

 cos

b)  sin 2xdx

f)  cos( x  1)dx

j)

 cos 3x dx

c)  sin(1  3 x) dx

g)  cos(

x 
)dx
2

k)

 sin ( x) dx



x

dx

2

2

1

2

l)  sin 2  2 x  1 dx

h)  2 cos 2 xdx

d)  sin(2 x  )dx

6

2

Giải
a)

 sin xdx   cos x  C

b)

 sin 2xdx

c)

 sin(1  3x)dx =

1
=  cos 2 x  C
2
1
cos(1  3 x)  C
3

1


d)  sin(2 x  )dx =  cos(2 x  ) + C
2
6

6
e)  cos 3xdx =
f)

1
sin 3x  C
3

 cos( x  1)dx =  sin( x 1)  C

 x 
g)  cos 
 2

h)

 2 cos

i)

 cos

2

1
2

x

1


 x  
 dx = 2sin 
C

 2 

1
xdx =  cos 2 x  1dx  sin 2 x  x  C
2
dx= tanx+C
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


2

1

j)

 cos 3x dx  2. 3 tan 3x  C

k)

 sin ( x) dx  cot( x)  C

l)

 sin  2 x  1 dx  

2

1

2

1  cos 2  2 x  1
dx
2
1
  1  cos  4 x  2   dx
2
1
1

  x  sin  4 x  2    C
2
4

1
1
 x  sin  4 x  2   C.
2
8

2

Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc chẵn
=> Dùng công thức hạ bậc

(1) cos2 x 

1  cos 2 x
2

sin 2 x 

1  cos 2 x
2

Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
b)  sin 2 2xdx

a)  cos 2 xdx

c)  cos 4 xdx

d)  sin 4 x  cos 4 xdx

Giải
a)  cos2 xdx  

1  cos 2 x
1
1
1
dx   1  cos 2 xdx  ( x  sin 2 x)  C
2
2
2

2

b)  sin 2 2 xdx  

1  cos 4 x
1
1
1
dx   1  cos 4 xdx  ( x  sin 4 x)  C
2
2
2
4

1  cos 2 x 2
1
c)  cos4 xdx   (cos2 x)2 dx   (
) dx  1  2cos 2 x  cos 2 2 xdx
2
4
=

1
1
1
1 1
1
( x  sin 2 x)   cos 2 2 xdx  ( x  sin 2 x)  [ ( x  sin 4 x)]  C
4
4

4
4 2
4

1
d)  sin 4 x  cos4 xdx   (sin 2 x  cos2 x)2  2sin 2 x.cos2 xdx  1  sin 2 2 xdx
2
1  1  cos 4 x 
1
1
1

= 1  
 dx   1  1  cos 4 x  dx  x   x  sin 4 x   C
2
2
4
4
4



Nguyên hàm lượng giác: sin, cos bậc lẻ
=> Tách : Bậc chẵn x bậc 1 => Đổi biến
Chú ý: sin 2 x  cos2 x  1
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


b)  cos5 xdx

a)  sin 3 xdx

c)  (cos3 x  1) cos 2 xdx
Giải

a) Ta có :  sin 3 xdx   sin 2 x.sin xdx   (1  cos 2 x) sin xdx
Đặt cos x  t   sin xdx  dt
 t3 

cos3 x 
 I    1  t 2  dt    t    C    cos x 
C
3
3 



b) Ta có:  cos5 xdx   cos 4 x.cos xdx   (1  sin 2 x) 2 .cos xdx
Đặt sin x  t  cos xdx  dt

 I   1  t
c) Ta có:

2t 3 t 5
2sin 3 x sin 5 x
dt   1  2t  t  dt  t 
  C  sinx 

C

3 5
3
5



2 2

  cos

2

3

4

x  1 cos 2 xdx   cos5 x  cos 2 xdx   cos5 xdx   cos 2 xdx

+) Đặt A   cos5 xdx
Làm tương tự như ý b,  A  sinx 
+) Đặt B   cos 2 xdx 

 I  A B  sinx 

2sin 3 x sin 5 x

C
3
5

1
1
1

1  cos 2 xdx   x  sin 2 x   C

2
2
2


2sin 3 x sin 5 x 1 
1


  x  sin 2 x   C
3
5
2
2


Các công thức biến đổi tích thành tổng(hiệu) trong lượng giác:
(1) cos x.cos y 

1
cos( x  y)  cos( x  y)
2

1

(2) sinx.cosy  [sin( x  y)  sin( x  y)]
2
1
(3) sinx.sin y  [cos(x - y) - cos(x+y)]
2
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau
a)  sin 3 x.cos xdx

= b)  cos 2 x cos 3 xdx

c)  s inx.sin 2 x.sin 3 xdx
Giải

1
1 1
1 1
a)  sin 3x.cos xdx   (sin 4 x  sin 2 x)dx   . cos 4 x  .( ) cos 2 x  C
2
2 4
2 2
1
1
=  cos 4 x  cos 2 x  C
8
4

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!

b)  cos 2 x cos3xdx   cos3x.cos 2 xdx 

1
1 1
cos5 x  cos xdx  ( sin 5 x  sinx)  C

2
2 5

1
c)  sinx.sin 2 x.sin 3xdx   (sin 3x.sin 2 x)sin xdx   (cos x  cos5 x)sin xdx
2
=

1

1

1

1

 2 cos x.sin xdx  2  cos5 x.sin xdx  4 sin 2 xdx  4 sin 6 x  sin( 4 x) dx

1
1 1
1
=  cos2 x  ( cos6 x  cos4 x)  C
8

4 6
4
- HẾT -

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT
1. Dấu hiệu: I =

 f ( x).g ( x)dx

Trong đó: f  x  , g  x  có 2 trong 4 loại sau:
+ Đa thức
+ log a (ln)
+ mũ

(ex)

+ lượng giác
2. Phương pháp
+ Bước 1: Đặt f  x   u  Vi phân ta được f '  x  dx  du .
g  x  dx  dv  Nguyên hàm ta được g  x   v .

+ Bước 2: Ta có: I  uv   vdu .
+ Bước 3: Tính nốt  vdu .
3. Chú ý:
- Biết tính đạo hàm, nguyên hàm
- Nắm được quy tắc đặt.
- Lưu ý: Thứ tự ưu tiên đặt bằng u: Nhất Log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ: Tính nguyên hàm sau:

 xe dx .
x

Giải
u  x
dx  du
 x
Đặt  x
e dx  dv e  v
 I  x.e x   e x dx  x.e x  e x  C  e x ( x  1)  C

Cách khác:

e x dx  du
 ex  u


Đặt 
x2 .
 xdx  dv v 
2



1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


 I  ex .

x2
x2
  .e x dx
2
2

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)

  x  1 e

c)

x

2

2x

dx

b)

  x  1 sin 2 xdx

3

d)   2 x   ln xdx
x


 1 ln xdx

Giải

 dx  du
 x  1  u

  1 2x

2x
a) Đặt e dx  dv
 2 e  v
I 

1
1
1
1 1
 x  1 e2 x   e2 x dx   x 1e2 x  . e2 x  C
2

2
2
2 2

dx  du

 x 1  u

  1
b) Đặt  sin 2 x dx  dv
 2 cos 2 x  v
I 

1
1
1
1
 x  1 cos2x   cos2xdx =   x  1 cos2x  sin 2 x  C
2
2
2
4

1
 x dx  du
ln
x

u


 3
c) Đặt  2
 x  1dx  dv
x  x  v
 3
 x3

 x3
1
 x3

x2
x3
1

 I    x  ln x     x . dx    x  ln x    1dx  (  x)ln x   x 3  x   C
3
3
9

 3

 3
x
 3


3
3


d) Biến đổi:   2 x   ln xdx   2 x ln x  ln xdx
x
x


1
 ln x  u
 dx  du
 x
+) Đặt A   2 x ln xdx Đặt 
2 x dx  dv
 x 2  v

 A  x 2 ln x   xdx  x 2 ln x 

x2
C
2

1
t2
3
3
+) Đặt B   ln xdx . Đặt ln x  t  dx  dt  B   3tdt  3.  C  ln 2 x  C
x
2
2
x
3
x2 3


 I    2 x   ln xdx  x 2 ln x   ln 2 x  C.
x
2 2


2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


BÀI GIẢNG. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (PHẦN 2)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm:
a)  ln( x 2  x)dx

b)

x

 cos x dx

c)

2

 x sin

2

xdx

d)



ln( x  1)
dx
x2

Giải

 2x 1
ln  x 2  x   u
dx  du

  x2  x
a) Đặt 
 dx  dv

xv

 I  x ln  x 2  x   

x  2 x  1
dx
x2  x

2x 1
2x  2 1
dx  
dx
x 1
x 1
1
 2
dx  2 x  ln | x  1| C
x 1

A

 I  x ln  x 2  x   2 x  ln x  1  C

xu

 dx  du

 I  x tan x   tanxdx

b) Đặt  1
tan
x

v
dx

dv


 cos 2 x
+)  tanx dx= 

sinx
dx
cos x

Đặt cos x  t   sin xdx  dt
1
 A    dt   ln cos x +C
t
 I  x tan x  ln cos x +C

dx  du

xu


c) Đặt :  2
 1 
1

 sin x dx  du
 2  x  2 sin2 x   v

 
I 


1 
1
1
1


x  x  sin 2 x     x  sin 2 x  dx
2 
2
2
2


2

1 
1
 1 x 1
x  x  sin 2 x     cos2 x  +C
2 
2
 2 2 4


1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


 1

ln  x  1  u 
dx  dv

x 1

d) Đặt  1
 2 dx  du
 1 v
x

x
1
1
 I   .ln  x  1  
dx
x
x  x  1
1
1
1
  .ln  x  1   
dx
x
x x 1
1
  .ln  x  1  ln x  ln x  1  C
x
Ví dụ 3. Tính nguyên hàm:
a)

 x .cos2xdx
2

c)  (e x  1)cos2xdx

b)  e x .sin xdx
Giải

 2 xdx  du

x2  u
1

a) Đặt 
 1
 I  x 2 sin 2 x   x.sin 2 xdx
2
cos 2 x dx  dv  sin 2 x  v
2

+) Đặt A   x.sin 2 xdx


 dx  du
xu


  1
Đặt 
sin 2x dx  dv  2 cos 2x  v


1
1
 A   x cos 2 x   cos2xdx
2
2
1
1
  x cos 2 x  sin 2 x  C
2
4
1
1
1
 I  x 2 sin 2 x  x cos 2 x  sin 2 x  C
2
2
4
 sin x  u
 cos xdx  du
 I  e x .sin x   e x cos xdx

b) Đặt  x
x
e
dx

dv
e


v



+) Đặt A   e x cos xdx
 cos x  u
 sin xdx  du

Đặt  x
ex  v
e dx  dv 

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


 A  cos x.e x   e x .sin xdx
 I  e x sin x  cos x. e x   e x .sin xdx
 2 I  e x sin x  cos x. e x  C
I

e x sin x  cos x. e x
C
2

c) Ta có:

 e

x

 1 cos 2 xdx   e x .cos 2 xdx 

1

 cos2 xdx   e .cos 2 xdx  2 sin 2 x
x

+) A   e x cos 2 xdx
cos 2x  u  2 sin 2xdx  du
 A  e x .cos 2 x   2e x .sin 2 xdx

Đặt  x
x
e v
 e dx  dv 

+) B   2e x .sin 2 xdx
 sin 2 x  u
2 cos 2 xdx  du
 B  2sin 2 x.e x   4e x cos 2 xdx

Đặt  x
x
2e  v
2e dx  dv 

 A  e x cos 2 x +2sin 2 x . e x  4 A
e x cos 2 x +2sin 2 x . e x

5
x
e cos 2 x +2sin 2 x . e x 1
I 
 sin 2 x
5
2
 A

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


BÀI GIẢNG. LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN CƠ BẢN
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT
b

1. Tích phân xác định:

 f  x  dx  F  x 

b
a

 F b   F  a 

a

Trong đó: a, b là cận của tích phân  a  b  .
2. Tính chất
b

b

b

a

a

a

 f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du......

+)

b

a

a

b

 f ( x)dx   f ( x)dx

+)

b



+)

a

c

b

a

c

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a  c  b  .

Ví dụ: Tính các tích phân sau:


2x 1
b) 
dx
x 1
0

2

a)

1

2
 x( x  1) dx
1



c)  sin 2  x   dx
6

0

ln 3

2

d)

e
1

x

 x 1
 2e  3 x

e



 dx


Giải
2

a)

 x  x  1
1

2

2

2

dx   x  x  2 x  1 dx    x 3  2 x 2  x  dx
2

1

1

2

x4
x3 x 2
 16 2.8 4   1 2 1  119
  2. 
 
     
.
4
3 2 1 4
3 2   4 3 2  12
2x 1
b) 
dx =
x 1
0
1

2x  2  3
3 
1

0 x  1 dx  0  2  x  1  dx  2 x  3ln | x  1 0
1

1

=  2  3ln 2    0  3ln1  2  3ln 2






1  cos  2 x  
2

1

1 1 
  2
3



dx =  1  cos  2 x   dx   x  sin  2 x   
c)  sin 2  x   dx = 
2
6
20
3
2 2 
3  0


0
0




2

2

=

1

1 1
4
  sin
2 2 2
3

1
  1 
3
3 
3
 1
 
 
   0  sin    
2
3  22 4  8
4 4
 2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!

ln 3

d)


1

1

e x  2e  x  3 x
e



 dx 


ln 3


1

ln 3

1
1
1 

 
2  e 2 x dx  2 x  e 2 x   2 ln 3  e 2ln 3    2  e 2 

2
2
2 

 
1

= 2ln 3 

1
1
37 1
 2  2  2ln 3   2
18
2e
18 2e
- HẾT -

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


BÀI GIẢNG. TÍCH PHÂN BIẾN ĐỔI (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT
b

1. Biến đổi bình thường: I =

 f ( x)dx
a

B1: Đặt f  x   t  Đổi cận
B2: Vi phân 2 vế rồi thay tích phân.


Ví dụ đề minh họa 2017. Tính tích phân: I   cos3 x.sin xdx
0

Giải
x  0  t  1
Đặt cos x  t ta có: 
 x    t  1

  sin xdx  dt
1

1

t4
 I   t  dt    t dt 
4
1
1
3

1



3

1

1 1
 0
4 4

Ví dụ 1. Tính các tích phân:
2x 1
0 1  2 x  1dx
4

a)

1

b)


0

ln 8

x3
4 x

2

dx

c)

e

2x

. e x  1dx

ln 3

Giải
x  0  t  1
2 x  1  t ta có: 
x  4  t  3

a) Đặt

 2dx  2tdt  dx  tdt.
3

3
3
 t2

t

t2
1
I 
.tdt  
dt   t  1 
dt    t  ln t  1 
1 t
t 1
t 1
2
1
1
1
1
3

9
 1

   3  ln 4     1  ln 2   2  ln 2
2
 2

b) Đặt


x  0  t  2
4  x 2  t ta có: 

x  1  t  3

 4  x 2  t 2  2 xdx  2tdt   xdx  tdt

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


3

I 



 4  t   t  dt 
2

t

2


t3 
4

t
dt

4
t





3

3
2

2

2

3

3 3  16
 8 
  8     4 3 
  3 3
3  3
 3 
 x  ln 3  t  2
e x  1  t ta có: 
 x  ln 8  t  3

c) Đặt

 e x  1  t 2  e x dx  2tdt
3

 2t 5 2t 3 
 I    t  1 t.2tdt    2t  2t  dt  


5
3 2

2
2
3

3

2

4

2

 243 2.27   32 2.8  1076
  2.

   2. 

5
3   5
3  15

2. Biến đổi lượng giác:
(1)

a 2  x 2  Đặt x  a sin t

(2)

a 2  x 2  Đặt x  a tan t

(3)

x 2  a 2  Đặt x 

a
dt
cos t

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
1
2

a)


0


1
2

b)

1  x2

1

d)

1

2

dx



4 x

2

dx

2

c)

0

dx

e)

x2  2 x  5


1


0

x2
4  x2

dx

x2 1

Giải
1
2

a)


0

dx
1  x2

x  0  t  0

Đặt x  sin t ta có: 

1

 x  2  t  6

 dx  cos tdt




6

6

I 
0

2

1
1  sin t
2

cos tdt  
0


6

1
2

cos t



cos tdt   1dt  t 06 
0


6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


2

b)



4  x2

0

x  0  t  0

Đặt x  2sin t ta có: 

 x  2  t  2

 dx  2cos tdt



2

I 
1


0



2

2

0

c)



 1
2
4  4sin t .2 cos tdt   4 cos tdt   2 1  cos 2t  dt  2  t  sin 2t   
 2
0
0

0

2

x2

2

dx

4  x2

 
Gợi ý: Đặt x  2sin t  t   0;   dx  2cos tdt
 6

6


6

4sin 2 t

I
0

4  4sin 2 t


6


6

0

0

4sin 2 t
.2 cos tdt
2
cos
t
0

.2 cos tdt  

  4sin 2 tdt   4.


6

1  cos 2t
dt   2 1  cos 2t  dt
2
0



3

 1
6 
 2  t  sin 2t   
.
 2
0 3 2
1

x2



Đáp án:

4  x2

0

1

d)


1
2

dx 
1

dx

x  2x  5
2

=


3



3
.
2

dx



( x  1) 2  4

1

 x  1  t  0

Đặt x  1  2 tan t ta có: 

 x  1  t  4

 1 
 dx  2 

dt
2 
 cos t 
=> I =









4

4

4

4


0

3

1

2
dt  

2
2
4(tan t  1) cos t
0
.

1
1
.
dt =
cos 2 t
1
cos 2 t

1
0 cos t dt =



4
cos t
cos t
dt

0 cos2 t 0 1  sin 2 t dt

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


t  0  u  0


Đặt sint  u ta được:  
2
t   u 
 4
2

 costdt  du
I 

2
2


0

1
1
du 
2
1 u
2
2
2

1  1 u 
  ln
2  1  u  0
2

e)


1

2
2

dx
x2  1


0

2
1
1
1

du    ln 1  u  ln 1  u  2
0
1 u 1 u
2

2
1
2  1 ln 2  2
 ln
2
2 2 2 2

1
2

. Đặt x 

1

1
cost
 dx   2 dt
sin t
sin t



 x  1  t  2
Đổi biến: 
x  2  t  

6

6

I 





2


 cos t
cos t
cos t
dt 2
2
2
2
2
sin t
  sin t dt   sin t dt
cos t
1
1  sin 2 t



1
6
6 sin t
sin 2 t
sin 2 t







2

2
2
1
sin t
sin t

dt   2 dt  
dt
2
 sin t
 sin t
 1  cos t
6

6

6

Đặt u  cos t ta có du   sin tdt

t 
Đổi cận: 
t 



3
u 

6
2

u 0
2
3

2
du
du
1 u 1


  ln
Khi đó ta có I  
2

1 u
u  1 u  1
2 u 1
0 
3
0

3
2
0







1
1
  ln 7  4 3   ln 2  3
2
2



2



  ln 2  3

2

- HẾT -

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!




BÀI GIẢNG. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN (TIẾT 2)

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
Ví dụ 1. Tính tích phân:
ln 5

b)



sin  x  
4

dx
d) 
0 sin 2 x  2(1  sinx  cos x)




x sin x  ( x  1) cos x
dx
x sin x  cos x

4

c)

x 2  e x  2 x 2e x

0 1  2e x dx
1

dx
a)  x
e  2e x  3
ln 3


0

4

Giải
ln 5

dx
a)  x
=
e  2e x  3
ln 3

ln 5

ln 5

dx
ex



3 e2 x  3e x  2dx
2
ln 3 e x 
ln
3
ex

 x  ln 3  t  3
Đặt e x  t ta có: 
 x  ln 5  t  5
 e x dx  dt
5

5

5

1
1
1
1
dt  
dt  

dt
2
t

3
t


2
t

1
t

2
t

1
t

2



3
3
3

I 

5

 ln t  1  ln t  2   ln 6  ln 7  ln 4  ln 5  ln
3

30
15

 ln
28
14

1
1 x 2 1  2e x  e x
1
1
1


x2  ex  2x2 ex
ex
x3
ex
1
ex
2
b) 
dx

dx

x

dx


dx



dx
0 1  2e x
0 1  2e x
3 0 0 1  2e x
3 0 1  2e x
1  2e x
0
1

1

ex
dx
x
0 1  2e

Đặt B  

x  0  t  3
Đặt 1  2e x  t ta có: 
 x  1  t  1  2e
 2e x dx  dt
1 2 e

=> B =  B 


3

I 

1 2 e

1 dt  1

.   ln t 
t 2 2
3



1
 ln 1  2e  ln 3
2

1 1
  ln 1  2e  ln 3
3 2

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!






c)

x sin x  ( x  1) cos x
0 x sin x  cos x dx =

4
x sin x  x cos x  cos x
x cos x
dx

0 x sin x  cos x
0 1  x sin x  cos xdx



4

4




4

= x |04  
0



x cos x
 4

x cos x
dx   
dx
x sin x  cos x
4 0 x sin x  cos x


4

Đặt B  
0

x cos x
dx
x sin x  cos x

x  0  t  1

Đặt x sin x  cos x  t ta có: 

 2
2

x   t  .

4
4 2
2

 x cos xdx  dt

B

 2
2
. 
4 2
2


1

2 
.( 1)
dt
2 

 ln | t ||1 2 4  ln
.  1 .
t
2 4 

Ví dụ 2. Tính tích phân

a)





2

6

sin 2 x

 3  4sin x  cos 2 x dx

b)

0



sin  x  
4

dx
c) 
0 sin 2 x  2(1  sinx  cos x)


4

4

tan x

 cos 2 x dx
0

Giải
a)





2

2



2
sin 2 x
2sin x.cos x
2sin x.cos x
dx

dx

0 3  4sin x  cos 2 x
0 3  4sin x  1  2sin 2 x
0 2sin 2 x  4sin x  2 dx





2

2
sin x.cos x
sin x.cos x
dx

dx.
2
2

0 sin x  2sin x  1
0 (s inx  1)



x  0  t  1

Đặt s inx  1  t ta có: 

 x  2  t  2

 cos xdx  dt
t 1
1 1
1
 I   2 dt    2 dt  ln | t | 
t t
t1
1 t
1

2

 ln 2 

1
1
 (ln1  1)  ln 2  .
2
2



6

b)

2

2

4

tan x
0 cos 2 x dx =

2

6



6
tan x
tan 4 x
dx

0 cos2 x  sin 2 x 0 cos2 x(1  tan 2 x) dx
4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!


x  0  t  0

Đặt tan x  t ta có: 

3
x   t 
6
3



1
dx  dt
cos 2 x

I

3

3

t

4

 1 t

2

dt 

0

3
3


0

t 11
dt 
1 t2
4

3
3



   t

2

 1 

0

1 
dt 
1  t 2 

3
3



 t
0

2

1 1
1 
1 

 dt
2  1  t 1  t  

3

3

 t3

1
    t   ln | 1  t |  ln | 1  t |  
2
 3
0


3
3 1
3
3

  ln 1 
 ln 1 

27
3 2 
3
3 

3
10 3 1
3   10 3  1 ln 2  3 .

 ln
27

2
27
2
3
1
3





2
sin  x  
(sinx  cosx)
4
4
4

2
c) 
dx  
dx
sin
2
x

2(1

sinx


cos
x
)
(2sin
x
cos
x

1)

1

2(sinx

cos
x
)
0
0
1








2
2

(sinx  cosx)
(sinx  cosx)
4
2
2

dx

dx.
2
2

(sinx

cos
x
)

2(sinx

cos
x
)

1
(sinx

cos
x


1)
0
0
4

x  0  t  2

Đặt s inx  cos x  1 t ta được: 

 x  4  t  2  1
 (cos x  sinx)dx  dt
2
I 
2

2 1


2

1
2 1
dt 
.
2
t
2 t2

2 1



2  1
1
.
 
2  2 1 2 

- HẾT -

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!