CHUYÊN đề ôn TOÁN THPT NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.31 MB, 35 trang )
BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
Ví dụ 1: Tính
a)
x(1 sin 2 x)dx
x 1
1 x 2 ln xdx
2
4
b)
0
2
1 x sin x
dx
2
cos
x
0
3
c)
Giải
4
x2
2
a) x(1 sin 2 x)dx x x sin 2 xdx
x
sin
2
xdx
B
4
2
32
0
0
0 0
4
4
4
+) B x sin 2 xdx
0
dx du
x u
Đặt
1
sin 2x dv cos 2x v
2
4
4
4
1
1
1
1
B x cos 2 x cos 2 xdx 0 sin 2 x
2
2
4
4
0
0
0
1
ln x u
dx du
2
x
b) Đặt x 1
2 dx dv x 1 v
x
x
2
2
1
11
5
1
5
1
5
3
x ln x x dx ln 2 1 2 dx ln 2 x ln 2
x
x x
2
2
x 1 2
2
x
1
1
1
1 x sin x
c)
dx =
2
cos
x
0
3
2
2
/3
0
3
1
x sin x
x sin x
dx
tan
x
dx 3 B
3
2
2
2
cos x cos x
cos
x
0 0
3
+) B
0
x sin x
dx
cos 2 x
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!
xu
du 1
Đặt sinx
1
cos 2 x dx dv v cos x
3
3
1
1
1
2
.x
dx . C
C
1 3
cos x 0 0 cos x
3
2
B
3
3
1
cos x
dx
dx
2
cos x
0
0 1 sin x
C
Đặt sinx t cosxdx dt
x 0 t 0
Đổi cận:
3
x t
3
2
3
2
1
C
dt
2
1
t
0
3
2
0
1 1
1
1 1 t
dt ln
2 1 t 1 t
2 1 t
3
3
2
0
1 2 3
ln
ln 2 3 .
2 2 3
1 x sin x
2
dx 3
ln 2 3 .
2
cos x
3
0
Ví dụ 2. Tính
/2
c)
e
/2
cos x
.sin 2 xdx
0
e
cos x
.2sin x.cos x dx
0
x 0 t 1
Đặt cos x t ta có
x 2 t 0
sin x dx dt
0
1
1
0
=> I 2et .t (dt ) 2t.et dt
2t u
2dt du
Đặt t
t
e dt dv
e v
1
I 2t.et 2et dt 2e 2et
1
0
1
0
2e 2e 2 2
0
d ) I x .sin xdx
0
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!
Đặt
x t t 2 x dx 2tdt.
Đổi cận:
x
t
0
0
2t
I
2
sin tdt.
0
u t 2
du 2tdt
Đặt:
dv sin tdt v cos t
I 2 t 2 cos t
0
0
2t cos tdt 2 cos
2t cos tdt .
0
Đặt I1
2t cos tdt
ta có:
0
u t
du dt
Đặt:
dv cos tdt v sin t
I1 2 t sin t 0
sin
tdt
2
0
sin cos t 0
2 sin 2cos 2.
I 2 cos 2 sin 2cos 2 .
1
e) J x3 .e x dx
2
0
Đặt x 2 t dt 2 xdx . Đổi cận:
x
t
0
0
1
1
1
1
J tet dt
0 2
u t
du dt
Đặt
t
t
dv e dt
v e
J
1
1
1 t 1
1
1
t
t 1
te
0 e dt e e 0 e e 1 .
2
2
2
0
2
- HẾT -
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!
BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
+) Định nghĩa:
b
f ' x dx f x
b
a
f b f a
a
+) Tính chất:
b
a
f x dx f x dx
a
b
b
c
b
f x dx f x dx f x dx
a
a
b
b
b
c
a
a
a
f x dx f t dt f u du
+) Phƣơng pháp đổi biến
+) Phƣơng pháp từng phần
DẠNG 1: PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Dấu hiệu:
+) Khi biểu thức trong ngoặc khác x
VD: f 3x ; f tan x ;f ...
2
Câu 1: Cho hàm số f x có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1 1 và f 2 2 . Tính I f ' x dx
1
A. I
7
2
B. I 1
C. I 1
D. I 3
Hƣớng dẫn giải
2
f ' x dx f x
2
1
f 2 f 1 2 1 1
1
4
2
0
0
Câu 4: Nếu f x liên tục và f x dx 10 thì f 2x dx bằng:
Hƣớng dẫn giải
1
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
2
+) Xét f 2x dx
0
Đặt 2x t 2dx dt dx
dt
2
x 0 t 0
Đổi cận
x 2 t 4
2
4
4
4
dt 1
1
1
f 2x dx f t f t dt f x dx .10 5
2 20
20
2
0
0
* Công thức nhanh:
1
f ax b dx a f x dx
2
4
1
1
0 f 2x dx 2 0 f x dx 2 .10 5
5
2
2
1
Câu 5: Cho f x dx 3 . Tính I f 3x 1 dx
Hƣớng dẫn giải
2
5
1
1
+) Xét I f 3x 1 dx f x dx .3 1
32
3
1
* HÀM CHẴN, LẺ
*) Phƣơng pháp thế:
+) Hàm chẵn: f x f x
+) Hàm lẻ: f x f x
Câu 12: Cho f x là hàm số lẻ và
0
2
2
0
f x dx 2 . Giá trị của f x dx
là :
Hƣớng dẫn giải
2
2
0
0
0
0
2
2
+) Xét f x dx f x dx f x dx f x dx 2
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Câu 14: Cho y f x là hàm số chẵn, có đạp hàm trên đoạn
6;6 .
2
Biết rằng
f x dx 8
và
1
3
6
1
1
f 2x dx 3 . Tính I f x dx
Hƣớng dẫn giải :
3
3
6
6
1
+) Xét f 2x dx f 2x dx f x dx 3 f x dx 6
22
1
1
2
6
2
6
1
1
2
) I f x dx f x dx f x dx 8 6 14
1
4
0
0
Câu 15: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x dx 1 . Tính I tan 2 x 1 .f tan x dx
Hƣớng dẫn giải :
+) Xét I tan 2 x 1 .f tan x dx
4
0
Đặt tan x t
1
dx dt tan 2 x 1 dx dt
2
cos x
x 0 t 0
Đổi cận
x 4 t 1
1
1
0
0
I f t dt f x dx 1
Câu 17 : Cho hàm số f x liên tục trên R thỏa mãn
9
1
f
dx 4 và
x
x
2
f sin x cos xdx 2 . Tính tích
0
3
phân I f x dx
0
Hƣớng dẫn giải
9
+) Xét I1
1
Đặt
f
x dx
x
x t x t 2 dx 2tdt
x 1 t 1
Đổi cận
x 9 t 3
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
3
3
f t
I1
.2tdt 2 f t dt 4 f x dx 2
t
1
1
1
3
2
+) Xét I2 f sin x cos xdx
0
Đặt sin x t cos xdx dt
x 0 t 0
Đổi cận
x 2 t 1
1
1
I 2 f t dt 2 f x dx 2
0
0
3
1
3
0
0
1
I f x dx f x dx f x dx 2 2 4
x 2f x
Câu 18 : Cho hàm số f x liên tục trên R và f tan x dx 4; 2
dx 2 . Tính giá trị của tích phân
x 1
0
0
4
1
1
I f x dx .
0
Hƣớng dẫn giải
4
Xét I1 f tan x dx
0
x 0 t 0
Đặt tan x t , đổi cận
x 4 t 1
1
dt
dx dt 1 tan 2 x dx dt 1 t 2 dx dt dx 2
2
cos x
t 1
1
f x
dt
I1 f t . 2
2 dx 4
t 1 0 x 1
0
1
1
I2
0
x 2f x
dx 2
x2 1
1
I1 I 2
0
1
42
0
1
f x
x 2f x
dx
0 x 2 1 dx
x2 1
f x 1 x 2
x2 1
1
dx f x dx I
0
I6
4
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
DẠNG 2: PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Dấu hiệu
+) Trong tích phân chứa 2 loại hàm khác nhau
+) Có sự xuất hiện của f ' .
VD :
2
x sin xdx
0
x u
dx du
sin xdx dv cos x v
2
2
x sin xdx x cos x cos xdx
2
0
0
0
2
sin x 02
2
1
Câu 21 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn
1
1
0
0
x 1 f ' x dx 10 và 2f 1 f 0 2 . Tính I f x dx
Hƣớng dẫn giải :
1
Xét I1 x 1 f ' x dx
0
x 1 u
dx du
Đặt
f ' x dx dv
f x v
1
1
0
0
I1 x 1 f x 0 f x dx 2f 1 f 0 f x dx
1
10 2 I I 8
Câu 23: Cho
2
1
0
0
1 2x f ' x dx 3f 2 f 0 2016 . Tích phân I f 2x dx bằng :
Hƣớng dẫn giải :
1
+) I f 2x dx
0
2
1
f x dx
2 0
2
+) Xét I1 1 2x f ' x dx
0
5
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
1 2x u
2dx du
Đặt
f ' x dx dv
f x v
2
2
0
0
I1 1 2x f x 0 2 f x dx 3f 2 f 0 2 f x dx
2
2016 2016 4I
I 1008.
1
Câu 32: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0; f ' x dx 7 và
2
0
1
1
1
x f x dx 3 . Tích phân f x dx
2
bằng :
0
0
Hƣớng dẫn giải
1
+) Xét
x f x dx
2
0
f ' x dx du
f x u
3
Đặt 2
x
x
dx
dv
v
3
1
1
1
1
1
x3
x3
1
x3
x f x dx f x f ' x dx x 2f x dx f 1 f ' x dx
3
3
0
0 3
0
0 3
0
2
1
1
1 1
1
.0 x 3f ' x dx x 3f ' x dx 1
3 3
30
0
*
1
* x3 f x 3 x 2 f x dx 1
1
0
0
1
Ta có :
1
x dx 7
6
0
6
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
1
1
2
2
2
f ' x 14x 3f ' x 49 x 3 dx f ' x 7x 3 dx
0
0
1
7 14 7 f ' x 7x 3 dx
2
0
1
f ' x 7x 3 dx 0
2
0
f ' x 7x 3 0 f ' x 7x 3
7x 4
f x 7x dx
C
4
3
7
7
7x 4 7
C 0 C f x
4
4
4
4
1
1
4
7x
7
7
f x dx
dx
4
4
5
0
0
Ma f 1 0
7
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM ĂN (TIẾT 2)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
Phương pháp đổi biến:
f ... , đặt ... t
3
7
1
f x dx
2 3
+) Nếu f 2x 1 dx
1
+) Chẵn, lẻ: Phương pháp thế
Dạng 3: Mối quan hệ của 2 hàm khác nhau
+) Bước 1: Rút hàm này theo hàm kia Đổi biến hoặc từng phần
+) Bước 2: Giải dạng 1, dạng 2.
Câu 33: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f x f x cos4 x x R . Tính tích phân
I
2
f x dx
2
A. I
3
16
B. I
16
C. I
3
8
D. I
8
Hướng dẫn giải:
Xét f x f x cos4 x x R f x cos 4 x f x
2
2
f x dx
) I
2
x f x dx
2
cos 4 xdx
2
f x dx
2
2
3
I2
8
2
) I 2
4
2
I
cos
2
2
f x dx f x dx
2
2
f x dx I
2
3
I
8
3
3
2I
I
8
16
I
1
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Chọn đáp án B.
Câu 34: Cho y f x là hàm số liên tục trên 0;1 và thỏa mãn f x 2f 1 x 3x . Tính tích phân
1
I f x dx
0
A. I
3
2
C. I
B. I 1
1
2
D. I 2
Hướng dẫn giải
) f x 2f 1 x 3x f x 3x 2f 1 x
1
1
1
0
0
) I 3x 2f 1 x dx 3xdx 2f 1 x dx
0
1
3
3
2 f x dx 2I
2
2
0
3
1
I
2
2
3I
Chọn đáp án C.
1
Câu 38: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên 0; đồng thời thỏa mãn f x f 1 . Tính tích
x
3
1
3
A.
f x
dx
2
1
x
phân I
6
B.
3
C.
2
3
D.
12
Hướng dẫn giải
1
1
) f x f 1 f x 1 f
x
x
1
3 1 f
x dx
) I
x2 1
1
3
3
x
1
1
dx
1
2
3
1
1
f
x dx I
2
x2 1
6
3
3
) I2
3
1
1
f
x dx
x2 1
3
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
1
1
dt 2 dx
x
x
Đặt t
1
x
t 3
3
Đổi cận
x 3 t 1
3
1
3
I2
3
I
6
f t 1
. 2 dt
1
1 t
2
t
I 2I
6
3
1
3
f t
dt
t2 1
I
3
1
3
f x
dx I
x2 1
12
Chọn đáp án D.
Câu 40: Cho f(x) là hàm số liên tục trên 0;3 và f x .f 3 x 1 với mọi x 0;3 . Tính tích phân
3
dx
1 f x
0
I
B. I 3
A. I 2
C. I
3
2
D. I
2
3
Hướng dẫn giải
) f x .f 3 x 1 f x
1
) I
0
1
1
1
f 3 x
1
f 3 x
dx
Đặt 3 x t dx dt
x 0 t 3
Đổi cận
x 3 t 0
0
I
3
1
1
1
f t
3
3
f t
f x
dx
dt
dx
1 f t
1 f x
1 f x
0
0
0
3
dt
3
1 f x
3
2I
dx dx 3 I
1 f x
2
0
0
3
Chọn đáp án C.
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
Câu 41: Biết hàm số y f x là hàm số chẵn trên đoạn
2
2 ; 2 và f x f x 2 sin x cos x .
2
Tính I f x dx .
0
A. I 0
C. I
B. I 1
1
2
D. I 1
Hướng dẫn giải
+) Vì f x là hàm chẵn f x f x
2
2
2
+) f x f x sin x cos x f x sin x cos x f x
2
2
) I sin x cos x f x dx
2
0
2
sin x cos x dx f x dx
2
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
2
2
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
2
2
0
0
0
2
0
2
2
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx I
0
2
I 2 I 2I 2 I 1
Chọn đáp án B.
Câu 42: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f x 0 và f ' x 3f x 0 và f 1 e2 . Tính giá trị của tích phân
1
I ln f x dx
0
A. I 3
B. I 1
C. I e2
3
2
D. I
1
2
Hướng dẫn giải
) f ' x 3f x 0 f x
f ' x
3
1
) I ln f x dx
0
4
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
f ' x
dx du
ln f x u
Đặt
f x
dx dv
x v
1
I x.ln f x x.
1
0
0
f ' x
dx
f x
1
ln f 1 0.ln f 0 x.
0
1
ln e 3 xdx 2
2
0
f ' x
dx
f ' x
3
3 1
2 2
Chọn đáp án D.
Cho f ' x x 2 1 . Biết f 1 3 . Hỏi f x ?
Câu 43: Giả sử hàm số y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn điều kiện f 1 1 ,
f x f ' x 3x 1 với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 f 5 5
B. 2 f 5 3
C. 3 f 5 4
D. 1 f 5 2
Hướng dẫn giải
) f x f ' x 3x 1
f ' x
1
f x
3x 1
f ' x
1
dx
dx
f x
3x 1
*) VT
f ' x
dx
f x
Đặt f x t f ' x dx dt VT
1
dx
3x 1
VP
Đặt
dt
ln t C ln f x C
t
3x 1 t 3x 1 t 2 3dx 2tdt
2
tdt
2
2
2
VP 3
dt t C
3x 1 C
t
3
3
3
5
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
2
3x 1 C
3
ln f x
f x e
2
3x 1 C
3
2
f 1 1 e 3
f x e
.2 C
1
4
4
C 0 C
3
3
2
4
3x 1
3
3
8 4
3
f 5 e 3
4
e 3 3,8
Chọn đáp án C.
1
Câu 47: Cho hàm số f x 0 thỏa mãn điều kiện f ' x 2x 1 f 2 x và f 1 . Biết rằng tổng
2
a
a
là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây
f 1 f 2 f 3 ... f 2017 với a Z, b N và
b
b
đúng?
A.
a
1
b
B. a 2017;2017
C. b a 4035
Hướng dẫn giải
) f ' x 2x 1 f 2 x
f ' x
f
2
x
f x
f ' x
f 2 x
dx 2x 1 dx
2x 1
1
x2 x C
f x
1
x xC
2
+) Thay x 1 f 1
1
1
1
1
C 0 f x 2
2C
2 2C
x x
) f 1 f 2 f 3 ... f 2017
1
1 1 1 1
...
2 6 12 20
1
1
1
1
1
...
2017.2018
1.2 2.3 3.4 4.5
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
...
2017 2018
1 2 2 3 3 4 4 5
1
2017
1
2018
2018
a 2017
b a 2018 2017 4035
b 2018
Chọn đáp án C.
6
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!
BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN DẠNG ĐẶC BIỆT. TÍCH PHÂN DẠNG LÍ THUYẾT
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN
b
b
f x F x a F b F a
1. Định nghĩa:
a
b
2. Tính chất : Đổi vị trí các cận, nhân tất cả với -1:
a
3. Tính chất : Nối cận :
b
c
b
a
a
c
a
f x dx f x dx
b
f x dx f x dx + f x dx
4. Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ liên quan đến phương pháp đổi biến
Ví dụ 1: Nếu f 1 12 , f ' x liên trục và
4
f ' x 17 thì giá trị của f 4
là:
1
A. 29
B. 5
C. 19
D. 9
C. 36
D. 40
Giải
f ' x dx bằng f x C
Nguyên hàm của
4
4
f ' x 17 f x f 4 f 1 17
1
1
f 4 29
Đáp án A
Ví dụ 2: Cho
5
2
2
5
f x 10 ,. Khi đó 2 4 f x dx ?
A. 32
B. 34
Giải
2
2
2
5
5
5
2 4 f x dx 2dx 4 f x dx
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
2 5
2x 4 f x dx= 4 10 4.10 34
5
2
Đáp án B
2
Ví dụ 3: Cho
4
f x dx 1 ; f t dt 3 ,. Giá trị
1
1
4
f x dx ?
2
B. 4
A. 2
D. 2
C. 4
Giải
4
1
2
4
1
2
f x dx f x dx f x dx 3
4
4
2
2
1+ f x dx 3 f x dx 4
Đáp án B
Ví dụ 4: Cho
d
d
c
c
a
b
a
b
f x dx 10 ; f x dx 8 ; f x dx 7 . Hỏi I f x dx ?
A. 5
B. 7
D. 7
C. 5
Giải
d
c
d
d
f x dx f x dx f x dx f x dx 10 7 3
a
a
c
c
d
c
d
c
b
b
c
b
f x dx f x dx f x dx f x dx 8 3 5
Đáp án C
Ví dụ 5: Cho f x là hàm chẵn. Biết
0
f x a . Mệnh đề nào là đúng?
3
3
A.
f x dx a
0
3
B.
f x dx 2a
3
0
3
C.
f x dx a
3
D.
f x dx a
3
Giải
+) Hàm chẵn là hàm có tính chất : f x f x
+)
0
0
3
3
f x dx f x dx
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
0
f x dx
+)
3
x t
dx dt
Đặt
x 3 0
t 3 0
0
0
0
3
3
3
3
0
f x dx f t dt f x dx a f x a
0
3
3
f x f x a a 2a
0
Đáp án B
0
Ví dụ 6: Nếu f x là hàm lẻ và
f x dx 2 thì
2
2
f x dx ?
0
B. 2
A. 2
D. 1
C. 1
Giải
+) Hàm lẻ là hàm có tính chất : f x f x
0
+)
2
Đặt
0
2
0
2
2
0
f x dx f x dx
x t
dx dt
x
t
0
2
2
0 2
f x dx f t dt
0 2
0
0
f x dx f x dx
2
2
2
0
0
f x dx
2
0
2
f x dx f t dt
0
2 f t dt f x dx 2
Đáp án B
Ví dụ 7: Cho f x là hàm chẵn ,
2
f x dx 8 ;
1
A. 2
3
f 2 x dx 3 . Tính
6
f x dx
1
1
B. 11
C. 5
D. 14
Giải
+) Hàm chẵn là hàm có tính chất : f x f x
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
3
+)
1
3
f 2 x dx f 2 x dx 3
1
+) Đặt:
2x t
2dx dt
dt
dx
2
x
t
1
2
3
6
3
6
1
2
6
6
2
1
2
1
f 2 x dx f t
6
dt
3 f x dx 6
2
2
f x dx f x dx + f x dx
6
f x dx 6 8 14
1
Đáp án D.
- HẾT-
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
BÀI GIẢNG: CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM
I. Lý thuyết
b
+) Phương pháp: I | f ( x) | dx
a
B1: Xét f(x) = 0 => để tìm giá trị xen giữa 2 cận của tích phân
c
b
a
c
B2: I | f ( x) | dx | f ( x) | dx
B3: Tính các tích phân nhỏ
2
x
Ví dụ. Tính
2
x dx
0
Giải
x 0
2
+) Xét x x 0
x 1
1
2
1
2
I x x dx x x dx x x dx x 2 xdx
2
2
0
2
1
1
0
1
2
x 2 x3
x3 x 2
1 2 1
1
3 0 3
2 1 6 3 6
2
Cách 2:
x 0
2
+) Xét x x 0
x 1
1
2
0
1
I x 2 x dx x 2 x dx
1
1
2
0
1
2
2
x xdx x xdx
2
x3 x 2
x3 x 2
1 2 1
1
2 0 3
2 1
6 3 6
3
Ví dụ 1. Tính:
2
| x 1| dx
3
3
a)
b)
1 cos 2x dx
c)
0
1 sin 2xdx
0
Giải
1
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
x 1
a) Cho x 2 1 0
x 1
1
I
3
1
1
3
1
1
1
3
x 2 1 dx x 2 1 dx x 2 1 dx
2
x 1dx
3
2
2
x 1dx x 1dx
1
1
1
1
3
x3
x3
x3
x x x
3
3 3
1 3
1
b)
20 4 20 44
3 3 3
3
0
0
1 cos 2x dx 1 (1 2sin 2 x)dx 2. | s inx | dx
0
Cho sin x 0 x k
I
2.sin xdx 2.cos x
0
c)
0
1 sin 2 xdx
0
2 22 2
sin x cos x
0
dx sin x cos x dx
0
+) Cho sin x cos x 0 x
2
4
0
4
k
I sin x cos xdx sin x cos xdx
4
2
Ví dụ 2. Cho I
0
3x 1
x 2 dx a b ln 2 c ln 3 . Tính A 2a 3b 4c .
x 1
Giải
+) Xét
3x 1
x2 0
x 1
x 1 tm
3x 1 x 2 x 2 0 x 2 2 x 3 0
x 3 ktm
2
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
3x 1
3x 1
I
x 2 dx
x 2 dx
x 1
x 1
0
1
1
2
4
4
3
x 2 dx 3
x 2 dx
x 1
x 1
0
1
1
2
4
4
1 x
dx 1 x
dx
x 1
x 1
0
1
1
2
1
x2
x2
x 4 ln x 1 | x 4 ln x 1
2
2
0
2
1
3
3
4 ln 2 4 4 ln 3 4 ln 2
2
2
3
3
4 ln 2 4 4 ln 3 4 ln 2
2
2
1 8ln 2 4 ln 3
a 1
b 8 A 2 24 16 10
c 4
3
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa tốt nhất!
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN (TỰ LUẬN NẮM CHẮC KIẾN THỨC)
BÀI GIẢNG. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. Lý thuyết.
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y g x , x a, x b .
b
S | f ( x) g ( x) | dx
a
Trường hợp đặc biệt khi g x 0 (trục hoành) thì diện tích hình phẳng giới
b
hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y 0, x a, x b là S | f ( x) | dx .
a
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số y f x , y g x
Phương pháp: - Xét phương trình hoành độ giao điểm f x g x 0 . Giả sử phương trình có n nghiệm phân
biệt được sắp xếp theo thứ tự a x1 x2 ... xn b . Khi đó diện tích hình phẳng vẫn được tính theo công
b
thức S | f ( x) g ( x) | dx
a
Phương pháp chung cho cả 2 dạng trên
Cách 1: Đại số
-Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm. Suy ra các nghiệm a x1 x2 ... xn b (nếu cho sẵn 2
đường thẳng x a, x b thì chỉ xét các nghiệm thuộc (a, b))
-Bước 2: Diện tích hình phẳng
b
x1
x2
a
a
x1
x1
x2
b
a
x1
xn1
S | f ( x) g ( x) | dx | f ( x) g ( x) | dx | f ( x) g ( x) | dx ...
b
| f ( x) g ( x) | dx
xn1
f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx ... f ( x) g ( x) dx
Cách này dùng khi có sự tham gia của 2 đồ thị hàm số y f x , y g x
Cách 2: Đồ thị.
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
Khi hình phẳng bị giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường cong.
II. Áp dụng
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 – 3x2 , trục hoành (y = 0), trục tung (x = 0) và đường
thẳng x = 4.
Giải
Cách 1.
4
Shp | x3 3x 2 | dx
0
+) Cho: x3 – 3x2 = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = 3
3
4
=> I | x 3x | dx | x3 3x 2 | dx
3
2
0
3
3
4
0
3
= | x3 3x 2 dx | | x3 3x 2 dx |
x 4 3x3 3
x 4 3x3 4 27 27 27
=
3 0
3 3
4
4
2
4
4
3
4
0
3
Cách 2: I | x3 3x 2 | dx | x3 3x 2 | dx
3
4
3
4
27 27 27
S 0 ( x 3x ) dx ( x 3x ) 0 dx x 3x dx x3 3x 2 dx
4
4
2
0
3
0
3
3
2
3
2
3
2
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh
– Sử - Địa tốt nhất!
