CHUYÊN đề ôn TOÁN THPT NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN bấm máy

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

BÀI GIẢNG. BẤM MÁY NGUYÊN HÀM
MÔN TOÁN LỚP 12 – THẦY NGUYỄN QUỐC CHÍ
I. Cơ sở lý thuyết và phương pháp
+) Như các em đã biết Nguyên hàm với Đạo hàm là hai phép toán nôm na ngược chiều nhau. Đạo hàm của
g  x  ra kết quả là f  x  thì nguyên hàm của f  x  lại ra g  x 
+) Vậy nên nếu đề bài yêu cầu tính nguyên hàm của f(x) rồi ra một trong 4 đáp án thì chúng ta chỉ cần tính
đạo hàm của 4 đáp án. Nếu ra kết quả trùng với f  x  thì đó là đáp án đúng.
Câu 1: Tính nguyên hàm của f  x   2 x  1 (Trích đề minh họa 2017)
A.

2
 2 x  1 2 x  1  C
3

B.

1
 2 x  1 2 x  1  C
3

C.

1
2x 1  C
3

D.

1

2x 1  C
2

Giải
Các bước làm:
Bước 1: Thay một giá trị x vào nguyên hàm
Bước 2: Tính đạo hàm bốn đáp án tại giá trị x đã thay
Bước 3: Chọn đáp án giống với biểu thức tại giá trị x
Ta thay x  2 vào biểu thức  f  x   3  1,73
+) Thử đáp án A.
Ấn SHIFT 

d
d 2

   2 X  1 2 X  1  | X 2  Màn hình hiện kết quả  3, 464  loại đáp án A.
dx
dx  3


+) Thử đáp án B.
Ấn SHIFT 

d
d 1

   2 X  1 2 X  1  | X 2  Màn hình hiện kết quả  1, 73  đáp án B đúng.
dx
dx  3


 Đáp án B.
Câu 2: Tính nguyên hàm

A.

2
x
ln
C
3 x3

1

 x  x  3 dx
1
x
B.  ln
C
3 x3

C.

1 x3
ln
C
3
x

D.

1
x
ln
C
3 x3

Giải
Ta thay x  2 vào biểu thức  f  2   0,1
+) Thử đáp án A.

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Ấn SHIFT 

d 2
x 
d
  ln
| X 2  Màn hình hiện kết quả  0, 2  loại đáp án A.
dx  3 x  3 
dx

+) Thử đáp án D.
Ấn SHIFT 

d 1
x 

d
  ln
| X 2  Màn hình hiện kết quả  0,1  đáp án D đúng.
dx  3 x  3 
dx

 Đáp án D.
Câu 3: Tìm họ nguyên hàm F  x   

dx
x 2ln x  1

A. F  x   2 2ln x  1  C

B. F  x   2ln x  1  C

1
C. F  x   . 2ln x  1  C
4

1
D. F  x   . 2ln x  1  C
2

Giải
Ta thay x  5 vào biểu thức f  x  

1
 f  5  0,09737
x 2ln x  1

+) Thử đáp án A.
Ấn SHIFT 





d
d

2 2ln x  1 | X 5  Màn hình hiện kết quả  0,1947  loại đáp án A.
dx
dx

+) Thử đáp án B.
Ấn SHIFT 

d
d

dx
dx





2ln x  1 | X 5  Màn hình hiện kết quả  0,09737  đáp án B đúng.

 Đáp án B.
Câu 6: Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f  x  

A.

x2  x 1
x 1

B.

x2  x  1
x 1

C.

x2
x 1

x 2  x

 x  1

2

D.

x2  x 1
x 1

Giải

Ta thay x  2 vào biểu thức f  x  

x 2  x

 x  1

2

 f  2   0,89

+) Thử đáp án A.
Ấn SHIFT 

d  x2  x 1 
d
 
 | X 2  Màn hình hiện kết quả  0,89  loại đáp án A.
dx  x  1 
dx

+) Thử đáp án B.

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Ấn SHIFT 

d  x2  x  1 
d

 
 | X 2  Màn hình hiện kết quả  0,89  loại đáp án B.
dx  x  1 
dx

+) Thử đáp án C.
Ấn SHIFT 

d  x2 
d
 
 | X 2  Màn hình hiện kết quả  0,89  loại đáp án C.
dx  x  1 
dx

+) Thử đáp án D.
Ấn SHIFT 

d  x2  x 1 
d
 
 | X 2  Màn hình hiện kết quả  4,96  đáp án D đúng.
dx  x  1 
dx

 Đáp án D.
Câu 6: Nguyên hàm của hàm số  cos x.sin 2 x.dx bằng:
A.

3sin x  sin 3x

C
12

B.

3cos x  cos 3x
C
12

C. sin 3 x  C

D. sin x.cos2 x  C

Giải
Chuyển sang chế độ radian: SHIFT  MODE 4.
Ta thay x 


 
vào biểu thức f  x   cos x.sin 2 x  f    0, 2165
6
6

+) Thử đáp án A.
Ấn SHIFT 

d  3sin x  sin 3x 
d
 
 |X 

dx 
12
dx
 6

Đáp án A đúng

 Đáp án A.
Câu 7: Kết quả nào sai trong các kết quả sau:
A.

dx
1
x
 1  cos x  2 tan 2  C

B.

1
 x x2  1  2 ln

C.

 x.ln x.ln  ln x   ln  ln  ln x    C

D.

 3  2x

dx

dx

xdx

2

x2  1 1
x2  1  1

C

1
  ln 3  2 x 2 C
4

Giải
Chuyển sang chế độ radian: SHIFT  MODE 4.
+) Thử đáp án A.
Ta thay x 


1
 
 f    0,53589
vào biểu thức f  x  
6
1  cos x
6

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Tính đạo hàm: SHIFT 

d 1
x
d

 tan  |x    Màn hình hiện kết quả 0,2679
dx  2
2 6
dx

 Đáp án A.

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


BÀI GIẢNG: BẤM MÁY TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
CÁCH SỬ DỤNG CASIO
Cách 1: TABLE
Cách 2: SHIFT + SOLVE
+) 1 ẩn  Bài toán bình thường
+) 2 ẩn : Table (80%, dung khi a, b nguyên)

Shift + Solve (nên dùng, đúng 100%)
+) 3 ẩn, dùng Table
DẠNG 1: TÍCH PHÂN 2 ẨN
+) Bước 1: Bấm tích phân  Lưu D
+) Bước 2: Rút a theo b
+) Bước 3: Solve thử đáp án  Đẹp lấy

2

Câu 1: Cho

 sin

2

0

A. 3

cos x
dx  a ln 2  ln b . Tính tổng a  b?
x  5sin x  6
B. 5

C. 4

D. 1

Hướng dẫn giải
+) Bước 1: Tính tích phân, gán vào D

+) Bước 2: D  a ln 2  ln b  a 
+) Bước 3: a  b 

Thử đáp án A:

1

D  ln b
ln 2

D  ln b
b
ln 2

 A sai

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 Chọn đáp án B.

Thử đáp án B:
1

Câu 2: Biết rằng tích phân

  2x  1 e dx  a  be , tích ab bằng:
x

0

A. 1

B. -1

C. -15

D. 20

Hướng dẫn giải
+) Bước 1: Tính tích phân, gán vào D

+) Bước 2: D  a  be  a  D  be  ab   D  be  b
+) Bước 3: Thử đáp án

 Chọn đáp án A.

Thử đáp án A:
5

Câu 3: Biết rằng

x
1

2

3

dx  a ln 5  b ln 2  a, b  Z  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 3x

A. a  2b  0

B. 2a  b  0

C. a  b  0

D. a  b  0

Hướng dẫn giải
+) Bước 1: Tính tích phân, gán vào D

+) Bước 2: D  a ln 5  b ln 2  a 

D  b ln 2
ln 5

+) Bước 3: Thử đáp án

Thử đáp án A:

2

 A sai

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

Thử đáp án B:

 B sai

Thử đáp án C:

 C sai

Thử đáp án D:

 Chọn đáp án D.
5

Câu 4: Biết I  
1

2 x  2 1
dx  4  a ln 2  b ln 5, a, b  Z . Tính S  a  b
x

A. S  9

B. S  11

C. S  3

D. S  5

Hướng dẫn giải

+) Bước 1: Tính tích phân, gán vào D

+) Bước 2: D  4  a ln 2  b ln 5  a 

D  4  b ln 5
D  4  b ln 5
S a b 
b
ln 2
ln 2

+) Bước 3: Thử đáp án

Thử đáp án A:

 A sai

Thử đáp án B:

 Chọn đáp án B.

DẠNG 2: TÍCH PHÂN 3 ẨN
80% đến 90% kết quả đều có chữ ln
Câu 7 (Trích đề minh họa lần 2 BGD)

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

4

x

Biết

dx
 a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c
x

2

3

A. S  6

B. S  2

C. S  2

D. S  0

Hướng dẫn giải
4

) e

dx

 x2 x
3

4

 e a ln 2 b ln 3cln 5

dx

 x2 x

 e3

 2a.3b.5c

a  4
16 24

4 1 1

 2 .3 .5  b  1  S  a  b  c  2
15 3.5
c  1

Chọn đáp án B.
2

Câu 8: Cho tích phân I  
1

x
dx  a ln 3  b ln 2  c ln 5 với a, b, c là các số bất kì. Tính giá trị biểu
2x  3x  1
2

thức T  a  b  c
2

Hướng dẫn giải
2

x

 2x2 3x 1dx

e1

 3a.2b.5c

(Ans)
eAns  3a.2b.5c  eAns.X  3a.X.2b.X.5c.X

TABLE, nhập f  x   eAns.X

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

27
 32a.22b.52c
20
33
 2  32a.22b.52c  33.22.51
2 .5
3

a  2

9
1 7
 b  1  T  a 2  b  c   1  
4
2 4

1
c  
2



x 2  3x  1
4 x 3  3x 2  x  3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5 với a, b, c bất kì. Tìm a, b, c.
5

Câu 9: Cho tích phân
Hướng dẫn giải

x 2  3x  1

4 x 3  3x 2  x  3 dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5
5

5

x 2  3x 1

 x3 3x 2  x 3 dx

 e4

 2a.3b.5c

x 2  3x  1
4 x 3  3x 2  x  3 dx  Ans
5

Tính

 eAns  2a.3b.5c  eAns.X  2aX.3bX.5cX

TABLE, nhập f  x   eAns.X

98415
39.5
 28a.38b.58c  2  22.39.51
4
2
1


a   4
8a  2 
9


 8b  9  b 
8
8c  1


 1
c  8



2

Câu 10: Biết rằng  ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c . Biết rằng a, b, c là các số nguyên. Tính S  a  b  c
1

A. S  0

B. S  1

C. S  2

D. S  2

Hướng dẫn giải

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


2

 ln  x  1 dx  a ln 3  b ln 2  c
1

2

  ln  x  1 dx  c  a ln 3  b ln 2
1

2

 ln  x 1dx c

 e1

 3a.2b

 Ans
 eAnsc  3a 2b

TABLE, nhập f  x   eAns X

 c  1

a  3
27
 3a.2b  33.22  
 S  a  b  c  3  2 1  0
4
b  2
Chọn đáp án A.
3

Câu 11: Biết  ln  x 3  3x  2  dx  a ln 5  b ln 2  c , với a, b, c  Z . Tính S  ab  c
2

A. S  60

B. S  23

C. S  12

D. S  2

Hướng dẫn giải
3

 ln  x

3

 3x  2  dx  a ln 5  b ln 2  c

2

3

  ln  x 3  3x  2  dx  c  a ln 5  b ln 2
2

3

e

 ln  x

3



3x  2 dx  c

2

 5a.2b

 Ans
 eAnsc  5a.2b

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

TABLE, nhập f  x   eAns X

 c  3


a  5
3125
 5a.2b  55.24  
 S  ab  c  5.  4   3  23
16
b  4

Chọn đáp án B.
x2  x 1
b
b
2 x  1 dx  a  ln c với b, c là các số nguyên dương và c tối giản. Tính S  a  b  c ?
4

Câu 12: Biết
A. S  14

B. S  5

C. S  8

D. S  10

Hướng dẫn giải

x2  x 1
b
2 x  1 dx  a  ln c
4

4


2

x2  x 1
b
dx  a  ln
x 1
c
4



 e2

x 2  x 1
dx  a
x 1



b
c

 Ans

 eAnsa 

b
c

TABLE, nhập f  x   eAns X

a 6


5 b b  5
 
 S  a  b  c  6  5  3  14
3 c
c  3

Chọn đáp án A.
2

x2
dx  a  b ln 2  c ln 3 . Tính S  2a  b  c
Câu 13: Biết 
x 1
1

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


A. S  2

B. S  1

C. S  3

D. S  4

Hướng dẫn giải
2

2

x

2

2

x

2

 x  1 dx  a  b ln 2  c ln 3   x  1 dx  a  b ln 2  c ln 3  e
1

x2

 x 1dx a
1

 2 b.3c

1

 Ans
 eAnsa  2b.3c

TABLE, nhập f  x   eAns X

a 

1
2

b  1
3
1
 2b.3c  
 S  2a  b  c  2.  1  1  3
2
2
c  1

Chọn đáp án C.
DẠNG 3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ BỊ ẨN

4

Câu 16: Nếu f  x  liên tục và  f  x  dx  10 thì  f  2x  dx bằng:
0

A. 5

B. 29

C. 19

D. 9

Hướng dẫn giải

x
2x
 f  x   .10  f  2x   .10
8
8

 Chọn đáp án A.

1

4

0

0

Câu 19: Cho f  x  là hàm số liên tục trên R và  f  x  dx  2017 . Tính  f  sin 2x  cos 2xdx bằng:

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


A.

2
2017

B.

2017
2

D. 

C. 2017

2017
2

Hướng dẫn giải

 f  x   x.2.2017  f  sin 2x   sin 2x.2.2017

 Chọn đáp án B.
2

Câu 20: Cho hàm số f  x  liên tục trên R và  f  x  dx  3 . Tính tích phân
0

A. 6

B. 0

C.

3
2

1

 f  2x  dx

1

D. 3

Hướng dẫn giải

2x
x
 f  x   .3  f  2x  
.3
2

2

 Chọn đáp án D.
Câu 24: Cho f(x) là hàm số lẻ và
A. 2

0

2

2

0

 f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx là :

B. -2

C. 1

D. -1

Hướng dẫn giải

 f  x   x.  1

9

 Chọn đáp án B.
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử

- Địa – GDCD tốt nhất!


BÀI GIẢNG: BẤM MÁY DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ – GV TUYENSINH247.COM

Câu 1: Cho miền phẳng  H  được giới hạn bởi

1
cung tròn có
4

tâm O bán kính R  2 , đường cong y  4  x và trục hoành
(miền gạch ngang trong hình bên). Khi cho miền  H  quay xung
quanh trục hoành thì thể tích khối tròn xoay sinh ra là:

A. V 

53
6

B. V 

77
6

C. V 

67
7

D. V 

66
7

Giải
Vcầu =

4 3 3 3 32
16
.
R  .2 
 V1 
3
3
3
3
3

V2  



4 x



0

2

3

dx    4  x  dx 
0

 V  V1  V2 

15
2

77
.
6

Chọn B.
Câu 2: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5  m  .
Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa
hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh
hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng
4m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ
Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao
nhiêu tiền để trồng có Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

1

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!

A. 3.895.000 đồng

B. 1.948.000 đồng

C. 2.388.000 đồng

D. 1.194.000 đồng

Giải
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.



Stròn = R 2   2 5



2

 20 .

Phương trình đường tròn

x 2  y 2  20  y 2  20  x 2  y  20  x 2 .
Lập phương trình parabol: y  ax 2  bx  c .
Do trục của parabol trùng với trục Oy  b  0 .
Parabol đi qua O  0;0   c  0  y  ax 2 .
Parabol đi qua điểm  2; 4   4  a.22  a  1 .

 y  x2 .


2

S

2



20  x 2  x 2 dx

 Strổng cỏ = (Stròn – S).100000  1.948.000 đồng
Chọn B.
Câu 3: Cho một vật thể tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình
vẽ. Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là
6cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối
xứng là một parabol. Tính thể tích V  cm3  của vật thể đã cho.

A.

72
5

2

B. 12

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!

C. 12

D.

72
5

Giải
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Quay quanh Oy  x  f  y  .
Tìm pt parabol: y  ax 2  bx  c .
Parabol nhận Oy làm trục đối xứng  b  0 .
Qua  0;0   c  0  y  ax 2

Qua  2;6   6  a.22  a 

3
3
2y
2y
.
 y  x2  x2 
x
2
2
3
3

2

 2y 
 V   
 dy  12 .
3 
0
6

Chọn C.
Câu 4: Cho hình thang cong

H 

giới hạn bởi các đường

1
y  ; y  0; x  1; x  5 . Đường thẳng x  k 1  k  5 x  chia
x

H 

thành 2 phần là  S1  và  S2  (hình vẽ bên). Cho hình  S1  và  S2 
quay quanh trục Ox ta được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là V1
và V2 . Xác định k để V1  2V2 .

A. k 

5
3

B. k 

15
7

C. k  3 25

D. k  ln 5

Giải

3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


2

2

1
1
V1     dx; V2     dx
x
x
1
k
k

Thử đáp án B  V1 

5

8
4
; V2    V1  2V2 .
15
15

Chọn B.
Câu 5: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100m và chiều rộng 60m người ta làm một con
đường nằm trong sân (Như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip. Elip
của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của
mặt đường là 2m. Kinh phí cho mỗi m2 làm đường 600.000 đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó (Số tiền
được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 293904000 đồng

B. 283904000 đồng

C. 294053000 đồng

D. 283604000 đồng

Giải
Selip1  ab  .50.30  1500
Selip 2  ab  .48.28  1344

 Scon đường = 1500  1344  156

 Số tiền = 156.600000  294053000 đồng.
Chọn C.

4

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


Câu 6: Một thùng rượu (như hình vẽ bên) với hai đáy là hai đường tròn có bán
kính bằng nhau và bằng 30cm, bán kính đường tròn chính giữa bằng 40cm.
Chiều cao của thùng rượu là 1m. Hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu lít?
Biết rằng cạnh bên hông của thùn rượu là một Parabol. (Kết quả làm tròn đến
một chữ số thập phân).
A. 452,2 lít

B. 2452 lít

C. 425,2 lít

D. 2542 lít

Giải
Lập pt parabol: y  ax 2  bx  c
Parabol nhận Oy làm trục đối xứng  b  0 .
Qua  0; 4   4  a.02  c  c  4 .
Qua  5;3  3  a.52  4  a 

 y

1

.
25

1 2
x  4.
25
2

 1

 V      x 2  4  dx  425, 2  l  .
25

5 
5

Chọn C.
Câu 7: Hình phẳng D (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y  f  x   2 x , đường thẳng d : y  ax  b  a  0  và trục Ox. Tính thể
tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng D quanh quanh trục Ox.
A.

10
3

5

B.

16
3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


8
3

C.

D.

2
3

Giải
1

V1  



 dx  
2

2x

0

Tìm phương trình đường thẳng d : y  ax  b  a  0 

d đi qua 1;0   0  a  b
d đi qua  2; 2   2  2a  b .

 a  2; b  2  d : y  2 x  2 .
2

 V2  
1



2x



2

 V  V1  V2   



  2 x  2  dx 
2

5
3

5 8

.

3
3

Chọn C.
Câu 8: Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được
giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường
Parabol có cùng tâm O và đối xứng nhau qua O. Hai đường parabol này cắt đường tròn
tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ).
Phần diện tích S1 , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S4 dùng để trồng cỏ (diện
tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí để trồng hoa là 150.000
đồng/m2 và kinh phí trồng cỏ là 100.000 đồng/m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó ? (Số
tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).
A. 6.060.000 đồng

B. 5.790.000 đồng

C. 3.270.000 đồng

D. 3.000.000 đồng

Giải

6

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


Theo đề bài ta có: S1  S2 ; S3  S4 .

Ta có ABCD là hình vuông cạnh 4cm

 R  OA  2 2.
Gọi hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có hình ta có đường tròn (bồn hoa) có phương trình:



x 2  y2  2 2



2

 8  y   8  x2 .

1
1
Các parabol là: y  x 2 và y   x 2 .
2
2
1
Ta có: S1 là hình được giới hạn bởi cung tròn AB và phần parabol y  x 2 . Khi đó:
2
1 
1 
1 




S1     8  x 2  x 2  dx    8  x 2  x 2  dx    8  x 2  x 2  dx
2 
2 
2 
2 
0
0
0

2

2

2

8
x 
x3
x
2
 2 8  x dx   x dx  2 
8  x  arcsin
 
2
2 20 3
2
0
0
8 4
 2  2       2.

3 3
4
 S2  S1   2.
3
2

2

2

2

2

0

Diện tích của bồn hoa là diện tích hình tròn bán kính R  2 2.

 S  2S1  2S3  R 2  8.
 S3  S4 

1
1
4

4
8  2S1    8  2   2    2  .
2
2
3

3


4
 8
 Diện tích trồng hoa là: 2S1  2   2    4.
3
 3
4
8

Diện tích trồng cỏ là: 2S3  2  2    4  .
3
3


7

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


8
8


Vậy số tiền cần dùng để làm bồn hoa là: 150.000   4   100.000  4    3.274.926 nghìn đồng.
3
3



Câu 9: Parabol y 

x2
chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ , bán kính
2

2 2 thành hai phần có diện tích S1 , S2 như hình vẽ bên. Tính

A.

9  1
3  2

B.

9  2
3  2

C.

23
10

D.

9  2
3  2

S1

.
S2

Giải



Stròn = R 2   2 2



2

 8

Phương trình đường tròn x 2  y 2  8  y 2  8  x 2  y  8  x 2


x2 
2
 S1    8  x   dx
2
2 
2

 S2  8  S1



S1

 2, 299 .
S2

8

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


Chọn D.
Câu 10: Cho parabol  P  có đỉnh I  1;0  và cắt đường thẳng d tại
A  2;1 và B 1; 4  như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

parabol  P  và đường thẳng d .
A. S 

9
2

B. S 

13
2

C. S 

5
6

D. S 

21
2

Giải
Lập pt Parabol: y  ax 2  bx  c
Đi qua  0;1  c  1
Đi qua  2;1  1  4a  2b  c
Đi qua 1; 4   4  a  b  c

a  1

 b  2   P  : y  x 2  2 x  1
c  1

Lập pt đường thẳng d : y  ax  b
Đi qua  2;1  1  2a  b . Đi qua 1; 4   4  a  b
a  1

 d : y  x3
b  3
1

S

 x  3 x

2

2

 2 x  1 dx 

9
.
2

Chọn A.

9

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử Địa - GDCD tốt nhất!


CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN – TRẮC NGHIỆM

BÀI GIẢNG. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ
Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng
Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay
Dạng 3: Thực tế khác
* Chuyển động:
(s)'  v   v  s

(v)'  a   a  v

Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian v(t )  1  sin t (m/s). Quãng đường vật đi được

trong khoảng thời gian từ thời điểm t  0 (s) đến thời điểm t  (s) là:
2
A.


2

 1 m 

B.


2

 1 m 

C.

 1
2

 m

D.   1 m 

Giải





s   (1  sin t )dt  t  cost 02    0    0  1   1
2
2


0
2

 Đáp án A.
t2  4
(m/s). Quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu
t 3
tiên bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc v(t )  1, 2 

A. 18,82 m

B. 11,81 m

C. 4, 06 m

D. 7, 26 m

Giải


t2  4 
s   1, 2 
 dt  11,81
t 3 
0
4

 Đáp án B.

Câu 3: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a  t   3t 2  t  m / s 2  . Vận tốc ban đầu của vật là

2  m / s  . Hỏi vận tốc của vật sau 2s?
A. 10 m/s

B. 12 m/s

C. 16 m/s

D. 8 m/s

Giải
2

v  vo   (3t 2  t )dt  2  10  12
0

 Đáp án B.

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


3
m / s 2  . Vận tốc ban đầu của vật

t 1
là 6 m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc v  t  (m/s), có gia tốc v '  t  

B. 13 m/s

A. 14 m/s

C. 11 m/s

D. 12 m/s

Giải
 3 
v  vo   
 dt  13
t 1 
0
10

 Đáp án B.
Câu 5: (Trích đề minh họa THPT 2017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời
điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   5t  10 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây, Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu đạp phanh.
A . 0, 2 m

B. 2 m

C. 10 m

D. 20 m

Giải

Thời gian ô tô phanh cho đến khi dừng lại là: 5t  10  0  t  2
2

s    5t  10  dt  10
0

 Đáp án C.
Câu 6: Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động
chậm dần đều với vận tốc v  t   36t  18 (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu
hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 3,5m

B. 5,5m

C. 4,5m

D. 6,5m

Giải
Thời gian ô tô phanh cho đến khi dừng lại là: 36t  18  0  t  0,5
0,5

s

9

  36t  18 dt  2
0

 Đáp án C.

Câu 7: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc vo  15 m/s thì tăng vận tốc với gia tốc a  t   t 2  4t

 m / s  . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
2

A. 67, 25 m

B. 68, 25 m

C. 69, 75 m

D. 70, 25 m

Giải

v    t 2  4t dt 

t3
 2t 2  c
3

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa tốt nhất!


Vì vo  15  15  0  0  c  c  15

v

3

 t3

t3
 2t 2  15  s     2t 2  15  dt  69, 75
3
3

0

 Đáp án C.
Câu 8: Một chất điểm di chuyển với gia tốc a  t   20 1  2t 

2

 m / s  . Khi t  0 thì vận tốc của vật là 30
2

m / s . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)
A. S  106 m

B. S  107 m

C. S  108 m

D. S  109 m

Giải
1 20
10
2

v   20 1  2t  dt  
c 
c
2 2t  1
2t  1

Vì vo  30  30  10  c  c  20
10
 10

 20  s   
 20  dt  48
2t  1
2t  1

0
2

v

 Đáp án 48
Câu 9: Một ô tô xuất phát với vận tốc vt1  t   2t  10  m / s  sau khi đi được một khoảng thời gian thì bất ngờ

gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2  t   20  4t  m / s  và đi thêm một khoảng thời gian t 2
nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4( s) . Hỏi xe đã đi được quãng đường
bao nhiêu mét?
A. 57 m

B. 64 m

C. 50 m

D. 47 m

Giải
Cách 1: Gọi t1 : thời gian đi quãng đường S1
t 2 : thời gian đi quãng đường S 2

Vì tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4( s)  t1  t2  4

(1)

Vận tốc khi hết quãng đường S1 bằng vận tốc khi bắt đầu quãng đường S 2
 2t1  10  20  4t2  2t1  4t2  10 (2)

t1  3
Từ (1) và (2)  
t2  1
1

 S    2t  10  dt    20  4t  dt  57
3

0

0

 Đáp án A.

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –

Anh – Sử - Địa tốt nhất!