10 đề thi online – tích phân dạng đặc biệt tích phân dạng lý thuyết – có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (565.9 KB, 11 trang )
ĐỀ THI ONLINE: TÍCH PHÂN DẠNG ĐẶC BIỆT – TÍCH PHÂN DẠNG LÝ THUYẾT –
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi:
- Giúp học sinh nắm chắc các kiến thức mang hơi hướng của lý thuyết tích phân, các công thức
b
c
c
b
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
f x dx f x dx f x dx; f x dx f x dx; cf x dx c f x dx được áp dụng một cách triệt
để trong đề thi. Bên cạnh những câu ở mức độ nhận biết, thông hiểu, các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao giúp
các em vững vàng hơn khi gặp các bài toán có cấu trúc tương tự trong các đề thi THPTQG.
- Ngoài ra đề thi cũng giúp các em ôn lại cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến, vận dụng các công
thức vi phân d u u 'dx để tính tích phân một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn.
Cấu trúc:
Đề thi bao gồm 20 câu hỏi hỏi trắc nghiệm được phân thành 4 cấp độ.
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
6
6
Vận dụng cao
6
2
Câu 1 (Nhận biết) Giả sử f x là hàm số liên tục trên R và các số thực a < b < c. Mệnh đề nào sau đây là sai ?
c
b
c
a
a
b
b
a
c
a
b
a
A. f x dx f x dx f x dx.
b
c
a
a
c
B. f x dx f x dx f x dx.
b
b
C. f x dx f x dx f x dx.
a
D. c f x dx c f x dx.
a
b
Câu 2 (Nhận biết) Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 0;1 , có
1
1
3 2f x dx 5. Tính f x dx.
0
1
1
A. f x dx 1.
B. f x dx 1.
0
0
3
Câu 3 (Nhận biết) Biết f x dx 2,
1
A. I 1.
B. I 5.
1
C. f x dx 2.
0
3
5
5
1
0
1
D. f x dx 2.
0
f t dt 3. Tính I f x dx.
C. I 1.
D. I 5.
Câu 4 (Nhận biết) Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên R thỏa mãn
1
f x dx 4.
Tính
0
1
I x f x 2 dx.
0
A. I 1.
B. I 2.
C. I 4.
D. I 8.
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
Câu 5 (Nhận biết) Cho hai hàm số y f x , y g x là các hàm liên tục trên đoạn
1
2
2
1
0
0
1
0
0; 2 ,
có
f x dx 4, g x dx 2 và g t dt 1. Tính I 2f x g x dx.
A. I 9.
B. I 4.
D. I 11.
C. I 11.
Câu 6 (Nhận biết) Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn
f ln x
1 x dx e. Mệnh đề nào sau đây là
e
đúng ?
1
A. f x dx e.
0
1
e
B. f x dx 1.
0
0
2
2
0
0
f x dx 2. Tính I f x dx.
B. I 1.
C. I 2.
Câu 8 (Thông hiểu) Cho f x là hàm số chẵn và
A. I 2.
D. f x dx 1.
0
Câu 7 (Thông hiểu) Cho f x là hàm số lẻ và
A. I 2.
e
C. f x dx e.
B. I 3.
D. I 1.
0
1
1
1
f x dx 3. Tính I f x dx.
C. I 3.
D. I 6.
3
4
4
1
1
1
Câu 9 (Thông hiểu) Cho biết f x dx 2, f x dx 3 và g x dx 7. Khẳng định nào sau đây là sai ?
4
A.
4
f x g x dx 10.
B. f x dx 1.
1
3
4
4
C. f x dx 5.
D.
4f x 2g x dx 2.
1
3
2
5
5
1
1
Câu 10 (Thông hiểu) Cho f x dx 4, f x dx 6 và g x dx 8.
1
5
5
1
2
Tính I f x g x dx 2 f x dx.
A. I 18.
B. I 0.
D. I 8.
C. I 10.
9
Câu 11 (Thông hiểu) Biết rằng f x là hàm liên tục trên R và f x dx 9. Tính
0
A. I 3.
B. I 6.
C. I 18.
3
2x 3f 3x dx.
0
D. I 9.
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
1
Câu 12 (Thông hiểu) Cho hàm số f x liên tục trên R và có f x dx 2 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
0
1
A. c 0;1 f c 2.
B. f 1 x dx 2.
0
1
C.
x.f x dx 1 .
D. A, B, C đều đúng.
2
0
2
2
1
1
Câu 13 (Vận dụng) Cho A 3f x 2g x dx 1 và B 2f x g x dx 3. Giá trị của
2
f x dx
1
bằng:
A.
3
.
7
B.
11
.
7
5
C. .
7
D.
1
9
0
1
1
.
2
Câu 14 (Vận dụng) Cho hàm số y f x liên tục trên R và f x dx 1, f x dx 2. Tính giá trị biểu thức
x
I f f 3x dx.
3
0
3
B. I 4.
A. I 4.
D. I 9.
C. I 9.
9
3
2
0
0
0
Câu 15 (Vận dụng) Cho f x dx 729, f x 6 dx 513. Tính I f 3x dx.
A. I 414.
B. I 72.
C. I 342.
Câu 16 (Vận dụng) Cho hàm số f x liên tục trên R và
D. I 216.
4
f x dx 2. Mệnh đề nào sau đây là sai ?
2
2
A.
f 2x dx 2.
1
3
B.
f x 1 dx 2.
3
2
C.
6
f 2x dx 1.
D.
1
1
2 f x 2 dx 1.
0
Câu 17 (Vận dụng) Cho hàm số y f x có giá trị dương và đạo hàm f x liên tục trên đoạn 3; 4 , biết
f x
dx.
f x
3
4
rằng f 3 2, f 4 8. Tính I
A. I 2ln 4.
B. I ln 4.
C. I 2ln 2.
D. I ln 2.
Câu 18 (Vận dụng) Cho hàm số y f x là hàm số liên tục trên R và
2
f x dx 4.
Tính tích phân
0
I
12
0
f 2 tan 3x
dx.
cos 2 3x
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
1
A. I .
3
2
B. I .
3
4
C. I .
3
2
16
2
9
2
0
B. I
3
x.f x dx 4 , f z dz 2 ,
Câu 19 (Vận dụng cao) Cho biết
A. I 10.
8
D. I .
3
23
.
2
C. I
f
t dt 3 . Tính I
t
4
f x dx.
0
17
.
2
D. I 8.
4
Câu 20 (Vận dụng cao) Cho hàm số f x liên tục trên R và f tan x dx 4,
0
x 2f x
0 x 2 1 dx 2. Tính tích phân
1
1
I f x dx.
0
A. I 2.
B. I 8.
D. I 6.
C. I 2.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
2A
3A
4B
1C
5D
6A
7C
8D
9B
10A
11C
12D
13C
14B
15B
16A
17C
18B
19B
20D
Câu 1.
Phương pháp:
b
c
c
b
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
Sử dụng các công thức f x dx f x dx f x dx; f x dx f x dx; cf x dx c f x dx.
Cách giải:
a
c
c
b
b
a
b
a
Ta có f x dx f x dx f x dx f x dx.
Chọn C.
Câu 2.
Phương pháp:
b
b
b
a
a
a
Af x Bg x dx A f x dx B g x dx.
Cách giải:
1
Ta có
1
1
3 2f x dx 3dx 2 f x dx 3x
0
0
0
1
0
1
1
0
0
2 f x dx 3 2 f x dx
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
Mặt khác
1
1
1
0
0
0
3 2f x dx 5 3 2 f x dx 5 f x dx 1.
Chọn A.
Câu 3.
Phương pháp:
b
c
c
a
b
a
Sử dụng công thức f x dx f x dx f x dx.
Cách giải:
5
3
5
3
3
1
1
3
1
5
Ta có I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 1.
Chọn A.
Câu 4.
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t x 2 , lưu ý đổi cận.
Cách giải:
dt
Đặt t x 2 dt x 2 dx 2x dx x dx và đổi cận
2
1
1
x 0 t 0
.
x 1 t 1
1
1
1
1
1
Khi đó I f t dt f t dt f x dx .4 2.
2
20
20
2
0
Chọn B.
Câu 5.
Phương pháp:
b
c
c
b
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
Sử dụng các công thức f x dx f x dx f x dx; f x dx f x dx; cf x dx c f x dx.
Cách giải:
2
1
2
1
2
0
1
Ta có g x dx g x dx g x dx g x dx g t dt
0
0
1
1
2
2
Suy ra g x dx g x dx g t dt 2 1 3.
0
0
1
1
1
0
0
Vậy I 2 f x dx g x dx 2.4 3 11.
Chọn D.
Câu 6.
Phương pháp:
Tính tích phân sử dụng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t ln x.
Cách giải:
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
dx
Đặt t ln x dt ln x dx
và đổi cận
x
x 1 t 0
.
x e t 1
e
1
1
f ln x
dx
dx
f
ln
x
.
f
t
dt
1 x
1
0 f x dx e.
x 0
e
Khi đó
Chọn A.
Câu 7.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của hàm số lẻ: Hàm số y f x có TXĐ D là hàm số lẻ khi và chỉ khi:
x D x D, f x f x
Cách giải:
Vì f x là hàm số lẻ f x f x , x D.
x 0 t 0
.
Đặt t x dt dx và đổi cận
x 2 t 2
Khi đó
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
f x dx f x dx f t dt f t dt f x dx I 2.
Chọn C.
Câu 8.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất của hàm số chẵn: Hàm số y f x có TXĐ D là hàm số chẵn khi và chỉ khi:
x D x D , f x f x .
b
c
c
a
b
a
Sau đó áp dụng công thức f x dx f x dx f x dx.
Cách giải:
Vì f x là hàm số chẵn f x f x , x D.
x 1 t 1
.
Đặt t x dt dx và đổi cận
x 0 t 0
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
f x dx f x dx f t dt f t dt f x dx 3.
Khi đó
Vậy I f x dx f x dx f x dx 3 3 6.
Chọn D.
Câu 9.
Phương pháp:
Suy ra trực tiếp từ các đáp án, sử dụng các công thức
b
c
c
b
a
b
b
a
b
a
a
b
a
a
f x dx f x dx f x dx; f x dx f x dx; cf x dx c f x dx.
Cách giải:
4
4
4
f
x
g
x
dx
f
x
dx
1
1 g x dx 3 7 10
1
Ta có 4
.
4
4
4f x 2g x dx 4 f x dx 2 g x dx 4.3 2.7 2
1
1
1
3
1
1
4
1
4
1
3
3
3
3
1
Lại có f x dx f x dx f x dx 2 f x dx f x dx f x dx 2 3 5 B sai.
Chọn B.
Câu 10.
Phương pháp:
5
1
5
2
2
1
Tính f x dx f x dx f x dx. Sau đó thay vào tính I.
Cách giải:
2
2
1
5
1
5
2
1
Ta có f x dx 4 f x dx 4 f x dx 4 f x dx f x dx f x dx 4 6 10.
1
1
2
2
5
5
5
5
5
1
2
1
1
2
Do đó I f x g x dx 2 f x dx f x dx g x dx 2 f x dx 18.
Chọn A.
Câu 11.
Phương pháp:
Quan sát đề bài thấy xuất hiện f x và f 3x , khi đó ta sử dụng phương pháp đổi biến bằng cách đặt t 3x.
Cách giải:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
x 0 t 0
.
Đặt t 3x dt 3x dx 3dx và đổi cận
x 3 t 9
Khi đó
3
3
9
0
0
0
9
2
2
2
2x 3f 3x dx 2x dx f t dt x 0 f x dx 3 0 9 18.
3
0
Chọn C.
Câu 12.
Phương pháp:
Sử dụng công thức vi phân du u 'dx , áp dụng ta có:
1
f 1 x dx f 1 x d 1 x ; xf x 2 dx f x 2 d x 2 , lưu ý rằng f x dx f u dx f v dv ... và đổi
2
cận.
Cách giải:
Dựa vào các đáp án, ta thấy rằng
Tồn tại hằng số c 0;1 f c 2.
1
0
0
1
1
f 1 x dx f 1 x d 1 x f x dx 2.
1
0
1
1
x.f x dx 2 . f x d x 2 . f x dx 1 .
2
1
2
0
1
2
0
0
Chọn D.
Câu 13.
Phương pháp:
2
2
1
1
2
2
Đặt hai tích phân C f x dx, D g x dx , suy ra hệ phương trình hai ẩn C, D và giải hệ phương trình đó.
Cách giải:
Đặt hai tích phân C f x dx, D g x dx
1
1
2
2
1
1
Khi đó A 1 3 f x dx 2 g x dx 1 3C 2D 1
2
2
1
1
Và B 3 2 f x dx g x dx 3 2C D 3
1 .
2.
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
5
C
1
3C 2D 1
5
7
f x dx .
Từ 1 , 2 suy ra
7
2C D 3 D 11
0
7
Chọn C.
Câu 14.
Phương pháp:
1
x
x x
Sử dụng công thức vi phân du u 'dx , áp dụng ta có: f dx 3f d , f 3x dx f 3x d 3x . và
3
3
3 3
lưu ý rằng f x dx f u dx f v dv ... và đổi cận.
b
c
c
a
b
a
Áp dụng công thức f x dx f x dx f x dx.
Cách giải:
1
9
0
1
9
Ta có f x dx f x dx f x dx 3. Khi đó
0
x
x
I f f 3x dx f dx f 3x dx
3
3
0
0
0
3
3
3
1
x x 1
3 f d f 3x d 3x 3 f x dx f x dx 4.
3 3 30
30
0
0
1
9
1
9
Chọn B.
Câu 15.
Phương pháp:
Sử dụng công thức vi phân du u 'dx , áp dụng ta có: f x 6 dx f x 6 d x 6 và lưu ý rằng
f x dx f u dx f v dv ... và đổi cận.
b
c
c
a
b
a
Áp dụng linh hoạt công thức f x dx f x dx f x dx, sau đó tính I.
Cách giải:
3
9
9
9
9
6
6
0
6
0
6
0
9
0
Ta có f x 6 dx f x dx 513 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 216. .
2
6
1
1
Vậy I f 3x dx . f x dx .216 72.
30
3
0
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
Chọn B.
Câu 16.
Phương pháp:
Xét trực tiếp các đáp án, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Cách giải:
Xét các đáp án, ta thấy rằng
x 1 t 2
dt
.
Đáp án A. Đặt t 2x dx
và đổi cận
2
x 2 t 4
2
Khi đó
f 2x dx
1
4
1
1
f t dt .2 1 A sai và C đúng.
2 2
2
x 3 t 2
.
Đáp án B. Đặt t x 1 dx dt và đổi cận
x 3 t 4
3
Khi đó
f x 1 dx
3
4
f t dt
2
4
f x dx 2.
2
6
1
Đáp án D. Làm tương tự như đáp án A, B bằng cách đặt t x 2 f x 2 dx 1.
2
0
Chọn A.
Câu 17.
Phương pháp:
Đặt t f x sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Cách giải:
x 3 t f 3 2
Đặt t f x dt f x dx và đổi cận
.
x 4 t f 4 8
4
8
f x
8
dt
dx ln t 2 ln 8 ln 2 ln 4 2ln 2.
Khi đó I
f x
t
3
2
Chọn C.
Câu 18.
Phương pháp:
Đặt t 2 tan 3x sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Lưu ý công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
Cách giải:
6
dt
dx
Đặt t 2 tan 3x dt
và đổi cận
dx
2
cos 3x
6 cos 2 3x
x 0 t 0
.
x 12 t 2
12
2
2
2
f 2 tan 3x
f t
1
1
2
dx
dt . f t dt . f x dx .
Khi đó I
2
cos 3x
6
6 0
6 0
3
0
0
10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
Chọn B.
Câu 19.
Phương pháp:
Sử dụng công thức vi phân du u 'dx , áp dụng ta có: f x 6 dx f x 6 d x 6 và lưu ý rằng
f x dx f u dx f v dv ... và đổi cận.
b
c
d
d
a
b
c
a
Áp dụng linh hoạt công thức f x dx f x dx f x dx f x dx để tính I.
Cách giải:
2
Ta có
Lại có
2
2
2
0
1
1
x.f x 2 dx . f x 2 d x 2 f x dx f x dx 8.
2 0
20
0
16
f
t dt 2.
t
9
f t d t 2. f x dx f x dx 2
16
4
9
4
3
3
3
3
3
2
3
4
2
2
0
2
3
Và f z dz f x dx 2 suy ra I f x dx f x dx f x dx
23
.
2
Chọn B.
Câu 20.
Phương pháp:
Đặt t tan x sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng công thức
1
tan 2 x 1.
2
cos x
Cách giải:
dx
dt
Đặt t tan x dt
tan 2 x 1 dx dx 2 . Và đổi cận
2
cos x
t 1
4
1
0
0
Khi đó f tan x dx
1
1
0
0
Vậy I f x dx
x
x 0 t 0
.
x 4 t 1
1
f t
f x
dt
2
0 x 2 1 dx 4.
t 1
2
1 f x
x2 1
1
f x x 2f x 1 f x
x 2f x
dx
0 x 2 1 0 x 2 1 dx 4 2 6.
x2 1
0
1
Chọn D.
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GCDC tốt nhất!
