11 đề thi online – cách tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI –
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi:
- Biết cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Biết cách phá trị tuyệt đối của các biểu thức từ đơn giản đến phức tạp.
- Luyện tập được tính đơn điệu của hàm số vào các bài toán chứng minh một biểu thức luôn âm hoặc luôn
dương với mọi giá trị của x trên đoạn [a; b] cố định nào đó.
- Luyện tập các phương pháp tính tích phân.
Cấu trúc đề thi:
Đề thi gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm được phân thành 4 cấp độ:
Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

6

6

6

2

Câu 1 (Nhận biết): Tính tích phân I 

4

x

2

 3x  2 dx.

1

A. I 

19
.
2

B. I 

11
.
2

9
C. I  .
2

Câu 2 (Nhận biết): Giá trị của tích phân I 

D. I 

13
.
2

5

  x  2  x  2  dx

thuộc khoảng nào dưới đây ?

3

A.  5;7  .

C.  9;11 .

B.  7;9  .

D.  3;5 .

1

1
Câu 3 (Nhận biết): Với 0  a  1 thì giá trị tích phân I   x 2  ax dx  . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
5
0
1 1
A. a   ;  .
3 2

1 2
B. a   ;  .
2 3

 1
C. a   0;  .
 3

2 
D. a   ;1 .
3 

4

Câu 4 (Nhận biết): Tính tích phân I   x3  2 x 2  x dx.
0

A. I  6.

B. I  2.

Câu 5 (Nhận biết): Tính tích phân I 

C. I  8.
3

x

2

D. I  10.

 1 dx.

2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A. I 

17
.
3

B. I 

20
.
3

2

Câu 6 (Nhận biết): Biết I   x 2 
1
2

A. S  1.

B. S 

C. I 

26
.
3

D. I 

28
.
3

1
 2 dx  a  b.ln 2, với a, b  . Tính S  2a  b 2 .
2
x

9
4

C. S  0.

D. S  3.



Câu 7 (Thông hiểu): Cho tích phân I   1  sin 2 x dx  a 2  b, với a, b  . Tính P  a 2  2b.
0

A. P  1.

B. P  1.

C. P  4.
e

Câu 8 (Thông hiểu): Biết tích phân I  
1

A. S  1.

ln x
dx  a  eb , với a, b là các số hữu tỷ. Tính S  a  2b.
2 x

B. S  3.

Câu 9 (Thông hiểu): Biết I 

1



3

D. P  3.

C. S  0.

D. S  2.

a
3
3
a
là phân số tối giản. Tính giá trị
x  x2  x  dx  , với a, b  0 và
b
2
2
b

biểu thức a  b.
A. a  b  20.

B. a  b  3.

Câu 10 (Thông hiểu): Cho tích phân I 

C. a  b  15.
3
4



D. a  b  8.

1  cos 2 x dx  a 2  b, với a, b  . Tính P  a  b.



4

A. P  2

B. P  1

C. P  1

D. P  0

3

a
a
Câu 11 (Thông hiểu): Cho tích phân I    x  1 x  1  x  1 dx  , với  0 là phân số tối giải. Tính giá
b
b
1
trị của biểu thức P  a  5b.
A. P  7.

B. P  9.

C. P  11.

D. P  13.



a

a
Câu 12 (Thông hiểu): Cho tích phân I   cos x sin x dx  , với a, b  0 và
là phân số tối giản. Tính giá
b
b
0
trị của biểu thức P  a  2b.
A. P   2.

B. P  0.
3

Câu 13 (Vận dụng): Biết I  
0

C. P  2.

D. P   1.

x 2  3x  2
dx  a  b.ln 2  c.ln 3, với a, b, c  . Tính S  a  b  c.
x 1

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


A. S  10.

B. S 

25
.
2

D. S 

C. S  5.

19
.
2

1

Câu 14 (Vận dụng): Cho tích phân I   1  xe x  x  e x dx  a.e  b, với a, b là các số hữu tỷ. Tính giá trị của
0

biểu thức P  a  2b.
A. P  2.

C. P  4.

B. P   4.
2

D. P   2.

ln
4.ln x


dx  a.ln 3  b.ln 2  c, với a, b, c  . Tính giá trị của
2
x  x  2 2

Câu 15 (Vận dụng): Cho tích phân I  
1

biểu thức P  a  b  c.
A. P  2.

B. P  0.

C. P  1.

D. P   1.


4

Câu 16 (Vận dụng): Cho tích phân I   tan x  sin x  2 x dx  a. 2  b.ln 2  c, với a, b, c là các số hữu tỷ.
0

Giá trị biểu thức P  a  b  c thuộc khoảng nào dưới đây ?

 1
A.  0;  .
 2

 3

C. 1;  .
 2

1 
B.  ;1 .
2 
1

Câu 17 (Vận dụng): Cho tích phân I  
0

3 
D.  ; 2  .
2 

x2
 ln 1  x   x dx  a.ln 2  b, với a, b là các số hữu tỷ. Giá trị
2

biểu thức P  2a  b thuộc khoảng nào dưới đây ?
A.  5;6  .

B.  4;5 .

C.  7;8 .

D.  6;7  .


2

Câu 18 (Vận dụng): Cho tích phân I   x.sin x  cos x  1 dx  a.  b, với a, b là các số hữu tỷ.
0

Tính giá trị biểu thức P  2a  b 2 .
A. P  6.

B. P  3.

C. P  2.
e

Câu 19 (Vận dụng cao): Cho tích phân I   ln x 
1

x 1
dx  a.
x

D. P   3.

 e b
3

e  c, với a, b, c là các số hữu tỷ.

Tính giá trị biểu thức P  3a  2b  6c.
A. P   2.

C. P  0.

B. P   1.
1

Câu 20 (Vận dụng cao): Cho tích phân I  
0

D. P  1.

x2
 x  1  e x dx  a.e1  b, với a, b là các số hữu tỷ.
2

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Khẳng định nào sau đây là đúng ?
B. a 2  3b2  0.

A. a  b  1.

C. a  3ab  1.

D. 2a  3b  1.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1. A

2. B

3. C

4. C

5. D

6. B

7. C

8. B

9. A

10. D

11. D

12. A

13. D

14. B

15. C

16. B

17. A

18. B

19. C

20. D

Câu 1:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:

x  1
Xét x 2  3x  2  0  
x  2
Xét dấu hàm số f  x   x2  3x  2 trên  1;4 , ta được

x

1

1

f  x


1





2



0
2





4



0
4





Khi đó I   x  3x  2 dx   x  3x  2 dx   x2  3x  2 dx
2

1

2

1

1

2

2

3
3
1

1

  x3  x 2  2 x    x 3  x 2  2 x 
2
2
3
 1  3
1

4

3
1
 19
  x3  x 2  2 x   .

2
3
2 2

Chọn A
Câu 2:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Ta đi xét dấu x  2 và x  2 trên   3;5 , ta được
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


3

x

2

5

2

x2



0



0



x2



0



0



x2  x2

-4

|

2x

|

4

2

2

5

2

Khi đó I    4dx   2 x dx   4dx   4 x  3  x 2
3

2

2
2

 4 x 2  8   7;9 
5

2

Chọn B
Câu 3:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:

x  0
Cho x 2  ax  0  
x  a

1

1

a

1

0

0

0

a

Với 0  a  1, ta được I   x 2  ax dx   x x  a dx    x  x  a  dx   x  x  a  dx
a

1

 x3 ax2   x3 ax 2 
a3 a 1
    x  ax  dx    x  ax  dx    



  .
 


3
2
3
2
3
2 3




0
a
0
a
a

1

2

2

1
a3 a 1 1
 1
Mặt khác I  
     10a3  15a  4  0 
 a   0;  .
5
3 2 3 5

 3
Chọn C.
Câu 4:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Cho

x  0
x 3  2x 2  x  0  
x  1
4

4

4

Ta có I   x  2 x  x dx   x  x  1 dx   x  1 x dx
3

2

2

0

0

0

1

4

1

4

0

1

0

1

  x  1 x dx   x  1 x dx     x  1 x dx    x  1 x dx
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

4

4
1
1
 3


 3

2 5 2 3 2 5 2 3
    x 2  x 2  dx    x 2  x 2  dx    x 2  x 2    x 2  x 2   8.
3 0 5
3 1


5
0
1
1

Chọn C.
Câu 5:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Xét dấu hàm số f  x   x2 1 trên   2;3 , ta được

1

2

x

f  x


1

3

1



0



0
1

1

3

 x3

 x3

 x3

28
Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 dx    x     x     x   .
3
 2  3
 1  3
1 3

2
1
1
1

2

3

2

2

Chọn D.
Câu 6:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Ta có
2

I   x2 
1
2

2


1
2

x 1
2

x

2

1
1 1
1
1

 2dx   x 2  2x  2 dx    x   dx   x  dx
2
x
x x
x
x
1
1 
1
2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2 2
 x2
  x2

x2 1
x 1
dx  
dx  
dx     ln x     ln x 
x
x
1
 2
1  2
1
1

9

1
1
1
1
9
a 
   ln1   ln  2  ln 2   ln1   a  b ln 2  
8
2
8
2
2
8
b  0
Chọn B.
Câu 7:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Biến đổi I về dạng




0

0

I   1  sin 2 x dx  
Vì 0  x    




4



Với 



Với 0  x 

4



 x

 x



4


4





2
sin x  cos x  dx   sin x  cos x dx  2  sin  x   dx.
4

0
0

4



3
, do đó ta cần chia thành hai khoảng
4

00 x

 
, khi đó sin  x    0.
4
4





3

 
  x   , khi đó sin  x    0.
4
4
4



 4

 


4

 
  


  


Từ đó, ta được I  2   sin  x   dx   sin  x   dx   2 cos  x    cos  x    2 2.
 

4
4
4 0
4 



 0 

4

4

Vậy I  a 2  b  2 2  a  2; b  0  P  a 2  2b  4.
Chọn C.
Câu 8:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Vì x  1; e  ln x  0 

e

ln x
ln x
ln x

, do đó I  
dx.
2 x 2 x

1 2 x

dx

u  ln x
e
e
x

du 
x

.
Đặt 
Khi
đó
I

x
.ln
x

dx 
dx


1
d
v


x
1


2 x

v  x



x .ln x  2 x



e

.
1

a  2
1

 2 e  ae  
1  S  a  2b  2  2.  3.
2
b


2
b

Chọn B
Câu 9:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Ta có I 

1



3



0



 x2 

3

0

1

3
3
3
3
3
3
x  x2  x  dx    x  x2  x  dx   x  x2  x  dx
2
2
2
2
2
2
3
0
1

5x 3
x 3
 dx    x2   dx
2 2
2 2
0

 x  3 0
0
5

3
5x 3
 2 5x 3 
2
Xét x  x   0  


x


dx

1
 x  2  2  dx


x 
2
2
2
2

3
3 

2
2

3 1


1
x
x 3
x 3
 2 x 3
2

Xét x    0 
2   x   dx   x    dx

2 2
2 2
2 2
0
0
x  1
2

5x 3 
x 3


 I     x 2    dx     x 2    dx
2 2
2 2
3 
0
0

1

0

1

 x3 5 x 2 3x 
 x3 x 2 3x 
27 11 23 a a  23
  
      
 
 
 S  a  b  20.
4
2   3  3 4 2  0 4 12 3 b b  3
 3
Chọn A
Câu 10:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
Ta có I 

3
4




1  cos 2 x dx 

3
4

4




2cos 2 x dx 

4

Và cos x  0  x 


2

3
4



2 cos x dx.



4

.


2

3
4

4

2


3


2
Khi đó I  2  cos x dx  2  cos x dx  2  sin x   sin x 4   2 2  2.



4
2 

Mặt khác I  a. 2  b  a  2; b   2.
Vậy P  a  b  2   2   0.
Chọn D
Câu 11:
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!

Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền
xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.
Lời giải:

 x  1
 x  1

Cho  x  1 x  1  x  1  0  
 x  1 x  1  x  1  0  x  3



Ta có I 

3

  x 1 x  1  x 1 dx 

1



3

3

1

1

  x 1 x  1dx    x  1 dx .

3

 Xét tích phân I1    x 1 x  1dx.
1

Đặt t  x  1  x  t 2  1  dx  2t dt
2

2
2
 2t 5 4t 3 
x  3  t  2
32
. Khi đó I1    t 2  2  t.2t dt    2t 4  4t 2  dt  
Và 

 .

3  0 15
 x  1  t  0
 5
0
0

3

 x2

 Xét tích phân I 2    x  1 dx    x   8.
 2
 1
1
3

Vậy I  I1  I 2 

32
88 a a  88
8 
 
 P  a  5b  13.
15
15 b b  15

Chọn D
Câu 12:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Lời giải:
Cách giải :


2

Cho cos x  0  x 





2



0



Ta có I   cos x sin x dx   cos x sin x dx   cos x sin x dx
0

2


2



0




2

1



1

  sin x .cos x dx   sin x .cos x dx    sin x  2 d  sin x     sin x  2 d  sin x 
2

0



2

9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!



3
2
  sin x  2
3

2
0

3
2
  sin x  2
3



2

2  4 a a  4
2  
   0  0      
.
3  3 b b  3
3  

Vậy P  4  2.3   2.
Chọn A
Câu 13:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.
Lời giải:
3

Vì x 0;3  x  1  0 nên I  
0

3
x 2  3x  2
x 2  3x  2
dx  
dx.
x 1
x 1

0

Xét dấu hàm số f  x   x2  3x  2 trên 0;3 , ta được

x

0

1

f  x
3

Khi đó


0


x 2  3x  2
x 1

Xét nguyên hàm



0
1

dx  

0

3

2



0

x 2  3x  2
x 2  3x  2
x 2  3x  2
dx  
dx  
dx.
x 1
x

1
x

1
1
2
2

3

x 2  3x  2

6 
x2

d
x

x

4

d
x

 4 x  6ln x  1  C.

 x 1
 
x 1 
2
1

 x2

x 2  3x  2
7
Suy ra 
dx    4 x  6ln  x  1   6ln 2  .
x 1
2
 2

0
0
1

2

 x2

x 2  3x  2
7
5

 
dx     4 x  6ln  x  1     6ln 3  6  6ln 2     6ln 3  6ln 2  .
x 1
2
2

 2
1
1
2

3

 x2

x 2  3x  2
15
3

 
dx    4 x  6ln  x  1   6ln 4    6ln 3  6   6ln 4  6ln 3  .
x 1
2
2
 2
2
2
3

7
5
3
5
Vậy I  6ln 2   6ln 3  6ln 2  6ln 4 6ln 3    24ln 2 12ln 3.
2
2
2
2

5

a   2

5
19
Mặt khác I  a  b.ln 2  c.ln 3    24ln 2  12ln 3  b  24  a  b  c  .
2
2
c  12



10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Chọn D
Câu 14:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền
xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.
Lời giải:

x  0
Cho 1  xex  x  ex  0  1  e x  x 1  e x  0  1  e x 1  x   0  
x  1



 

1

Ta có I   1  xe x  x  e x dx 
0





1

x
x
 1  xe  x  e  dx 
0



1

1

0

0

x
x
 1  x  e  dx   xe dx .

1



x2
3
Xét tích phân I1   1  x  e  dx   x   e x    e.
2


0 2
0
1

x

1

Xét tích phân I 2   xe x dx.
0

1
u  x
du  dx
x1
Đặt 

 I 2  x.e 0   e x dx  e   e  1  1.
x
x
dv  e dx v  e
0

a  1
3
5
5

Vậy I  I1  I 2   e  1  e   a.e  b  
5  P  1  2.   4.

2
2
2
b


2
Chọn B.
Câu 15:
Phương pháp giải:
Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền
xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.
Lời giải:
Cho

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


x  0

ln
4.ln x
1


0

4 


ln
x


0
x 2  x  2 2

 x 2  x  2 2 



x  0
x  0

x  1

 ln x  0
  x  1

 x  2 2  4 x 2  0  3x 2  4 x  4  0  x  2



2

Ta có I  
1

ln
4.ln x


dx 
2
x  x  2 2

2
2
 ln
4.ln x 
ln x
4.ln x

d
x

d
x

1  x2  x  22 
1 x2
1  x  22 dx .


2

2

ln x
dx.
2

1 x

 Xét tích phân I1  

dx

2
du 
u  ln x
2
2
2

ln x
1
dx  1
1
1 1


x

  2 dx   ln x   2    ln x     ln 2
Đặt 
1
x
x 1 2 2
 x
1
1 x

1 x
dv  x 2 dx
v   1

x
2

 Xét tích phân I 2  
1

4.ln x

 x  2

2

dx.

Đặt

dx

u  ln x
du 



x
1


dv 
dx
2

v   1
 x  2


x2
2
2

1
dx 
 ln x 1
x 

dx

4

ln
x

 4 
 ln



2


 x2
x  x  2  
 x  2 2 x  2 1
1
1  x  2
1

1 1 1 1
 1
 4   ln 2  ln  ln    ln 2  2ln 2  2ln 3  2ln 3  3ln 2
2 2 2 3
 4
2

4ln x

2

5
1
5
1
Vậy I  I1  I 2   2.ln 3  .ln 2   a   2; b  ; c   P  1.
2
2
2
2
Chọn C
Câu 16:

Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích
phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Lời giải:

1
 
 cos x  2.
Xét hàm số f  x   tan x  sin x  2 x trên 0;  , có f   x  
cos 2 x
 4

1
1
1
 1

 
Với x  0;  

 f   x 
 cos x  2  
 cos x   0.
2
cos x
 4  cos x cos x

 cos x

2

 
Suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên 0;   f  x   f  0   0.
 4








4

4

4

4

0

0

0

sin x

dx
0 cos x

Khi đó I   tan x  sin x  2 x dx    tan x  sin x  2 x  dx    sin x  2 x  dx  




4

4


d  cos x 
2 1
1
   cos x  x 2  ln cos x  4    .ln 2  1 
.
0
cos
x
16
2
2
0

   sin x  2 x  dx  
0

Mặt khác I  a. 2  b.ln 2  c  a  

1
1
1
1 
; b  ; c  1
. Vậy P  a  b  c   ;1.
16
2
2
2 

Chọn B
Câu 17:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích
phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
Lời giải:

x2
1
x2

Xét hàm số f  x    ln 1  x   x trên 0;1 , có f  x   x 
1 
 0; x  0;1.
2
1 x
x 1
Suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên  0;1  f  x   f  0  0.

1

Khi đó I  
0

1
1
1
 x2

 x2

x2
 ln 1  x   x dx     ln 1  x   x  dx     x  dx   ln 1  x  dx
2


0 2
0 2
0

Đặt

dx
1
1
u  ln  x  1 du 
1
x



ln
x

1
dx

x
ln
x

1

dx

 0 
x 1  


x

1
dv  dx
0
0
v  x
1
1
1 


 ln 2   1 
dx

ln
2

x

ln
x

1
 ln 2  1  ln 2   2ln 2  1



0
x 1 
0
Do đó
13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


1

 x3 x 2 
1 1
4
I      2ln 2  1    2ln 2  1  2ln 2  .

6 2
3
 6 2 0
4
Mặt khác I  a.ln 2  b  a  2; b   .
3
Vậy P  2a  b 

16
  5;6  .
3

Chọn A
Câu 18:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích
phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
Lời giải:

 
 
Xét hàm số f  x   x.sin x  cos x 1 trên đoạn 0;  , có f   x   x.cos x  0, x  0;  .
 2
 2
 
Suy ra f  x  là hàm số đồng biến trên 0;   f  x   f  0  0.
 2








2

2

2

2

0

0

0

0

Khi đó I   x.sin x  cos x  1 dx    x.sin x  cos x  1 dx    cos x  1 dx   x.sin x dx.




2
2



u  x
du  dx

  x sin xdx  x cos x 02   cos xdx  sin x 02  1
Đặt 
dv  sin xdx
v   cos x
0
0



 I   sin x  x  02  1  1 


2

1  1





1  2  .
2
2

1
Mặt khác I  a.  b  a   ; b  2.
2

 1
Vậy P  2a  b2  2.     22  3.
 2
Chọn B
Câu 19:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích
phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
14 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Lời giải:





2

x 1
1 x 1
x 1

 0; x  1; e.
Xét hàm số f  x   ln x 
trên 1; e , có f   x   
x 2x x
2x x

x
Suy ra f  x  là hàm số nghịch biến trên 1; e  f  x   f 1  0, x 1; e.
e
e
e
1
 
 12
x 1
x 1 

2
Khi đó I   ln x 
dx     ln x 
 dx    x  x  dx   ln x dx.
x
x 

1
1
1
1
e

dx

e
e
u  ln x du 
e

Đặt 


ln
xdx

x
ln
x

x
1
1 dx  e  e 1  1
1
dv  dx

v  x
e

1
2 3

2e e
4
2
 I   x 2  2x 2  1 
 2 e  1  .
3
3
3

3
1

Mà I  a.

 e b
3

 e   2.
3

1
e .
3

2
1
e  c  a  ; b   2; c  .
3
3

2
1
Vậy P  3.  2.   2   6.  0.
3
3
Chọn C
Câu 20:
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích

phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …
Lời giải:
Đặt f  x  

x2
 x  1  e x với x  0;1 , có f   x   x 1  e x  f   x   1  e x  0; x  0;1.
2

 f   x  là hàm số đồng biến trên 0;1  f   x   f   0  0, x 0;1.
 f  x  là hàm số đồng biến trên 0;1  f  x   f  0  0, x 0;1.
1

Khi đó I  
0

1

1
 x2

 x3 x 2

x2
1 1
x
 x  1  e dx     x  1  e x  dx     x  e x   
2
2

6 2

0 e 3
0

a  1
1 
Mặt khác I  a.e  b  e   
1.
3 b  
3

1

1

15 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!


Vậy 2a  3b  1.
Chọn D

16 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa –
GDCD tốt nhất!