De va dap an OLYMPIC 7

THI OLYMPIC NM HC 2009-2010
Mụn: TON LP 7
Thi gian: 120 phỳt ( Khụng tớnh thi gian giao )
CHNH THC
Câu 1 :
Thực hiện phép tính :
a. M=
5
2
:5,0.6,0
17
36
)
4
9
9
5
5(
7
4
:)
25
2
08,1(
25
1
64,0
)25,1.
5
3
1(:2,1

+


+


b. P=
11126
9103
63.4
6.1203.16
+
+
Câu 2 :
a. Cho x,y,z là các số khác 0 và x
2
=yz , y
2
=xz , z
2
=xy .
Chứng minh rằng : x = y = z
b. Tìm x biết :
2006
4
2007
3
2008
2
2009

1

+

=

+

xxxx
Câu 3 :
Cho hàm số : f(x) = ax
2
+bx+c với a,b,c

z
Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên của x.
Chứng minh rằng a,b,c chia hết cho 3 .
Câu 4 :
Cho đa thức A(x) = x+x
2
+x
3
++x
99
+x
100
a. Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x)
b. Tìm giá trị của đa thức A(x) tại x=
2
1

Câu 5 :
Cho tam giác ABC cân tại C và C = 100 độ ; BD là phân giác góc B . Từ A kẻ tia Ax
tạo với AB một góc 30 độ . Tia Ax cắt BD tại M , cắt BC tại E . BK là phân giác góc CBD ,
BK cắt Ax tại N.
a. Tính số đo góc ACM
b. So sánh MN và CE.
Câu 6 :
Cho tam giác cân tại A có góc A = 100 độ . Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD=BC .
Tính góc ABD.
HếT
Đáp án đề thi OlYMPIC năm học 08-09
Câu 1:
Thực hiện các phép tính :
a. Đáp số : 0
b. Đáp số :
7
4
Câu 2 :
a. Ta có : x
2
=yz

x.x=yz

x
z
y
x
=
(1)

y
2
=xz

y.y=yz

z
y
y
x
=
(2)
z
2
=xy

zz=xy

x
z
z
y
=
(3)
Từ (1),(2)và (3)

x
z
z
y

y
x
==
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x
z
z
y
y
x
==
=
1
=
++
++
xzy
zyx

yx
y
x
==
1
(4)

zy
z
y
==

1
(5)
Từ (4)và(5)

x=y=z
b,
2006
4
2007
3
2008
2
2009
1

+

=

+

xxxx

2)
2006
4
2007
3
(2)
2008

2
2009
1
(


+

=

+

xxxx

1
2006
4
1
2007
3
1
2008
2
1
2009
1


+

=

+

xxxx

2006
0064
2007
20073
2008
20082
2009
20091 xxxxx

+

=

+


2006
2010
2007
2010
2008
2010
2009
2010

+

=

+

xxxx

0
2006
2010
2007
2010
2008
2010
2009
2010
=





+

xxxx

0)
2006

1
2007
1
2008
1
2009
1
)(2010(
=+
x
Vì
2006
1
2007
1
2008
1
2009
1
+


0
Nên x 2010 = 0


x=2010
Câu 3 : Vì f(x)

3 với giá trị nguyên của x

Nên ax
2
+bx+c

3

c

3
Và ax
2
+bx

3

a+b

3
Và a-b

3

a+b+(a-b)

3

2a

3 Mà 2 không chia hết cho 3 Nên a

3

b

3
Vậy a,b,c đều chia hết cho 3
Câu 4 : a, Thay x=-1 vào đa thức A(x) ta có :
A(x)=x+x
2
+x
3
++ x
99
+x
100
A(-1)=(-1)+(-1)
2
+(-1)
3
++(-1)
99
+(-1)
100
A(-1)=[(-1)+(-1)
2
]+[(-1)
3
+(-1)
4
]++[(-1)

99
+(-1)
100
]
A(-1)=0+0++0=0
Vậy x=-1 là nghiệm của đa thức A(x)
b, Thay x=
2
1
vào đa thức A(x) ta có :
A(
2
1
)=
100992
2
1
2
1
...
2
1
2
1
++++

2A(
2
1
)=1+

992
2
1
...
2
1
2
1
+++

2A(
2
1
)-A(
2
1
)=1-
100
2
1

A(
2
1
)=1-
100
2
1
Câu 5 : Ta có hình vẽ :
a, Xét tam giác ANB có :

NAB=

NBA=30
0



NAB cân tại N

NA=NB
Xét 2

CNB và CAN có :
CB = CA ( gt)
NA=NB ( cmt)
CN chung


CNA =

CNB ( c-c-c)


ACN =

BCN=50
0
Mà

NMB là góc ngoài tại đỉnh M của

MAB


NMB = 50
0

MNB =

CNB ( g-c-g)

CB = MB


BCM cân tại B có góc ở đỉnh bằng 20
0
nên

BCM =80
0
Vậy

ACM = 20
0
b, Xét

MNB có

MNB=180

0
-(50
0
+10
0
)


MNB=120
0


BNE=180
0
-120
0



BNE=60
0


NEB=110
0



CEN=70
0

CNE=60
0


CN>CE
Mà CN=CE ( ở câu a )

MN>CE
Vậy MN > CE
Câu 6 : Vì

ABC cân nên

ABC =

ACB =40
0


BCD = 180
0
-

ACB


BCD = 180

0
- 40
0
=140
0

Trên một nửa mặt phẳng bờ là AD ( có chứa điểm B ) vẽ

đều AMD sao cho AD = AM =
DM và

MAD=

AMD=

ADM
Ta có :

BAM =

BAC -

MAD


BAM=100
0
-60
0
=40

0
Xét 2

ABM và BAC có :
AB chung

BAM =

ABC = 40
0

BC = AM (cùng bằng AD)



ABM=

BAC ( c-g-c)

AC = BM ( 2cạnh tơng ứng )
Xét 2

ABD và MBD có :
AB = BM ( cùng bằng AC )
BD chung
MD = AD ( cách vẽ )


ABM =

MBD (c-c-c)


ADB =

MDB ( 2 góc tơng ứng )
Mà

ADB +

MDB =

ADM
Hay 2

ADB = 60
0



ADB = 30
0
Xét

BCD có

CBD = 180
0
-(140
0

+30
0
)=10
0


ABD =

ABC +

CBD
Hay

ABD = 40
0
+ 10
0



ABD = 50
0
Vậy

ABD = 50
0
( Thông cảm ngời xem tự vẽ hình )