Bài toán thực tế có lời giải chi tiết

KÌ THI THPT 2017

FB : TRÌNH MINH ĐỨC

01684466464

TĂNG TỐC KĨ NĂNG GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM

CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO
BÀI TOÁN THỰC TẾ
Định hướng tư duy và có lời giải chi tiết
Câu 1 : Người ta muốn mạ vàng cho 1 cái hộp có đáy hình vuông,
không nắp, thể tích hộp là 4 lít . Giả sử độ dày của lớp mạ tại 1 điểm
trên hộp là như nhau . Gọi chiều cao và cạnh đáy lần lượt là x và h .
Giá trị của x và h để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là :
A. x  4; h  4
B. x  2; h  1
3

3

C.

x  3 12; h 

16

3

12
144

D. x 

3

24; h 

3

12
576

Lời giải chi tiết : Gọi x là cạnh đáy của hộp ; h là chiều cao của hộp
và S(x) là diện tích cần mạ vàng
Vì khối lượng vàng tỉ lệ thuận với diện tích nên ta đưa về bài toán
tìm x để S(x) nhỏ nhất
Ta có :

2

V
16
 S  x   4 xh  x
 h  2  S  x   x2 

2
x
x

V  x .h

Dựa vào đạo hàm và BBT, ta tìm được S(x) đạt GTNN tại x = 2 , khi
đó h = 1
Câu 2 : Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách. Nếu một chuyến xe chở x hành khachs thì giá cho mỗi hành
2

x 

khách là :  3 
 $ . Chọn câu đúng :
40 

A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất là khi có 60 hành khách
B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 135$
C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng 160$
D. Không có đáp án đúng 120.000d / m 2
2

x 
3 2
x3


9
x

x

Lời giải chi tiết : Gọi số tiền thu được là f  x   x  3 


40 
20
1600

Vậy GTLN của f(x) là 160 tại x = 40 .
Do đó lợi nhuận thu được nhiều nhất là 160$ khi có 40 hành khách
Tài liệu được sưu tầm bởi cô : Phạm Thị Liên

Page 1


KÌ THI THPT 2017

FB : TRÌNH MINH ĐỨC

01684466464

Câu 3 : Một xưởng cơ khi nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000 lít mỗi chiếc . Hỏi bán kính
đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất
A. 1m và 2m
B. 1dm và 2dm
C. 2m và 1m
D. 2dm và 1dm
Lời giải chi tiết :

 

Ta có 2000  l   2 m3

Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là x(m) và h(m) . Vì thùng phi hình trụ kín 2 đầu nên ta có

V   x 2 .h  h 

V
2
 2
2
x
x

Để tiết kiệm vật liệu nhất thì diện tích toàn phần bé nhất




Ta có : Stp  f  x   2 xh  2 x 2  2  x 2 

2

x

Vậy f (x) đạt GTNN tại x = 1 , khi đó h = 2
Câu 4 : Với 1 đĩa tròn bằng thép trắng có bán kính R  6m phải làm 1 cái phễu bằng cách cắt đi 1 hình quạt của đĩa này
và gấp phần còn lại thành hình nón . Cung tròn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nón có thể tích cực đại
A.  66 0

B.  294 0

C.  12,560

D.  2,80

Lời giải chi tiết :
Gọi x(m) là độ dài đáy của hình nón . Khi đó x  2 r  r 

x
2

x2
Chiều cao của hình nón theo Pitago là : h  R 
4 2
2

1
  x 
Vậy thể tích khối nón là : V   r 2 .h  . 

3
3  2 

2

R2 

x2
4 2

Do đó GTLN của V đạt được khi x  4
Vì thế độ dài cung tròn bị cắt đi là : 2 R  4  2 6  4   

2 6  4
.3600  660
2 6

Câu 5 : Cần phải đặt 1 ngọn diện ở phía trên và chính giữa 1 cái bàn hình tròn có bán kính a . Hỏi phải treo ở độ cao bao
nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức C  k .

sin 
(  là góc
r2

nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k - hằng số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng )
A. h  a
C. h 

3
2

B. h  a

a 2
2

2
3

D. h  a 2

Đề tự luyện
Câu 1 : Chúng ta đều biết cấu tạo cùa 1 hộp diêm bình thường. Nó bao gồm : 1 nắp, 2 đáy , 4 mặt bên và 2 đầu . Hộp diên

phải có dạng như thế nào để thể tích cố định, khi chế tạo sẽ đỡ tốn vật liệu nhất?

 

Câu 2 : Cần phải xây dựng 1 hố ga, dạng hình hộp chữ nhất có thể tích V m3 , có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của đáy .
Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Tài liệu được sưu tầm bởi cô : Phạm Thị Liên

Page 2


KÌ THI THPT 2017

FB : TRÌNH MINH ĐỨC

01684466464

Câu 3 : Bác Nam có 200m dây thép để dùng làm hàng rao vườn rau sạch phục vụ dịp tết Nguyên Đán . Bác muốn chia mảnh
vườn thành 2 phần, 1 phần hình vuông trông rau cần, 1 phần hình tròn trồng các loại rau khác . Bác Nam cắt 200m dây thép
đó thế nào để có thể rào đủ 2 phần trồng rau để diện tích trồng được lớn nhất?
Câu 4 : Gia đình Na muốn làm 1 bể nước hình trụ có thể tích 150m3 . Đáy làm bằng bê tông giá 100.000d / m 2 , thành làm
bằng tôn giá 90.000d / m 2 , nắp bằng nhôm không gỉ giá 120.000d / m 2 . Vậy phải chọn các kích thước như thế nào để tiết
kiệm chi phí nhất
Câu 5 : Một hình trụ nội tiếp trong hình cầu có bán kính r . Tìm bán kính đáy có chiều cao để hình trụ có thể tích lớn nhất .

Tài liệu được sưu tầm bởi cô : Phạm Thị Liên

Page 3