Tuyển tập các bài toán tích phân(Có lời giải chi tiết)

Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

Câu1: Tính các tích phân sau:
2

4

x 2 − 2x
dx;
x3
1

a/ I = ∫

x

J = ∫ (3x − e 4 )dx.

b/

0

Giải:
2

2

2
1 2 


a/ Ta có: I = ∫  − 2 ÷dx =  ln | x | + ÷ = (ln 2 + 1) − (ln1 + 2) = ln 2 − 1.
x 1
x 

1 x
4

x
3 2

b/ Ta coù: J =  x − 4e 4 ÷ = (24 − 4e) − (0 − 4) = 28 − 4e.
2
0

1

x5
Câu2: Tính tích phân: I = ∫ x2 + 1dx.
0

Giaûi:
Từ x 5 = x3 (x 2 + 1) − x(x 2 + 1) + x.
1

1

x 
1
1

 3
1 4 1 2 1

2
dx
Ta được: I = ∫  x − x + 2
÷ =  x − x + ln(x + 1)] = ln 2 − .
2
2
4
x +1
4
0 2
0
π/ 2

sin x

Câu3: Tính ∫ cos x + sin x dx.
0

Giải:
sin x
 cos x − sin x  (A + B)cos x + (A − B)sin x
= A + B
÷=
cos x + sin x
cos x + sin x
 cos x + sin x 
A + B = 0

1
⇔ A=B=− .
Đồng nhất đẳng thức, ta được: 
2
A − B = 1

Ta có:

Vậy:
π/ 2

∫
0

π/ 2
sin x
1
 1 cos x − sin x 
 1

dx = ∫  − −
dx =  − 2 x − 2 ln(cos x + sin x)
cos x + sin x
2(cos x + sin x 


0  2
2

Câu4: Tính tích phaân : I = ∫0 2

x2
1− x

2

dx.

π/ 2
0

π
=− .
4


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

Giải:
x= 0 ⇒ t = 0

2
π
.Đổi cận: với 
x= 2 ⇒ t = 4


Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt

Lại có:

x2 dx
1 − x2

=

sin 2 t.cos tdt

sin 2 t.cos tdt sin 2 t cos tdt 1
=
=
= (1 − cos2t)dt.
cos t
cos t
2
1 − sin2 t

1 π/ 4
Khi đó: I = ∫ (1 − cos2t)dt =
2 0

Câu5: Tính tích phân : I =

π/ 4

1 1

 t − sin 2t ÷
2 2

0

2/ 3

∫
2

dx
x x2 − 1

Giải:
1
cos t
, khi đó : dx = − 2 dt
sin t
sin t
π

x= 1 ⇒ t =


2
Đổi cận:

2
π
x=
⇒t=
3


3

Đặt x =

1
cos tdt π / 2
π
π/ 2
sin 2 t
= ∫ dt = t π / 3 =
∫
1
6
Khi đó: π / 3
π/3
1
sin t
−1
sin2 t
π/ 2

−

0

a+x

Câu6: Tính tích phân : I = ∫ a − x dx, (a > 0)
a

Giải:

Đặt x = a.cos2t, khi đó: dx = −2a.sin 2tdt.

=

π 1
− .
8 4


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
π

x= -a ⇒ t = 2
Đổi cận:

x=0 ⇒ t = π

4
Lại có:

a+x
a + a.cos2t
dx =
(−2a.sin 2tdt) = cot t (−2a.sin 2tdt)
a−x
a − a.cos2t

= −4a.cos2 t.dt = −2a(1 + cos2t)dt.
π/ 2

π/ 2

 1

 π
Do đó: I = −2a ∫ (1 + cos2t)dt = −2a  t − sin 2t ÷ = a  1 − ÷.
 2
 π/ 4
 4
π/ 4
π/ 3

cosdx

Câu7: Tính tích phân : I = ∫ sin2 x − 5sin x + 6
π/ 6

Giải:
Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx
π
1

x=
⇒ t=


6

2
Đổi cận:

x= π ⇒ t = 3
 3

2
cosdx
dt
dt
= 2
=
Ta có:
2
sin x − 5sin x + 6 t − 5t + 6 (t − 2)(t − 3)
B 
[(A + B)t − 2A − 3B]dt
 A
=
+
÷dt =
(t − 2)(t − 3)
 t −3 t −2
A + B = 0
⇔
Từ đó: 
−2A − 3B = 1
Suy ra:

A = 1


B = −1

cos xdx
1 
 1
=
−
÷dt.
sin x − 5sin x + 6  t − 3 t − 2 

Khi đó: I =

2

3/2

∫

1/ 2

1 
t −3
 1
−
dt

÷ = ln
t −2
 t −3 t −2

7

Câu8:: Tính tích phân : I = ∫
0

3/2

= ln
1/ 2

x3dx
3

1 + x2

Giải:

3(6 − 3)
5(4 − 3)


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
3t 2 dt
2
3 2
3
2
.

Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1, khi đó: 3t dt = 2xdx ⇒ dx =
2x
x= 0 ⇒ t = 1

Đổi cận:
x= 7 ⇒ t = 2
Ta coù:

x3dx
3

1 + x2
2

=

x3 .3t 2dt
= 3t(t 3 − 1)dt = 3(t 4 − t)dt.
2xt
2

 t5 t2 
141
Khi đó: I = 3∫ (t − t)dt = 3  − ÷ =
.
 5 2  1 10
1
4

1

2008
Câu9:: Tính tích phân : I = ∫ x sin xdx
−1

Giải:
0

Viết lại I về dưới dạng: I = ∫ x

2008

−1

1

sin xdx + ∫ x 2008 sin xdx.

(1)

0

0

2008
Xét tích phân J = ∫ x sin xdx.
−1

2

3t dt
.
Đặt x = −t ⇒ dx = −dt khi đó: 3t 2dt = 2xdx ⇒ dx =
2x
x= -1 ⇒ t = 1
Đổi cận:
x=0 ⇒ t = 0

{

0

1

1

0

2008
2008
Khi đó: I = − ∫ (− t) sin(−t)dt = − ∫ x sin xdx.

Thay (2) vào (1) ta được I = 0.

Câu10:: Tính tích phaân : I =

π/ 2

∫
0

cos4 x
dx.
cos4 x + sin 4 x

Giải:
Đặt t =

π
− x ⇒ dx = −dt
2

(2)


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
π

x= 0 ⇒ t = 2
Đổi cận:
 π
x= ⇒ t = 0
 2
π
cos4 ( − t)(−dt)
0
π/ 2
π/ 2

sin 4 tdt
sin 4 x
2
I= ∫
= ∫
= ∫
dx.
Khi ñoù:
cos4 t + sin 4 t 0 cos4 x + sin 4 x
4 π
4 π
π / 2 cos ( − t) + sin ( − t)
0
2
2
Do đó: 2I =

π/ 2

∫
0

π/2
cos4 x + sin 4 x
π
π
dx = ∫ dx = ⇒ I = .
2
4
cos4 x + sin 4 x

0

1/ 2

1− x



Caâu11:: Tính tích phân: I = ∫ cos x.ln  1 + x ÷dx.


−1/ 2

Giải:
0

1− x 
I = ∫ cos x.ln 
÷dx +
 1+ x 
−1/ 2

1/ 2

 1− x 

∫ cos x.ln  1 + x ÷dx .


0

(1)

0

 1− x 
cos x.ln 
÷dx
1+ x 
−1/ 2
x = −t ⇒ dx = −dt
Đặt
1
1

x= - ⇒ t =
Đổi cận: 
2
2
x=0 ⇒ t = 0

Khi đó:
0
1/ 2
1/ 2
 1+ t 
 1− t 
 1− x 
I = − ∫ cos(−t).ln 
dt

÷dx
÷dt = − ∫ cos t.ln 
÷ = − ∫ cos x.ln 
 1+ x 
1− t 
1+ t 
1/ 2
0
0
Xét tính chất J =

∫

Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
1

x 4 dx
Câu12:: Tính tích phân: I = ∫ 2x + 1
−1

Giải:
0

x 4 dx 1 x 4dx
+∫ x
Biến đổi I về dạng: I = ∫ x
−1 2 + 1
0 2 +1

(1)

(2)


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
0
x 4dx
Xét tích phân J = ∫ x
−1 2 + 1
Đặt x = –t ⇒ dx = –dt
Đổi cận:

{

0
(− t)4 dt 1 t 4 .2 t.dt 1 x 4 .2 x.dx
x= -1 ⇒ t = 1
=∫ t
=∫ x
. Khi đó: J = − ∫ − t
x=0 ⇒ t = 0
1 2 +1
0 2 +1
0 2 +1

(2)
1

x 4 .2x.dx 1 x 4dx 1 x 4 (2 x + 1)dx 1 4
1
+∫ x
=∫
= ∫ x dx = .
Thay (2) vào (1) ta được: I = ∫ x
5
2x + 1
0 2 +1
0 2 +1
0
0
π/ 2

Câu13: Tính tích phân: I = ∫
0

cosn xdx
cosn x + sin n x

Giải:
Đặt t =

π
− x ⇒ dx = −dt
2

π

x= 0 ⇒ t = 2

Đổi cận:
 π
x= ⇒ t = 0
 2
π 
cosn  − t ÷(−dt)
0
π/2
π/ 2
sin n tdt
sin n x
2 
=
=
dx.
Khi đó: I = ∫
π 
 ∫ cosn t + sin n t ∫ cosn x + sin n x
nπ
π / 2 cos n 
0
0
 − t ÷+ sin  − t ÷
2 
2 
Do đó: 2I =

π/ 2

∫

0

π/ 2
cosn x + sin n x
π
π
dx = ∫ dx = ⇒ I = .
n
n
2
4
cos x + sin x
0

π

xsin xdx

Câu14:: Tính tích phân: I = ∫ 4 − cos2 x .
0

Giaûi:
π

π
xsin xdx
x sin xdx π
=
= xf(sin x)dx.
Biến đổi I về dạng: I = ∫

4 − (1 − sin 2 x) ∫ 3 + sin 2 x ∫
0
0
0
x = π − t ⇒ dx = −dt
Đặt


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
x= π ⇒ t = 0
Đổi cận:
x=0 ⇒ t = π

{

0

(π − t)sin(π − t)dt π (π − t)sin tdt π π sin tdt π t sin tdt
=∫
=∫
−
Khi đó: I = − ∫
4 − cos2 (π − t)
4 − cos2 t
4 − cos2 t ∫ 4 − cos2 t
π
0
0

0
π

π
π
d(cos t)
d(cos t)
d(cos t)
− I ⇔ 2I = −π ∫
= π∫
2
2
2
0 4 − cos t
0 4 − cos t
0 cos t − 4

= −π ∫

π π d(cos t) π 1 cos t − 2
⇔I= ∫
= . ln
2 0 cos2 t − 4 2 4 cos t + 2

π

=
0

π ln 9

.
8

2π

3
Câu15:: Tính tích phân: I = ∫ x.cos xdx
0

Giải:
Đặt x = 2π − t ⇒ dx = −dt
x= 2π ⇒ t = 0
Đổi cận:
x=0 ⇒ t = 2π

{

Khi ñoù:

0

3
∫ (2π − t).cos (2π − t)(−dt) =

I=

2π

2π

∫ (2π − t).cos

3

tdt

0

π 2π
= 2π ∫ cos tdt − ∫ t cos tdt = ∫ (cos3t + 3cos t)dt − I
2 0
0
0
3

2π

2π

3

2π

π1

⇔ 2I =  sin 3t + 3sin t ÷ = 0 ⇔ I = 0.
23
0
π/ 2

1 + sin x



Câu16: Tính tích phân: I = ∫ ln  1 + cos x ÷dx.


0

Giải:
π
− x ⇒ dx = −dt
2
π

x= 0 ⇒ t =

2
Đổi cận:
 π
x= ⇒ t = 0
 2
Đặt t =


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

π 

0
π
π/ 2
 1 + sin  2 − t ÷ ÷

 ÷(−dt) = ln  1 + cos t  dt = − ln  1 + sin t  dt
Khi đó: I = ∫ ln 
∫  1 + sin t ÷
∫  1 + cos t ÷




 1 + cos  π − t  ÷
π/ 2
0
0

÷÷

2 

=−

π/ 2

∫
0

 1 + sin x 

ln 
÷dx = − I ⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0.
 1 + cos x 

Câu17:: Tính tích phân: I =

π/ 4

∫

ln(1 + tgx)dx.

0

Giải:
π
− x ⇒ dx = −dt
4
π

x= 0 ⇒ t = 4
Đổi cận:
Khi đó:
 π
x= ⇒ t = 0
 4
0
π/ 4
π/ 4
π

1 − tgt
2
I = − ∫ ln[1 + tg( − t)dt = ∫ ln(1 +
)dt = ∫ ln
dt
4
1 + tgt
1 + tgt
π/ 4
0
0
Đặt t =

π/ 4

π/ 4

0

=

π/ 4

0

0

∫ [ln 2 − ln(1 + tgt)]dt = ln 2 ∫ dt − ∫

⇔ 2I =

π/ 4

ln(1 + tgt)dt = ln 2.t 0 − I

π ln 2
π ln 2
⇔ I=
.
4
8
2

ln(1 + x)
dx.
x2
1

Câu 18:Tính tích phân: I = ∫

Giaûi:
1

 u = ln(1 + x)
du = 1 + x dx


⇒ 
dx
Đặt: 

dv = x 2
v = 1


x

2

2
2
1
1
1
1 
1
I = − ln(x + 1) + ∫
dx = − ln3 + ln 2 + ∫  +
dx
Khi đó:
÷
x
x(x + 1)
2
 x 1+ x 
1
1
1


Trường THPT Trưng Vương

ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
2
1
3
= − ln3 + ln 2 + (ln | x | − ln(x + 1)) = − ln 3 + 3ln 2.
2
2
1

1

Câu 19:Tính tích phân: ∫0 (x

2

+ x)e2x dx

Giải:
1

∫0 (x

2

2x

+ x)e dx .

⇒I=

Đặt

1 2x 2
e (x + x)
2

u = x 2 + x


2x
dv = e dx

1

−

0

(2x + 1)e2x dx

° ⇒ I1 =
=

⇒

1 1
(2x + 1)e2x dx = e2 − I1
2 ∫0

1

 I1 = ∫0

1 2x
e (2x + 1)
2

, Đặt
1
0

1

0

)

Câu 20:Tính tích phân:

u = 2x + 1


2x
dv = e dx


− ∫ e2x dx =

1

1
3e2 − 1 − (e2 − 1) = e2 .
2
2

(

du = ( 2x + 1) dx


1 2x
v = e

2

0

∫−1x

5

⇒

1
1
(3e2 − 1) − e2x
2
2

Vaäy I =

e2 −

du = 2x + 1dx


1 2x
v = 2 e

1
0

1 2 e2
e =
2
2

3

.e− x dx

Giaûi:
0

I = ∫−1x

5

3

.e− x dx .

° x=0

Đặt t = –x3 ⇒ dt = –3x2dx ,
⇒ t = 0 , x = –1 ⇒ t = 1

0

t

⇒ I = ∫1 (−t).e
° Đặt
⇒ I1 =

1 1 t
1
 1
 − 3  dt = − 3 ∫0 t.e dt = − 3 I1 .



u = t


t
dv = e dt

et .t

1
0

1

⇒

du = dt


t
v = e


− ∫ et dt = e − et
0

1

1
0

= 1.

Vậy I =

t

Với I1 = ∫0 t e dt .

1
1
− I1 = −
3
3


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
π/ 2

2
Câu 21:Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin xdx.
0

Giaûi:
 u = (x 2 + 1)
du = 2xdx
⇒ 
Đặt: 
v = − cos x
dv = sin xdx
π/ 2

2

Khi đó: I = − (x + 1)cos x 0 + 2
Xét tích phân J =

π/ 2

∫

π/ 2

∫

x cos xdx = 1 + 2

0

π/ 2

∫

x cos xdx

0

(1)

x cos xdx.

0

u = x
du = dx
⇒
Đặt: 

dv = cos xdx v = sin x
π/ 2
0

Khi đó: J = xsin x

−

π/ 2

∫

sin xdx =

0

π
π
π/ 2
+ cos x 0 = − 1
2
2

(2)

π 
Thay (2) vào (1) ta được: I = 1 + 2  − 1÷ = π − 1.
2 
1

Câu 22:Tính tích phân: ∫0 xe

x

dx

Giải:

1

∫0 xe

x

dx

. Đặt t =

x

⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx

° x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0
1 2 t
t e 2tdt
0

⇒I= ∫
⇒ I1 =
Đặt

⇒ I2 =
Đặt

et .t3

1
0

1

= 2∫ t 3et dt = 2I1
0

1

1
01

. Với I2 = ∫0 e .t

0

⇒
1

0

⇒

dt .

du = 2tdt


t
v = e


− 2∫ et t dt = e − 2I3

u = t


t
dv = e dt


du = 3t 2dt


t
v = e


⇒

1 t 2

− 3∫ et .t 2dt = e − 3I2

u = t 2


t
dv = e dt

et .t 2

. Đặt

u = t 3


t
dv = e dt


du = dt


t
v = e


1 t

. với I3 = ∫0 e

t dt

.


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
⇒ I3 =

et .t

1
0

1

1

− ∫ et dt = e − et
0

= e − (e − 1) = 1

0

Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e

π

2x
2

Câu 23:Tính tích phân: I = ∫ e sin xdx.
0

Giải:
π

2x
2
Biến đổi I về daïng: I = ∫ e sin xdx =
0

π

1 π 2x
e (1 − cos2x)dx
2∫
0

(1)

π

•

1 2x
e2 π 1
=
−
Xét tích phân: I1 = ∫ e dx = e
2

2 2
0
0

•

2x
Xét tích phân: I 2 = ∫ e cos2xdx

2x

(2)

π
0

du = −2sin 2xdx
 u = cos2x

⇒ 
Đặt: 
1 2x
2x
dv = e dx
v = 2 e

π

π
1

e2 π 1 π 2x
I 2 = e2x cos2x + ∫ e2x sin 2xdx =
− + e sin 2xdx
Khi đó:
2
2 2 ∫
0
0
0

(3)

π

•

2x
Xét tích phân: I 2, 1 = ∫ e sin 2xdx
0

du = 2 cos2xdx
 u = sin 2x

⇒ 
Đặt: 
1 2x
2x
dv = e dx
v = 2 e


π

π
1 2x
I 2, 1 = e sin − ∫ e2x cos2xdx = −I 2 .
Khi đó:
2
0
0
1 44 2 4 4
3

(4)

I2

Thay (4) vào (3), ta được: I 2 =

e2 π 1
e2 π 1
− − I2 ⇔ I2 =
− .
2 2
4 4

1 e2 π 1 e2 π 1
1
− −(
− )] = (e2 π − 1).
Thay (2), (5) vào (1), ta được: I = [

2 2 2
4 4
8

(5)


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
⇒ I1 =

et .t

1
0

1

− ∫ et dt = e − et
0

1
0

= 1.

Vaäy I = 2

π/ 2

n
Câu 24:Lập công thức truy hồi tính: I n = ∫ sin x.dx (n ∈ N)
0

Giaûi:
u = sin n −1 x ⇒ du = (n − 1)).sin n −2 x.dx
• Ñaët:
dv = sin x.dx ⇒ v = − cos x.
π
⇒ I n =  − sin n −1 x.cos x]0 / 2 + (n − 1).(I n −2 − I n ) ⇒ I n =


n −1
I n −2
n

π/ 2

n
Caâu 25:Lập công thức truy hồi tính: I n = ∫ cos x.dx (n ∈ N)
0

Giải:
n −1
n −2
• Đặt: u = cos x ⇒ du = −(n − 1).cos x.dx
dv = cos x.dx ⇒ v = sin x.
π
⇒ I n =  cosn −1 x.sin x]0 / 2 + (n − 1).(I n −2 − I n ) ⇒ I n =



Câu 26:Lập công thức truy hồi tính: I n =

π/ 2

∫
0

Giải:
u = x n ⇒ du = n.x n −1.dx.
• Ñaët:
dv = cos x.dx ⇒ v = sin x
π
n
π
⇒ I n = x sin x 2 − nJ n =  ÷ − nJ n −1
2
0
J n = 0 + nI n −1
• Tương tự:
n

(1)
(2)

n −1
I n −2
n

x n .cos x.dx vaø J n =

π/ 2

∫
0

x n .sin x.dx.


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
n

• Từ (1) và (2) ⇒ I n + n(n − 1)I n−2

n

π
π
=  ÷ . ⇒ I n = n(1 − n)I n−2 +  ÷
2
2

n −1

π
Tương tự có : J n = n(1 − n)J n−2 + n  ÷
2

1

n x
Câu 27:Lập công thức truy hồi tính: I n = ∫ x .e .dx
0

Giải:

• Đặt:

u = x n ⇒ du = nx n −1.dx
dv = e x .dx ⇒ v = e x .

I n = [x n .ex ]1 − nI n−1 = e − nI n−1
0
1

1
xn
dx hay I n = ∫ x n .e − x .dx
x
0 e
0

Câu 28:Lập công thức truy hồi tính: I n = ∫

Giải:
u = x n ⇒ du = nx n −1.dx
• Đặt:
dv = e − x .dx ⇒ v = −e− x .

1
⇒ I n = [−x n .e − x ]1 + nI n −1 = − + nI n −1
0
e
e

n
*
Câu 29:Lập công thức truy hồi tính: I n = ∫ ln x.dx (n ∈ Z )
1

Giải:
• Đặt:

u = ln n x ⇒ du = n.ln n−1 x,
dv = dx ⇒ v = x.

1
dx
x

e
⇒ I n = [x.ln n x]1 − n.I n −1 ⇔ I n = e − nI n −1.

Câu 30:Chứng minh rằng:Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì:


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

a

a

−a

0

∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx.

I=

Giải:
a

a

−a

−a

0

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx

Biến đổi I về dạng: I =
Xét tính phân J =

0

(1)

0

∫ f(x)dx.

−a

Đặt x = −t ⇒ dx = −dt
x= -a ⇒ t = a
Đổi cận:
. Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–t) = f(t)
x=0 ⇒ t = 0

{

0

a

a

a

a

0

0

0

Khi đó: J = − ∫ f(− t)dt = ∫ f(t)dt = ∫ f(t)dt = ∫ f(x)dx

(2)

a

Thay (2) vào (1) ta được I = 2 ∫ f(x)dx
0

Câu 31:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
α

f(x)dx α
I= ∫ x
= ∫ f(x)dx với ∀α ∈ R + và a > 0.
−α a + 1
0

Giải:
0

α

f(x)dx
f(x)dx α f(x)dx
= ∫
+
Biến đổi I về dạng: I = ∫ x

a + 1 −α ax + 1 ∫ ax + 1
−α
0
Xét tính phân I1 =
Đặt

0

f(x)dx
x
−α a + 1

∫

x = −t ⇒ dx = −dt

{

x= 0 ⇒ t = 0
Đổi cận: x=-α ⇒ t = α . Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn ⇒ f(–t) = f(t).
Khi ñoù: I1 =

0

f(− t)dt α at f(t)dt α a t f(t)dt
∫ a− t + 1 = ∫ at + 1 = ∫ a t + 1
−α
0
0

α

at f(t)dt α f(x)dx α (ax + 1)f(x)dx α
+∫ x
=∫
= ∫ f(x)dx.
Vaäy: I = ∫ t
ax + 1
0 a +1
0 a +1
0
0
π



Câu 32:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục trên  0; 2  thì:


π/ 2

∫
0

f(sin x)dx =

π/2

∫
0

f(cos x)dx.


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

Giải:
π
− x ⇒ dx = −dt
2
π

x= 0 ⇒ t = 2
Đổi cận:  π
x= ⇒ t = 0
 2
Đặt t =

π/ 2

Khi đó:

∫
0

0

π/2

π/2
π
f(sin x)dx = − ∫ f(sin( − t)dt = ∫ f(cos t)dt = ∫ f(cos x)dx
2
π/ 2
0
0

Câu 33:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì
b

I = ∫ xf(x)dx =
a

a+ b b
f(x)dx.
2 ∫
a

Giải:
Đặt x = a + b − t ⇒ dx = −dt

{

x= a ⇒ t = b
Đổi cận: x=b ⇒ t = a
b

a

b

b

a

Khi đó: I = ∫ (a + b − t)f(a + b − t)(−dt) − ∫ (a + b − t)f(t)dt

b

b

b

b

a

a

a

a

= ∫ (a + b)f(t)dt − ∫ tf(t)dt = (a + b) ∫ f(t)dt − ∫ xf(x)dx = (a + b) ∫ f(t)dt − I
a

b

⇔ 2I = (a + b)∫ f(t)dt ⇔ I =

a

b

a+b
f(x)dx.
2 ∫
a

Câu 34:Chứng minh rằng Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì
b

I = ∫ f(x)dx = 0.
a

Giải:
Đặt x = a + b − t ⇒ dx = −dt
x= a ⇒ t = b
Đổi cận: x=b ⇒ t = a

{

a

b

b

b

a

a

Khi đó: I = ∫ f(a + b − t)(−dt) = − ∫ f(t)dt = − ∫ f(x)dx = −I ⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0.

Câu 35: Tính tích phân sau: J =

1

∫e

−1

x

− 1 dx.


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

Giải:
Xét dấu của hàm số y = ex – 1
x
Ta coù: y = 0 ⇔ e − 1 = 0 ⇔ x = 0
x > 0 ⇒ ex > 1 ⇒ y > 0 ; x < 0 ⇒ ex < 1 ⇒ y < 0

Nhận xét rằng:

0

1

1

0

x
x
Do đó: J = ∫ (1 − e )dx + ∫ (e − 1)dx = (x − e) −1 + (e − x) 0 = e +
x

−1

0

Caâu 36: Tính tích phân: I =

4

∫x

2

1
− 2.
2

− 3x + 2dx

−1

Giải:
2

Ta đi xét dấu hàm số f(x) = x − 3x + 2 trên [–1, 4],
f(x) ≥ 0 nếu x ∈ [ −1,1] ∪ [ 2,4 ]

f(x) ≤ 0 neáu x ∈ [ 1,2 ]

ta được:

1

2

4

1

2

2
2
2
Khi đó: I = ∫ (x − 3x + 2)dx − ∫ (x − 3x + 2)dx + ∫ (x − 3x + 2)dx
−1

1

2

4

3
3
3
19
1

1
 1

=  x3 − x 2 + 2x ÷ −  x3 − x 2 + 2x ÷ +  x3 − x 2 + 2x ÷ = .
2
2
2
3
 −1  3
1  3
2 2
π
2 sinx
0

Câu 37: Tính : ∫

( xsinx + x cosx ) dx
2

Giaûi:
π
2 sinx
0

∫

π
2 xsinxd
0

( xsinx + x cosx ) dx=∫
2

( xsinx )

( xsinx ) 2
=
2

π 2
π
2=
0 8

( x + 3x + 3) dx
Câu 38: Tính : ∫ x + 3x + 2
(
)

1

2

0

2

2

Giaûi:

( x + 3x + 3) dx
=∫
∫
( x + 3x + 2)
1

0

1.

1

2

2

2

dx

∫0 x2 + 3x + 2

=

dx

1

0 x2

1

+ 3x + 2

dx

dx

1

+ ∫0

2

(x + 3x + 2)2

x +1

∫0 (x + 1)(x + 2) = ln x + 2

1

1
4
 4
=  ln − ln  = ln
3
2
3

0


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================

1



1
=

2
2
(x + 3x + 2)
 (x + 1)(x + 2) 

Ta coù :

1

=
⇒ I

dx

1

∫0 (x2 + 3x + 2)2

2. I =

2

(x + 1)

dx

1

+

1
(x + 2)

2

2
(x + 1)(x + 2) .

dx

1

1 
 1
=
−

 x + 1 x + 2

2

1

∫0 (x + 1)2 + ∫0 (x + 2)2 − ∫0 (x + 1)(x + 2)dx

=

−1 1
−1
+
=
x +1 0 x + 2

ĐS:

−

2

2

1

− 2ln

0

x +1
x+2

1
0

=

−1
1 1
1
 2
+ 1− + − 2  ln − ln 
2
3 2
2
 3

−1
1 1
1
4
 2
+ 1− + − 2  ln − ln  + + ln
2
3 2
2
3
 3

Câu 39:

π
Tính :I= 2 x
0

∫

( cos x − xsinxcosx ) dx
2

Giaûi:
π
2 xcosx
0

∫

π
2 xcosxd
0

( cosx − xsinx ) dx=∫

1

Câu 40: Tính : ∫0 (x


2

+ x)e2x +

( xcosx )

( xcosx ) 2
=
2

π
2 =0
0

5x − 13 
 dx
x − 5x + 6 
2

Giaûi:
1

∫0 (x

1.

2

5x − 13 
1 2
2x
 dx = ∫0 (x + x)e dx +
x − 5x + 6 

+ x)e2x +

2

u = x 2 + x

(x + x)e dx . Đặt 
∫0
2x
dv = e dx

1

2

⇒I=

2x

1 2x 2
e (x + x)
2

1

−

0

⇒

°

⇒ I1 =

1 1
(2x + 1)e2x dx = e2 − I1
2 ∫0

2x

1 2x
e (2x + 1)
2

5x − 13

du = ( 2x + 1) dx


1 2x
v = e

2

u = 2x + 1

 I1 = ∫0 (2x + 1)e dx , Đặt 
2x
dv = e dx

1

1

∫0 x2 − 5x + 6 dx

1
0

1

− ∫ e2x dx =
0

⇒

du = 2x + 1dx


1 2x
v = 2 e


1
1
(3e2 − 1) − e2x
2
2

1
0


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
=
2.

1

1
1

3e2 − 1 − (e2 − 1) = e2 .
2
2

(

)

5x − 13

∫0 x2 − 5x + 6 dx

Ta có :

Vậy I = e2 −

1 2 e2
e =
2
2

5x − 13
A
B
A(x − 3) + B(x − 2)
=
+
=
(x − 3)(x − 2) x − 3 x − 2
(x − 3)(x − 2)

⇒ 5x – 13 = (A + B)x – 3A – 2B ⇒ A + B = 5 vaø –3A – 2B = –13 ⇒ A = 3 , B = 2
Vaäy I =

3
2 
∫0  x − 3 + x − 2  dx = 3ln x − 2 + 2ln x − 3 




1

1
0

= –(ln2 + 2ln3) = –(ln2 + ln3 ) = –ln(2 . 3 ) = –ln18
2

2

1
ĐS: e2 − 2 e2 = e2

2

–ln18

2
Caâu 41: Tính : I = ∫1 x ( ln x + ln x ) dx

e

Giaûi:
( x ln x ) 2 e = e2
I = ∫ x ln x ( ln x + 1) dx= ∫ x ln xd ( x ln x ) dx=
1
1
1 2
2
e

e

x +1

1

Câu 42: Tính : ∫0  x2 − 4x + 4 + xe


x


÷dx


Giải:
x +1

1

∫0  x2 − 4x + 4 + xe


x

1
x +1

1
x
dx =I+J
÷dx = ∫0 xe dx + ∫0 2
x − 4x + 4


1

x
1. I= ∫0 xe dx . Đặt t =

°

x

⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx

x=1 ⇒ t=1 , x=0 ⇒ t=0

⇒ I=

1 2 t
t e 2tdt
0

∫

t 3
⇒ I1 = e .t

1
0

u = t 3
1

= 2∫ t 3et dt = 2I1 . Đặt 
t
0
dv = e dt

1

− 3∫ et .t 2dt = e − 3I2 . Với I2 =
0

u = t 2

Đặt 
t

dv = e dt

t 2
⇒ I2 = e .t

1
01

⇒
1

⇒

1 t 2

∫0 e .t

dt .

du = 2tdt


t
v = e


− 2∫ et t dt = e − 2I3 . với I3 =
0

u = t


Đặt 
t
dv = e dt


⇒

du = dt


t
v = e


1 t

∫0 e

t dt .

du = 3t 2dt


t
v = e



Trường THPT Trưng Vương

ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
1

t
⇒ I3 = e .t

0

1

− ∫ et dt = e − et
0

1

= e − (e − 1) = 1

0

Vaäy I = 2I1 = 2(e – 3I2) = 2e – 6I2 = 2e – 6(e – 2I3) = 12I3 – 4e = 12 – 4e
1

x2 + x + 2

∫0 x2 − 4x + 4 dx

2. J =
°

2

5x − 2

x − 4x + 4

5x − 2

=

2

(x − 2)



A
B
A(x − 2) + B Ax − 2A + B
+
=
x − 2 (x − 2)2 = (x − 2)2
(x − 2)2

=

A = 5

 −2A + B = −2

Đồng nhất 2 veá :

⇒

5x − 2

1

∫0  1+ x2 − 4x + 4  dx



=

A = 5
⇔ 
B = 8

1 5
8 
∫0 x2 − 4x + 4 dx = ∫0  x − 2 + (x − 2)2  dx = 5ln x − 2





5x − 2

1

1
0

+8

−1
x−2

1
0

1
= 5ln + 4
2

1
Vaäy J = 5 ln + 5
2
1

1

ĐS: 5 ln 2 + 5 +12 – 4e=5 ln 2 + 17 -4e
e

3
Câu 43: Tính : I = ∫1 x ln x ( 2 ln x + 1) dx

Giaûi:
e 2

x ln x
1

I=∫

e 2
x ln x.d
1

( 2x ln x + x ) dx= ∫
π
2

(x
x ln x ) dx=
(
2

2

ln x
2

)

2

4

e e

=
1 2

 cos x + sinx cos x

+ esinx sin2x ÷dx
2 + sinx


Câu 44: Tính : ∫0 


Giải:

π
2

π
 cos x + sinx cos x

 cos x + sinx cos x 
sinx
2
+ esinx sin2x ÷dx = ∫ 

÷dx + ∫0 e sin2x dx
0 
2 + sinx
2 + sinx





∫0

π
2

cos x + sinx cos x
dx =
2 + sinx

=

∫0  1− 2 + sinx  cos x dx



∫0
1.

=

2.

π
2

π
2



π
2

∫0
π
2

1



cos x dx − ∫

π
2

0

sinx

∫0 e

∫0
=

∫0  cos x + 2 + sinx  dx




π
2



cos x 

π
π
3
− ln ( 2 + sinx ) 2 =1-ln 3 + ln 2=1 − ln
2
2
0
0

sin2xdx = 2 ∫ 2 esinx sinx cos xdx . Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx
0

)

π
(1+ sinx)cos x
(2 + sinx − 1)cos x
dx = ∫ 2
dx
0
2 + sinx

2 + sinx

π
2

(sinx + 2)/
dx = sinx
2 + sinx
π

(


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
π
2

x=

°

⇒ t=1, x=0

⇒ t = 0.

u = t
1 t


⇒ I = 2 ∫0 e .t dt = 2I1 . Đặt 
t
dv = e dt

t
⇒ I1 = e .t

ĐS: 3 − ln

1
0

1

− ∫ et dt = e − et
0

1
0

du = dt


t
v = e


⇒

= 1. Vaäy

π

sinx

∫02 e

sin2xdx = 2

3
2
π

Câu 45: Tính : I = ∫ 2 x 5cosx ( 3cosx − xsinx ) dx
0

Giaûi:
π
2 x3cosx
0

I=∫

π
2 x 3cosxd
0

( 3x cosx − x sinx )dx=∫
2

Câu 46: Tính :

3

I=

π
2



sinx

∫0  e


sin2x +

( x cosx ) π =0
( x cosx )dx= 2 2
3

3

0

sinx − cosx 
dx
sinx + cosx + 2 ÷


Giải:
I=

π
2



sinx

∫0  e

π
2

∫0

π
sinx − cosx 
2 sinx
sin2xdx +
÷dx = ∫0 e
sinx + cosx + 2 

0

π
2

t
⇒ I1 = e .t

∫0

sinx − cos x

π

⇒ t=1, x=0

⇒ t = 0.

u = t
1 t

⇒ I = 2 ∫0 e .t dt = 2I1 . Ñaët 
t
dv = e dt


π
2

π
2

∫0 sinx + cos x + 2 dx

esinx sin2xdx = 2 ∫ 2 esinx sinx cos xdx . Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx

x=

°

sin2x +

1
0

1

− ∫ et dt = e − et
0

sinx − cos x
dx =
sinx + cos x + 2

π
2

∫0

1
0

du = dt


t

v = e


⇒

= 1. Vaäy

π
2

sinx

∫0 e

sin2xdx = 2

(sinx + cos x + 2)/
dx = ln(sinx + cos x + 2)
sinx + cos x + 2

ĐS:I=2
e

3
Câu 47: Tính tích phân I = ∫1 x ln x ( ln x + 2 ) dx

Giaûi:

π
2

0

=0


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
e

(

2

)

2

e

2

(

2

I = ∫ x ln x ln x + 2 ln x dx= ∫ x ln xd x ln
1

1

π
2



Câu 48: Tính tích phân ∫0  e



sinx

sin2x +

( x ln x )
x ) dx=
2

2

2

2

e e
=
1 2

sinx + sin3 x 

÷dx
cos2x − 7 ÷


Giải:
 sinx
π
sinx + sin3 x 
sin2x +
e
÷dx = ∫ 2 esinx sin2xdx +
∫0 
cos2x − 7 ÷
0



π
2
0

π
2

π

∫

sinx − sin3 x
dx =I+J

cos 2x − 7

π

I = ∫02 esinx sin2xdx = 2 ∫02 esinx sinx cos xdx . Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx
° x=

π
2

⇒ t=1, x=0
1 t

⇒ I = 2 ∫0 e
⇒ I1 =

π
2
0

J= ∫

.t dt = 2I1 .
1

et .t

0

u = t



t
dv = e dt


Đặt

1

− ∫ et dt = e − et
0

sinx − sin3 x
dx
cos 2x − 7

⇒ t = 0.

1
0

= 1.

du = dt


t
v = e


⇒

Vaäy I = 2

π
sinx(1− sin2 x)
2
dx
0 (2cos2 x − 1) − 7

= ∫

1 π cos2 x sinx
2
dx
2 ∫0 cos2 x − 4

=

Đặt t = cosx ⇒ dt = –sinx dx . x = 0 ⇒ t = 1 , x =
1 1− t

2

1

2 

1

π
2

⇒ t=0

1

1

⇒ J = ∫0 1+ t2 dt = ∫0  −1+ 1+ t 2  dt = ∫0 −1dt + 2∫0 1+ t 2 dt


1

1

Xét K = ∫0 1+ t2 dt . Đặt t = tgu ⇒ dt =
° t=0 ⇒ u=0 , t=1 ⇒ u=

ĐS:

 sinx
π
sinx + sin3 x 
sin2x +
e
÷dx = 1 +
∫0 
÷

cos2x − 7 
2

e 5 3
Tính tích phân I = 1 x ln x

π
4

1
cos2 u

⇒K =

π
2

Caâu 49:

∫

( 3ln x + 2 ) dx

Giaûi:

du = (1+ tg2u)du
2u

π
4

0

=

π
2

⇒ J=–1+

π
2


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
e 3 2
x ln x
1

I=∫

( 3x

2

2

)



cos x

2

e 3 2
x ln x.d
1

ln x + 2x ln x dx= ∫

π
2

Câu 50: Tính tích phân ∫0 



+

7 + cos2 x

(x

3

ln

2

(x
x ) dx=

3

ln2 x
2


1
÷dx
cosx + 2 ÷


Giải:
π
π


cos x
cos x
1
dx
2
dx + 2

+
÷dx = ∫0

∫0 
∫0 cos x + 2
2
2
cosx + 2 ÷
7 + cos x
 7 + cos x

π
2

π
2

I = ∫0

cos x
2

7 + cos x

cos x

π
2

= ∫0

dx

7 + 1− sin2 x

1

dx

π

Đặt t = sinx ⇒ dt = cosx dx
⇒I=

=I+J

x = 2 , t = 1 , x = 0,

t=0

dt

1

∫
2 0

2

2 − t2

Đặt t = 2sinu ⇒ dt = 2cosu du , t = 2sinu = 0 ⇒ u = 0
t = 2sinu = 1 ⇒ sinu =

⇒I=

π

1
2

2cosu

π
6

∫0

2

2

2

2 − 2 sin u

dx

J= ∫02 cos x + 2 . Đặt t =
° ⇒ dt =
° x=

π
2

1
2cos2

x
2

dx =

1
2

du =

tg

⇒ u=
1
2

π
6

∫0

⇒J=

1 dt
t +1
∫0 1− t2 = 2∫0 t2 + 3

+2
1+ t 2

° Đặt t =

3 tgu

=

1

1 2 x 
tg
+ 1 dx
1 2
2
2  = (t + 1)dx


2

⇒ t=1,x=0
2

2cosu
du
2cosu

2

u

π
6

0

=

π
6 2

x
2

=

⇒ dt =

⇒ dx =

⇒ t=0

2dt

1

π
6

2∫

dt

1

0 2

t +

3
cos2 u

( 3)

du

2

⇒

.
t = 0 ⇒ u = 0


π
t = 1 ⇒ u = 6


2dt

2

t +1

)

2

6

e e
=
1 2


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
Vậy
π
2

J=2



cos x

ĐS: ∫0 


3du

π
6

∫0

2.

du

π
6

∫
3 0

cos2 u

1

=u

cos2 u

2
3

π

6

=

0


1
π
π
÷dx
+
cosx + 2 ÷ = 6 2 3 3


+

2
 7 + cos x

=

π
3 du
cos2 u = 2 6
∫0 3cos2 u(tg2u + 1)
2
3tg u + 3

1

π
2 x 9sin 2 x
0

Caâu 51: Tính tích phân I = ∫

( 5sin x + xsin2x ) dx
2

Giaûi:
π
2 x 5sin 2 x
0

I=∫

π
2 x 5sin 2 x
0

( 5x sin x + x sin2x )dx=∫
4

2

5

1

3
2
Câu 52: Tính tích phân ∫0  x4 + x2 + 1 + x ( 1− x )

1

( x sin x )
( x sin x )dx= 2
5

5

2

2

2

π 10
π
2 = 11
0 2

3

dx
÷


Giải:

1

1

∫0  x4 + x2 + 1 + x

1

3

( 1− x )
2

1
dx
dx
÷ = ∫0 4
+
x + x2 + 1


3

1 3

∫0 x

(1− x2 )3 dx =I+J

dx

I= ∫0 x4 + x2 + 1 .
° Đặt u = x2 ⇒ du = 2x dx . x = 0 ⇒ u = 0 , x = 1 ⇒ u = 1
⇒I=

1 1
1
1 1
du
∫0 u2 + u + 1du = 2 ∫0
2
2
1
3

u+  +

2
4


° Đặt u +

1
3
=
2
2

° u = 0 ⇒ tgt =

°

3 1
dt
2 cos2 t

tgt ⇒ du =
1
3

⇒ t=

.

π
6

, u = 1 ⇒ tgt =

2

1
3 3 2
3 1

 u + 2  + 4 = 4 (tg t + 1) = 4


cos2 t

⇒ I=

1 3

J= ∫0 x

3
dt
π
π
1 3 2cos2 t
1 3
π
=
π
π
∫6
∫6 dt = 6 3
3
2
3
4cos2 t

(1− x2 )3 dx

. Đặt t = 1 – x2 ⇒ dt = –2xdx

3

⇒ t=

π
3

π
3 3


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
° x = 1, t = 0 , x = 0, t = 1
1 1
1  t 4 t5 
 1
(1− t).t 3  −  dt = − ∫ (t3 − t 4 )dt =  − 
∫1
2 0
2 4 5 
 2



0

0

⇒J=

1

1

ĐS: ∫0  x4 + x2 + 1 + x


3

( 1− x )
2

3

dx
÷ =

6

π
3

+

=

1

1
40

1
40

π
2 x17cos3x
0

Câu 53: Tính tích phân I = ∫

( 9cosx − 2xsinx ) dx

Giaûi:
π
2 x 9 cos2 x
0

I=∫

(

π
2 x 9cos2 xd
0

)

9x8cos2 x − x 9sin2x dx= ∫

π


2 esinx
0 


Caâu 54: Tính tích phân ∫

cos x +

( x cos x )
x cos x ) dx=
(
2
9

9

2

2

2

1

dx
3cosx − 4sinx + 5 ÷


Giải:
π


2 esinx
0 


∫

cos x +

π
2 esinx
0

I= ∫

π
1

2 sinx cos xdx +
÷dx = ∫0 e
3cosx − 4sinx + 5 
π
2 esinx d
0

cos xdx = ∫

( sinx ) =esinx

dx

π

dt =

x
2cos2
2

=

x

⇒ sinx =

1
1
2 x
2
 1+ tg 2  dx = 2 (1+ t )dx
2

2dt

⇒J=
1

⇒ dx =

1

dt

= ∫0 t2 − 4t + 4 ∫0 (t − 2)2
=

=

−1
t−2

1
0

=

1
2

2t

, cosx =
1+ t 2

2dt
1+ t 2

1
dt
1+ t 2

= 2∫
∫0  1− t 2 
0
3
2t
3 − 3t − 8t + 5 + 5t 2
3
−4
+5
2
 1+ t 2 

1+ t


1

dt

dx

∫0 3cos x − 4sinx + 5 =I+J

π
2 =e-1
0

J= ∫02 3cos x − 4sinx + 5 . Đặt t = tg 2
dx

π
2

1− t 2

1+ t 2

x = 0 ⇒ t = 0


π
x = 2 ⇒ t = 1


π
2 =0
0


Trường THPT Trưng Vương
ĐÀO PHÚ HÙNG
================================================================
π
1
1


ĐS: ∫02  esinx cos x + 3cosx − 4sinx + 5 ÷dx =e

2

π
2 x 5sin3x
0

Câu 55: Tính tích phân I = 3∫

( sin3x + xcos3x ) dx

Giaûi:
π
2 x3sin3x
0

I=∫

π
2 x 3sin3x.d
0

( 3x sin3x + 3x cos3x ) dx=∫
2

3

x

1

1

(
( x sin3x )dx=
3

x3sin3x
2

)

2

π 6
π
2= 7
0 2



Caâu 56: Tính tích phân ∫0  4 − x2 + x4 + 4x2 + 3 ÷dx



Giải:
1

x

1



1

x

dx

1

∫0  4 − x2 + x4 + 4x2 + 3 ÷dx = ∫0 4 − x2 dx + ∫0 x4 + 4x2 + 3 =I+J


1

x

I= ∫0 4 − x2 dx =
1

dx

1 1 x
dx
2 ∫0 4 − x 2

=

1 3
− ln

2 4

dx

1

J= ∫0 x4 + 4x2 + 3 = ∫0 (x2 + 1)(x2 + 3) =
1

1 1 1
1 
∫0  x2 + 1 − x2 + 3  dx
2 


dx

* I1 = ∫0 x2 + 1 . Đặt x = tgt ⇒ dx =
° x = tgt = 1 ⇒ t =

π
4

1
cos2 t

dt
x 2 + 1 = tg2 t + 1 =

, x = tgt = 0 ⇒ t = 0.

dt
π
4

⇒ I1 = ∫0

cos2 t
1

π

= ∫ 4 dt =
0

2

π
4

cos t
1

dx

* I2 = ∫0 x2 + 3 . Đặt x =
° x=

3tgt = 1

⇒ t=

π
6

3tgt

, x=

⇒ dx =
3tgt = 0

3

1
cos2 t

⇒ t=0

dt

1
cos2 t