Tổ 11 đ2 đề thi HSG toán 12 tỉnh quảng ninh năm 2018 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH QUẢNG NINH
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán Lớp: 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NINH LỚP 12
Bài 1.

(4 điểm)

Câu 1.

Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − 1 với
là tham số . Tìm tất cả các giá trị của
hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông
4

2

m

m

để đồ thị

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân
Tập xác định

D= ¡

y′ = 4 x ( x 2 − m )
x = 0
y′ = 0 ⇔ 4 x ( x 2 − m ) = 0 ⇔  2
x = m
Để hàm số có ba điểm cực trị thì

y′ = 0 có ba nghiệm phân biệt tức là m > 0 .

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là

(

)

A − m ; − m 2 + 2m − 1 , B ( 0;2m − 1) , C

(

)

m ; − m 2 + 2m − 1

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên tam giác
trục

Oy . Nên để

tam giác

ABC

ABC

cân tại

B ∈ Oy; A, C

là tam giác vuông thì tam giác

ABC

đối xứng nhau qua

vuông và cân tại

B.

m = 1
AC = AB 2 ⇔ m4 = m ⇔ m 2 = m ⇔ 
Khi đó
m = 0
Do
Câu 2.

m > 0 nên chọn m = 1 .

Kết luận m = 1 .
Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy
dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được
gấp

400000 ( cm3 )

nước. Biết rằng chiều cao của bể

2 lần chiều rộng của bể . Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên liệu nhất
Lời giải
Tác giả: Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân

Gọi

a , b, c

lần lượt là chiều rộng , chiều dài , chiều cao của khối hộp chữ nhật

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

( a , b, c > 0 )

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Theo giả thiết ta có

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

c = 2a ⇒ 2a 2b = 400000 ⇒ ab =

V = abc = 400000 và

200000
a

Ta có tổng diện tích xung quanh và diện tích 1 mặt đáy của bể cá là

S = ab + 2ac + 2bc = ab + 4a 2 + 4ab == 5.

200000
1000000
 250000 2 
+ 4a 2 =
+ 4a 2 = 4 
+a ÷
a
a
 a


125000 125000 2
 125000 125000 2 
S = 4
+

+ a ÷ ≥ 4.3 3
.
.a = 30000
a
a
a
 a


Suy ra

Bài 2.

S

125000 2
200000
= a ⇔ a = 50 ⇒ Sđáy = ab =
= 4000 ( cm 2 )
đạt giá trị nhỏ nhất khi
a
a

100 x
x−2
1
log
=
1
−

 y2
y2
y2


3
(3 điểm) Giải hệ phương trình  xy − 2 = x − 1 + y
Lời giải
Điều kiện

x>0

và

xy ≥ 2

1
100 x
x−2
log 2 = 1 − 2 ⇔ log100 x − log y 2 = y 2 − x + 2
2
Từ phương trình y
y
y

⇔ x + log x = y 2 + log y 2 ( *)
Xét hàm số

f ( t ) = t + log t , t > 0

có

f '( t ) = 1+

( 0;+∞ ) .
Vậy

( *) ⇔ f ( x ) =

Thay

x = y2

Thấy
được

1
> 0, ∀ t > 0
nên hàm số đồng biến trên
t ln10

f ( y2 ) ⇔ x = y2

xy − 2 = 3 x − 1 + y

vào phương trình

y 3 − 27
y3 − 2 + 5

) (

(

y = 3 là nghiệm nên biến đổi thành

y3 − 2 − 5 =

y2 − 9

=
3

(y

2

− 1) + 2 y − 1 + 4
2

 2

 y + 3y + 9 
⇔ ( y − 3) 
−
3
y
−
2
+

5





3

2

y3 − 2 = 3 y 2 − 1 + y

được
3

)

y2 − 1 − 2 + y − 3

rồi liên hợp

+ y−3


÷
+ 1÷ = 0 ( **)
2
y 2 − 1) + 2 3 y 2 − 1 + 4 ÷

y+3

3

(

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

y2 + 3y + 9
y3 − 2 + 5

Do

>

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

y2 + 3y + 9

y 2 + 3 y + 9 2 y 2 + 6 y + 18
4y − 2
> 2
= 2
= 2+ 2
> 2, ∀ y ≥ 2 2

y +y
y + y + 10
y + y + 10
y3 + 5
+5
2

Và
3

( y − 1)
2

2

+ 2 3 y2 − 1 + 4 =

3

( y − 1) ( y + 1)
2

y+3
nên

3

( y − 1)
2

2

+ 2 y −1+ 4

⇒


y2 + 3y + 9 
−
y3 − 2 + 5 


Nên

( **) ⇔

3

+ 2 3 y2 − 1 + 4 >

3

( y − 1)

3

+ 4 = y + 3, ∀ y ≥ 3 2

+ 1 < 1+ 1 = 2

2


÷
+ 1÷ > 0, ∀ y ≥ 3 2
2
3 y2 − 1 + 2 3 y2 − 1 + 4
÷
( )

y+3

y=3

Bài 3.

Vậy hệ só nghiệm duy nhất
(4 điểm)

Câu 1.

Cho tam giác
rằng nếu

2

ABC

( x; y ) = ( 9;3) .

không có góc vuông và có các cạnh

a 2 + b 2 = 2c 2 và tan A + tan C = 2tan B

BC = a, CA = b, AB = c.

thì tam giác

ABC

Chứng minh

là tam giác đều.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet
Ta có

sin B
 sin ( A + C )
 sin A sin C
sin B
+
=2
 tan A + tan C = 2 tan B 
=2

⇔  cos A cos C
cos B ⇔  cos A cos C
cos B

 2 2
2
 a + b = 2c
 a 2 = 2c 2 − b 2
 a 2 = 2c 2 − b 2


 a2 + c2 − b2
b2 + c2 − a2 a2 + b2 − c2
 cos B = 2 cos A cos C
= 2.
.

⇔ 2
⇔
2ac
2bc
2ab
2
2
a
=
2
c
−
b
2
2
2


 a = 2c − b


⇒ b 2 ( 3c 2 − 2b 2 ) = ( 2b 2 − c 2 ) c 2 ⇔ b 2 c 2 + c 4 − 2b 4 = 0 ⇔ ( c 2 − b 2 ) ( c 2 + 2b 2 ) ⇔ c = b
Kết hợp với
Câu 2.

a 2 + b 2 = 2c 2 ⇒ a = b = c. Vậy tam giác ABC

là tam giác đều.

11 năm 2018
với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó: có 4 tiết
mục lớp 12 , có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10 . Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5
Trong cuộc thi văn nghệ do đoàn thanh niên trường THPT X tổ chức vào tháng

20

11 (không tính thứ tự biểu diễn). Tính xác suất
sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12 .
tiết mục biểu diễn chào mừng ngày

tháng

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là
Số phần tử của không gian mẫu là

Ω

n ( Ω ) = C125 = 792

5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong
đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12 ’’.
Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là:
+ 2 tiết mục khối 12 , 2 tiết mục khối 10 , 1 tiết mục khối 11
+ 2 tiết mục khối 12 , 1 tiết mục khối 10 , 2 tiết mục khối 11
+ 3 tiết mục khối 12 , 1 tiết mục khối 10 , 1 tiết mục khối 11
Gọi

A

là biến cố: ‘‘Chọn

Số kết quả thuận lợi cho biến cố
Xác suất cần tìm là
Bài 4.

P ( A) =

A là n ( A) = C4 .C3 .C5 + C4 .C3 .C5 + C4 .C3 .C5 = 330
2

2

Oxy , cho tam giác ABC

ABC ; M , N , P

ngoại tiếp tam giác

1

1

2

có

3

3

1

1

330 5
= .

792 12

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
trực tâm của tam giác

2

ABC .

lần lượt là giao điểm của

Tìm tọa độ trực tâm

H

góc đều nhọn. Gọi

AH , BH , CH

H

là

với đường tròn

của tam giác

ABC

biết

 16 5   7 5   1 1 
M  − ; − ÷, N  − ; ÷ , P  − ; ÷
 9 9  8 4  3 6.
Lời giải
Tác giả: Tuyetnguyen; Fb: Tuyetnguyen

¼ = PCB
·
 PNB

·
·
·
·
 PCB = BAM ⇒ PNB = BNM
·
·
Ta có  BAM = BNM
. Suy ra

BN

là đường phân giác trong của góc

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

·
.
PNM

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

PC , AM

Tương tự ta có

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

lần lượt là phân giác trong của góc

·
·
, PMN
.
MPN

uuuur  65 65 
MN =  ; ÷
 72 36  .
Ta có
Phương trình đường thẳng

MN

uuuur  65 65 

 16 5 
MN =  ; ÷
M  − ;− ÷
đi qua
và
nhận
9
9


 72 36  làm vtcp, là:

2x − y + 3 = 0 .
Tương tự ta có phương trình đường thẳng

MP :3x − 6 y + 2 = 0 , đường thẳng

NP : 4 x + 2 y + 1 = 0 .
Từ đó ta có phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc

·
MPN

:

6 x + 18 y − 1 = 0
3x − 6 y + 2
4x + 2 y + 1
⇔
=±

45
20
18 x − 6 y + 7 = 0 .

M , N nằm khác phía đối với đường phân giác trong nên suy ra phương trình của đường
thẳng PC : 6 x + 18 y − 1 = 0 .
Do

Tương tự phương trình đường thẳng

 − 7 25 
⇒ H ; ÷
 8 72  .

H = NB ∩ PC
Cho lăng trụ ABC. A′ B′C ′
Lại có

Bài 5.

NB :8 x + 7 = 0 .

có đáy là tam giác vuông tại

A , AB = a, BC = 2a . Mặt bên

BCC ' B ' là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc
giữa hai mặt phẳng

( BCC ' B ')

tan α =

và

( ABB 'A')

bằng

α

.

5 2
4 , hãy tính theo a :

1.

Trong trường hợp

a.

Thể tích khối lăng trụ

b.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

2.

Gọi

ABC. A ' B ' C ' .

A ' C ' và B'C .
β là góc giữa hai mặt bên qua CC ' của lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , tìm hệ thức liên

hệ giữa

cot α

và

cot β .
Lời giải

Tác giả: Trần Văn Tiền ; Fb: Tien Tran

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

Câu 1a.
Dựng

AH ⊥ BC ( H ∈ BC ) , suy ra AH ⊥ ( BCC ' B ') . Trong tam giác vuông ABC

AC = BC 2 − AB 2 = a 3 ; AH =

có

AB. AC a 3
=
BC
2 .

 BB ' ⊥ HI
⇒ BB ' ⊥ ( AHI )

Dựng HI ⊥ BB ' ( I ∈ BB ') , Ta có  BB ' ⊥ AH
.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
và

HI

bằng

·AIH = α

Trong tam giác vuông

( BCC ' B ')

( Do tam giác

ABH

ta có:

và

( ABB 'A')

AHI vuông tại H

BH =

bằng góc giữa hai đường thẳng
nên

·AIH

AI

là góc nhọn).

AB 2 a
=
BC 2 , ta lại có:

AH 5 2
AH a 6
IH 2 6
·

tan α = tan ·AIH =
=
⇒ IH =
=
⇒ sin IBH
=
=
IH
4
tan α
6
BH
5 .

Câu 1b.

3
3 1
6a3 2
·
V
= V
= . .BC.BB '.sin B ' BC. AH =
Ta có : ABC . A ' B ' C ' 2 A.BC B ' C ' 2 3
5 .
Dựng

B ' D ⊥ BC ( D ∈ BC ) ⇒ B ' D ⊥ ( ABC ) .

Ta có

A'C'// AC ⇒ A ' C '// ( B ' AC )

nên:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH QUẢNG NINH -

d ( A ' C ', B ' C ) = d ( A ' C ', ( B ' AC ) ) = d ( C ', ( B ' AC ) ) = d ( B, ( B ' AC ) ) =
Dựng

DJ ⊥ AC ( J ∈ AC )

Dựng

DK ⊥ JB ' ( K ∈ JB ') .

Ta có

Ta dễ dàng chứng minh được

DJ //AB

BC
.d ( D, ( B ' AC ) )
.
DC

.

DK ⊥ ( B ' AC ) ⇒ d ( D, ( B ' AC ) ) = DK .

· = BI = 1
cos B· ' BD = cos IBH
Ta có:
BH 5 .
BD
2a DJ CD 4
4a
cos B· ' BD =
⇒ BD = BB '.cos B· ' BD = ⇒
=
= ⇒ DJ =
Mà
BB '
5
AB CB 5
5 .
IH 2 6 B ' D
4a 6
·
sin B· ' BD = sin IBH
=

=
=
⇒ B'D =
Ta có:
BH
5
BB '
5 .
1
1
1
25
25 175
=
+ 2=
+ 2=
2
2
2
Xét tam giác B ' DJ vuông tại D có: DK
B ' D DJ 96a 16a 96a 2 .
Vậy:

d ( A ' C ', B ' C ) =

BC
5 4a 42 a 42
.DK = .
=
DC

4 35
7 .

Câu 2.

CC ′ ⊥ AH
⇒ CC ′ ⊥ ( AHE )

Dựng HE ⊥ CC ′ ( E ∈ CC ′ ) . Ta có CC ′ ⊥ HE
.
Ta có góc giữa hai mặt phẳng
và

HE ( do tam giác AHE

Xét tam giác vuông

( BCC ′B′ )
H

nên

cot β =

HE
AH .

vuông tại

AHE , ta có

và

( ACC′ A′ )

bằng góc giữa hai đường thẳng

AE

·
là góc nhọn).
HEA

a
a 3
a 3
BH = , AH =
, IH = AH .cot α =
cot α
Ta có
.
2
2
2
Do tam giác

BHI

HI < BH ⇒

a 3
a
1
.cot α < ⇒ cot α <
⇒ 60° < α < 90°
.
2
2
3

vuông tại

I

nên

Vì

a BC HE HC
HE 3HI
BH = =
⇒
=
= 3 ⇒ HE = 3HI ⇒ cot β =
=
= 3cot α ( 60° < α < 90° )
2 4
HI HB
AH AH

.

Vậy

cot β = 3cot α ( 60° < α < 90° ) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X