Đề thi HSG Toán 12 của tp HCM năm 2008

KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TP HỒ CHÍ MINH
LỚP 12 THPT NĂM 2007-2008
THỜI GIAN: 180 PHÚT
Câu 1.(5 điểm) Cho hàm số:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
3) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến tại 1 điểm M bất kì của (C) cắt 2
đường tiệm cận tại P và Q. CMR: tam giác IPQ có diện tích không đổi.
Câu 2.(4 điểm)
1) Trong mp toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng:
a) Cmr và luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m. Tìm tọa độ giao điểm I của và .
b) Khi m thay đổi thì I di động trên 1 đường cố định nào?
2)Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:
Viết pt các tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.
Câu 3.(3 điểm)
Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau:
a)
b)
c)
Câu 4.(2 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa
CMR:
Câu 5.(4 điểm)
1) Giải phương trình :
[/tex].
2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thỏa S=(a+b+c)(c+b-a). CMR
Câu 6.(2 điểm)
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .