DS c1 luong giac 2

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Các hàm số lượng giác
1.Mối liên hệ giữa tập xác định với các hàm số
1.1.Hàm liên quan tới sin và cosin.
sin x  1
Câu 1: Tập xác định của hàm số y 
là:
cos x

�
�
A. D  �\ �  k , k ���.
�2

�
�
B. D  �\ �  k 2 , k �Z �.
�2

C. D  �\  k , k �� .

D. D  �.

2 cos x
là:
3  2sin x

Câu 2: Tập xác định của hàm số y 
A. D  �.

�

�
B. D  �\ �k , k ���.
�2

�3 �
C. D  �\ � �.
�2

�
�
�3 �
arcsin � � k , k ���.
D. D  �\ �
�2 �
�

Câu 3: Tìm tập xác định của hàm số y 

sin x  2
cosx  1

A. D  �\    k 2 , k �� .

B. D  �\    k , k �� .

C. D  �\  k , k �Z  .

D. D  �.

Câu 4: Tập xác định của hàm số y 

A. x �k .

1
là
sin x  cos x

B. x �k 2 .

Câu 5: Tập xác định của hàm số y 


C. x �  k .
2

1  sin x
là
cos x



B. x �  k .
C. x �  k 2 .
2
2
2sin x  1
Câu 6: Tập xác định của hàm số y 
là
1  cos x

A. x �k 2 .

B. x �  k 2 .
C. x �  k .
2
Câu 7: Tập giá trị của hàm số y  sin x  3 là:

A. x �  k 2 .
2

A.  4; 2 .

B.  3;1 .

Câu 8: Tập xác định của hàm số y 


A. x �  k 2 .
2

D. x �k .


D. x �  k 2 .
2

C.  2; 2 .

D.  4; 2 .

3
C. x �  k 2 .

2

D. x �  k 2 .

1  sin x
là
sin x  1

B. x �k 2 .

Câu 9: Tập xác định của hàm số y 


D. x �  k .
4

2
là:
s inx

A. D  �\  0 .

B. D  �\  k , k �� .

C. D  �.

�
�
D. D  �\ �  k , k ���.
�2

Trang
1/16


Câu 10:

Tập xác định của hàm số y 

k
A. x � .
2

Câu 11:


B. x �  k .
2

Điều kiện xác định của hàm số y 

A. x �k .
Câu 12:

1  3cos x
là
sin x


B. x �  k .

4

Tập xác định của hàm số y 

C. x �k .
1
là
sin x  cos x

C. x �  k .
2

D. x �k 2 .

D. x �k 2 .

1
là:
2sin x  3

2
�
�
 k 2 , (k ��) �.
A. D  �\ �  k 2 ;
3
�3

�
�

B. D  �\ �  k 2 , (k ��) �.
�6

5
�
�
 k 2 , (k ��) �.
C. D  �\ �  k 2 ;
6
�6

�
�
D. D  �\ �  k 2 , (k ��) �.
�3

Câu 13:

Tập xác định của hàm số y 

sin x  1
là
cos x

�
�
B. �\ �  k 2 , k ���.
�2
�
�

  k 2 , k ���.
C. �\  k , k �� .
D. �\ �
�2
1.2.Hàm liên quan tới tan và cotan.
Câu 14:
Tập xác định của hàm số y  1  tan 2 x là:
�
�
A. �\ �  k , k ���.
�2

�
�
A. D  �\ �  k , k ���.
�2


�
�
B. D  �\ �  k , k ���.
2
�4

C. D  �\    k , k �� .

�
�
D. D  �\ �  k 2 , k ���.
�2

Câu 15:

Tập xác định của hàm số y 


�
�
A. D  �\ �  k 2 ,  k 2 , k ���.
4
�2

tan x
là:
1  tan x


�
�
  k 2 ,   k 2 , k ���.
B. D  �\ �
4
�2


�
�
D. D  �\ �  k ,  k 2 , k ���.
4
�2

Câu 16:
Tìm tập xác định của hàm số y  tan x .

�
�
�
�
A. D  �\ �  k , k ���.
B. D  �\ �  k , k �Z�.
2
�2
�2

�
�
C. D  �\ �  k ,  k , k ���.
4
�2


�
C. D  �\ �
�  k , k �Z�.
�4


�
D. D  �\ �
�  k 2 , k �Z�
�2

.

� �
2x  �là
Tập xác định của hàm số y  tan �
3�
�
 k
5

A. x � 
.
B. x �  k .
C. x �  k .
6 2
12
2
Câu 18:
Tập xác định của hàm số y  tan 2 x là:
Câu 17:

5

D. x �  k .
12
2

Trang
2/16


�
�
A. �\ �  k ; k ���.
2
�4
�
�
k ; k ���.
C. �\ �
�2
Câu 19:

B. �.
�
�
D. �\ �  k ; k ���.
�4

�
�xác định khi:
6�
2



B. x �  k .
C. x �  k .
9

3
9
3

�
�

3x 
Hàm số y  tan �



k .
18
3

A. x �


9

D. x �  k

2
.
3

� �
2 x  �là
Tập xác định của hàm số y  tan �

3�
�
5
5


 k
A. x �  k .
B. x �  k .
C. x �  k .
D. x � 
12
12
2
2
6 2
y

tan
x
Câu 21:
Tìm TXĐ của hàm số
�
�
�
�
A. R \ �  k 2 , k �Z �.
B. R \ �  k , k �Z �.
�2
�2

Câu 20:

D. R \  k , k �Z

C. R \    k 2 , k �Z  .
Câu 22:

Tập xác định của hàm số y  cot 2 x là (với k ��):

� �
k �.
B. D  �\ �
�4
Tập giá trị của hàm số y  cot x là:

A. D  �\  k 2  .
Câu 23:

.

A. T   2; 2 .

B. T  �.

C. D  �\  k  .

� �
k �.
D. D  �\ �
�2

C. T  �.

D. T  �\  k , k ��

.
1.3.Hàm hỗn hợp và dùng kĩ thuật đánh giá hoặc sử dụng các công
thức biến đổi.
2sin x  1
Câu 24:
Tập xác định của hàm số y 
là:
tan x

�
�
k , k ���.
B. �\ �
�2
�
�
D. �\ �  k , k ���.
�2

A. �\  k 2 , k �� .
C. �\  k , k �� .

Tập xác định của hàm số y  tan 2 x là
 k


 k

A. x � 
.
B. x �  k .
C. x � 
.
D. x �  k .
4 2
4
4
2
2
2.Mối liên hệ giữa các hàm số và bảng biến thiến của chúng (3 câu)
Nhận dạng từ đồ thị.
Câu 26:
Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
Câu 25:

A. y  sin 2 x .

B. y  cot 2 x .

C. y  tan 2 x .

D. y  cos 2 x .

Từ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu.
3.Mối quan hệ giữa các hàm số và tính chẵn lẻ.
Câu 27:

Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn
Trang
3/16


A. y  sin 5 x cos 2 x .
Câu 28:
A.
Câu 29:
A.

B. y  cos 3x tan 2 x . C. y  x cos 3 x .

Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
y  cos x  cos 3 x . B. y  cos x.cos 3x . C. y  sin x.sin 3 x .
Trong các hàm số sau hàn số nào là hàm số chẵn?
y  sin 2 x .
B. y  cos 3 x .
C. y  cot 4 x .

D. y  cot x.cos 2 x .
D. y  sin x  sin 3x .
D. y  tan 5x .

Câu 30:
Hàm số y  sin x cos x là
A. Hàm số chẵn.
B. Hàm số lẻ.
C. Hàm số không chẵn.
D. Hàm số không

lẻ.
Câu 31:
Hàm số nào là hàm số chẵn?
� �
� x�
A. y  sin �x  �.
B. y  cos �x  �. C. y  sin 2 x .
D. y  tan x  sin 2 x .
� 2�
� 2�
Câu 32:
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ:
sin x  1
A. y  cot 3x .
B. y | tan x | .
C. y 
.
D. y  sin x  cos x
cos x
Câu 33:
Tìm hàm số chẵn
A. y  sin x .
B. y  cot x .
C. y  cos x .
D. y  tan x .
Câu 34:
Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ:
sin x  1
A. y  sin x  cos x .
B. y  cot 3x .

C. y 
.
D. y | tan x | .
cos x
4. Mối quan hệ giữa các hàm số và tính tuần hoàn, chu kì.
Câu 35:
Hàm số y  tan x tuần hoàn với chu kỳ


A. T  .
B. T   .
C. T  2 .
D. T   .
2
2
5. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
5.1. Hàm số đánh giá dựa vào đk hoặc tập giá trị.
Câu 36:
Giá trị nhỏ nhất và giái trị lớn nhất của hàm số y  2sin x  1 lần lượt là:
A. 1 và 1 .
B. 1 và 3 .
C. 3 và 1 .
D. 3 và 1 .
3

Câu 37:

Giá trị nhỏ nhất và giái trị lớn nhất của hàm số y  1  3  cos x lần lượt là:

A.

B. 1  2 và 3 .
C. 2 và 3 .
D. 1 và 1  2 .
2 và 3 .
Câu 38:
Giá trị nhỏ nhất và giái trị lớn nhất của hàm số y  2  3sin 2 x lần lượt là:
A. 1 và 5 .
B. -1 và 5 .
C. 1 và 4 .
D. 1 và 4 .
Câu 39:

Giá trị nhỏ nhất và giái trị lớn nhất của hàm số y  3cos 2 x  1 lần lượt là:

A. 1 và 4 .
B. 1 và 4 .
C. 0 và 3 .
Câu 40:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T  sin 4 x  cos 4 x .
A. 0 .
Câu 41:

B. 1.

C. 2 .

D. 0 và 4 .
D.

Tập giá trị của hàm số y  2sin 2 x  3 là

A.  0;1 .

B.  2;3 .

C.  2;3 .

D.  1;5 .

�  �
Khi x thay đổi trong nửa khoảng � ; � thì y  cos x
�3 3 �
thuộc
1 �
�
�1 1 �
�1 1 �
A. � ;1�.
B. � ; �
.
C. � ; �.
D.
2 �
�
�2 2 �
�2 2 �

Câu 42:

1
.
2

lấy mọi giá trị

� 1�
1; .
�
� 2�
�
Trang
4/16


� �
Hàm số y  2cos �x  � 5 đạt giá trị lớn nhất tại:
� 3�
5
 k ; k ��.
A. x 
B.
6
k ��.
4
 k 2 ; k ��.
C. Không tồn tại x .
D. x 
3

Câu 43:

x

4
 k 2 ;
3

��
0;
Cho hàm số y   x  cos x , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên �
là:
� 2�
�



A.  .
B.  .
C. 0 .
D. .
2
4
2

Câu 44:

Câu 45:

Giá trị lớn nhất của hàm số y  1  cos 2 x là:

A. 1.
B. 2 .
C. .
D. 3 .
Câu 46:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2 x  2 lần lượt là:
A. 3 và  2 .
B. 3 và  1 .
C. 2 và  2 .
D. 3 và  1 .
�x  �
Câu 47:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2sin �  � 3 lần lượt
�2 7 �
là
A. 2 và  3 .
B. 1 và  5 .
C. 0 và  3 .
D. 2 và 0 .
�
2�
Câu 48:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  1  3 sin �x  �là :
� 3�
B. 1  3 .
C. 1  3 .
Tìm GTLN của hàm số y  2 cos x  1

A. 1.

Câu 49:

D.

3.

A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 1.
5.2. Đặt ẩn phụ đưa về hàm số bậc 2.
7.Câu hỏi khác.
Phần 2: Phương trình lượng giác cơ bản
1.Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình sinx = m.
Câu 50:

Các giá trị của x � 0; 3  để sin x  1 là:


5
3
5
và
và
.
C.
.
2
2
2

2
�  �
 ;3
Câu 51:
Các giá trị của x ��
để sin x  0 là:
� 2 2�
�



3
và  .
và
A.
B. 0 và
.
C.
.
2
2
2
2
A.


3
và
.
2

2

B.

Phương trình sin x  m  1 có nghiệm khi:
A. m � 1;1 .
B. m � 2;0  .
C. m � 2; 2 .

Câu 52:

D.


7
và
.
2
2

D. 0 và  .

D. m � 0; 2 .

2.Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình cosx = m.
Câu 53:

Các giá trị của x � 0; 3  để cos x  1 là:

A. 0 và 2 .

Câu 54:

B. 0,  và 2 .

C. 0 và  .

D. 0, 2 và 3 .

Các giá trị của x �  ; 2  để cos x  0 là:

Trang
5/16


 
3

3
,
và
. C. 0,  và
.
2 2
2
2
2
Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos x  0,5 .

A. 0,
Câu 55:


3
và
.
2
2

B. 

D. 0,  và

3
.
2


6

2
 k 2 , k ��.
3

C. x   k , k ��.
3

B. x  �  k 2 , k ��.

A. x 

D.


x  �  k 2 , k ��.
3
Phương trình: cos x  m  0 vô nghiệm khi m là:
m  1
�
A. �
.
B. m  1 .
C. 1 �m �1 .
D. m  1 .
m 1
�
�x
�3
Câu 57:
Với giá trị nào của m thì phương trình cos �  2 �  m vô nghiệm?
�3
�2
Câu 56:

5� � 1
� 1 � �5
�
�
�
�; ��� ; ��.
A. m ��

B. m ���;  ��� ; ��.
2� � 2
� 2 � �2
�
�
�
5
1
C. m  .
D. m   .
2
2
3. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại
giữa sin và cosin.
Câu 58:
Phương trình sin 2 x  5sin x cos x  4 cos 2 x  2 tương đương với phương trình
nào sau đây?
A. tan 2 x  5 tan x  6  0 .
B. tan 2 x  5 tan x  6  0 .
C. tan 2 x  5 tan x  6  0 .
D. tan 2 x  5 tan x  6  0 .
Câu 59:

Số nghiệm của phương trình sin x  cos x  1 trên khoảng  0;   là

A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
4. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình tanx = m.

Câu 60:
Các giá trị của x � 0; 2  để tan x  1 là:

3
5

5

3
và
và
và
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4
4
4
5. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình cotx =m.
Câu 61:
Các giá trị của x �  ;   để cot x  1 là:
A.




và  .
4
4

3


3
và .
và
D.
.
4
4
4
4
6. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại
giữa tan và cot.
7.Mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình lượng giác thuộc
khoảng đoạn cho trước và phương trình.
Câu 62:
Nghiệm của phương trình 2sin x  1  0 là:




A. x    k và x   k , k ��.
B. x    k 2 và x   k 2 , k ��.
6
6

6
6

7

5
 k 2 , k ��.
 k 2 , k ��.
C. x    k 2 và x 
D. x   k 2 và x 
6
6
6
6
A. 


3
và
.
4
4

B.

B. 


3
và  .

4
4

C. 

Trang
6/16


8.Phương trình đưa về dạng tích cơ bản bằng cách sử dụng công
thức nhân đôi, cung hơn kém…
Câu 63:
Phương trình sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  sin 8 x  0 tương đương với phương trình:
A. cos x.cos 2 x.sin 5 x  0 .
B. cos x.sin 2 x.cos 5 x  0 .
C. sin x.cos 2 x.sin 5 x  0 .
D.
sin x.cos 2 x.cos 5 x  0 .
Câu 64:
Phương trình cos 2 x  cos 3 x  cos 7 x  0 có tập nghiệm là:
� k 2 k 2
�
;

, k ���.
A. S  � 
15
5
�4 2

� k 2 k 2 2 k 2
�
;

;

, k ���.
B. S  � 
5
15
5
�4 2 15
� k 2 k 2
�
;

, k ���.
C. S  � 
5
�4 2 15
� k
�
, k ���.
D. S  � 
�4 2
9.Tìm tập xác định hàm số chứa phương trình lượng giác cơ bản.
Câu 65:

Tập xác định của hàm số y  1  cot 2 2 x là:

o
A. D  �\  k180 , k �� .

�
�
k , k ���.
B. D  �\ �
�2

�
�
C. D  �\ �  k , k ���.
�2

D. D  �.

Câu 66:

Tìm tập xác định D của hàm số y 

A. D  �\  k , k �� .

1
sin x
B.

�
�
D  �\ �  k , k ���.
�2

C. D  �.

D. D  �\  2k , k �� .

10.Câu hỏi khác.
Câu 67:

Phương trình 2sin 2 x  3  0 có tập nghiệm trong  0; 2  là:

� 4 5 �
A. T  � ; ; �.
�3 3 3
�  7 4 �
C. T  � ; ; ; �.
�6 3 6 3

�  2 5 �
B. T  � ; ; ; �.
�6 3 3 6
� 5 7 �
D. T  � ; ; �.
�6 6 6

Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất là:

5
2

A. .
B.

.
C.
.
D. .
3
6
3
6
Câu 69:
Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. sin x  3  0 .
B. 2 cos 2 x  cos x  1  0 .
C. tan x  3  0 .
D. 3sin x – 2  0 .
Câu 68:

Câu 70:

Trên đường tròn lượng giác, hai cung có cùng điểm ngọn là:

3
3
3

3
A.  và
.
B.  và  .
C.
và 

.
D.
và
.
4
4
4
4
2
2
Trang
7/16


Phần 3: Một số dạng phương trình lượng giác cơ bản
1.Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất với 1 hàm số
lượng giác
Hàm sin.
Câu 71:
Phương trình cos 2 x  3sin x  3  0 tương đương với phương trình nào sau
đây:
A. sin 2 x  3sin x  4  0 .
B.
sin 2 x  3sin x  4  0 .
C. sin x  1  0 .
D. cos x  0 .
Câu 72:
Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai

A. sin x  1 � x    k 2 .

B. sin x  0 � x  k .
2
C. sin x  0 � x  k 2 .
D.
sin x  1 � x 


 k 2
2
.

1
có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn: 0  x  
2
A.1.
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
1


�x � là:
Câu 74:
Phương trình: sin x  có nghiệm thỏa mãn
2
2
2
5




 k 2 .
A. x 
B. x  .
C. x   k 2 .
D. x  .
6
6
3
3
�2 x
o�
Câu 75:
Phương trình: sin �  60 � 0 có nhghiệm là:
�3
�

Câu 73:

Phương trình: sin 2 x 

5 k 3

A. x  � 
.
B. x  k .
C. x   k .
2
2
3

Câu 76:
Phương trình 2sin x  3  0 có tập nghiệm là

2
�
�
 k 2 ; k ���.
A. S  �  k 2 ;
3
�3

C. x 
Câu 78:


 k 2 , k �Z .
2


 k 2 , k �Z .
2

 k 3

.
2
2

�
�

B. S  ��  k 2 ; k ���.
�3
�
�
�  k 2 ; k ���.
D. S  �
�6

5
�
�
 k 2 ; k ���.
C. S  �  k 2 ;
6
�6
Câu 77:
Giải phương trình sin  x  2   1
A. x  2 

D. x 

B. x  2 
D. x 




 k , k �Z .
2


 k 2 , k �Z .
2



Nghiệm của phương trình: sin x. 2 cos x  3  0 là:


A. x  �  k 2 .
6

x  k
�
�
B.
.

�
x  �  k 2
6
�

x  k 2
�
�
C.
.

�

x  �  k 2
3
�

x  k
�
�
D.
.

�
x  �  k
6
�

��
0;
Phương trình sin 4 x  cos x  0 có bao nhiêu nghiệm trên �
.
� 2�
�
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1.

Câu 79:

Trang
8/16

� �
Số nghiệm của phương trình: sin �x  � 1 với  �x �5 là:
� 4�
A. 1.
B. 2 .
C. 0 .
D. 3 .

Câu 80:

Hàm cosin.
Câu 81:
Phương trình 2 cos x  1  0 có nghiệm là:


A. x  �  k , k ��.
B. x  �  k 2 , k ��.
3
6
2
4
C. x  �  k 2 , k ��.
D. x  �  k , k ��.
3
3
Câu 82:
Nghiệm của phương trình 2 cos 2 x  1  0 là:





 k và x   k , k ��.
B. x    k 2 và x   k 2 , k ��.
6
6
6
6




C. x    k và x   k , k ��.
D. x    k 2 và x   k 2 , k ��.
3
3
3
3
Câu 83:
Phương trình: cos 2 x  1 có nghiệm là:


A. x   k 2 .
B. x  k .
C. x  k 2 .
D. x   k .
A. x  

Câu 84:

2
Nghiệm của phương trình cos x  0 là:

B. x  k .

A. x  k 2 .
Câu 85:

C. x 

2


 k .
2

D. x 


 k 2 .
2

Giải phương trình sin( x  2)  1, 01  0 . Kết luận đúng về các nghiệm của

phương trình là:
�
x  arcsin  1, 01  2  k 2
A. �

�
x    arcsin  1, 01  2  k 2 .
�

�
x  1, 01  2  k 2
B. �
.
x    1, 01  2  k 2
�

C. x  �arcsin  1, 01  2  k 2 .

D. Phương trình vô nghiệm.

Câu 86:

.

3
 0 có nghiệm là:
4



B. x  �  k .
C. x  �  k .
D. x  �  k 2 .
3
6

6
o
lượng giác: cos 3x  cos12 có nghiệm là:
 k 2
 k 2
 k 2


B. x  � 
. C. x 
.
D. x 
.
45
3
45
3
45
3
2cos x  1  0 có nghiệm là:

Phương trình: cos 2 2 x  cos 2 x 

2
A. x  �  k .
3
Câu 87:
Phương trình

A. x  �  k 2 .

15
Câu 88:
Phương trình
4
A. x  �  k , k ��.
3
.

C. x  �  k 2 , k ��.
6


B. x  �  k , k ��
3
D.

2
x  �  k 2 , k ��.
3
Câu 89:

x
Giải phương trình lượng giác: 2 cos  3  0 có nghiệm là:
2
Trang
9/16


5
A. x  �  k 2 .

6
Câu 90:

5
B. x  �  k 4 .
6
Giải phương trình cos(2 x  30o )  1
2

5
C. x  �  k 4 .
3

5
D. x  �  k 2 .
3

A. x  45o  k180o , x  15o  k180o , k ��.


B. x  �  15o  k180o , k ��.
6


C. x  �  30o  k180o , k ��.
3

D. x  45o  k 360o , x  15o  k 360o , k ��.

Câu 91:

Phương trình 1  2 cos 2 x  0 có nghiệm  k �Z 


 k .
3
Hàm tan.
A. x 

Câu 92:

B. x 


�k .
3


D. x  �  k 2
3

x
Phương trình 3 tan  3  0 có nghiệm là:
2


 k , k ��.
3

C. x    k , k ��.

6
A. x 

Câu 93:


C. x  �  k .
3


 k 2 , k ��.
3

D. x   k , k ��.
6
B. x 

Giải phương trình tan(2 x  45o )  1  0 .

A. x  45o  k 90o , k ��.

B. x  k 90o , k �Z .

C. x  45o  k , k ��.
x

D.


 k 90o , k ��.

4

3
�
�
trên khoảng � ; 2 �
11
�4
�
A. 1.
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
� 3 �
0; �.
Câu 95:
Phương trình tan x  1 có bao nhiêu nghiệm trên �
� 2 �
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 1.

Câu 94:

Số nghiệm của phương trình tan x  tan

Hàm cot.

� �

3 cot �x  � 1 có nghiệm là:
� 3�
2
2
 k , k ��.
 k 2 , k ��.
A. x 
B. x 
3
3


C. x   k , k ��.
D. x   k 2 , k ��.
6
6
2. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc hai với 1 hàm số
lượng giác
Hàm sin:Dùng thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức lượng
giác.
Câu 97:
Giải phương trình 4sin 2 x  3




A. x   k 2 , x    k 2 , k ��.
B. x   k , x    k , k ��.
3
3

3
3
Câu 96:

Phương trình

Trang
10/16

.






 k , x    k , k ��.
D. x   k 2 , x    k 2 , k ��.
6
6
6
6
1  cos x
sin 2 x

Câu 98:
Giải phương trình
.
sin x
1  cos x

x  k
�

�
, k ��.
A.
B. x  �  k 2 , k ��.

�
x   k 2
6
� 3
C. x 

x  k
�
�
, k ��.
C.

�
x  �  k 2
3
�
Câu 99:
A.
C.
Câu 100:
A.



D. x  �  k 2 , k ��.
3

Nghiệm của phương trình 1  5sin x  2 cos 2 x  0 là:


2
x  �  k 2 ; k ��.
 k 2 ; k ��.
B. x   k 2 ; x 
6
3
3

5

x   k 2 ; x 
 k 2 ; k ��.
D. x  �  k 2 ; k ��.
6
6
3
Phương trình 2 sin x  1  0 có tập nghiệm là:
7
�
�
�
�

S  �  k , k ���.
  k 2 ;
 k 2 , k ���.
B. S  �
6
�6
�6

5
�
�
  k 2 ;
 k 2 , k ���
D. S  �
6
�6
Câu 101: Nghiệm của phương trình lượng giác: sin 2 x  2sin x  0 có nghiệm là:


A. x  k 2 .
B. x  k .
C. x   k .
D. x   k 2 .
2
2
2
Câu 102: Phương trình 2 cos x  3sin x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất bằng:
�
�
�  k 2 , k ���.

C. S  �
�6

A.
Câu 103:

5
.
6

B.


.
6

C.

7
.
6

D.


.
3

Giải phương trình cos 2 x  5sin x  3  0 ta được nghiệm là:


�
� 
� 
x    k 2
x   k 2
x   k 2
�
�
�
6
6
3
A. �
.
B. �
. C. �
.
D.
7
5
2
�
�
�
x
 k 2
x
 k 2
x

 k 2
�
�
�
� 6
� 6
� 3
Câu 104: Tìm m để phương trình cos 2 x  sin x  m  0 có nghiệm
5
5
5
A. m � .
B.  �m �1 .
C.  �m �1 .
D.
4
4
4
Câu 105: Giải phương trình 1  5sin x  2cos 2 x  0

5

 k 2 , k ��.
A. x   k 2 , x 
B. x  �  k 2 , k ��.
6
6
3

2


 k 2 , k ��.
C. x   k 2 , x 
D. x  �  k 2 , k ��.
3
3
6
Câu 106: Giải phương trình sin 2 x  sin 2 3 x  cos 2 x  cos 2 3 x
A. x 


4

C. x  



4

k
2



,x 

k
2

,x


8





4

k
4



, k ��.

k
2

, k ��.

� 
x   k 2
�
6
�
.

�

x    k 2
�
6
�


1
�m �1 .
4



B. x  �  k 2 , k ��.
4

D. x  


4



k
2

,x


8



k
4

, k ��.

Trang
11/16


Câu 107:

Phương trình 2sin 2 x  sin x  3  0 có tập nghiệm là.
�
�
A. S  �  k ; k ���.
�4

B.

�
�
S  �  k 2 ; k ���.
�6
�
�
�
�
  k ; k ���.

C. S  �
D. S  �  k 2 ; k ���.
�3
�2
Hàm cosin : Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
Câu 108: Giải phương trình cos 2 x  2 cos x  3  0 ta có nghiệm là:
A. x    k 2 , k ��.
C. x  k , k ��.
Câu 109:
A.
C.
Câu 110:
A.
Câu 111:

Giải phương trình cos 2 x  3sin x  2  0 ta có nghiệm là:


5


5
x   k 2 , x   k 2 , x 
 k 2 . B. x   k , x   k , x 
 k .
2
6
6
2

6
6


5


2
x   k 2 , x   k , x 
 k .
 k 2 .
D. x   k 2 , x   k 2 , x 
2
6
6
2
3
3
Phương trình 3  4 cos 2 x  0 tương đương với phương trình nào sau đây?
1
1
1
1
sin 2 x  .
B. cos 2 x  .
C. cos 2 x   .
D. sin 2 x   .
2
2
2

2
Phương trình lượng giác: cos 2 x  2 cos x  3  0 có nghiệm là  k �Z  :


 k 2 .
2
Tìm m để phương trình cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0 có đúng 2 nghiệm

A. x  k .
Câu 112:

B. x    k , k ��.
D. x  k 2 , k ��.

�  �
x ��
 ;
.
�2 2�
�
A. 0  m �1 .

B. x  k 2 .

C. Vô nghiệm.

D. x 

B. 1 �m �1 .

C. 0 �m  1 .

D. 1  m �0 .

Hàm tan: Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
Hàm cot: Dùng công thức nhân đôi, hạ bậc, các hằng đẳng thức
lượng giác.
 Hàm mở rộng hỗn hợp giữa các hàm (1 câu).
3. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc bậc 3 với 1 hàm
số lượng giác
Hàm sin Dùng công thức nhân đôi, nhân 3, các hằng đẳng thức
lượng giác.
Câu 113: Phương trình sin 2 x  2sin x  4 cos x  sin 2 x tương đương với phương trình:
A. sin x  2 cos x  0 .
B. tan x  2 .
1
C. sin x  .
D.  2sin x  1  sin x  cos x   0 .
2
Hàm cosin Dùng công thức nhân đôi, nhân 3; các hằng đẳng thức
lượng giác.

Trang
12/16


Hàm tan: Dùng công thức nhân đôi, nhân 3 các hằng đẳng thức
lượng giác.
Câu 114: Giải phương trình: tan 2 x  3 có nghiệm là:




A. vô nghiệm.
B. x  �  k .
C. x   k .
D. x    k .
3
3
3
Hàm cot: Dùng công thức nhân đôi, các hằng đẳng thức lượng giác.
4.Ứng dụng hàm số bậc hai vào tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số.
Câu 115:

Cho hàm số y  5sin 2 x  1  5cos 2 x  1 . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

của hàm số lần lượt là:
A. 2 và 2 6 .
B. 1  6 và 2 6 . C. 1  6 và 14 . D. 0 và 2 6 .
5. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất đối với sinx
và cosx và ứng dụng
5.1. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Câu 116: Giải phương trình sin 2 x  3 cos 2 x  1 ta có nghiệm là:


7
 k và x 
 k , k ��.

4
12
7

 k và x   k , k ��.
C. x 
4
12
A. x 



 k và x   k , k ��.
4
12
7
7
 k và x 
 k , k ��.
D. x 
4
12
B. x 

Tất cả các nghiệm của phương trình sin x  3 cos x  1 là

7

7
 k 2 , k ��.

 k 2 , k ��.
A. x   k 2 , x 
B. x    k 2 , x  
2
6
2
6

7

7
 k 2 , k ��.
 k 2 , k ��.
C. x    k 2 , x 
D. x   k 2 , x  
2
6
2
6
Câu 118: Số nghiệm của phương trình sin x  cos x trên đoạn   ;   là:
Câu 117:

A. 2 .
B. 4 .
C. 5 .
Câu 119: Phương trình: cos x  3 sin x  3 có nghiệm là:

D. 6 .

�

x  30o  k180o
, k ��.
B. �
x  90o  k180o
�


A. x   k , k ��.
3

2
�
� 
x
 k 2
x   k 2
�
�
3
2
, k ��.
, k ��.
C. �
D. �

4
�
�
x   k 2
x

 k 2
�
� 6
� 3
Câu 120: Nghiệm của phương trình: sin x  cos x  1 là:
A.
Câu 121:
A.
C.
Câu 122:

� 
x   k 2
�

4
x  k 2 .
C. x   k 2 .
D. �
.

4
�
x    k 2
�
4
Phương trình nào sau đây có nghiệm trên tập số thực?
sin x  cos x  1 .
B. sin 2 x  cos 2 x  3 .
cos x  sin x  5 .

D. sin 3x  3 cos 3x  4 .
x  k 2
�
�
B.
.

�
x   k 2
� 2

Phương trình sin x  3 cos x  2 có tập nghiệm là.

Trang
13/16


�
�
A. S  �  k 2 ; k ���.
�6
�5
�
C. S  �  k 2 ; k ���.
�6
Câu 123:

Phương trình:

�

�
  k ; k ���.
B. S  �
�6
�5
�
D. S  �  k ; k ���.
�6

3.sin 3x  cos 3x  1 tương đương với phương trình nào sau

đây:

� � 1
3 x  �  .
A. sin �
� 6� 2
� � 
3 x  �  .
C. sin �
� 6� 6

� � 1
3 x  �  .
B. sin �
� 6� 2
� � 1
3 x  � .
D. sin �
� 6� 2

Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất là:

2

5
A. .
B.
.
C. .
D.
.
3
3
6
6
5.2.Tìm đk của tham số để phương trình có nghiệm.
Câu 125: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m sin x  (m  1) cos x  m  1  0
có nghiệm?
m �4
m0
�
�
A. 0 �m �4 .
B. �
.
C. �
.
D. 0  m  4 .
m �0

m4
�
�
Câu 126: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  5 có nghiệm là:
m �4
�
A. 4 �m �4 .
B. m �4 .
C. m � 34 .
D. �
.
m �4
�
cos x  m
 0 có nghiệm?
Câu 127: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
sin x
A. m �R .
B. m � 1;1 .
C. m � 1;1 .
D. m ��1 .
Câu 124:

Câu 128: Với giá trị nào của m thì phương trình 3sin 2 x  2 cos 2 x  m  2 có nghiệm?
A. m  0 .
B. m  0 .
C. 0 �m �1 .
D. 1 �m �0 .

Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm là

m �4
�
A. �
.
B. m  4 .
C. m  4 .
D. 4  m  4 .
m �4
�
Câu 130: Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là:
m �4
�
A. m �4 .
B. m � 34 .
C. �
.
D. 4 �m �4 .
m �4
�
Câu 131: Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  5 vô nghiệm là
m �4
�
A. m  4 .
B. 4  m  4 .
C. m  4 .
D. �
.
m �4
�
Câu 129:

Điều kiện để phương trình m.sin x  3cos x  5 có nghiệm là:
m �4
�
A. 4 �m �4 .
B. m �4 .
C. �
.
D. m � 34 .
m �4
�
Câu 133: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm
3
3
3
3
A. m � .
B. m � .
C. m � .
D. m � .
2
2
2
2
Câu 132:

Trang
14/16

5.3.Ứng dụng điều kiện có nghiệm của pt vào tìm GTNN, GTLN.
6. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đẳng cấp bậc hai
6.1. Dạng phương trình asin 2 x + bsinx.cosx + ccos2 x = 0 .
Câu 134: Các nghiệm của phương trình sin 2 x  sin 2 x  3cos 2 x  0 là:
A. x  
C. x 


 k và x  k .
4


 k và x  k .
4


 k 2 và x  arctan 3  k .
4

D. x    k và x  arctan 3  k .
4
B. x  

7. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đẳng cấp bậc ba.
8. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình đối xứng.
9. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình bán đối xứng.
10.Phương trình tích cơ bản
10.1.Chứa nhân tử là sinx hoặc bội của x.
Câu 135: Một nghiệm của phương trình sin 7 x – sin 3 x  cos 5 x là




A.
.
B. 0 .
C.
.
D.
.
10
21
15
Câu 136: Phương trình sin 2 x.cos 2 x.cos 4 x  0 có nghiệm là:



A. k ; k ��.
B. k ; k ��.
C. k ; k ��.
D. k ; k ��.
4
2
8
1
Câu 137: Họ nghiệm của phương trình sin x.cos 5 x   sin 6 x  cos 4 x  là:
2
A. x  31  k 
16
8.

B. x  3  k 
16
2.

C. x   5  k .
16

D. x     k  .
16
4

10.2.Chứa nhân tử là cosx hoặc bội của x.
10.3.Chứa nhân tử là 1 �cosx .
10.4.Chứa nhân tử là 1 �sinx .
10.5. Chứa nhân tử chung chẳng hạn như là: sinx �cosx; 1 �tanx ,
� π�
sinα �cosα = 2sin �
α � �.
� 4�

Các nghiệm của phương trình sin x  sin 4 x  sin 5 x  0 là:



2



2
A. x   k , x  k 2 và x   k

.
B. x   k , x  k và x   k
.
4
2
5
5
4
2
5
5





2
C. x   k , x  k 2 và x   k .
D. x   k 2 , x  k và x   k
.
4
5
5
4
5
5
10.6. Chứa nhân tử nhờ mối liên hệ giữa các hệ số, nhẩm nghiệm đặc biệt.
11. Phương trình tích nâng cao: Sử dụng hỗn hợp nhiều công thức.
tan x  sin x
1


Câu 139: Phương trình
có nghiệm là:
3
sin x
cos x

k
A. x   k ; k ��. B. x  k 2 ; k ��. C. Vô nghiệm.
D. x 
; k ��.
2
2
Câu 140: Phương trình sin 3 x  cos 2 x  1  2sin x.cos 2 x tương đương với phương trình
sin x  0
�
sin x  0
�
A. �
.
B. �
.
1
�
sin x  1
sin x 
�
�
2
Câu 138:

Trang
15/16


sin x  0
�
�
D.
1.
�
sin x  
�
2
12. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác đối xứng
với tan và cot.
13. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác có dạng
sin2n và cos2n.
14. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
công thức hạ bậc.
15. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
cung hơn kém.
16. Mối quan hệ giữa nghiệm và phương trình lượng giác sử dụng
phương pháp đặt ẩn phụ ).
17. Mối quan hệ giữa nghiệm và một số phương trình lượng giác
qua các kì thi ĐH.
18.Câu hỏi khác.
Câu 141: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung
A. y  cot x .
B. y  sin x .

C. y  tan x .
D. y  cos x .
sin x  0
�
C. �
.
sin x  1
�

Câu 142:


�
�x  y 
3
Giải hệ phương trình �
�
sin x  sin y  1
�


� 
� 
�
x   k 2
x   k 2
x    k 2
�
�
�

� 6
� 3
�
6
.
C. �
. D. �
.
�
�y    k 2
�y     m2
�y    k 2
� 6
�
� 3
6
sau, mệnh đề nào là đúng?
A. sin 4 x  2sin x.cos x.cos 2 x .
B. cos  a  b   sin a.sin b  cos a.cos b .

� 
x   k 2
�
� 6
A. �
.
B.
�y    k 2
� 6
Câu 143: Trong các mệnh đề

C. cos 2 x   sin x  cos x   sin x  cos x  .
Câu 144:

Giá trị x 

2
là nghiệm phương trình nào sau đây?
3

A. 2sin x  1  0 .
Câu 145:

1
D. sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x .
2

B. tan x  3  0 .

C. 2 cos x  1  0 .

D. cot x  

3
.
3

Tìm m để phương trình cos 2 x  2  m  1 sin x  2m  1  0 có đúng 3 nghiệm

x � 0;  

A. 1  m  1 .
B. 0 �m  1 .
C. 0  m �1 .
D. 0  m  1 .
Câu 146: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
A. 2sin x  3cos x  1 .
B. 3 sin x  2 .
C. cot 2 x  cot x  5  0 .
Câu 147:

D.

3
3
5
5
Giải phương trình sin x  cos x  2  sin x  cos x  .


 k , k ��.
4

C. x   k 2 , k ��.
4
A. x 

1
1
cos 4 x  .
4

2


 k 2 , k ��.
4
 k
D. x   , k ��.
4 2
B. x 

Trang
16/16


Câu 148:

Giải phương trình sin 2 x  sin 2 x.tan 2 x  3 .




A. x  �  k 2 , k ��.

B. x  �  k , k ��

3

6

.





C. x  �  k 2 , k ��.

D. x  �  k , k ��.

tan x  0 với mọi x thuộc khoảng:
� �
A.  0;   .
B. � ; 0 �.
�2 �

��
0; �.
C. �
� 2�

6

3

Câu 149:

Câu 150:

6
6
4

4
2
Giải phương trình 4  sin x  cos x   2  sin x  cos x   8  4cos 2 x



k

3

2



k

6

2

A. x  � 
C. x  � 
Câu 151:

� �
D. � ;  �
.
�2 �



k

12

2



k

24

2

, k �Z .

B. x  � 

, k �Z .

D. x  � 

, k �Z .
, k �Z .

Tìm m để phương trình cos 2 x  2  m  1 sin x  2m  1  0 có đúng 3 nghiệm

x � 0;  
A. 0  m �1 .

B. 1  m  1 .
C. 0  m  1 .
3
3
Câu 152: Giải phương trình cos x  sin x  cos 2 x
A. x  k 2 , x 
C. x  k 2 , x 
Câu 153:


2


2

 k , x 


4

 k 2 , x 

Phương trình

 k , k ��.


4

 k , k ��.

D. 0 �m  1 .

B. x  k 2 , x 
D. x  k , x 




2

2

 k 2 , x 

 k , x 


4


4

 k 2 , k ��.

 k , k ��.

sin x  cos x
 3 tương đương với phương trình
sin x - cos x



A. cot( x  )  3, k �Z .
4



C. tan( x  )  3, k �Z .
4



B. tan( x  )   3, k �Z .
4



D. cot( x  )   3, k �Z .
4

2
Cho biết x   k 2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?
3
A. 2 cos x  1 0 .
B. 2 cos x  1 0 .
C. 2 sin x  3 0 . D. 2 sin x  1 0 .

Câu 154:

Câu 155:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm m 

A. 2 �m �0 .

B. 0 �m �1 .

C.

cos x  2sin x  3
là:
2 cos x  sin x  4

2
�m �2 .
11

D. 2 �m �1 .

Trang
17/16