10 ôn tập chương 3 hình học tiết 2

CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 17. ÔN TẬP CHƯƠNG III (TIẾT 2)
Bài 1. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm K
(AK ≥ R). Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới (O), đường thẳng d ⊥ AB tại O, d cắt MB tại E.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp.
b) OK ∩ AM = {I}. Chứng minh rằng: OI. OK không đổi khi K di động trên Ax.
c) Chứng minh rằng: Tứ giác KAOE là hình chữ nhật.
d) Gọi H là trực tâm tam giác KMA. Chứng minh rằng: Khi K di động trên Ax thì H luôn thuộc
đường tròn cố định.
Giải

a) Ta có: KA ⊥ OA

(KA là tiếp tuyến đường tròn (O) )

=> 𝐾𝐴𝑂 = 900
Chứng minh tương tự: 𝐾𝑀𝑂 = 900
=> 𝐾𝐴𝑂 + 𝐾𝑀𝑂 = 1800
Mà 𝐾𝐴𝑂 𝑣à 𝐾𝑀𝑂 là 2 góc đối nhau.
=> Tứ giác KAOM là tứ giác nội tiếp
b) Ta có KA = KM
Mà OA = OM

(dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

(t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

( = R)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn

– Anh – Sử - Địa tốt nhất!
1


=> OK là trung trực của AM

(dấu hiệu nhận biết)

=> OK ⊥ AM
Xét ∆ AOK vuông tại A có:
AI ⊥ OK

(cmt)

=> OI. OK = OA2

(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà OA = R
=> OI. OK = R2 không đổi
c) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝑀𝐵 = 900

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> MB ⊥ AM
Mà OK ⊥ AM

(cmt)

=> OK // MB

(từ vuông góc đến song song)

=> 𝐴𝑂𝐾 = 𝑂𝐵𝐸

(2 góc đồng vị)

Xét ∆ KAO và ∆ EOB có:
𝐾𝐴𝑂 = 𝐸𝑂𝐵 = 900
AO = OB ( = R)
𝐴𝑂𝐾 = 𝑂𝐵𝐸

(cmt)

=> ∆ KAO = ∆ EOB (g.c.g)
=> KA = OE (2 cạnh tương ứng)
Ta có: KA ⊥ AB

(KA là tiếp tuyến của đường tròn (O) )

OE ⊥ AB (gt)
=> KA // OE

(từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác KAOE có:
KA = OE

(cmt)

KA // OE

(cmt)

=> Tứ giác KAOE là hình bình hành

(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà 𝐾𝐴𝑂 = 900
=> Tứ giác KAOE là hình chữ nhật

(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

d) Tứ giác OAHM là hình thoi
=> AH = AO = R
Ta có: AH = R không đổi
A cố định

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!
2


=> H ∈ (A, R) cố định.
Bài 2. Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. C là điểm chính giữa cung AB. Điểm M
thuộc cung AC. Kẻ MH vuông góc với AB tại H. AC cắt MH tại K; MB cắt AC tại E. Kẻ EI ⊥ AB
tại I.
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BHKC và tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: AK. AC = AM2

c) Chứng minh rằng: Khi M di động trên AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC
thuộc 1 đường thẳng cố định.

Giải

a) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝐶𝐵 = 900

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà 𝐾𝐻𝐵 = 900

(MH ⊥ AB)

=> 𝐾𝐻𝐵 + 𝐾𝐶𝐵 = 1800
Xét tứ giác KHBC có:
𝐾𝐻𝐵 + 𝐾𝐶𝐵 = 1800

(cmt)

Mà 𝐾𝐻𝐵 𝑣à 𝐾𝐶𝐵 là 2 góc đối nhau
=> Tứ giác KHBC là tứ giác nội tiếp

(dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét đường tròn (O) có:
𝐴𝐶𝑀 = 𝐴𝐵𝑀
Mà 𝐴𝑀𝐻 = 𝐴𝐵𝑀

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

(cùng phụ 𝑀𝐴𝐵 )

=> 𝐴𝑀𝐾 = 𝐴𝐶𝑀
Xét ∆ AMK và ∆ ACM có:
𝑀𝐴𝐶 chung
𝐴𝑀𝐾 = 𝐴𝐶𝑀

(cmt)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!
3


=> ∆ AMK ∽ ∆ ACM
=>

𝐴𝑀
𝐴𝐶

=

𝐴𝐾
𝐴𝑀

=> AK. AM = AC2

(g.g)
(định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
(đpcm)

c) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AIEM có:
𝑀𝐴𝐸 = 𝑀𝐼𝐸

(2 góc nội tiếp cùng chắn cung ME)

Xét đường tròn (O): 𝑀𝐴𝐶 =
=> 𝑀𝐼𝐸 =

1
2

1
2

𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶

(góc nội tiếp chắn MC)

𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶

Chứng minh tương tự: 𝐶𝐼𝐸 =

1
2

𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶

=> 𝑀𝐼𝐶 = 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶
Xét đường tròn (O) có: 𝑀𝑂𝐶 = 𝑠đ 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑀𝐶

(góc ở tâm chắn cung MC)

=> 𝑀𝐼𝐶 = 𝑀𝑂𝐶
Xét tứ giác MIOC có:
𝑀𝐼𝐶 = 𝑀𝑂𝐶

(cmt)

Mà I và O là 2 đỉnh kề nhau.
=> Tứ giác MIOC là tứ giác nội tiếp

(dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
MIOC, thuộc trung trực OC cố định.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!
4