8 tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến đường thẳng tiết 2

TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

LIÊN QUAN ĐƢỜNG THẲNG – TIẾT 2.
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
MÔN TOÁN: LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

B_BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ YẾU TỐ ĐƢỜNG THẲNG
I/ Các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Phƣơng trình tham số
Phương trình tham số  {

 x  x0  at
:
t  R 
 y  y0  bt

⃗

2. Phƣơng trình chính tắc
Phương trình chính tắc  {

:

⃗

x  x0 y  y0


a
b

 a, b  0  .

3. Phƣơng trình tổng quát
Phương trình tổng quát  {

:

⃗

A  x  x0   B  y  y0   0  Ax  By  C  0  A2  B 2  0  .

4. Phƣơng trình hệ số góc
Phương trình  {

: y  k  x  x0   y0  y  kx  b.

 n   b; a 
b
; k .
Chuyển đổi vecto: u   a; b   
a
 n   b; a 
5. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 điểm A  xA ; y A  ; B  xB ; y B 
Phương trình đường thẳng  chính là phương trình đường thẳng AB :

A  a;0 
x  xA

y  yA
x y

;
 AB :   1
xB  xA yB  y A B  0; b 
a b
II/ Vị trí tƣơng đối – góc – khoảng cách
1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 x  x1  a1t
 x  x2  a2t '
; 2 
*) Dạng tham số: 1 
 y  y1  b1t
 y  y2  b2t '

M  x ; y 
1

1

1

1



; u1   a1; b1  ; M 2  x2 ; y2   2 ; u2   a2 ; b2  .

+ Nếu u1   a1; b1  không song song với u2   a2 ; b2   1   2  I .





+ Nếu u1 / /u2 và không song song với M1M 2  1 / /  2 M1  2 .
+ Nếu u1 / /u2 / / M1M 2  1  2  M1 2  .
*) Dạng tổng quát: 1 : a1 x  b1 y  c1  0 ; 2 : a2 x  b2 y  c2  0.
Giả sử a2 ; b2 ; c2  0 :



a1 b1 c1
   1 / /  2 .
a2 b2 c2



a1 b1 c1
   1   2 .
a2 b2 c2



a1 b1
  1   2  I .
a2 b2

2. Góc giữa hai đƣờng thẳng  0    900 

cos  1;  2  

a1a2  b1b2
a12  b12 . a2 2  b2 2



 cos n1; n2



3. Khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng
+ Cho M 0  x0 ; y0  ;  : ax  by  c  0  d  M ;   
+ Đường phân giác của góc giữa 1 và  2 :

ax0  by0  c
a 2  b2

a1 x  b1 y  c1
a b
2
1

2

1



a2 x  b2 x  c2
a2 2  b2 2

Bài tập 1: Cho đường thẳng  : 2 x  y  3  0 và điểm I  5; 2  . Tìm tọa độ điểm M   sao cho IM  5.
Phương pháp:
+ Gọi M  x; y    pt 1
+ Dữ kiện đề bài cho: IM  5  pt  2 
+ Từ (1) và (2) giải hệ phương trình tìm được tọa độ điểm M .
Giải:

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Gọi M  x; y   : 2 x  y  3  0  y  2 x  3

 M  t;2t  3 1 .
IM  5  IM 2  25   t  5    2t  3  2   25
2

2

 t 2  10t  25  4t 2  4t  1  25  0  5t 2  6t  1  0  a  b  c  0 
 M 1 1;5 
t  1




   1 17 
t  1
M
;
 2  5 5 
 5

Bài tập 2: Cho đường thẳng  : 4 x  3 y  5  0.
a) Tìm tọa độ A  và OA  4
b) Tìm tọa độ điểm B   và cách đều 2 điểm E  5;0 ; F  3; 2 .
Giải:


 x  1  3t
qua M 1;3
a)  
 Phương trình tham số: 
 y  3  4t

VTCP u   3; 4 

 A    A 1  3t ;3  4t  .
 OA  4  OA2  16  1  3t    3  4t   16
2

2

 1  6t  9t 2  9  24t  16t 2  16  0  25t 2  30t  6  0
  4  3 15 3  4 15 

3  15
;
 A1 

t

1
5
5



5



3  15
 A  4  3 15 ; 3  4 15 
t 2 

 2 
5

5
5

 

b) B   B 1  3a;3  4a 
BE  BF  BE 2  BF 2
 1  3a  5    3  4a  0   1  3a  3   3  4a  2 
2

2

2

  3a  4    4a  3   3a  2    4a  5 
2

2

2

2

2

 9a 2  24a  16  16a 2  24a  9  9a 2  12a  4  16a 2  4a  25
1
 4 17 
 0  28a  4  a    B  ;  .
7
7 7 

Bài tập 3: Cho A 1;1 ; B  4; 3 và đường thẳng d : x  2 y  1  0. Tìm điểm C  d sao cho khoảng cách từ C
đến đường thẳng AB bằng 6.
Giải:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


x 1 y 1
x 1 y 1



4  1 3  1
3
4
 3 y  3  4 x  4  4 x  3 y  7  0
 AB :

 C  d  C  2t  1; t 
 d  C; d   6 

4  2t  1  3t  7
42  32

 6  11t  3  0

C1  7;3
t  3
11t  3  30





27    43 27 

11
t

3


30
t
C  ;

 2  11 11 

11

Bài tập 4: Cho đường thẳng d : x  2 y  15  0. Tìm tọa độ điểm M  xM ; yM   d sao cho xM 2  yM 2 nhỏ nhất.
Giải:
 M  d  xM  2 yM  15  0  xM  2 yM  15  M  2t  15; t 
 P  xM 2  yM 2   2t  15   t 2  4t 2  60t  225  t 2
2

 5t 2  60t  225  5  t 2  12t  45 

 5  t 2  26t  36  9   5  t  6   45  45
2

 Pmin  45 khi t  6  0  t  6  M  3;6  .

Bài tập 5: Cho 2 điểm A  0; 2  ; B  2; 2 và 2 đường thẳng d1 : x  y  1  0 ; d2 : x  y  1  0.
a) Tìm M  d1 sao cho MA  MB nhỏ nhất.
b) Tìm N  d 2 sao cho NA  NB nhỏ nhất.
Giải:
a) f  x; y   x  y  1
 f  A  0  2  1  3  0
 f  B   2  2 1  3  0

 f  A . f  B   0  A; B nằm khác phía đối với d1.

 MA  MB  AB   MA  MB  min  AB
 A; M ; B thẳng hàng  M  AB  d1.

Phương trình đường thẳng AB :

x0 y 2

2
4

 4 x  2 y  4  4 x  2 y  4  0  2 x  y  2  0.

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

x  y 1  0
x  1

 M 1;0  .

2 x  y  2  0
y  0
b) Đặt g  x; y   x  y  1
 g  A  0  2  1  3  0
 g  B   2   2   1  1  0

 g  A .g  B   0  A; B nằm cùng phía đối với d 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d 2 .

qua A  0; 2 
Phương trình đường thẳng  
:

 d 2 : x  y  1  0

   d2 : x  y  1  0   có dạng: x  y  c  0.

 A  0; 2     0  2  c  0  c  2
 :x y2  0

H    d2  H là nghiệm của hệ phương trình:
3

x


x  y  2  0
 x  y  2

2



x  y 1  0
 x  y  1  y  1

2
Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua d2  H là trung điểm của AA '.

 A  A '  2H  A '  2H  A

 3
 x  2.   2   0  3


 A': 
 A '  3; 1 .
 y  2. 1  2  1

2
Ta có: NA  NB  NA ' NB  A ' B

  NA  NB  min  A ' B
Dấu “=” xảy ra khi A '; N ; B thẳng hàng  N '  A ' B  d2 .
Phương trình A ' B :

x3
y 1
x  3 y 1



2   3 2   1
5
1

  x  3  5 y  5  x  5 y  8  0.

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


3

x

x  5 y  8  0

4  N  3 ;  7 .





4 4
x  y 1  0
y   7

4
Bài tập 6: Cho A  0;6  ; B  2;5 . Tìm điểm M  d sao cho MA  MB lớn nhất với d : x  2 y  2  0.
Giải:
Phương trình AB :

x0 y 6

 2 y  12   x  x  2 y  12  0.
2
1

Đặt f  x; y   x  2 y  2
 f  A  0  12  2  10  0
 f  B   2  10  2  6  0

 f  A . f  B   0  A; B nằm cùng phía đối với d .

 MA  MB  AB
Ta có bất đẳng thức: 

 MA  MB  AB

Ta có: MA  MB  AB  MA  MB max  AB
Dấu “=” xảy ra khi MA  MB  AB  A; B; M thẳng hàng.

 M  AB  d  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

x  5
x  2 y  2  0

 7


7  M  5;  .
 2
 x  2 y  12  0
 y  2
Bài tập 7: Cho đường thẳng d : x  3 y  4  0 và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 y  0. Tìm điểm M  d và

N   C  sao cho chúng đối xứng qua điểm A  3;1 .
Giải:
Gọi M  d  M  3b  4; b  .
Do M , N đối xứng qua A  M  N  2 A

 N  2 A  M  N  2  3b;2  b 
N   C    2  3b    2  b   4  2  b   0
2

2

 4  9b2  12b  4  4b  b 2  8  4b  0

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

b  0
 10b  12b  0  5b  6b  0  
b  6
5

2

2

 38 6 
 8 4
Vậy có 2 cặp điểm thỏa mãn: M  4;0  và N  2; 2  ; M  ;  và N   ;  .
 5 5
 5 5

Bài tập 8: Cho đường thẳng d : x  3 y  6  0 và điểm N  3; 4  . Tìm tọa độ điểm M  d sao cho SOMN 

15
.
2

Giải:

ON   3;4  ; ON  33  42  5
 Phương trình đường thẳng ON : 4 x  3 y  0
Gọi M  d  M  3m  6; m
Gọi H là chân đường cao kẻ từ M xuống ON .

1
1

 SOMN  .ON .MH  .ON .d  M ; ON 
2
2
15
2S OMN 2. 2
 d  M ; ON  

3
ON
5
4  3m  6   3m

 3  9m  24  15
2
2
4   3
 M 1  3; 1
 m  1


 
13
13 
m  
M 2  7;  
 
3

3
Bài tập 9: Cho điểm A 1;1 và đường thẳng  : 2 x  3 y  4  0. Tìm điểm B   sao cho góc giữa AB và 

bằng 450.
Giải:


qua M 1; 2 

có phương trình tham số:

VTCP u   3; 2 

 x  1  3t

 y  2  2t

Giả sử B   B 1  3t; 2  2t 

AB  1  3t; 2  2t  1   3t;2t  3 là VTCP của đường thẳng AB.





  AB;    450  cos  AB;    cos AB; u 

7

AB.u

 cos 450

AB . u

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!




9t  4t  6
9t 2   2t  3 .

 3

2

2

 22



2
1

2
2

2
2
  13t  6   13. 9t 2   2t  3 



 338t 2  312t  72  169t 2  156t 2  117

  32 4 
 15
t
 B1   13 ; 13 



3
2
 169t  156t  45  0  

  22 32 
t   3
B
;

13  2  13 13 

Bài tập 10: Cho A  0; 2  và đường thẳng d : x  2 y  2  0. Tìm điểm B và C cùng thuộc d sao cho ABC
vuông tại B và AB  2BC.
Giải:
Giả sử B  2b  2; b  ; C  2c  2; c   d .
Vì ABC vuông tại B  AB  d  AB.ud  0
AB   2b  2; b  2  ; ud   2;1
 AB.ud  2  2b  2   b  2  0
 4b  4  b  2  0  5b  6  0
b

6
2 6
 B  ; .
5
5 5
2

2

2 5
5
2
 6

AB    0     2  
 BC 
5
5
5
 5

2

2

2 
6
5


BC   2c  2     c   
5 
5
5

2

2

12  
6 1
48c 144 2 12c 36 1

  2c     c     4c 2 

c 


5 
5 5
5
25
5 25 5

C  0;1
c  1

2

 c  12c  7  0 

  4 7
c  7
C ;
  5 5 
5


Bài tập 11: Cho hai đường thẳng d1 : x  y  3  0 ; d2 : x  y  9  0 và điểm A 1; 4  . Tìm B  d1 ; C  d2 sao
cho ABC vuông cân tại A.
Giải:
Gọi B  b;3  b   d1 ; C  c ;9  c   d2

AB   b  1; 1  b  ; AC   c  1;5  c 

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!



 AB. AC  0
ABC vuông cân tại A   2
2

 AB  AC

 b  1 c  1   b  1 5  c   0

2
2

2
2
 b  1   b  1   c  1   5  c 

 b  1 5  c  do c  1 ktm 1

 
b  1 
c 1


2
2
  b  1 .  5  c    b  12   c  12   5  c 2  2 
2

 c  1

b  c  2
2
2
Từ  2    b  1   c  1  
 b  c
+ Với b  c  2 thay vào 1 ta được:

 c  2  1 5  c  

 c  3 c  1   c  1 5  c 
c 1
 c 2  4c  3  c 2  6c  5  2c 2  10c  8  0

c  2 1 

c  1  ktm 

 c 2  5c  4  0  
 B  2;1
c

4

b

2



C  4;5 


+ Với b  c thay vào 1 ta được:

 c  1 5  c  

 c  1 c  1  1  c  5  c 
c 1
 c 2  c  c  1  c 2  5  6c  2c 2  6c  4  0
c  1 

c  1  ktm 


 c 2  3c  2  0  
 B  2;5 
c

2

b


2




C  2;7 

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!