11 bài toán tìm các yếu tố trong tam giác, tứ giác tiết 3

BÀI TOÁN TÌM CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC – TIẾT 3.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

II/ Bài toán tứ giác
Dạng 1: Hình thang
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình thang cân ABCD  AB / /CD  , A 10;5 ; B 15; 5 ; D  20;0  . Tìm
tọa độ điểm C ?
Giải:


qua D  20;0 
Đường thẳng CD : 
có phương trình là:

 / / AB  VTCP uCD  AB   5; 10  / / 1; 2 
x  20 y  0

   x  20   y  2 x  y  40  0
1
2

Gọi I , J lần lượt là trung điểm của đường thẳng AB, CD  IJ  AB ; IJ  CD (tính chất hình thang cân)

10  15 25


xI 


A B

2
2  I  25 ;0 
I 



2
 2 
y  55  0
 I
2

 25 
qua I  2 ;0 
Đường thẳng IJ : 
có phương trình là:


 AB  n  AB   5; 10  / / 1; 2 
IJ

25 
25


1 x    2  y  0   0  x  2 y 
 0  2 x  4 y  25  0
2 
2


27

2 x  y  40  0
x  
 27


Ta có: J  IJ  CD  J : 
2  J   ; 13 
 2

2 x  4 y  25  0
 y  13
Do J là trung điểm của CD  J 

1

CD
 C  2J  D
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

27

 20  7
 xC  2.
2

 C  7; 26 
 yC  2.  13  0  26


Bài 2: Cho hình thang cân ABCD  AB / /CD ; AB  CD  ; A  0;2  ; D  2; 2  ; AC cắt BD tại điểm I sao
cho I nằm trên đường thẳng d : x  y  4  0 và AID  450. Tìm tọa độ điểm B, C ?
Giải:

I  d : x  y  4  0  y  4  x  I  t; 4  t 
AD  2 5 ; IA  2t 2  4t  4 ; ID  2t 2  8t  40
Áp dụng định lý cô-sin trong AID ta được:
IA2  ID 2  AD 2
2t 2  4t  4  2t 2  8t  40  2 5
 cos 450 
2 IA.ID
2. 2t 2  4t  4. 2t 2  8t  40
t  2
1
t 2  3t  6
 

2
t 2  2t  2. t 2  4t  20
t  4

cos AID 

+ TH1: t  2  I  2;2   IA  2 ; ID  4 2




 B 2  2 2; 2  2 2
ID
ID
ID


 ID   .IB  ID  2 2.IB  
IB
IB
IB
C 2  4 2; 2  4 2







 B 4  3 2; 2

+ TH2: t  4  I  4;0  . Làm tương tự TH1  
C 4  4 2; 2 2








Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy lớn CD, phương trình đường
thẳng AD : d1 : 3x  y  0 ; BD : d2 : x  2 y  0 ;   BC; AB   450. Viết phương trình đường thẳng BC biết

S ABCD  24 ; xB  0.
Giải:
3x  y  0
x  0
D  d1  d 2  D : 

 D  0;0 
x  2 y  0
y  0
3.1  1.  2 
3
nAD   3; 1 ; nBD  1; 2   cos D 

2
2
2
2
2
3   1 . 1   2 
 ADB  450  ABD vuông cân tại A  AD  AB

 ABD  450 mà   AB; BC   450  DBC  900

 BCD vuông cân tại B  CD  2 AB

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


S ABCD 

1
3 AB 2
 24  AB  4  BD  4 2
 AB  CD  . AB 
2
2

Gọi B  xB ; yB   xB  0  ; B  d 2 : x  2 y  0  y 

x 
x

 B  xB ; B 
2
2 


2
 8 10 4 10 

8 10
 xB 
 BD  xB     4 2  xB 
;
 do xB  0   B 

5
5 
 2 
 5
2


 8 10 4 10 
;
qua B 

BC : 
5   PTTQ : 2 x  y  4 10  0.
 5

 d 2 : x  2 y  0

Vậy phương trình đường thẳng BC : 2 x  y  4 10  0
Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho đường tròn  C  :  x  1   y  1  2 và 2 điểm A  0; 4  ; B  4;0 . Tìm
2

2

hai điểm C , D sao cho đường tròn  C  nội tiếp trong hình thang ABCD với hai đáy là AB và CD ?

Giải:

 C  có tâm I 1; 1 ; R 

2

Phương trình đường thẳng AB qua A  0; 4  ; B  4;0  : x  y  4  0
Do CD / / AB  phương trình đường thẳng CD có dạng: x  y  c  0  c  4 

CD tiếp xúc với  C   d  I ; CD   R 

1.1   1 .  1  c
12   1

2

 2

c  0  tm 
2  c  2
 2c  2  

 2  c  2
c  4  ktm 

 phương trình đường thẳng CD : x  y  0
Giả sử phương trình đường thẳng AD có dạng: y  4  kx  kx  y  4  0
d  I ; AD   R 

k 1 4

k 1
2

 2  k  3  2  k 2  1

 k  1  AD : x  y  4  0  ktm do  AB 
 k 2  6k  9  2  k 2  1  k 2  6k  7  0  
 k  7  AD : 7 x  y  4  0  tm 
1

x

7 x  y  4  0

2  D 1 ; 1 
D  AD  CD  D : 



 2 2
x  y  0
y   1

2

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Làm tương tự ta viết được phương trình đường thẳng BC : x  7 y  4  0

1

x


x  7 y  4  0

2 C1;1
 C  BC  CD  C : 



2 2
x  y  0
y  1


2
Dạng 2: Hình bình hành
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình bình hành ABCD, biết 2 đường chéo AC và BD có phương trình
lần lượt là: d1 : x  3 y  9  0 ; d2 : x  3 y  3  0 ; phương trình đường thẳng AB : x  y  9  0. Tìm tọa độ
điểm C ?
Giải:

x  3y  9  0
 x  3

 I  3; 2 

Gọi I  AC  BD  I : 
x  3y  3  0
y  2
x  y  9  0
 x  9
A  AB  AC  A : 

 A  9;0 
x  3y  9  0
y  0

 xC  2.  3   9   3
I là trung điểm của AC  C  2I  A  
 C  3; 4 

 yC  2.2  0  4

Vậy C  3;4 .
Bài 2: Trong mặt phẳng

 Oxy  ,

cho d1 : x  y  4  0 ; d2 : 2 x  y  2  0 ; A  7;5 ; B  2;3 . Tìm điểm

C  d1 ; D  d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành?
Giải:
C  d1 : x  y  4  0  y  x  4  C  c; c  4 
D  d 2 : 2 x  y  2  0  y  2  2 x  D  d ; 2  2d 
AB   5; 2  ; DC   c  d ; c  2d  6 

c  d  5
c  2 
C  2; 6 
ABCD là hình bình hành  AB  CD  


c  2d  6  2
d  3

 D  3; 4 
Vậy C  2; 6  ; D 3; 4 .
Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4  dvdt  . Biết A 1;0  ; B  0; 2
và hai đường chéo cắt nhau tại I nằm trên đường thẳng y  x. Tìm tọa độ điểm C và D ?
Giải:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


AB   1; 2  ; AB  5 ; pt AB : 2 x  y  2  0
I  y  x  I  t; t 
C  2 I  A 
C  2t  1; 2t 
Do I là trung điểm của AC ; BD  

 D  2I  B 
 D  2t; 2t  2 
Mặt khác: S ABCD  AB.CH  4  CH  AB ; H  AB 

 CH 

2  2t  1  2t  2
4
4
4
 d  C ; AB  


5
5
5
22  12

  5 8 
 C  ; 
   3 3 
 4  8 2
t
6t  4  4

 6t  4  4  
  3   D  3 ; 3 


 
6t  4  4
t  0
 C  1;0 
 

  D  0; 2 


 5 8
8 2
C  3 ; 3  ; D  3 ; 3 
Vậy có 2 cặp tọa độ C , D thỏa mãn:  



C  1;0  ; D  0; 2 
Dạng 3: Hình thoi
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình thoi ABCD, A  0; 1 , B  2;1 , tâm I nằm trên đường thẳng
d : x  y  1  0. Tìm tọa độ điểm C ?

Giải:
Do I  d : x  y  1  0  y  1  x  I  t;1  t 

 AI   t; 2  t  ; BI   t  2; t 
Vì ABCD là hình thoi  AI  BI  AI .BI  0

t  0  I  0;1
 t.  t  2    2  t  .  t   0  2t 2  4t  0  
t  2  I  2; 1
I là trung điểm của AC  I 

C  0;3
AC
 C  2I  A  
2

C  4; 1

Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình thoi ABCD có phương trình đường thẳng AB : x  2 y  4  0,
phương trình đường thẳng AD : 2 x  y  2  0. Điểm M  2; 2  thuộc đường thẳng BD. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình thoi?

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giải:

2 x  y  2  0
x  0
A  AD  AB  A : 

 A  0; 2 
x  2 y  4  0
y  2

AC là phân giác của BAD  pt AC :

x  2y  4
12   2 

2



2x  y  2
22   1

2

 x  2 y  4  2x  y  2
 d1 : x  y  2  0


d2 : x  y  2  0
 x  2 y  4    2x  y  2
+ TH1: Nếu phương trình AC : x  y  2  0  d1  , viết phương trình BD qua M và vuông góc với AC.

 B  BD  AB   4; 4 
 pt BD : x  y  0  
 D  BD  AD   2; 2 
 I  BD  AC  1;1  C  2 I  A   2;0 
+ TH2: Phương trình AC : x  y  2  0 .


 4 8
 B  BD  AB   3 ; 3 



Làm tương tự TH1  pt BD : x  y  4  0  
 D  BD  AD   2 ; 10 




3 3 

 I  BD  AC  1;3  C  2I  A   2;4 
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ

 Oxy  ,

cho hình thoi ABCD ; A 1;0  ; phương trình đường chéo

BD : d : x  y  1  0. Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết BD  4 2 ?

Giải:

AC  BD  AC đi qua A và vuông góc với BD  AC : x  y 1  0
I  AC  BD   0;1  C  2 I  A   1; 2 
BD  4 2  IB  ID 

1
BD  2 2
2

 B, D thuộc đường tròn tâm I , đường kính BD  R  IB  có phương trình: x 2   y  1  8
2

Mặt khác: B, D  d  BD  : x  y  1  0  B, D là nghiệm của hệ phương trình:
2
2
2

 B  2;3 ; D  2; 1

x  2 ; y  3
 x   y  1  8  x  4






 y  x  1  x  2 ; y  1  B  2; 1 ; D  2;3
x  y 1  0

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ

 Oxy  ,

cho hình thoi ABCD, phương trình một đường chéo là

d : 3x  y  7  0 ; B  0; 3 . Tìm tọa độ các điểm A, C, D biết S ABCD  20?
Giải:

B  0; 3  d : 3x  y  7  0  d là phương trình đường chéo AC
 pt BD qua B  0; 3 và vuông góc với AC : x  3 y  9  0

 D  2 I  B   6; 1
I  AC  BD  I  3; 2   

 BD  2 10
1
20.2
S ABCD  AC.BD  20  AC 
 2 10
2
2 10
A  AC : 3x  y  7  0  y  7  3x  A  a;7  3a  ; AI 
 d  A; BD   AI  10 

a  3  7  3a   9
12   3

2

1
AC  10
2

 10  10a  30  10

 a  4  A  4; 5   C  2 I  A   2;1
10a  30  10


10a  30  10
 a  2  A  2;1  C  2 I  A   4; 5 

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!