18 tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước liên quan đến đường tròn bài toán tham số tiết 2

TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

LIÊN QUAN ĐƯỜNG TRÒN – BÀI TOÁN THAM SỐ – TIẾT 2.
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
MÔN TOÁN: LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

B_ Bài toán tìm tham số m
Bài 1: Cho phương trình đường cong  Cm  : x 2  y 2  2mx  4  m  2  y  6  m  0 1
a) Tìm điều kiện của m để 1 là phương trình đường tròn.
b) Nếu 1 là phương trình đường tròn, tìm m để R  10.
c) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn 1 khi m thay đổi.
Giải:
a) Giả sử 1 là phương trình đường tròn

 1 có dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0
 a  m ; b  2  m  2 ; c  6  m.

1

là phương trình đường tròn  a 2  b2  c  0

 m2  4  2  m    6  m   0  m 2  16  16m  4m2  6  m  0
2

m  2
 5m2  15m  10  0  m2  3m  2  0  
 *

m  1

 I  m; 2m  4 
b) Với * thì 1 là phương trình đường tròn có: 
2
 R  5m  15m  10
Theo yêu cầu bài toán: R  10  5m2  15m  10  10
 5m2  15m  10  10  5m 2  15m  0
m  0  t / m 
 m2  3m  0  
 m  3  t / m 

x  m
 y  2x  4  d 
c) Với * thì 1 là phương trình đường tròn có tâm I : 
 y  2m  4
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 2: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  4 y  6  0 và đường thẳng d : x  my  2m  3  0. Gọi I là tâm của
đường tròn  C  . Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn  C  tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn các điều
kiện sau:
a) AB lớn nhất.

b) AB  2.

c) SIAB lớn nhất.

d) SIAB 

3
và AB lớn nhất.
2

Giải:
a)  C  có tâm I  2; 2  ; R 

 2   2
2

2

6  2

Để d   C  theo một dây cung AB lớn nhất

 AB là đường kính của đường tròn  C 
 d đi qua tâm I của đường tròn  C 
 2  m.  2   2m  3  0
 4m  1  m 

1
t / m
4

b) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB
 HA  HB 

1
AB  1.

2

Do IAB cân tại I  IH  AB

 IH  IA2  HA2 
Và IH  d  I ; d   1 

 2

2

 12  1

2  2m  2m  3
12  m2

 1  m2  4m  1  1  m 2   4m  1

2

m  0
 1  m  16m  8m  1  15m  8m  0  
t / m 
m  8
15

2

2

2

c) Để  C   d tại 2 điểm phân biệt A, B  d  I ; d   R



4m  1
1 m

2

 2   4m  1  2 1  m2   16m2  8m  1  2  2m 2

 14m2  8m  1  0 

2

2

4  30
4  30
m
14
14

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Gọi H là trung điểm của AB  IH  AB

 

2
1
1
IA.IB.sin AIB  . 2 .sin AIB  sin AIB
2
2
 SIAB max  sin AIB max  1  AIB  900

SIAB 

 IAB vuông cân tại I  AB  2; IH  1 (giống câu b)
m  0
4  30
4  30
m
)

( thỏa mãn điều kiện
m  8
14
14
15


d) SIAB  sin AIB 

AIB  600
3


0
2
AIB  120

Để AB lớn nhất  AIB  1200  IAB  IBA  300

1
2
 IH  IA.sin AB  2.sin 300  2. 
2
2
4m  1
2
2
IH  d  I ; d  

 4  4m  1  2 1  m 2 
2
1  m2
 64m 2  32m  4  2  2m 2  62m 2  32m  2  0

8  33
m 
31
 31m 2  16m  1  0  

8  33
m 
31


Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ

t / m

 Oxy 

cho đường tròn

 C  :  x 1   y  2
2

2

 9 và đường thẳng

d : 3x  4 y  m  0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới

 C  ( A, B

là tiếp điểm ) sao cho:

a) Tam giác PAB là tam giác đều.
b) Tam giác PAB là tam giác vuông.
c) Góc giữa hai tiếp tuyến PA, PB bằng 600.
Giải:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

a)  C  có tâm I 1; 2  ; R  3.
PAB đều  APB  600  API  300.

Xét API : sin API  sin 300 

AI
3 1


PI PI 2

 PI  6.

P  d


 P   C ' có : tâm I 1; 2  ; R '  IP  6

Mặt khác, để trên d có duy nhất một điểm P
thỏa mãn yêu cầu bài toán thì d tiếp xúc với  C ' .
 d  I;d   R ' 

3.1  4.  2   m
32   4 

2

6

 m  11  30
 m  19
 m  11  30  

 m  11  30
 m  41

b) PAB cân tại P ( do tính chất hai tiếp tuyến: PA  PB ).
Nếu PAB vuông  APB  900  Tứ giác PAIB là hình vuông.

 IP  IA. 2  R 2  3 2  P   C " có tâm I 1; 2  ; R "  3 2
Mặt khác để trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán thì d tiếp xúc với  C " .
 d  I;d   R" 

3.1  4.  2   m
32   4 

2

3 2

 m  15 2  11
 m  11  15 2  
 m  15 2  11

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

APB  600  câu a 
c) Góc giữa 2 đường thẳng PA, PB bằng 60  
0
0
APB  120  API  60
0

Xét API vuông tại A; sin API  sin 600 
 IP 

IA
3

IP
2

2 R 2 3.R

 2 3  IP  2 3
3
3

 P   C1  có tâm I 1; 2  ; R1  IP  2 3

Để trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán thì d tiếp xúc với  C1  .
m  11
 2 3  m  11  10 3
5
 m  11  10 3

 m  10 3  11


 m  11  10 3
 m  10 3  11

 d  I ; d   R1 

 m  10 3  11

m  10 3  11
Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: 
 m  19

 m  41
*) Bài toán tìm tập hợp điểm (chứa m )
(1) Tập hợp các tâm đường tròn:
Để tìm tập hợp (quỹ tích) tâm các đường tròn  Cm  ta thực hiện:
+ Bước 1: Tìm giá trị m để tồn tại tâm I

 x  f  m 
+ Bước 2: Tìm tọa độ tâm I , giả sử: 
 y  g  m 
+ Bước 3: Khử m giữa x, y tìm ra mối liên hệ giữa x và y gọi là F  x; y   0 (có thể là đường thẳng, đường
tròn, elip,…)
+ Bước 4: Giới hạn: dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền cho x và y.
+ Bước 5: Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là F  x; y   0 cùng với giới hạn ở bước 4.
(2) Tập hợp điểm là đường tròn: Tương tự như trên.
Bài 4: Tìm tập hợp các tâm I của đường tròn  Cm  sau:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a) x 2  y 2  2  m  1 x  4my  3m  11  0
b) x 2  y 2  mx  m  m  2  y  2m 2  4  0
c) x 2  y 2  2mx  2m 2 y  2  0
d ) x 2  y 2  4sin t.x  6 cos t. y  3  0
Giải:
a) x2  y 2  2  m  1 x  4my  3m  11  0 1
a  m  1 ; b  2m ; c  3m  11

Để 1 là phương trình đường tròn  a 2  b2  c  0
  m  1   2m    3m  11  0  m 2  2m  1  4m 2  3m  11  0
2

2

 5m2  5m  10  0  m 2  m  2  0
 m  1
 m  1  2
 x  2


*  
m  2
m  1  1
x  1

 xI  m  1 m  xI  1

Với * thì 1 là phương trình đường tròn tâm I 
 y I  2m
 yI  2 xI  2

 y  2x  2
Vập tập hợp tâm I là đường thẳng: 

 x   ; 2   1;  

b) x2  y 2  mx  m  m  2 y  2m2  4  0  2 
 a

m  m  2
m
;b
; c  2m 2  4
2
2

2
m2 m  m  2 
 ÐK :

 2m 2  4  0  m 
4
4
2

m

 x   2
 m thì  2  là phương trình đường tròn tâm I 
 y  m  m  2

2
m  2 x
m  2 x


2 x  2 x  2   
2
 y  2x  2x
y 

2

Vậy tập hợp tâm I là Parabol có dạng: y  2 x 2  2 x.
c) x2  y 2  2mx  2m2 y  2  0  3

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 a  m ; b  m2 ; c  2

  3 là phương trình đường tròn  m2  m4  2  0
 m2  1

m  1
x  1
 m m 2 0   2
 m2  1  

 m  1  x  1
 m  2  loai 
4

2

x  m
m  x
m  1

Với 
thì  3 là phương trình đường tròn có tâm I 
2
2
 m  1
y  m
y  x
2

y  x
Vậy I   

 x   ; 1  1;  

d) x2  y 2  4sin t.x  6cos t. y  3  0  4 

 a  2sin t ; b  3cos t ; c  3
 a 2  b2  c  0  4sin 2 t  3cos 2 t  3  0 **
+ Với t thỏa mãn ** thì  4  là phương trình đường tròn có:
 x 2
2
   sin t
2
2
 x  2sin t
x2 y 2
 2 
 x  y
2
2
I




sin
t

cos
t


 1.
   
2

2
2
4
9




 y  3sin t
 y 
2
 3   cos t


Vậy tập hợp tâm I là Elip có dạng:

x2 y 2

 1.
4 9

Bài 5: Tìm tập hợp tâm I của đường tròn  C  biết:
a)  C  tiếp xúc với d : 6 x  8 y  15  0 ; R  3

d1 : x  2 y  3  0
b)  C  tiếp xúc với 2 đường thẳng 
d 2 : x  2 y  6  0
Giải:
a) + Gọi tâm I của  C  là  x; y  .
+ Theo yêu cầu bài toán:  C  tiếp xúc với d  d  I ; d   R



6 x  8 y  15
62   8

7

2

3

6 x  8 y  15
10

   6 x  8 y  15  30

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


6 x  8 y  15  30
6 x  8 y  15  0


6 x  8 y  15  30
6 x  8 y  45  0

 1 : 6 x  8 y 15  0
Vậy I   
  2 : 6 x  8 y  45  0

b) + Gọi I  x; y  là tâm của đường tròn  C  .

  C  tiếp xúc với d1; d2  d  I ; d1   d  I ; d2 


x  2y 3
12  22



x  2y  6
12  22

 x  2y 3  x  2y  6

 3  6  loai 
x  2y  3  x  2y  6


x  2 y  3  x  2 y  6
2 x  4 y  3  0

Vậy I   2x  4 y  3  0.

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!