Đề thi OLYPIC lớp 7 (hay)

Phòng giáo dục Đức thọ
Trờng THCS Hoàng Xuân Hãn
***********************
Đề thi chọn học sinh dự thi olimpic năm học 2006- 2007
Môn: Toán 7 ( Thời gian: 90 phút)
Đề ra:
Câu1: Cho: a + b + c = 2007 và
1 1 1 1
90a b b c c a
+ + =
+ + +
Tính: S =
a b c
b c c a a b
+ +
+ + +
.
Câu2: Tìm 3 phân số tối giản. Biết tổng của chúng bằng
83
15
120
, tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5 ;
7 ; 11, mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với:
1 1 1
; ;
4 5 6
.
Câu3: Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn đẳng thức: 2x
2
+ 3y

2
= 77.
Câu4: Tìm x biết rằng:
2 2 3 2x x x + =
.
Câu5: Cho tam giác ABC có

120A <
.Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE
a) Chứng minh: BMD = 60
0
b) Chứng minh rằng: MA + MB = MD.
c) Chứng minh: AMC = BMC.
d) áp dụng các kết quả trên giải bài toán sau: Dựng điểm I trong tam giác NPQ (có các góc nhỏ
hơn 120) sao cho: NIP = PIQ = QIN.
Đáp án và biểu điểm Toán 7 năm học: 2006 2007
Câu1: 3 điểm
Từ: a + b + c = 2007 =>a = 2007 (b + c); b = 2007 (a + c); c = 2007 (b + a)(1đ)
=>S =
2007 ( ) 2007 ( ) 2007 ( )b c a c a b
b c a c a b
+ + +
+ +
+ + +
(0,5 điểm) =
1 1 1 1
2007 3 2007. 3
90b c a c a b

+ + =

ữ
+ + +

(1 điểm) =
223 193 3
3 19
10 10 10
= =
(0,5 điểm)
Câu2: 4 điểm
Gọi các phân số cần tìm là:
; ; ;( ; ; ; ; ; ; ; ; 0)
a c e
a b c d e f Z b d f
b d f

( 0,5 đ)
Tử số của chúng tỉ lệ thuận với: 5; 7; 11 nên ta có a:c:e = 5:7:11 hay:
5 7 11
a c e
= =
(0,5đ)
Mẫu số của chúng tỉ lệ nghịch với
1 1 1
; ;
4 5 6
=> mẫu số tỉ lệ thuận với 4; 5; 6 =>
4 5 6
b d f
= =

(0,5đ)
Đặt:
5 7 11
a c e
= =
= k;
4 5 6
b d f
= =
= p => a = 5k ; c = 7k ; e = 11k; b = 4p; d = 5p;f = 6p(0,5đ)
=>
5 7 11 75 84 110 269
4 5 6 60 60
a c e k k k k k k k
b d f p p p p p
+ +
+ + = + + = =
(1 điểm)
Mà
83 1883
15
120 120
a c e
b d f
+ + = =
=>
269. 1883 7
60. 120 2
k k
p p

= =
(0,5 đ)
=>
5.7 35
4.2 8
a
b
= =
;
7.7 49
5.2 10
c
d
= =
;
11.7 77
6.2 12
e
f
= =
(0,5 điểm)
Câu3: 2 điểm
Từ 2x
2
+ 3y
2
= 77 =>
2
0 3 77y
=>

2
0 25y
kết hợp với 2x
2
là số chẵn =>3y
2
là số lẻ => y
2
là
số lẻ => y
2


{ 1; 9; 25 } ( 1 đ)
+ Với y
2
= 1 => 2x
2
= 77 3 = 74 x
2
= 37 (KTM)
+ Với y
2
= 9 => 2x
2
= 77 27 = 50 x
2
= 25 x =5 hoặc x = -5
+ Với y
2

= 25 => 2x
2
= 77 75 = 2 x
2
= 1 x = 1 hoặc x = -1 (0,5 đ)
Vậy ta có các trờng hợp sau: 0,5 đ (nếu thiếu 1 trờng hợp trừ 0,25 đ)
x 1 -1 1 -1 5 -5 5 -5
y 5 5 -5 -5 3 3 -3 -3
Câu4: 4 điểm

2 2 3 2x x x + =
(1)
+ Với
3
2
x


thì: (1) 2 x + 2x +3 x = -2 0x = -7 ( KTM)
+ Với
3
2
2
x

<
thì (1) 2 x 2x 3 x = -2 - 4x = - 1 x =
1
4
(TM)

+ Với x > 2 thì (1) x - 2 2x 3 x = -2 - 2x = 3 x =
3
2

(KTM)
Vậy x =
1
4

Bài5:7 điểm
a) Ta có: ADC = ABE (c-g-c) => ADC =ABE
Gọi F là giao điểm của AB và CD. Xét ADFvàBMF
Có

D B=
; AFD = BFM ( đối đỉnh) ( 1 đ)
=> BMF =FAD => BMF = 60=>BMC =120
b)Trên tia MD lấy điểm P sao cho BM = MP
=>BMP là tam giác đều => BP = BM; MBP =60
Kết hợp với ABD =60 => MBA = PBD => PBD = MBA (c-g-c) => AM = DP
AM + MB = DP + PM = DM (2 điểm)
c) Từ: PBD = MBA => AMB = DPB, mà: BPD = 120=>BMA =120
=> AMC =120 =>AMC = BMC (1 điểm)
d) áp dụng các kết quả trên, ta giải bài toán nh sau: Dựng ngoài tam giác NPQ các tam giác đều
NPA và NQB. Nối AQ và BP chúng cắt nhau tại I. Thì I là điểm thỏa mãn: NIP = PIQ =
QIN => Điểm I là điểm cần dựng (1 điểm)