DE THI VA HD HSG LOP 12 NAM 2009 TINH THAI NGUYEN

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN
Sở GD & ĐT
=@=
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
***************
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN
Năm học 2009 – 2010
Môn thi : Toán học Lớp 12
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. Cho phương trình
3
3 1 0x x− + =
. CMR phương trình có 3 nghiệm
( )
1 2 3 1 2 3
, , x x x x x x< <
và thỏa mãn điều kiện
2
3 2
2x x= +
Bài 2. Gọi I là tâm đương tròn nội tiếp tam giác ABC ;
1 2 3
, , ,R R R R
lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp các tam giác BIC, CIA, AIB, ABC; r là bán kính đường trong nội
tiếp tam giác ABC.
CMR:
2
1 2 3

. . 2 .R R R r R=
Bài 3.
a. Tìm giá trị của m để hệ
2 2
2
4x y
x y m

+ =


− =


có nghiệm.
b. CMR :
2
ln
2
x y y
x x y
+
 
>
 ÷
+
 
với x >0, y >0.
Bài 4. Giải PT:
3 3

cos 4sin 3sin 0x x x+ − =
Bài 5.
a. Với A, B, C là ba góc của một tam giác, CMR phương trình:
2
2
3 sin sin sin
2 2 2
x x
A B C
−
= + +
Có 4 nghiệm phân biệt.
b. Giải phương trình:
( )
2
1 2 2
.3 1 .3 1 0
x x
x x x x
−
+ − + − − =
HếT
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
* CM phương trình có 3 nghiệm phâm biệt bằng cách xết các khoảng:
( ) ( ) ( )
1;2 , 2; 1 ; 0;1− −
* Theo giả thiết, ta có
2
2 3

2x x= −
, vì
2
x
là nghiệm của PT
3
3 1 0x x− + =
Nên ta có,
( ) ( ) ( )
3
2 2 6 4 2 2 4 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 3 2 1 0 6 9 1 6 9 1x x x x x x x x− − − + = ⇔ − + = ⇔ − + =
( )
( )
3
2
3 3
2
3 3
3
3 3
3 1 0
3 1
3 1 0
x x
x x
x x

− + =

⇔ − = ⇔

− − =


Khi đó
3
x
cũng là nghiệm của pt đã cho.
Bài 3:
a. Từ điều kiện
2 2
4x y+ =
nên ta đặt
2sin , 2cosx t y t= =
thay vào PT
2
x y m− =
, ta được :
2 2
2sin 4cos 4sin 2sin 4t t m t t m− = ⇔ + − =
Từ việc xét hàm số
2
( ) 4 2 4f X X X= + −
trên
[ ]
1;1−

Ta được:
17

;2
4
m
 
∈ −
 
 
thì hệ đã cho có nghiệm.
b. Ta CM:
2
2
y x y
x y x
+
<
+
(1)
Thật vậy:
2 2
2
2 0, , 0
2
y x y
x y xy x y
x y x
+
< ⇔ + + > ∀ >
+
Mặt khác
ln , 0X X X> ∀ >

, do vậy
ln
x y x y
x x
+ +
 
>
 ÷
 
(2)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM.
Bài 4: PT đã cho tương đương với:
cos3 3cos
cos3 0 cos3 cos
4 2
2
x k
x x k
x x x x
k
x
π
π
π
=

−

− = ⇔ = ⇔ ⇔ =


=
