Số mũ lyapunov và sự không ổn định

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THỜI

SỐ MŨ LYAPUNOV
VÀ SỰ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN

HÀ NỘI−2016


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trong
nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý báu để em
hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này. Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới bạn Lê Đức Nhiên, người đã giúp đỡ rất nhiều và hướng dẫn em

trong việc sử dụng Latex và Maple.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Thời

2


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc

2
3

1.1

Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh . . . . . . . . . .

4

1.2

Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo . . . . . .

8

1.3

Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4

Bổ đề Gronwall rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm

18

2.1

Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương . . . .

19

2.2

Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3

Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm . .

34

2.4

Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo

43

1


LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm
sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh một số tính chất của
điểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực. Sau đó, đã có nhiều
nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc. Tiêu biểu,
năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn
và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992).
Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định là
một phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chất
cho tính không ổn định của quỹ đạo là quan trọng và cần thiết. Năm 2010,
Palmer và cộng sự đưa ra một số các kết quả về đặc trưng của sự phụ thuộc

nhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm một vài điều kiện đủ cho
việc kiểm tra tập bất biến hỗn độn. Trong luận văn này, em tập trung trình
bày lại các kết quả gần đây nhất về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm trong hệ động lực rời rạc.
Chương 2 đề cập tới kết quả chính của Palmer về số mũ Lyapunov và sự
nhạy cảm.
Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của Palmer trong bài báo [3] được
viết năm 2010.
Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016
Nguyễn Thị Thời

2


Chương 1

Một số khái niệm của hệ
động lực rời rạc
Mục đích chính của chương này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bản
trong hệ động lực rời rạc thông qua phép lặp các hàm một biến. Cụ thể, ta
tìm hiểu về quỹ đạo của điểm trên I ⊂ R khi nó được lặp đi, lặp lại bởi cùng
một hàm số: x1 = f (x0 ) và xn = f (xn−1 ) với n ≥ 1, ta gọi x0 là điều kiện
ban đầu và dãy {xn }∞
n=0 là quỹ đạo của điểm x0 dưới tác động hàm f . Trong
trường hợp một chiều, ngoài việc dùng đồ thị của hàm số, ta có thể dùng rất
nhiều công cụ giải tích khác của giải tích như định lí Lagrange, định lí modul
liên tục, . . . để phân tích dáng điệu động lực của quỹ đạo tại một điểm. Các
định nghĩa chính dưới đây của chương được tham khảo chủ yếu trong sách

của C. Robinson [1].

3


1.1

Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh

Trước tiên, ta đưa ra định nghĩa số mỹ Lyapunov, là số biểu diễn tốc
độ tăng trưởng mũ của đạo hàm của hàm số f : I ⊂ R → R theo sự biến
thiên của số phép lặp n. Tức là, nếu |(f n ) (x0 )| ∼ Ln thì log(|(f n ) (x0 )|) ∼
log(Ln ) = n log(L) hay (1/n)(log(|(f n ) (x0 )|)) ∼ log(L) (n → ∞). Trong
luận văn này, ta xét trường hợp tốt nhất là giới hạn này tồn tại khi n tiến ra
vô cùng. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.1.1. Cho f : R → R là hàm thuộc lớp C 1 . Với mỗi điểm x0 ,
ta định nghĩa số mũ Lyapunov của quỹ đạo {xn }∞
n=0 (kí hiệu λ(x0 )) là
1
λ(x0 ) = lim
n→∞ n + 1

n

ln |f (xk )|
k=0

nếu giới hạn tồn tại.
Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng, vế phải của đẳng thức trên là giá trị trung
bình dọc theo quỹ đạo của logarithm các đạo hàm. Định nghĩa của số mũ

này tương tự trong luận án của Lyapunov năm 1892. Năm 1968, công trình
của Oseledec [7] chỉ ra rằng giới hạn trên tồn tại với hầu hết các điểm.
Ví dụ 1.1.1. Xét ánh xạ g : [0, 1] → R xác định bởi

 2x
với 0 ≤ x ≤ 0, 5
g(x) =
 2(1 − x)
với 0, 5 ≤ x ≤ 1.
Nếu x0 là điểm sao cho xn = g n (x0 ) = 0, 5 với n nào đó, thì λ(x0 ) không
xác định bởi vì đạo hàm của g tại điểm 0, 5 là không tồn tại. Những điểm x0
như thế là tập không quá đếm được. Còn lại là những điểm x0 ∈ [0, 1] mà
g (xn ) = 2 với mọi n thì số mũ Lyapunov của chúng đều bằng ln 2.
Đối với những hàm f phức tạp, việc đưa ra công thức xn là khó khăn nên
ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov đối với quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua
4


một hàm g đơn giản hơn là cần thiết. Khái niệm liên hợp tô pô trong hệ động
lực là một trong những công cụ hữu ích để làm điều đó. Ta nói hai hàm f và g
là liên hợp tô pô nếu tồn tại một đồng phôi h thỏa mãn g(x) = h ◦ f ◦ h−1 (x).
Ví dụ dưới đây là minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thông qua
hàm liên hợp tô pô.
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm f (x) = 4x(1 − x). Ta sẽ nghiên cứu số mũ Lyapunov
của các quỹ đạo sinh bởi f trong một số trường hợp cụ thể sau.
Trường hợp 1. Xét x0 là điểm sao cho xn = f n (x0 ) = 0, 5 với n nào đó,
thì
ln(|f (xn )|) = ln(|f (0, 5)|) = ln 0 = −∞
Do đó, λ(x0 ) = −∞ với những điểm x0 thỏa mãn tính chất trên.
Trường hợp 2. Xét x0 = 0 hoặc 1 thì

λ(x0 ) = ln(|f (0)|) = ln 4.
Trường hợp 3. Xét x0 ∈ (0, 1) mà f n (x0 ) khác 0; 1 và 0, 5. Theo Ví dụ
6.2 trong [1] trang 44, ta có hàm f liên hợp tô pô với hàm g trong Ví dụ 1.1.1,
trong đó, hàm h(y) = sin2 (πy/2). Do hàm h khả vi liên tục trên [0, 1] nên
tồn tại số K > 0 sao cho h (y) < K với y ∈ [0, 1]. Hơn nữa, do h (y) > 0 trên
khoảng mở (0, 1) nên với δ > 0 đủ nhỏ, tồn tại Kδ > 0 sao cho Kδ < |h (y)|.
Ta hạn chế các quỹ đạo chỉ nằm trong miền [δ, 1 − δ], khi đó
1
λ(x0 ) = lim
n→∞ n + 1

n

ln |f (xk )|
k=0

1
ln |(f n ) (x0 )|
n→∞ n + 1
1
= lim
ln |(h ◦ g n ◦ h− 1) (x0 )|
n→∞ n + 1
1
= lim
(ln(|h (yn )|) + ln(|(g n ) (y0 )|) + ln(|(h−1 ) (x0 )|))
n→∞ n + 1
1
≤ lim
(ln(K) + n ln 2 + ln(|(h−1 ) (x0 )|))

n→∞ n + 1

= lim

= ln 2.
5


Nhận xét 1.1.2. Số mũ Lyapunov là đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đối
n
k=0

với quỹ đạo {xn }∞
n=0 do nếu lim
1
n→∞ n+1

cố định, giới hạn lim

1
n→∞ n+1
n
k=0 ln |f

ln |f (xk )| tồn tại thì với m > 0

(xk+m )| cũng tồn tại và chúng bằng

nhau.
Trong Nhận xét 1.1.2, nếu ta thay điều kiện m cố định thành điều kiện

lim 1
n→∞ n+1

n
k=0

ln |f (xk+m )| tồn tại đều theo m thì số mũ thu được được

gọi là số mũ mạnh. Khái niệm này được đưa ra bởi Palmer năm 2010 nhằm
nghiên cứu tính ổn định của quỹ đạo được nói đến trong Chương 2. Khái niệm
số mũ Lyapunov mạnh tương tự khái niệm số mũ Bohl của phương trình vi
phân. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.1.2. Số mũ Lyapunov mạnh, kí hiệu Λ(x0 ) của quỹ đạo
{xn }∞
n=0 của ánh xạ f : I ⊂ R → R được xác định bởi
1
Λ(x0 ) = lim
n→∞ n

i+n−1

ln |f (xk )|,
k=i

nếu giới hạn này tồn tại đều tương ứng với i ≥ 0.
Do điều kiện hội tụ đều theo chỉ số i ≥ 0 nên nếu sỗ mũ Lyapunov
mạnh tồn tại thì số mũ Lyapunov tồn tại và hai giá trị đó là bằng nhau.
Nhưng trường hợp ngược lại không đúng. Dưới đây là một số ví dụ cho số
mũ Lyapunov mạnh.
Ví dụ 1.1.3. Xét hàm f : [0, 1] → R, xác định bởi f (x) =

√

x. Chọn điều

kiện ban đầu x0 = 18 . Khi đó, ta có quỹ đạo
xn = f n (x0 ) =

1
81/2n

.

Theo định nghĩa, ta thu được số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo trên như

6


sau
Λ

1
8

1
= lim
n→∞ n + 1
1
n→∞ n + 1

n

ln |f (xk )|
k=0
n

= lim

ln
k=0

1
4

n+1
n→∞ n + 1

= − ln 4 lim
= − ln 4.

Trong Chương 2, ta sẽ đề cập đến việc xét dấu của số mũ Lyapunov
(mạnh), đó là một trong những đặc trưng quan trọng để xác định sự nhạy
cảm của quỹ đạo. Dưới đây là điều kiện cần cho tính dương của số mũ
Lyapunov mạnh, mà ta sẽ cần dùng tới trong chương sau.
Mệnh đề 1.1.1. Cho f : I ⊂ R → R là ánh xạ khả vi liên tục và Λ(x0 ) > 0
là số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo {xn }∞
n=0 . Khi đó
inf |f (xn )| > 0.

n≥0

Chứng minh. Ta có
1
Λ(x0 ) = lim
n→∞ n + 1

i+n

ln|f (xk )|
k=i

tồn tại. Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ≥ N thì
1
3Λ(x0 )
Λ(x0 )
<
ln|f (xi ).f (xi+1 )...f (xi+n )| <
.
2
n+1
2
Lấy n = N ta có
e(N +1)

Λ(x0 )
2

< |f (xi )...f (xi+N )| < e3(N +1)

Vì f liên tục trên [0, 1] nên tồn tại

sup f (x0 ) = M
[0,1]

7

Λ(x0 )
2

.


Với mọi n ≥ 0
|f (xn )| ≥ M −N exp

(N + 1)Λ(x0 )
2

inf |f (xn )| > 0.

n≥0

1.2

Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của
quỹ đạo

Để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta cần có giả thiết chỉ ra rằng, dáng
điệu động lực của quỹ đạo trên tập bất biến là hỗn độn hay những quỹ đạo
gần nhau tại thời điểm ban đầu sẽ không còn gần nhau dưới phép lặp đủ lớn.
Định nghĩa dưới đây là sự phục thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu là

một trong các khái niệm như thế.
Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Quỹ đạo {xn }∞
n=0 sinh bởi f
được gọi là phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu nếu tồn tại số ε0 > 0
sao cho với bất kì số δ > 0 thì luôn có y0 ∈ I thỏa mãn
(i) |y0 − x0 | < δ
(ii) |f N (y0 ) − f N (x0 )| ≥ ε0 với số tự nhiên N nào đó.
Nếu các quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm trong tập A ⊂ I đều phụ thuộc
nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì ta nói f nhạy cảm trên A.
Ví dụ 1.2.1. Xét ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x2 . Xét điều kiện
ban đầu x0 = 1, khi đó ta có quỹ đạo xn = f n (x0 ) = 1 với mọi n. Lấy ε0 = 21 .
Với mọi số δ > 0 đủ nhỏ, chọn y0 = 1 − 2δ . Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 là
n

yn = f (y0 ) =

8

δ
1−
2

2n

.


Rõ ràng yn tiến về 0 khi n → ∞. Do đó, tồn tại N đủ lớn sao cho
|yN − xN | > ε0 .
Do đó, quỹ đạo qua điểm x0 phụ thuộc vào điền kiện ban đầu. Dưới đây là hình

minh họa trong Maple đối với quỹ đạo của y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999.
Quan sát Hình 1.1 ta thấy tuy điều kiện ban đầu y0 khá gần x0 nhưng với n

Hình 1.1: Dáng điệu quỹ đạo với x0 =, y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999
đủ lớn, hai quỹ đạo vẫn rời xa nhau.
Với những f phức tạp hơn thì việc tìm công thức tổng quát của f n là rất
phức tạp. Trong trường hợp đó, việc sử dụng công cụ máy tính là rất cần
thiết. Ta có ví dụ khác dưới đây.
Ví dụ 1.2.2. Cho hàm f (x) = x3 − x. Với điều kiện ban đầu là x0 = 0, ta
có quỹ đạo {xn = 0}∞
n=0 . Xét y0 = 0, ta có
y1 = f (y0 ) = y03 − y0
y2 = f 2 (y0 ) = (y03 − y0 )3 − (y03 − y0 ) = y09 − 3y07 + 3y05 − 2y03 + y0
....
Dựa vào công thức trên, ta nhận thấy, việc ước lượng cho |yn − xn | là khó
khăn. Dưới đây, ta đưa ra thuật toán trong Maple để dự đoán sự phụ thuộc
nhạy cảm vào điều kiện ban đầu của quỹ đạo {xn = 0}∞
n=0 .
> restart;
9


> with(plottools): with(plots):
> f := x → x3 − x
> Draw := proc(a, b, c, n);
local i,j,k,x,y,z,seq1,seq2,seq3,day;
x[0] := a;
y[0] := b;
z[0] := c;
seq1 := [0, a];

seq2 := [0, b];
seq3 := [0, c];
for i to n do
x[i] := f (x[i − 1]);
y[i] := f (y[i − 1]);
z[i] := f (z[i − 1]);
od;
seq1 := seq([i, x[i]], i = 0..n);
seq2 := seq([i, y[i]], i = 0..n);
seq3 := seq([i, z[i]], i = 0..n);
day := seq1unionseq2unionseq3;
pointplot(day, color = blue);
end;
> Draw(0, 0.1, 0.1, 50)
Lúc đó, ta thu được kết quả như Hình 1.2
Dựa vào đồ thị ta thấy khi y0 gần x0 tại thời điểm ban đầu thì yn cũng
gần với xn . Điều này có thể cho ta dự đoán là quỹ đạo xn = 0 không phụ
thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu.
Trước khi chuyển sang định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta đưa ra khái
niệm tính transitive của ánh xạ
10


Hình 1.2:
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ f : I ⊂ R → R được gọi là transitive trên tập
bất biến A ⊂ I nếu tồn tại điểm x0 ∈ I sao cho quỹ đạo xuất phát từ x0 là
trù mật trong A.
Dưới đây là định nghĩa tập bất biến hỗn độn được đưa ra năm 1999 bởi
Clark Robinson [1].
Định nghĩa 1.2.3. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Khi đó f được gọi là hỗn

độn trên tập bất biến A ⊂ I nếu những điều sau được thỏa mãn
(i) f là ánh xạ transitive trên tập A
(ii) f nhạy cảm trên A.
Khái niệm "hỗn độn" trong lí thuyết hệ động lực được đưa ra đầu tiên
bởi Li và Yorke năm 1975 [5]. Trong bài báo đó, các tác giả chỉ ra rằng: Nếu
ánh xạ trên đường thẳng thực có điểm tuần hoàn chu kì 3 thì với mọi n, luôn
tồn tại quỹ đạo có chu kì n. Ngoài ra họ cũng chứng minh được rằng nếu ánh
xạ f trên đường thẳng có điểm tuần hoàn với chu kì 3 thì tồn tại tập bất
biến S sao cho
lim sup |f n (p) − f n (q)| > 0 và lim inf |f n (p) − f n (q)| = 0
n→∞

n→∞

(1.1)

với mọi p, q ∈ S mà p = q. Li và Yorke gọi tính chất trên là "hỗn độn". Có thể
thấy, tính chất (1.1) khá gần với điều kiện sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều
11


kiện ban đầu. Sau đó, Devaney (1989, [6]) đưa ra định nghĩa tường minh cho
tập bất biến hỗn độn. Ngoài hai điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3, Devaney
có đưa thêm giả thiết các điểm tuần hoàn là trù mật trong A. Mặc dù tính
chất này chỉ thỏa mãn với các ánh xạ hyperbolic đều, tuy nhiên nó không
là vấn đề trọng tâm trong ý tưởng xây dựng hệ động lực hỗn độn (điều này
được nêu trong bài báo đầu tiên của Li và Yorke (1975)). Cho nên trong [1],
Robinson chỉ dùng hai điều kiện như trong Định nghĩa 1.2.3 để định nghĩa
cho tập bất biến hỗn độn.
Trong bài báo của Banks, Brooks, Cairns, Davis và Stacey (1992) [4], tác

giả chứng minh rằng nếu f có tính bắc cầu trên tập A và các điểm tuần hoàn
là trù mật trên A thì có phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo và đo đó A là tập
bất biến hỗn độn.
Mệnh đề dưới đây khẳng định, sự phụ thuộc nhạy cảm (sự nhạy cảm) của
quỹ đạo được bảo toàn qua phép liên hợp tô pô đối với các ánh xạ trên tập
compact.
Mệnh đề 1.2.1. Cho f : I ⊂ R → I là liên hợp tô pô với g : J ⊂ R → J.
Nếu I, J là compact và g nhạy cảm trên J thì f cũng nhạy cảm trên X.
Chứng minh. Xét quỹ đạo {yn }∞
n=0 . Do g nhạy cảm trên J nên tồn tại r > 0
sao cho với mọi ε ta luôn có q0 ∈ J thỏa mãn
(i) |q0 − y0 | ≤ ε
(ii) Tồn tại số nguyên k để |yk − qk | ≥ r.
Do f, g là liên hợp tô pô, nên tồn tại đồng phôi h : I → J thỏa mãn g =
−1
(y0 ), ta sẽ chứng minh
h ◦ f ◦ h−1 . Lấy {xn }∞
n=0 là quỹ đạo mà x0 = h

{xn }∞
n=0 là nhạy cảm. Thật vậy, từ giả thiết I là compact ta dẫn đến h là
liên tục đều trên I. Tức là, với r > 0 ở trên, tồn tại số δ > 0 sao cho nếu
x, p ∈ I mà |x − p| < δ thì |h(x) − h(p)| < r. Do đó, nếu |h(x) − h(p)| > r thì

12


|x − p| > δ. Chọn p0 = h−1 (q0 ), theo (ii), ta có |yk − qk | ≥ r nên
|h−1 (yk ) − h−1 (qk )| > δ
⇔ |h−1 (g k (y0 )) − h−1 (g k (q0 ))| > δ.

Do
h−1 (g k (y0 )) = f k (h−1 (y0 )) = f k (x0 )
và
h−1 (g k (q0 )) = f k (h−1 (q0 )) = f k (p0 )
nên
|f k (x0 ) − f k (p0 )| > δ.
Do h là đồng phôi nên chọn ε đủ bé để p0 gần x0 nhưng
|f k (x0 ) − f k (p0 )| > δ.
Mệnh đề được chứng minh.

1.3

Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo

Mục đích phần này dùng để trình bày khái niệm về sự ổn định theo nghĩa
Lyapunov của quỹ đạo trong trường hợp một chiều.
Định nghĩa 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1], quỹ đạo {xn }∞
n=0 được gọi là ổn
định Lyapunov nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y : |y0 −x0 | < δ
thì |yn − xn | < , n ≥ 0.
Ví dụ 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1 − x. Ta xét quỹ
đạo x0 = 0, xn = f n (xn−1 ). Khi đó x2k = 0 và x2k+1 = 1 (k = 0, 1, . . . ).
Lấy y0 thoả mãn |y0 − x0 | ≤ ε. Do định nghĩa ánh xạ f nên y2k = y0 và
y2k+1 = 1 − y0 . Do đó |yn − xn | ≤ ε với mọi n = 0, 1, 2, . . . . Cho nên, quỹ
đạo {xn }∞
n=0 là ổn định.
13


∞

Hình 1.3: Quỹ đạo màu đỏ là của {xn }∞
n=0 , quỹ đạo màu xanh là của {yn }n=0

với y0 tương ứng là 0.05 và 0.03.
Nhận xét 1.3.1. Đối với lớp ánh xạ đẳng tự (tức là |f (x) − f (y)| = |x − y|)
thì mọi quỹ đạo đều ổn định do |xn − yn | = |f n (x) − f n (y)| = |x − y|. Do đó,
luôn chọn được số δ = ε để |x0 − y0 | < δ thì |xn − yn | < ε.
1
Ví dụ 1.3.2. Xét ánh xạ f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = x(1 − x).
4
1
Khi đó, hệ động lực sinh bởi ánh xạ này có dạng xn+1 = xn (1 − xn ), là
4
1
phương trình Logistic ô - tô - nôm rời rạc với hệ số (một trong các mô hình
4
dân số nổi tiếng được đưa ra vào năm 1837 bởi Verhulst). Do
1
1
3
− 2x ≤
4
4
4

|f (x)| =

Cho nên, theo định lí giá trị trung bình Lagrange thì với |x0 − y0 | < ε ta thu
được
|x1 −y1 | = |f (x0 )−f (y0 )| = |f (c)||x0 −y0 | ≤ |x0 −y0 | <

3
ε (với c ∈ [x0 , y0 ]).
4

Bằng quy nạp, ta chứng minh được
|xn − yn | <

3
4

n

ε với mọi n = 0, 1, 2, . . . .

(1.2)

Khi đó, mọi quỹ đạo của phương trình là ổn định. Hơn nữa, theo ước lượng
(1.2) thì mọi quỹ đạo đều bị hút về quỹ đạo {xn = 0}∞
n=0 .

14


Hình 1.4: Các quỹ đạo của phương trình Logistic hệ số 1/4 ứng với điều kiện
ban đầu x0 = 0.9, x0 = 0.5, x0 = 0.3.

1.4

Bổ đề Gronwall rời rạc

Đối với trường hợp liên tục, phương pháp biến thiên hằng số và bất đẳng
thức Gronwall là một trong những công cụ quan trọng trong chứng minh tính
ổn định của phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu Lipchits. Mục đích
của phần này, nhằm giới thiệu bất đẳng thức trên cho trường hợp rời rạc
và được dùng trong việc chứng minh sự ổn định của quỹ đạo với số mũ âm.
Trước khi vào mệnh đề chính, ta có bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.4.1. Nếu µn là các số không âm thì
n

1+

k−1

µk exp
k=1

n

µl

≤ exp

l=1

µl

( với n ≥ 1).

(1.3)

l=1

Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề này bằng quy nạp. Với n = 1 ta có
1 + µ1 ≤ exp(µ1 )
là đúng. Giả sử quy nạp, bất đẳng thức (1.3) đúng với n, ta sẽ chứng minh

15


(1.3) đúng với n + 1. Ta có
n+1

exp

n

µl

= exp

µl

l=1

exp(µn+1 )

l=1
n

≥ exp

n

µl

+ µn+1 exp

l=1

l=1

n

≥1+

µl

k−1

µk exp

µl

k=1

l=1
n

+ µn+1 exp

(do exp(x) ≥ 1 + x)

µl
l=1

n+1

k−1

µk exp

=1+
k=1

µl

(giả thiết quy nạp).

l=1

Do đó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Gronwall rời rạc). Cho zn là các số không âm sao
cho

n

zn ≤ B +

µk zk−1

(với 0 ≤ n ≤ T ),

k=1

trong đó B và µn là các số không âm. Khi đó
n

zn ≤ B exp

µk

(với 0 ≤ n ≤ T ).

(1.4)

k=1

Chứng minh. Tương tự bổ đề trên ta chứng minh mệnh đề này bằng phương
pháp quy nạp theo n. Rõ ràng bất đẳng thức (1.4) đúng với n = 0. Giả sử
(1.4) đúng với mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n − 1. Ta chứng minh

16


(1.4) đúng với n. Thật vậy, ta có ước lượng
n

zn ≤ B +

µk zk−1
k=1
n

k−1

≤B+

µk B exp
k=1

µl
l=1

n

=B 1+

k−1

µk exp

µl

k=1
n

≤ B exp

(giả thiết quy nạp)

l=1

µl

(sử dụng Bổ đề 1.4.1).

l=1

Do đó, ta có điều phải chứng minh.

17


Chương 2

Số mũ Lyapunov và sự
nhạy cảm
Như đã biết trong chương một, sự phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo là
khái niệm quan trọng trong lí thuyết hỗn độn. Vì vậy, việc đưa ra các tiêu
chuẩn hay đặc trưng để kiểm tra tính nhạy cảm của quỹ đạo là cần thiết.
Số mũ Lyapunov là một trong những khái niệm như thế. Trong bài báo của
Palmer [3], tác giả chỉ ra rằng, số mũ Lyapunov của quỹ đạo cần xét chưa đủ
đặc trưng cho tính nhạy cảm của quỹ đạo. Cụ thể, ngoài điều kiện dương của
số mũ Lyapunov, ta cần giả thiết thêm điều kiện bị chặn dưới bởi A > 0 của
các đạo hàm tại các điểm quỹ đạo thì quỹ đạo mới có tính nhạy cảm. Khi đó,
theo Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta có hệ quả là số mũ Lyapunov mạnh
dương thì dẫn đến sự phụ thuộc nhạy cảm. Trong phần 2.2, ta trình bày lại
một điều kiện đủ khác cho sự nhạy cảm quỹ đạo. Phần cuối của chương dành
cho việc nêu lại chứng minh các quỹ đạo có số mũ Lyapunov âm thì không

nhạy cảm và nêu lại các kết quả trong trường hợp không ô - tô - nôm. Trong
chương này, ta chỉ xét các ánh xạ khoảng từ [0, 1] vào [0, 1] và các chứng minh

18


là chi tiết hóa các kết quả trong [3].

2.1

Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương

Trước khi đi đến định lí chính ta nhắc lại các khái niệm về hàm môđun
liên tục của một hàm bị chặn.
Cho h : [a, b] → R là hàm bị chặn. Ta định nghĩa hàm môđun liên tục của
h là
ω(|w|) = sup{|h(x) − h(y)| : x, y ∈ [a; b], |x − y| < |w|}.
Ví dụ 2.1.1. Xét h : [0, 1] → R xác định bởi h(x) = x. Khi đó
ω(|w|) = sup{|h(x) − h(y)| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < |w|}
= sup{|x − y| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < |w|}
= |w|.
Định lý 2.1.1. Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm thuộc lớp C 1 . Quỹ đạo {xn }∞
n=0
thỏa mãn
inf |f (xn )| = A > 0

n≥0

và số mũ Lyapunov λ(x0 ) > 0 (nếu tồn tại). Khi đó, quỹ đạo {xn }∞
n=0 phụ

thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu (không ổn định).
Chứng minh. Lấy {yn }∞
n=1 là quỹ đạo của f đi qua điểm ban đầu y0 = x0 .
Đặt
w n = yn − xn
Khi đó, với n ≥ 0 thì
wn+1 = f (xn )wn + f (xn + wn ) − f (xn ) − f (xn )wn .

19


Mặt khác, ta có
wn+1 = yn+1 − xn+1
= f (yn ) − f (xn )
= f (wn + xn ) − f (xn )
= f (xn )wn + f (wn + xn ) − f (xn ) − f (xn )wn .
Ta đặt
gn (wn ) = f (xn + wn ) − f (xn ) − f (xn )wn .
Áp dụng dụng định lí giá trị trung bình Lagrange ta thu được
gn (w) = f (xn + w) − f (xn ) − f (xn )w
= f (cn )w − f (xn )w
= (f (cn ) − f (xn ))w.
Do đó, ta có ước lượng
|gn (w)| = |f (cn ) − f (xn )||w|
≤ ω(|cn − xn |)|w|
= ω(|w|)|w|,
trong đó ω là hàm môđun bị chặn. Ta có
wn = f (xn )wn + (f (cn ) − f (xn ))wn ,
Cho w0 = 0 và giả sử phản chứng với mọi

(với cn ∈ [xn ; xn + wn ]).
dương đủ bé và n ≥ 0 thì

|wn | ≤ ,
ω( ) = sup |f (x) − f (y)| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < .
Do f liên tục đều nên chọn được đủ bé sao cho


ω( ) < A

 ω(

A

)

≤

λ(x0 )
2

20


f (xn ) + f (cn ) − f (xn ) = f (cn ) > inf f (xn ) = A > 0.
n≥0

Do ln(x + 1) ≤ x nên ta thu được ước lượng sau
1
|

n+1
=|
≤
≤

n

k=0

n

1
n+1

1
n+1
1
n+1

1
ln|f (xk ) + f (ck ) − f (xk )| −
n+1
ln|1 +

k=0
n

|
k=0
n

k=0

n

ln|f (xk )||
k=0

f (ck ) − f (xk )
||
f (xk )

f (ck ) − f (xk )
|
f (xk )

ω( )
A

ω( )
1
(n + 1)
n+1
A
ω( )
=
.
A

=

Mặt khác, ta lại có
1
n+1

n

k=0

1
≤|
n+1
≤

1
ln|f (xk )| −
n+1
n

k=0

n

ln|f (xk ) + f (ck ) − f (xk )|
k=0

1
ln|f (xk )| −
n+1

n

ln|f (ck )||
k=0

ω( )
.
A

Khi đó
1
n+1

n

k=0

1
ln|f (ck )| ≥
n+1

n

ln|f (xk )| −
k=0

ω( )
A

Suy ra

1
lim inf
n→∞
n+1

n

ln|f (ck )| ≥ λ(x0 ) −
k=0

λ(x0 )
.
2
Tồn tại số N dương đủ lớn sao cho với mọi n ≥ N thì
≥

1
n+1

n

ln|f (ck )| ≥
k=0

21

λ(x0 )
4

ω( )

A


1
n

n−1

ln|f (ck )| =
k=0

1
λ(x0 )
ln|f (c0 ).f (c1 )...f (cn−1 )| ≥
n
4

nλ(x0 )
4
nλ(x0 )
.
|f (c0 ).f (c1 )...f (cn−1 )| ≥ exp
4
ln|f (c0 ).f (c1 )...f (cn−1 )| ≥

Với mọi n ≥ N ta có
wn = f (cn−1 ).f (cn−2 )...f (c0 ).w0
|wn | = |f (cn−1 ).f (cn−2 )...f (c0 )||w0 | ≥ exp
Mâu thuẫn |wn | ≤

nλ(x0 )
.|w0 | → ∞ khi n → ∞
4

với mọi n ≥ 0.

Ví dụ 2.1.2. Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm xác định bởi f (x) = x2 . Với
k
quỹ đạo {xn }∞
n=0 thỏa mãn x0 = 1, ta có xk = f (x0 ) = 1. Khi đó, số mũ

Lyapunov của quỹ đạo cho bởi
1
λ(x0 ) = lim
n→∞ n + 1
1
n→∞ n + 1

n

ln |f (xk )|
k=0
n

= lim

ln 2
k=0

= ln 2 > 0.

Mặt khác
inf |f (xn )| = 2 > 0.

n≥0

Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1.1 được thỏa mãn nên quỹ đạo trên là
nhạy cảm.
Từ Định lí 2.1.1 và Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta thu được định lí
dưới đây như là một hệ quả.
Định lý 2.1.2. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C 1 . Nếu quỹ đạo {xn }∞
n=0 có
số mũ Lyapunov mạnh dương Λ > 0 thì quỹ đạo đó không ổn định.
22


2.2

Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn

Như đã trình bày trong mục trước việc, số mũ Lyapunov dương chưa đủ
để kết luận quỹ đạo là nhạy cảm. Tính bị chặn dưới của đạo hàm quỹ đạo
là một trong những điều kiện đủ quan trọng để suy ra được sự nhạy cảm.
Trong phần này, ta trình bày một một điều kiện đủ khác để quỹ đạo vẫn còn
nhạy cảm là đưa ra một số điều kiện cho những quỹ đạo chứa điểm đạo hàm
bằng 0. Dưới đây là bổ đề kĩ thuật.
Bổ đề 2.2.1. Cho f : I → I thuộc lớp C 2 , I là tập compact và p thỏa mãn
f (p) = p, f (p) = α,
trong đó |α| < 1. Khi đó cho K > 1, tồn tại δ > 0 sao cho |x − p| ≤ δ thì với
n ≥ 0 ta có
K −1 |α|n |x − p| ≤ |f n (x) − p| ≤ K|α|n |x − p|.

Chứng minh. Đặt
yn = xn − p = f n (x0 ) − f n (p)
Khi đó
yn+1 = f n+1 (x0 ) − f n+1 (p)
= f (p)yn + f n+1 (x0 ) − f n+1 (p) − f (p)yn .
Ta có
yn+1 = αyn + g(yn ),

(2.1)

trong đó g(yn ) = f n+1 (x0 ) − f n+1 (p) − f (p)yn = f (yn + p) − f (p) − f (p)yn .
Do f ∈ C 2 và I là tập compact nên f liên tục trên tập I compact. Tồn tại
số M dương sao cho với |x − p| ≤ δ0 thì
|f (x)| ≤ M.

23