Gải bài toán bằng cách lập phương trình 9

Sáng kiến kinh nghiệm.
Dạy học
Giải toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.
a. đặt vấn đề
Nh chúng ta đã biết, ngay từ những ngày đầu mới cắp sách đến trờng. Học sinh
lớp 1 đã đợc tập giải phơng trình. Đó là những phơng trình rất đơn giản dới dạng điền
số thích hợp vào ô trống. Đối với các học sinh ở lớp cao hơn thì tính chất phức tạp đề
bài toán dới dạng phơng trình cũng dần đợc nâng lên. Đó là những phơng trình viết
sẵn, học sinh chỉ việc giải phơng trình, tìm ra ẩn số.
Tuy nhiên đối với học sinh lớp 8, lớp 9 các đề toán về phơng trình có thêm
dạng bài toán có lời, học sinh căn cứ vào đề bài toán để thành lập phơng trình. Kết
quả của bài toán không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải phơng trình và còn phụ
thuộc nhiều vào việc thành lập phơng trình.
Đề bài toán là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng đã biết và
các đại lợng cần tìm. Yêu cầu học sinh phải có kiến thức phân tích, khái quát, tổng
hợp liên kết các đại lợng với nhau, chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thờng sang ngôn
ngữ toán học để thành lập phơng trình để giải.
Nội dung của bài toán hầu hết gắn với thực tiễn đời sống con ngời, nên trong
quá trình giải loại toán này học sinh thờng không lu tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn
đến đáp số vô lý.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phơng trình đối với học sinh ở bậc
THCS là một việc làm mới mẻ và khá khó khăn, dễ gây tình trạng học sinh chán
nản hoặc sợ hãi khi gặp dạng toán này.
Chính vì vậy nhiệm vụ của ngời thầy giáo không chỉ đơn thuần truyền thụ cho
học sinh những kiến thức cơ bản theo trình tự sách giáo khoa, mà vấn đề đặt ra là ng-
1
ời thầy phải dạy cho học sinh phơng pháp giải loại toán này phải dựa trên những qui
tắc chung là: Yêu cầu về giải một bài toán, qui tắc giải bài toán bằng cách lập phơng
trình , phân loại các loại toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng làm sáng
tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng. Đây là một b-

ớc đặc biệt quan trọng và khó khăn đối với học sinh.
Qua tham khảo, học hỏi bằng những kinh nghiệm rút ra sau những năm giảng
dạy ở lớp 8, lớp 9 trực tiếp thử nghiệm, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: Dạy giải
bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình .
b. nội dung
I. Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán.
1. Phơng pháp nghiên cứu.
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình ) là một trọng tâm
của Đại số 8, 9. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tợng hoá các sự kiện cho
trong bài toán thành các kiến thức và phơng trình (hệ phơng trình ). Nó cũng đòi
hỏi kĩ năng giải phơng trình ( hệ phơng trình ) và lựa chọn nghiệm thích hợp. Vì vậy
phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán này là dựa vào qui tắc chung: Tóm tắt
các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
* Bớc 1: Lập phơng trình (hệ phơng trình ).
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
- Lập phơng trình (hệ phơng trình ) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
* Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình ).
* Bớc 3: Trả lời:
Kiểm tra xem trong các nghiệm, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn,
nghiệm nào không, rồi kết luận.
Mặc dù đã có qui tắc trên xong ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải loại
toán này cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu về giải một bài toán nói chung.
2
2. Yêu cầu về giả một bài toán.
2.1. Yêu cầu 1: Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này giáo viên phải làm cho học
sinh hiểu đề toán và trong quá trình giải không có sai sót về kiến thức, phơng pháp
suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu, điều kiện của ẩn, phải rèn cho học sinh thói
quen đặt điều kiện cho ẩn và xem xét, đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn có hợp

lý cha.
2.1. Yêu cầu 2: Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác.
Đó là trong quá trình thực hiện từng bớc có lôgic chặt chẽ với nhau, có cơ sở
lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả
thiết. Xác định ẩn khéo léo, mọi quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc
ý phải tìm. Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng
trình (hệ phơng trình ) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm
cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? Có thể thoả mãn
đợc điều kiện hay không? điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ đó mà xác
định hớng đi, xây dựng đợc cách giải.
Ví dụ 1:
Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi của
khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m
2
.
H ớng dẫn:
ở đây bài toán hỏi chu vi của hình chữ nhật. Học sinh thờng có xu thế bài
toán hỏi gì thì gọi đó là ẩn, nếu gọi chu vi của hình chữ nhật là ẩn thì bài toán đi
vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học sinh phát triển sâu trong khả
năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề: Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết gì?
=> (cạnh hình chữ nhật).
Từ đó: Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật là x (đơn vị mét, điều kiện x > 0)
Từ đó có phơng trình x ( x + 4 ) = 120 <=> x
2
+ 4x 1200 = 0
3
Giải phơng trình ta có: x
1
= 30; x
2

= -34
Giáo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x
2
= -34
Chỉ lấy x
1
= 30 => chiều dài là 30 + 4 = 34
Chu vi là: 2(30 + 34) = 128(m)
L u ý : ở bài toán này nghiệm x
2
= -34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình chữ
nhật, học sinh dễ mắc sai lầm coi đó là kết quả (nghiệm) của bài toán.
2.3. Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ, mang tính toàn diện.
Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng
cũng không thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả
của bài toán đã là đại diện phù hợp với mọi cái chung. Nếu thay đổi điều kiện bài
toán rơi vào trờng hợp đặt biệt thì kết quả vẫn luôn đúng.
Ví dụ 2:
Một tam giác có chiều cao bằng
4
3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm
và cạnh đáy giảm đi 2dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm
2
. Tính chiều cao và
cạnh đáy?
H ớng dẫn:
Lu ý cho học sinh dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện
tích (S) của nó luôn đợc tính theo công thức
x

2
1
=
S
(cạnh đáy x chiều cao)
Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy(lúc đầu) là x(dm) x > 0.
Thì chiều cao (lúc đầu) sẽ là
4
3
x
=> Diện tích lúc đầu là
xx
4
3
2
1
.
Diện tích sau là
( )






+
3
4
3
2

2
1
xx .
Ta có phơng trình
4
( )
12
4
3
2
1
3
4
3
2
2
1
=






+
x
xxx ..
Giải phơng trình ta đợc x= 20 thoả mãn điều kiện
=> Chiều cao lúc đầu là
dm1520

4
3
=
.
2.4. Yêu cầu 4: Lời giải bài toán phải đơn giản
Bài toán phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang
tính toàn điện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu
và làm đợc.
Ví dụ 3: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
36 con
100 chân chẵn
Hỏi có mấy gà, mấy chó?
Với bài toàn này nếu giải nh sau:
Gọi số gà là x (x > 0; x
N

), thì số chó sẽ là 36 x
Số chân gà là 2x; số chân chó là 4(36 - x)
Ta có phơng trình 2x + 4(36 x) = 100
Giải ra ta có: x = 22 => Số gà là 22 con
Số chó là 36 22 = 14con
Thì bài toán sẽ ngắn gọn, dễ hiểu.
Nhng có học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn (x, y), hoặc gọi là chân gà là x thì đã
vô tình đa thành bài toán khó hiểu không hợp vào trình độ học sinh.
2.5. Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học.
Đó là lu ý đến mối quan hệ giữa các bơc giải trong bài toán phải lôgic, chặt
chẽ với nhau. Các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó đã đợc kiểm nghiệm, chứng
minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trớc.

5
Ví dụ 4:
Chiều cao của một tam giác vuông = 9,6m và chia cạnh huyền thành hai
đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác?
Ta có hình vẽ
Theo hình vẽ bài toán yêu cầu tìm độ dài BC khi biết AH.
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức
AH
2
= BH . CH
Để từ đó: Gọi độ dài BH là x (x>0)(m)
=> CH có độ dài là x + 5,6
Ta có phơng trình x ( x + 5,6) = 9,6
2
Giải phơng trình ta có x = 7,2 thoả mãn điều kiện => độ dài cạnh huyền là
(7,2 + 5,6) + 7,2 = 20(m)
2.6. Yêu cầu 6: Lời giải bài toán phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.
Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo, phủ định
lẫn nhau. Kết quả phải đúng nên rèn cho học sinh thói quen thử lại kết quả và tìm
hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ ph-
ơng trình.
II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ
phơng trình.
1. Phân giai đoạn:
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong qui tắc giải nh đã nêu
ở phần I thì giải bài toán loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể nh sau:
6
A
B
C

H
(nhỏ) (lớn)