ĐỀ 4 KHÓA LUYỆN đề 2020 đáp án

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2020
Bài thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :

x + 3 y − 2 z +1
=
=
. Đường thẳng d có một
1
−4
2

vectơ chỉ phương có tọa độ là
A. ( −4;1; 2 ) .
Câu 2:

B. (1; −4; 2 ) .

B. −12 .

 r 2h
3

D. ( 2;0;0 ) .

C. ( 0;1;0 ) .

B. 3 r 2 h .

.

D. 2 r 2 h .

C.  r 2 h .

Với k và n là hai số tự nhiên tùy ý thỏa mãn k  n , mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Ank =

k !( n − k ) !
.
n!
1

Câu 6:

B. ( 0;1;5 ) .

Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính r , chiều cao h bằng
A.

Câu 5:

D. −24 .

C. 24.

Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1;5) . Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là
A. ( 0;0;5 ) .

Câu 4:

D. (1; 4; 2 ) .

Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thứ hai u2 = −6 . Giá trị của u4 bằng
A. 12.

Câu 3:

C. ( −3; 2; −1) .

Tích phân

B. Ank =

n!
.
k !( n − k ) !

C. Ank =

n!
.
k!

D. Ank =

n!
.
( n − k )!

2

 2 x + 1 dx bằng
0

A. 2 ln 2 .
Câu 7:

B. ln 2 .

C. ln 3 .

D. 2ln3 .

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 4 ) = 4 . Tọa độ tâm I và bán
2

2

2

kính R của mặt cầu ( S ) là
A. I ( −1;3; −4 ) ; R = 2 .
Câu 8:

C. I ( −1;3; −4 ) ; R = 4 . D. I (1; −3; 4 ) ; R = 4 .

Ký hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 1 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng
A. −1 .

Câu 9:

B. I (1; −3; 4 ) ; R = 2 .

B. i .

C. −i .

D. 1 .

Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao h có thể tích bằng
A.

a2
.
h

B. ah .

C. a 2 h .

D.

1 2
a h.

3

Câu 10: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới
đây?

A. y = x3 − 2 x 2 + 1 .

B. y = x3 − 2 x 2 − 1 .

C. y = x3 + x 2 + 1 .

D. y = x3 + x 2 − 1 .
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|1


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 1.

(

)

C. 4.

D. 2.

C. 4 .

D. 3 .

Câu 12: Giá trị của log2 4 2 bằng
A.

3
.
2

Câu 13: [Hàm số y =

B.

5
.
2

x +1
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x −1

A. ( −; +  ) .

B. (1; 2 ) .

C. ( −; 2 ) .

D. ( −1; +  ) .

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − sin x là
x2
x2
+ cos x + C .
− cos x + C .
C.
2
2
Câu 15: Với các số thực a , b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a.2b = 2a −b .
B. 2a.2b = 2ab .
C. 2a.2b = 4ab .

A. 1 − cos x + C .

B.

D. 1 + cos x + C .
D. 2a.2b = 2a +b .

Câu 16: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ( x ) = ax5 + bx 4 + cx3 + dx 2 + ex + g .

Hỏi đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4.

B. 6.

C. 3.

D. 5.

Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2; 0 ) , c ( 2; 2; 2 ) . Giá trị của a + b + c bằng
A. 6 .

B. 2 6 .

Câu 18: Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình 4 x
A. 3 .

B. 2 .

D. 2 11 .

C. 11 .
2

−x

+ 2x

2

− x +1

= 3 . Giá trị của x1 − x2 bằng

C. 4 .

D. 1 .

C. 3.

D.

Câu 19: Giá trị (1 − i )( 2 + i ) − i bằng
A. 13 .

B. 17 .

5.

Câu 20: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e .

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|2


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Hỏi có bao nhiêu m nguyên để phương trình f ( x ) = m có ít nhất ba nghiệm phân biệt?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( sin x − 1) bằng
A. 4 .
B. 3 .
C. −3 .
D. −2 .
Câu 22: Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
a3
.
3

a3 2
a3 2
.
D.
.
6
2
z
Câu 23: Số phức z có điểm biểu diễn A . Phần ảo của số phức
bằng
z −i
1
5
1
5
A. .
B. .
C. i .
D. i .

4
4
4
4
Câu 24: Cho lăng trụ đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( ABC  ) bằng
A.

A. 90 .

B. a 3 .

C.

B. 30 .

C. 60 .

 2m + n = 8
Câu 25: Cho m; n thỏa mãn  m
. Giá trị của m.n bằng
n
2
+
2
=
6

A. 1 .
B. 8 .

C. 2 .

D. 45 .

D. 4 .

Câu 26: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Thể tích khối nón đã cho
bằng
A.

3 a3
.
3

2 a 3
B.
.
3

 a3
C.
.
3

D.

B. 0 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 27: Phương trình log 2 ( 5.2x − 4 ) = 2 x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 2 .
Câu 28: Đồ thị hàm số y =
A. 1 .

x −1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
x − 3x
B. 2 .
C. 4 .

2 a3
.
3

3

Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; − 1; 2 )

D. 3 .

 x=t

và hai đường thẳng d :  y = −1 − 4t ,
 z = 6 + 6t


x y −1 z + 2

d : =
=
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M , vuông
2
1
−5

góc với d và d  ?
x −1 y +1 z − 2
=
=
A.
.
17
9
14

B.

x −1 y +1 z + 2
=
=
.
14
17
9

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|3

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

C.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
17
14
9

D.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
14
17
9

Câu 30: Cho f ( x ) xác định, liên tục trên  0; 4 thỏa mãn f ( x ) + f ( 4 − x ) = − x 2 + 4 x . Giá trị của
4

 f ( x ) dx bằng
0

A.

32
.
3

B. 32 .

C.

16
.
3

D. 16 .

Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 , ( Q ) :2 y + z − 5 = 0 , và

( R ) : x − y + z − 2 = 0 . Gọi ( ) là mặt phẳng qua giao tuyến của ( P )
góc với ( R ) . Phương trình của mặt phẳng ( ) là

và ( Q ) , đồng thời vuông

A. 2 x + 3 y − 5 z − 5 = 0 . B. x + 3 y + 2 z − 6 = 0 . C. x + 3 y + 2 z + 6 = 0 . D. 2 x + 3 y − 5 z + 5 = 0 .
Câu 32: Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 2a ;
BC = 2a 3 . Tam giác ABC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

( ABC ) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng

AA và BC bằng

a 2

a 5
a 3
.
C.
.
D.
.
2
2
2
Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , AD = a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A. a 3 .

A.

B.

a 57
.
6

B.

a 19
.
4

C.

2a 15
.
3

D.

a 13
.
3

Câu 34: Cho hàm số y = ( m2 − 3m + 2 ) x 4 − x3 + ( m − 2 ) x 2 − x , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −; + ) .
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 35: Một công ti sản xuất bút chì có hình dạng lăng trụ lục giác đều có chiều cao 18 cm và đáy là hình
lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 1cm . Bút chì được cấu tạo từ 2 thành phần chính
là than chì và bột gỗ ép. Than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính

1
cm , giá thành
4

540 đồng /cm 3 . Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng /cm 3 . Tính giá của một cái bút chì
được công ti bán ra biết giá nguyên vật liệu chiếm 15,58% giá thành sản phẩm.
A. 10000 đồng.
B. 5000 đồng.
C. 3000 đồng.
D. 8000 đồng.

Câu 36: Trong
d2 :

không

gian

Oxyz

,

cho

hai

đường

thẳng

d1 :

x −1 y + 2 z −1
=
=
1
1
2

và

x −1 y −1 z + 2
=
=
. Mặt phẳng ( P ) : x + ay + bz + c = 0 ( c  0 ) song song với d1 , d 2 và
2
1
1

khoảng cách từ d1 đến ( P ) bằng 2 lần khoảng cách từ d 2 đến ( P ) . Giá trị của a + b + c bằng:
A. 6 .

B. 14 .

C. −4 .

D. −6 .

Câu 37: Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Quý vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8. Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau
bằng

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|4


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

A.

1
.

10

B.

12
.
35

C.

2
.
19

D.

1
.
6


2

Câu 38: Cho



−

cos x + 3

b
dx = a +
x
2 +1
2

( a, b  ) . Giá trị của

a + b 2 bằng

2

C. −2 .

B. 10 .

A. 4 .

D. 2 .

Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z − ( 2 + i ) z = 2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng
A. 2 .

B. 1 .

C.

(

)

5
.
5

D.

2 5
.
5

Câu 40: Cho x , y thỏa mãn log 1 x + log 1 y  log 1 x 2 + y . Giá trị nhỏ nhất của 3x + y bằng
2

2

2

B. 4 + 2 3 .

A. 15 .

D. 5 + 2 3 .

C. 9 .

Câu 41: Hỏi hàm số y = sin 2 x + x có bao nhiêu điểm cực trị trên ( − ;  ) ?
A. 5 .

B. 3 .

D. 7 .

C. 4 .

Câu 42: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC . Các mặt phẳng ( ABC  ) và ( ABC ) chia khối lăng
trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Kí hiệu H1 , H 2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ
nhất trong bốn khối trên. Giá trị của
A. 5 .

V( H1 )
V( H 2 )

B. 3 .

bằng
C. 2 .

Câu 43: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

D. 4 .

thỏa mãn 4 f 3 ( x ) + f ( x ) = x x 

. Giá trị của

 f ( x ) dx bằng
1

0

A. 0 .

B.

5
.
16

C.

Câu 44: Cho hai đường cong ( H ) : y = m +

1
.
2

D. −

1
.
2

1
và ( P ) : y = x 2 + x − 1 . Biết ( P ) và ( H ) cắt nhau tại 3
x

điểm phân biệt sao cho đường tròn đi qua 3 điểm này có bán kính bằng 2. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. m  ( −6;1) .

B. m  ( 6; + ) .

Câu 45: Có bao nhiêu số phức z = a + bi ( a, b 
A. 12.
Câu 46: Cho

B. 5.

x, y  ( 0; 2 )

thỏa

mãn

C. m  ( −; −6 ) .

) thỏa mãn z + i + z − 3i

D. m  (1;6 ) .

= z + 4i + z − 6i và z  10 .

C. 2.

D. 10.

( x − 3)( x + 8) = ey ( ey − 11)

.

Giá

trị

lớn

nhất

của

P = ln x + 1 + ln y bằng
A. 1 + ln 3 − ln 2 .

B. 2 ln 3 − ln 2 .

C. 1 + ln 3 − ln 2 .

D. 1 + ln 2 .

Câu 47: Cho Parabol ( P ) : y = x 2 và đường tròn ( C ) có tâm A ( 0;3) bán kính bằng

5 như hình vẽ.

Diện tích phần được tô đậm giữa ( C ) và ( P ) gần nhất với số nào dưới đây?
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|5


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

A. 3.44 .

B. 1.51.

C. 1.77 .

D. 3.54 .

( S ) : x2 + y 2 + ( z − 1)2 = 25 và
2
2
2
( S ) :( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = 1 . Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc ( S ) và cắt ( S ) theo giao tuyến
là một đường tròn có chu vi bằng 6 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( P ) bằng

Câu 48: Trong

A.

8
.
9

không

gian

Oxyz

B.

,

14
.
3

cho

hai

mặt

C.

cầu

17
.
7

D.

19
.
2

Câu 49: Trong không gian Oxyz , gọi d là đường thẳng đi qua O , thuộc mặt phẳng ( Oyz ) và cách điểm

M (1; − 2;1) một khoảng nhỏ nhất. Cosin của góc giữa d và trục tung bằng

A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

1
.
5

D.

2
.
5

Câu 50: Cho hàm số f ( x ) = 2 x3 + 6 x 2 + 1 và các số thực m , n thỏa mãn m2 − 4mn + 5n2 = 2 2n − 1 . Giá
 m−2 2 
trị nhỏ nhất của f 
 bằng
n




A. −99 .

B. −100 .

C. 5 .

D. 4 .

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|6


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

BẢNG ĐÁP ÁN
1.B

2.D

3.D

4.C

5.D

6.C

7.B

8.A

9.C

10.C

11.A

12.B

13.B

14.B

15.D

16.D

17.D

18.D

19.D

20.C

21.B

22.C

23.A

24.D

25.C

26.A

27.C

28.A

29.D

30.C

31.B

32.D

33.A

34.A

35.A

36.B

37.A

38.B

39.C

40.C

41.A

42.A

43.B

44.D

45.A

46.B

47.D

48.B

49.D

50.A

Câu 1.

GIẢI CHI TIẾT
x + 3 y − 2 z +1

=
=
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Đường thẳng d có một
1
−4
2
vectơ chỉ phương có tọa độ là
A. ( −4;1; 2 ) .

B. (1; −4; 2 ) .

C. ( −3; 2; −1) .

D. (1; 4; 2 ) .

Lời giải
▪
Câu 2.

Chọn B

Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và số hạng thứ hai u2 = −6 . Giá trị của u4 bằng
B. −12 .

A. 12.

Câu 3.

D. −24 .

C. 24.
Lời giải

▪

Chọn D

▪

Ta có: u1 = 3, u2 = −6 , suy ra công bội q =

▪

Vậy u4 = u1q3 = 3. ( −2 ) = −24 .

u2
= −2 .
u1

3

Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2;1;5) . Hình chiếu của M lên trục Ox có tọa độ là
A. ( 0;0;5 ) .

B. ( 0;1;5 ) .

D. ( 2;0;0 ) .

C. ( 0;1;0 ) .

Lời giải

▪

Chọn D

▪

Tọa độ hình chiếu của điểm M ( 2;1;5) lên trục Ox có tọa độ là ( 2;0;0 ) .

Tổng quát:
▪

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( a; b; c ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên trục Ox là điểm M1 ( a;0;0 ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên trục Oy là điểm M 2 ( 0; b;0 ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên trục Oz là điểm M 3 ( 0;0; c ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm M 4 ( a; b;0 ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng ( Oyz ) là điểm M 5 ( 0; b; c ) .

▪

Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng ( Oxz ) là điểm M 6 ( a;0; c ) .

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|7


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Câu 4.

Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính r , chiều cao h bằng
A.

 r 2h
3

B. 3 r 2 h .

.

D. 2 r 2 h .

C.  r 2 h .
Lời giải

Câu 5.

▪ Chọn C
Với k và n là hai số tự nhiên tùy ý thỏa mãn k  n , mệnh đề nào dưới đây đúng?
k !( n − k ) !
n!
n!
n!
A. Ank =
.
B. Ank =
.
C. Ank =
.
D. Ank =
.
k!
n!
k !( n − k ) !
( n − k )!
Lời giải
▪

Chọn D
1

Câu 6.

Tích phân

2

 2 x + 1 dx bằng
0

A. 2 ln 2 .

C. ln 3 .
Lời giải

D. 2ln3 .

▪

Chọn C

▪

1
d ( 2 x + 1)
2
0 2 x + 1 dx = 0 2 x + 1 = ln | 2 x + 1| 0 = ln3 − ln1 = ln 3 .
1

Câu 7.

B. ln 2 .

1

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 4 ) = 4 . Tọa độ tâm I và bán
2

2

2

kính R của mặt cầu ( S ) là
A. I ( −1;3; −4 ) ; R = 2 .

B. I (1; −3; 4 ) ; R = 2 .

C. I ( −1;3; −4 ) ; R = 4 .

D. I (1; −3; 4 ) ; R = 4 .
Lời giải

Câu 8.

▪

Chọn B

▪

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −3; 4 ) và bán kính R = 2 .

Ký hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 + z + 1 = 0 . Giá trị của z1 + z2 bằng
A. −1 .

B. i .

C. −i .
Lời giải

D. 1 .

Chọn A

Câu 9.

▪


1
z = − +
2
Cách 1: z 2 + z + 1 = 0  

1
z = − −

2

▪

Cách 2: Áp dụng định lý Vi-et: z1 + z2 = −1 .

3

i
2  z + z = −1 .
1
2
3
i
2

Khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao h có thể tích bằng
A.

a2
.
h

B. ah .

C. a 2 h .

D.

1 2
a h.
3

Lời giải
▪

Chọn C

▪ Thể tích khối lăng trụ là: V = B.h = a 2 .h .
Câu 10. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|8


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

A. y = x3 − 2 x 2 + 1 .

B. y = x3 − 2 x 2 − 1 .

C. y = x3 + x 2 + 1 .

D. y = x3 + x 2 − 1 .

Lời giải
▪ Chọn C
Nhận xét: Trên cơ sở 4 đáp án, suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc ba
y = ax3 + bx 2 + cx + d , (a  0)

▪

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương  d  0  Loại đáp án B và D.

▪

Đồ thị có hai điểm cực trị trong đó điểm cực đại có hoành độ âm.

▪

Xét hàm số y = x3 − 2 x 2 + 1 .

▪

x = 0
Ta có y ' = 3x − 4 x ; y ' = 0  
.
x = 4
3


▪

Suy ra hàm số y = x3 − 2 x 2 + 1 đạt cực đại tại x = 0 . Do đó loại A.

2

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 1.

C. 4.
Lời giải

D. 2.

▪ Chọn A
Cách 1.

▪

Nhìn bảng xét dấu đạo hàm ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|9


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

▪ Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Cách 2.
▪

Từ bảng xét dấu của f  ( x ) , ta thấy f  ( x ) có 4 nghiệm phân biệt, đổi dấu khi qua các nghiệm

x = −2 , x = 0 , x = 1 và f  ( x ) không đổi dấu khi qua x = 3 . Vây hàm số đã cho có 3 điểm
cực trị.

(

)

Câu 12. Giá trị của log2 4 2 bằng
A.

3
.
2

B.

5
.
2

C. 4 .

D. 3 .

Lời giải
▪

Chọn B

▪

5
 2 12 
5
2
log
4
2
=
log
Ta có
.
2
2  2 .2  = log 2 ( 2 ) =
2




(

Câu 13. Hàm số y =

)

x +1
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x −1

A. ( −; +  ) .

C. ( −; 2 ) .

B. (1; 2 ) .

D. ( −1; +  ) .

Lời giải
▪

Chọn B

Xét hàm số y =

x +1
.

x −1

+) TXĐ: D =

\ 1 .

+) Ta có y =

−2

( x − 1)

2

 0 , x 

\ 1 .

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −;1) và (1; +  ) . Chọn B.
Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x − sin x là
A. 1 − cos x + C .

B.

x2
+ cos x + C .
2

C.

x2
− cos x + C .
2

D. 1 + cos x + C .

Lời giải
Chọn B
x2
Ta có  f ( x )dx =  ( x − sin x )dx = + cos x + C .
2
Câu 15. Với các số thực a , b bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 2a.2b = 2a −b .
B. 2a.2b = 2ab .
C. 2a.2b = 4ab .
Lời giải
Chọn D

D. 2a.2b = 2a +b .

Vì 2a.2b = 2a +b nên D đúng.
Câu 16. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ( x ) = ax5 + bx 4 + cx3 + dx 2 + ex + g .

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|10


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Hỏi đồ thị của hàm số y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4.

B. 6.

C. 3.
Lời giải

D. 5.

Chọn D
Cách 1:


 f ( x ) khi f ( x )  0
Ta có y = f ( x ) = 

− f ( x ) khi f ( x )  0
Cách vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau:
▪

Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và các điểm thuộc trục hoành của đồ thị
hàm số y = f ( x ) , .

▪

Lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành, .

Khi đó đồ thị của hàm số y = f ( x ) là hợp của hai phần đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) .
Từ đó ta có đồ thị hàm số y = f ( x ) như sau:

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta thấy hàm số y = f ( x ) có 5 điểm cực trị.

Cách 2:
▪

Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = f ( x ) . Số điểm cực trị của hàm y = f ( x ) nói trên bằng tổng
của số điểm cực trị của ( C ) và số giao điểm của ( C ) với trục hoành.

▪

Áp dụng: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đề cho, ta thấy:

▪

( C ) có 3 điểm cực trị.
( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm trong đó có 1 điểm là điểm cực trị của ( C ) .

▪

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|11


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Suy ra số điểm cực trị của hàm y = f ( x ) là 3 + 2 = 5 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho a ( −2; 2;0 ) , b ( 2; 2; 0 ) , c ( 2; 2; 2 ) . Giá trị của a + b + c bằng
A. 6 .

B. 2 6 .

D. 2 11 .

C. 11 .
Lời giải

Chọn D
Ta có a + b + c = ( 2;6; 2 )  a + b + c = 22 + 62 + 22 = 44 = 2 11 .
Câu 18. Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực của phương trình 4 x
A. 3 .

B. 2 .

2

−x

+ 2x

2

− x +1

= 3 . Giá trị của x1 − x2 bằng

C. 4 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn D
Ta có 4 x

2

−x

Đặt t = 2 x

2

+ 2x

−x

2

− x +1

(

= 3  2x

2

−x

)

2

+ 2.2 x

2

−x

−3 = 0

( *)

.

, t 0 .

Khi đó phương trình (*) trở thành:
t = 1
t 2 + 2t − 3 = 0  
. Đối chiếu với điều kiện t  0 ta được t = 1 .
 t = −3
Với t = 1 , ta có 2 x

2

−x

x = 0
= 1  x2 − x = 0  
.
x = 1

Vậy x1 − x2 = 1 .

Câu 19. Giá trị (1 − i )( 2 + i ) − i bằng
A. 13 .

B. 17 .

C. 3.
Lời giải

D.

5.

Chọn D
Ta có: (1 − i )( 2 + i ) − i = (1 + i )( 2 + i ) − i = 1 + 2i .
Do đó (1 − i )( 2 + i ) − i = 1 + 2i = 12 + 2 2 = 5 .
Câu 20. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e .

Hỏi có bao nhiêu m nguyên để phương trình f ( x ) = m có ít nhất ba nghiệm phân biệt?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|12


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) ta suy ra đồ thị hàm số ( C ') : y = f ( x ) như sau:
▪

Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) trên miền x  0 , .

▪

Bỏ phần đồ thị ( C ) ở bên trái trục Oy .

▪

Lấy đối xứng ( C1 ) qua trục Oy , .

Khi đó đồ thị của hàm số y = f ( x ) là hợp của hai phần đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) .
Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ dưới đây:

Dựa vào đồ thị ( C ') ta có:
Phương trình f ( x ) = m có ít nhất ba nghiệm phân biệt  −3  m  0.
Vì m

nên m  −2; −1;0 . Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu biến thiên như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( sin x − 1) bằng
A. 4 .

B. 3 .

C. −3 .
Lời giải

D. −2 .

Chọn B
Đặt sin x − 1 = t , ( −2  t  0 ) .
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( t ) trên đoạn  −2;0 .
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( t ) trên đoạn  −2;0 là 3 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f ( sin x − 1) bằng 3.
Câu 22. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích khối chóp đã cho bằng
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|13


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

a3
A.
.
3

a3 2
C.
.
6
Lời giải

3

B. a .

a3 2
D.
.
2

Chọn C

Gọi khối chóp tứ giác đều là có tất cả các cạnh bằng a là S.ABCD .
Ta có đáy ABCD là hình vuông  S ABCD = a2 .
Gọi O là tâm của đáy  SO ⊥ ( ABCD ) .

2a 2 a 2
a 2
2
2
2
Ta có BO =
; SO = SB − BO = a −
.
=
2
4
2
1
a 2 2 a3 2
.
VS . ABCD = SO.S ABCD =

.a =
3
6
6
Câu 23. Số phức z có điểm biểu diễn A . Phần ảo của số phức
A.

1
.
4

B.

5
.
4

C.

z
bằng
z −i

1
i.
4

D.

5

i.
4

Lời giải
Chọn A
Số phức z có điểm biểu diễn A ( 2;3)  z = 2 + 3i .
z
2 + 3i
2 + 3i 5 1
=
=
= + i.
z − i 2 + 3i − i 2 + 2i 4 4
1
z
Suy ra phần ảo của số phức
bằng .
4
z −i

Ta có

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|14


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Câu 24. Cho lăng trụ đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng a . Góc giữa đường thẳng AB và mặt
phẳng ( ABC  ) bằng
A. 90 .

B. 30 .

C. 60 .
Lời giải

D. 45 .

Chọn D

+) Ta có AB là hình chiếu của AB lên mặt phẳng ( ABC  )

 ( AB, ( ABC ) ) = ( AB, AB ) = ABA .
+) AAB vuông tại A , AA = AB = a  AAB vuông cân tại A  ABA = 45 .
Vậy góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( ABC  ) bằng 45 .

 2m + n = 8
Câu 25. Cho m; n thỏa mãn  m
. Giá trị của m.n bằng
n
2 + 2 = 6
A. 1 .
B. 8 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn C

D. 4 .

 2m + n = 8

 2 m , 2 n là nghiệm của phương trình t 2 − 6t + 8 = 0
Ta có  m
n
2
+
2
=
6

 2m = 2
 m = 1
 n

 2 = 4
n = 2
. Vậy m.n = 2 .


m
 m = 2

2
=
4



 2n = 2
 n = 1


Câu 26 . Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và chiều cao bằng a 3 . Thể tích khối nón đã cho
bằng
A.

3 a3
.
3

2 a 3
B.
.
3

 a3
C.
.
3
Lời giải

D.

2 a3
.
3

Chọn A

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|15

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Giả sử khối nón có đỉnh S , đường tròn đáy tâm O và bán kính R = OA .
Ta có tam giác SOA vuông tại O nên R = OA = SA2 − SO 2 =

( 2a )

2

(

− a 3

)

2

= a.

1
1
3 a3
Thể tích khối nón là V =  R 2 h =  .a 2 .a 3 =
.
3
3
3
Câu 27 . Phương trình log 2 ( 5.2x − 4 ) = 2 x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
B. 0 .

A. 2 .

D. 3 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C

 2 x =1
2
x =0

Ta có log 2 ( 5.2x − 4 ) = 2 x  5.2x − 4 = 22 x  ( 2x ) − 5.2x + 4 = 0   x
.
x
=
2
2
=
4


Vậy phương trình đã cho có một nghiệm nguyên dương x = 2 .
Câu 28 . Đồ thị hàm số y =
A. 1 .

x −1
có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

x − 3x
B. 2 .
C. 4 .
Lời giải
3

D. 3 .

Chọn A
Xét hàm số y =

x −1
, (1) .
x − 3x
3

) (

Tập xác định D = 1; 3 

Ta có lim+
x→ 3

)

3; +  .

x −1
= +  nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (1) .
x − 3x

3

Vậy đồ thị hàm số (1) có 1 tiệm cận đứng.
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho điểm M (1; − 1; 2 )

 x=t

và hai đường thẳng d :  y = −1 − 4t ,
 z = 6 + 6t


x y −1 z + 2
d : =
=
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M , vuông
2
1
−5
góc với d và d  ?
x −1 y +1 z − 2
x −1 y +1 z + 2
=
=
=
=
A.
.
B.
.
17

9
14
14
17
9
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|16


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

C.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
17
14
9

D.

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
14
17
9

Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d , d  lần lượt nhận u1 (1; − 4; 6 ) , u2 ( 2;1; − 5 ) làm véctơ chỉ phương.
Đường thẳng  cần tìm vuông góc với hai đường thẳng d , d  nên một véctơ chỉ phương của
 là u = u1 , u2  = (14;17;9 ) .



Vậy phương trình đường thẳng  là

x −1 y +1 z − 2
=
=
.
14
17
9

Câu 30. Cho f ( x ) xác định, liên tục trên  0; 4 thỏa mãn f ( x ) + f ( 4 − x ) = − x 2 + 4 x . Giá trị của
4

 f ( x ) dx bằng
0

A.

32
.
3

B. 32 .

C.

16
.
3

D. 16 .

Lời giải
Chọn C
4

Xét tích phân I =  f ( x ) dx .
0

Đặt t = 4 − x  dt = −dx .
Đổi cận: x = 0  t = 4 ; x = 4  t = 0 .
4

4

0

0

Khi đó I =  f ( 4 − t ) dt =  f ( 4 − x ) dx .
4

4

4

0

0

0

Suy ra 2 I =  f ( x ) dx +  f ( 4 − x ) dx =   f ( x ) + f ( 4 − x ) dx

 x3
 4 32
16
I= .
=  ( − x 2 + 4 x ) dx =  − + 2 x 2  =
3
 3
0 3
0
4

Vậy I =

16
.
3

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho ba mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0 ,

( Q ) :2 y + z − 5 = 0 , và ( R ) : x − y + z − 2 = 0 . Gọi ( ) là mặt phẳng qua giao tuyến của ( P )
( Q ) , đồng thời vuông góc với ( R ) . Phương trình của mặt phẳng ( ) là

và

A. 2 x + 3 y − 5 z − 5 = 0 . B. x + 3 y + 2 z − 6 = 0 . C. x + 3 y + 2 z + 6 = 0 . D. 2 x + 3 y − 5 z + 5 = 0 .
Lời giải
Chọn B
Mặt phẳng ( P ) , ( Q ) , ( R ) lần lượt nhận n1 (1;1;1) , n2 ( 0; 2;1) , n3 (1; − 1;1) làm véctơ pháp
tuyến.
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) nên một véctơ chỉ phương của d
là u = n1 , n2  = ( −1; − 1; 2 ) .
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|17


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

 y0 + z 0 − 1 = 0
 y =4
 0
 M ( 0; 4; − 3) .
Lấy điểm M ( 0; y0 ; z0 )  d , ta có 
2 y0 + z0 − 5 = 0
 z0 = −3
Mặt phẳng ( ) đi qua d và vuông góc với ( R ) nên ( ) đi qua M và có một véctơ pháp tuyến
là n = u, n3  = (1;3; 2 ) .
Phương trình của mặt phẳng ( ) là: x + 3 ( y − 4 ) + 2 ( z + 3) = 0  x + 3 y + 2 z − 6 = 0 .
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: x + 3 y + 2 z − 6 = 0 .
Câu 32.

Cho khối lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có

AB = AC = 2a ; BC = 2a 3 . Tam giác ABC vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông
góc với đáy ( ABC ) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng
A. a 3 .

B.

a 2
.
2

C.

a 5
.
2

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn D
C'

B'

A'

K
H
C

B

A

+ Gọi H là trung điểm cạnh BC , suy ra AH ⊥ BC .

( ABC ) ⊥ ( ABC )

( ABC )  ( ABC ) = BC
 AH ⊥ ( ABC ) .
Ta có 
 AH  ( ABC )
 AH ⊥ BC

+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm H trên cạnh AA .
 BC ⊥ AH
 BC ⊥ ( AHA )  BC ⊥ HK .
Do 
 BC ⊥ AH

Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AA và BC .
Do đó d ( AA, BC ) = HK .
+ Ta có AH =

BC
= a 3 ; AH = AB2 − BH 2 = a . Suy ra HK =
2

AH . AH
AH + AH
2

2

=

a 3
.
2

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|18


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Vậy d ( AA, BC ) =

a 3
.
2

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB = 2a , AD = a . Tam giác SAB đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

A.

a 57
.
6

B.

a 19
.
4

2a 15
.
3

C.

D.

a 13
.
3

Lời giải
Chọn A

S

G

I
A

D

H

E

O
B

C

+) Gọi H là trung điểm cạnh AB , suy ra SH ⊥ AB .

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAB )  ( ABCD ) = AB
 SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có 
 SH  ( SAB )
 SH ⊥ AB

+) Gọi O là tâm đường tròn (T ) ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD . Trong mặt phẳng ( SHO ) ,
dựng đường thẳng  đi qua O và song song với SH . Suy ra  là trục của đường tròn (T ) .
+) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB . Do tam giác SAB đều nên G là tâm đường tròn (T ' )
ngoại tiếp tam giác SAB . Trong mặt phẳng ( SHO ) , dựng ' đi qua G và song song với HO

 ' ⊥ ( SAB ) . Suy ra ' là trục của đường tròn (T ' ) .
+) Trong mặt phẳng ( SHO ) , gọi I =    ' .

I  
 IA = IB = IC = ID
Ta có 

 IS = IA = IB = IC = ID .
 I   '  IS = IA = IB
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD .
1
a 3
BD a 5
+) Ta có SH = a 3 ; OI = HG = SH =
; BD = a 5 ; BO =
.
=
3
3
2
2
Vậy R = IB = OI 2 + BO 2 =

a 57
.
6

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|19

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Câu 34. Cho hàm số y = ( m2 − 3m + 2 ) x 4 − x3 + ( m − 2 ) x 2 − x , có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm
số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −; + ) .
A. 2 .

B. 0 .

D. 3 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn A
+) Xét hàm số y = ( m2 − 3m + 2 ) x 4 − x3 + ( m − 2 ) x 2 − x , (1) .
+) Ta có y = 4 ( m2 − 3m + 2 ) x3 − 3x 2 + 2 ( m − 2 ) x − 1.
+) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + )  y  0 , x 
 4 ( m2 − 3m + 2 ) x3 − 3x 2 + 2 ( m − 2 ) x − 1  0 , x 

( *) .

+) Trường hợp 1: m 2 − 3m + 2  0
Khi đó y  là hàm số bậc ba. Phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm đơn hoặc bội lẻ và đổi
dấu qua nghiệm đó. Do đó mệnh đề (*) sai. Suy ra loại m 2 − 3m + 2  0 .
m = 1
+) Trường hợp 2: m2 − 3m + 2 = 0  
.
m = 2

Với m = 1, ta có y = −3x 2 − 2 x − 1  0 , x 

Với m = 2 , ta có y = −3x 2 − 1  0 , x 

. Chọn m = 1.

. Chọn m = 2 .

Vậy m = 1, m = 2 .
Câu 35. Một công ti sản xuất bút chì có hình dạng lăng trụ lục giác đều có chiều cao 18 cm và đáy là hình
lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 1cm . Bút chì được cấu tạo từ 2 thành phần chính
là than chì và bột gỗ ép. Than chì là một khối trụ ở trung tâm có đường kính

1
cm , giá thành
4

540 đồng /cm 3 . Bột gỗ ép xung quanh có giá thành 100 đồng /cm 3 . Tính giá của một cái bút chì
được công ti bán ra biết giá nguyên vật liệu chiếm 15,58% giá thành sản phẩm.
A. 10000 đồng.
B. 5000 đồng.
C. 3000 đồng.
D. 8000 đồng.
Lời giải
Chọn A

Gọi h, S , V lần lượt là chiều cao, diện tích đáy và thể tích của bút chì, r là bán kính đáy của khối
than chì.
Do lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 1cm nên cạnh của lục giác đều là 0, 5 cm .

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|20

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

0,52. 3 3 3
Diện tích của lục giác đều là S = 6.
=
cm2 ) .
(
4
8
Thể tích của cái bút chì là: V = S .h =

3 3
27 3
.18 =
( cm3 ) .
8
4
2

9
1
Thể tích phần than chì là: V1 =  r h =  .   .18 =  ( cm3 ) .
32
8
2

Thể tích phần bột gỗ ép là: V2 = V − V1 =

216 3 − 9

27 3 9
cm3 ) .
−  =
(
32
4
32

Suy ra giá bán một cái bút chì là:

9
216 3 − 9
 .540 +
.100
V1.540 + V2 .100 32
2700 3 + 495
32
=
=
15,58%
15,58%
4.15,58%

10000 .

Vậy giá của một cái bút chì được công ti bán ra là 10000 đồng.
Câu 36. Trong
d2 :

không

gian

Oxyz

,

cho

hai

đường

thẳng

d1 :

x −1 y + 2 z −1
=
=
1
1
2

và

x −1 y −1 z + 2
=
=
. Mặt phẳng ( P ) : x + ay + bz + c = 0 ( c  0 ) song song với d1 , d 2 và

2
1
1

khoảng cách từ d1 đến ( P ) bằng 2 lần khoảng cách từ d 2 đến ( P ) . Giá trị của a + b + c bằng:
A. 6 .

B. 14 .

D. −6 .

C. −4 .
Lời giải

Chọn B
Đường thẳng d1 đi qua điểm M (1; − 2;1) và có một véctơ chỉ phương u1 = (1;1; 2 ) .
Đường thẳng d 2 đi qua điểm N (1;1; − 2 ) và có một véctơ chỉ phương u2 = ( 2;1;1) .
Mặt phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến n = (1; a ; b ) .

n.u = 0
1 + a + 2b = 0
a = −3
Do mp ( P ) song song với d1 , d 2 nên ta có:  1
.


2 + a + b = 0
b = 1
n.u2 = 0
Khi đó ( P ) : x − 3 y + z + c = 0 .

Ta có: d ( d1 , ( P ) ) = 2d ( d 2 , ( P ) )  d ( M , ( P ) ) = 2d ( N , ( P ) ) 

c +8
11

= 2.

c−4
11

 c = 16

.
c = 0

Mà c  0 nên c = 16 .
Vậy a + b + c = 14 .
Câu 37. Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh, trong đó có đúng một bạn tên Thêm và đúng một bạn tên Quý vào
ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8. Xác suất để hai bạn Thêm và Quý ngồi cạnh nhau
bằng
1
2
1
12
A.
.
B.
.
C.
.

D. .
10
19
6
35
Lời giải
Chọn A
Đánh số ba bàn tròn có số chỗ ngồi lần lượt là 6, 7, 8 là bàn 1, bàn 2, bàn 3.
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|21


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

+) Xét phép thử: “Xếp ngẫu nhiên 21 học sinh vào ba bàn tròn 1, 2, 3 nói trên”.
6
Chọn 6 học sinh trong số 21 học sinh và xếp vào bàn 1 có C21
.5! cách.

Chọn 7 học sinh trong số 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có C157 .6! cách.
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.
6
.5!.C157 .6!.7! .
Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n (  ) = C21

+) Gọi A là biến cố: “ Hai bạn Thêm và Quý luôn ngồi cạnh nhau ”.
Trường hợp 1: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 1.
Chọn 4 học sinh từ 19 học sinh còn lại có C194 cách.
Xếp 4 học sinh vừa chọn và hai bạn Thêm, Quý vào bàn 1 có 4!.2! cách.
Chọn 7 học sinh từ 15 học sinh còn lại và xếp vào bàn 2 có C157 .6! cách.
Xếp 8 học sinh còn lại vào bàn 3 có 7! cách.

Số cách xếp thỏa mãn trường hợp 1 là : C194 .4!.2!.C157 .6!.7! .
Trường hợp 2: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 2.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 2 là: C195 .5!.2!.C146 .5!.7!.
Trường hợp 3: Hai bạn Thêm và Quý ngồi bàn 3.
Tương tự như trên, ta có số cách xếp thỏa mãn trường hợp 3 là: C196 .6!.2!.C136 .5!.6! .

 n ( A) = C194 .4!.2!.C157 .6!.7!+ C195 .5!.2!.C146 .5!.7!+ C196 .6!.2!.C136 .5!.6! .
n ( A) C194 .4!.2!.C157 .6!.7!+ C195 .5!.2!.C146 .5!.7!+ C196 .6!.2!.C136 .5!.6! 1
=
Vậy P ( A) =
.
=
6
10
n ()
C21
.5!.C157 .6!.7!

2

Câu 38. Cho



−

cos x + 3
b
dx = a +
x

2 +1
2

( a, b  ) . Giá trị của

a + b 2 bằng

2

B. 10 .

A. 4 .

C. −2 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn B
+) Ta xét bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và là hàm số chẵn trên đoạn  −a; a 
a
f ( x)
d
x
=
 b x + 1 0 f ( x ) dx với b  0 .
−a
a

, khi đó I =

0
a
f ( x)
f ( x)
f ( x)
d
x
=
d
x
+
−a b x + 1 −a b x + 1 0 b x + 1dx , (*) .
a

Thật vậy: I =
0

Xét K =

f ( x)
dx .
x
+1

b

−a

Đặt t = − x  dt = −dx .

Đổi cận: x = −a  t = a .

x = 0t = 0.
0

K = −
a

f ( −t )
dt =
b−t + 1

a
a
f ( t ) bt
f ( x) bx
f (t )
=
d
t
=
d
t
0 bt + 1 0 b x + 1 dx .
0 1
+1
bt
a

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|22

BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.
a

Thế vào (*) , ta được I = 
0

a
a
f ( x) bx
f ( x)
dx +  x dx =  f ( x ) dx .
bx +1
b +1
0
0

+) Áp dụng: Với hàm số chẵn f ( x ) = cos x + 3 .

2

Ta có



−


2

cos x + 3
d
x
=
0 ( cos x + 3) dx = ( sin x + 3x )
2x + 1


2
0

= 1+

3
.
2

2

 a = 1; b = 3  a + b 2 = 1 + 32 = 10 .

Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z − ( 2 + i ) z = 2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng
A. 2 .

B. 1 .

C.

5
.

5

D.

2 5
.
5

Lời giải
Chọn C
Đặt z = x + yi

( x, y  ) .

+) Ta có: ( 2 − i )( x + yi ) − ( 2 + i )( x − yi ) = 2i
 2 x + y + ( − x + 2 y ) i − 2 x + y + ( x − 2 y ) i  = 2i
 −2 x + 4 y = 2  x = 2 y − 1 .
2

2 1 1
5
2
2

+) z = x 2 + y 2 = ( 2 y − 1) + y 2 = 5 y 2 − 4 y + 1 = 5  y −  +  , y  z 
.
5 5 5
5


1

 x = − 5
Dấu " = " xảy ra  
.
y = 2

5
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng

1 2
5
khi z = − + i .
5 5
5

(

)

Câu 40. Cho x , y thỏa mãn log 1 x + log 1 y  log 1 x 2 + y . Giá trị nhỏ nhất của 3x + y bằng
2

2

2

B. 4 + 2 3 .

A. 15 .

D. 5 + 2 3 .

C. 9 .
Lời giải

Chọn C
ĐK: x, y  0 .

(

)

(

Ta có: log 1 x + log 1 y  log 1 x 2 + y  log 1 ( xy )  log 1 x 2 + y
2

2

2

2

)

2

 xy  x 2 + y  ( x − 1) y  x 2 (1) .
Từ (1)  x − 1  0  x  1 . Do đó (1)  y 

x2
.
x −1

1
x2
1
1
+ 5 = 9, x  1 .
= 4x + 1+
= 4 ( x − 1) +
+ 5  2 4 ( x − 1) .
Khi đó 3x + y  3x +
x −1
x −1
x −1
x −1

BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|23


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

x  1
x  1
y  0
y  0
3




x=

2
2



2.
 y = x  
Dấu " = " xảy ra   y = x
x −1
x −1


y = 9



2
1
1
4 ( x − 1) =
x −1 =
x −1

2


3

 x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của 3x + y bằng 9 khi 
.
y = 9

2
Câu 41 . Hỏi hàm số y = sin 2 x + x có bao nhiêu điểm cực trị trên ( − ;  ) ?
A. 5 .

B. 3 .

D. 7 .

C. 4 .
Lời giải

Chọn A
Xét

hàm

f ( x ) = sin 2 x + x

số

f  ( x ) = 0  cos 2 x = −

có

f  ( x ) = 2cos 2 x + 1

.

1
2

 2x = 
+ k 2  x =  + k , k  .
2
3
3



x =  3
Vì x  ( − ;  )  
.
 x =  2

3
 2
f −
 3

3 2

−
 0; f

=
3
 2

3 
 
f  =
+  0; f
3 2 3
Ta có bảng biến thiên:

 2

 3

 −

 3

3 

−  0.
=−
2 3


3 2

+
0.

=−
2
3


Từ bảng biến thiên ta thấy: trên ( − ;  ) đồ thị hàm số f ( x ) = sin 2 x + x có 4 điểm cực trị và cắt
trục hoành tại duy nhất một điểm có hoành độ x = 0 . Do đó hàm số y = sin 2 x + x có 5 điểm
cực trị trên ( − ;  ) .
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|24


BỘ 15 ĐỀ THI CHUẨN CẤU TRÚC ĐỀ THI THẬT 2019 – ĐỀ SỐ 4.

Câu 42. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC . Các mặt phẳng ( ABC  ) và ( ABC ) chia khối lăng
trụ đã cho thành bốn khối đa diện. Kí hiệu H1 , H 2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ
nhất trong bốn khối trên. Giá trị của
A. 5 .

V( H1 )
V( H 2 )

B. 3 .

bằng
C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn A

+ AC  AC = E , BC  BC = F .
+ Ta có: V = VABC . ABC = VEFBAAB + VEFABC + VEFABC + VCEFC = V1 + V2 + V3 + V4 .
1
+) VC . ABC  = V .
3

+)

1 1
1
VCEFC
CE CF 1 1 1
=
.
= . =  V4 = VCEFC  = . V = V .
4 3
12
VC . ABC CA CB 2 2 4

3
3 1
1
+) V3 = VC . EFBA = .VC .CAB = . V = V .
4
4 3
4
1
+) V2 = VC . ABFE = VC .EFBA  V2 = V3 = V .
4

+) V1 = VEFBAAB = V −

1
1
1
5
V− V− V= V.
12
4
4
12

+) Suy ra V( H1 ) = V4 =

1
5
V ; V( H 2 ) = V1 = V .
12
12

+ Do đó

V( H1 )
V( H 2 )

5
V
12
=

= 5. Chọn đáp án A .
1
V
12
BIÊN SOẠN ĐỀ THI DÀNH CHO 2K2|25