Chuyên đề con lắc đơn ngoại lực f

Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực

DẠNG 4: CON LẮC ĐẶT TRONG TRƯỜNG LỰC F
1. Chu kì, tần số khi có F theo phương thẳng đứng.
*Khi chưa có ngoại lực F thì con lắc đơn dao động với chu kì T  2

l
g

*Khi chưa có ngoại lực F (Ngoại lực F thông thường là lực quán tính khi ta xét
hệ quy chiếu phi quán tính gắn với một vật chuyển động nào đó hoặc là lưc
điện) thì gia tốc trọng trường tác dụng lên con lắc lúc này được gọi là trọng
F
F
trường hiệu dụng gbk (hay gia tốc biểu kiến). gbk  g   gbk  g 
m
m
Chu kì của con lắc lúc này là T  2

l

gbk

l
g

F
m

a. Nếu con lắc đơn đặt trong thang máy:
(Chọn hê quy chiếu phi quán tính gắn với thang máy).

*Khi thang máy đi lên nhanh dần đều hoặc xuống chậm dần đều
với gia tốc a thì lực quán tính cùng chiều gia tốc trọng trường g
nên gia tốc biểu kiến gbk  g 

Fqt
m

 g  a  T  2

l
.
ga

*Khi thang máy đi lên chậm dần đều hoặc xuống nhanh dần đều
với gia tốc a thì lực quán tính ngược chiều gia tốc trọng trường g
nên gia tốc biểu kiến
gbk  g 

Fqt
m

 g  a  T  2

l
g a

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chiều dài dây l treo trong thang máy
có gia tốc a theo chiều dương hướng lên. Gia tốc trọng trường ở nơi treo con lắc
là g. Con lắc dao động với biên độ góc nhỏ. Chu kì dao động của con lắc cho bởi
biểu thức

A. T  2

l
.
g

B. T  2

l
.
ga

C. T  2

l
.
ga

D. T  2

l
.
ga

Hướng dẫn

1


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

l
l
 2
 Chọn D.
gbk
g a

a  g  gbk  g  a  T  2

Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo ở trần của một thang máy. Khi thang máy
đứng yên, con lắc dao động điều hoà với chu kì T. Khi thang máy đi lên thẳng
đứng, nhanh dần đều với gia tốc có độ lớn bằng một nửa gia tốc trọng trường tại
nơi đặt thang máy thì con lắc dao động điều hoà với chu kì T' bằng
B. T .

A. T 2 .

C. 2T .

D. T 2 .

3

2

3

Hướng dẫn


l

l
T  2

T  2
g
g

g
a
2

2


T '  T
 Chọn D.

l
3
l
T '  2
T '  2
g



g
ga


2
Ví dụ 3: Một con lắc đơn được treo trong thang máy, dao động điều hòa với chu
kì T khi thang máy đứng yên. Nếu thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia
tốc g ( g là gia tốc rơi tự do) thì chu kì dao động của con lắc là
10

A. T 11

B. T 10

10

9

C. T

9
10

D. T 10 .
11

Hướng dẫn
a  g  T  2

l



9
l
9
.2
T
 Chọn B.
10
g
10

g
10
T
Ví dụ 5. (Đề thi chính thức ĐH – 2007): Một con lắc đơn được treo ở trần một
thang máy. Khi thang máy đứng yên, con lắc dao động điều hòa với chu kì T.
Khi thang máy đi lên thẳng đứng, chậm dần đều với gia tốc có độ lớn bằng một
nửa gia tốc trọng trường tại nơi đặt thang máy thì con lắc dao động điều hòa với
chu kì T’ bằng
A. 2T.
B. T√2
C.T/2 .
T/√2 .
Hướng dẫn
g


l


l
 T  2
T

2


g
g
g
a


'
2



l  T  T 2  Chọn B.
'
l
T '  2
T  2
g


g
g


a


2
Ví dụ 6. (Đề thi chính thức của Bộ GD ĐH 2011): Một con lắc đơn được treo
vào trần một thang máy. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên nhanh

2


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
dần đều với gia tốc có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 2,52
s. Khi thang máy chuyển động thẳng đứng đi lên chậm dần đều với gia tốc cũng
có độ lớn a thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là 3,15 s. Khi thang máy
đứng yên thì chu kì dao động điều hòa của con lắc là
A. 2,78 s.
B. 2,96 s.
D. 2,61 s.
D. 2,84 s.
Hướng dẫn

a  g  gbk1  g  a
T 2 gbk
 2 g  gbk1  gbk 2 
 2T 2  T12  T22


a  g  gbk1  g  a

Thay số 2T 2  2,522  3,152  T  2,78s  Chọn A.

b. Nếu con lắc đơn đặt trong điện trường đều E thì.
Trường hợp 1: E hướng xuống (tức là E  P ).
Nếu q  0  F  E  F  P  gbk  g 

Nếu q  0  F  E  F  P  gbk  g 

qE
m

qE
m

l

F q E

 T  2

qE
m

g
l

F q E

 T  2
g

qE

m

Trường hợp 2: E hướng lên (tức là E  P ).
Nếu q  0  F  E  F  P  gbk  g 

Nếu q  0  F  E  F  P  gbk  g 

qE
m

qE
m

l

F q E

 T  2
g

qE
m
l

F q E

 T  2
g

qE

m

Ví dụ 1. (Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2016-2017). Một con lắc đơn có chiều
dài dây treo 50 cm và vật nhỏ có khối lượng 0,01 kg mang điện tích q = 5.10−6 C
và được coi là điện tích điểm. Con lắc dao động điều hòa trong điện trường đều
mà vectơ cường độ điện trường có độ lớn E = 104 V/m và hướng thẳng đứng
xuống dưới. Lấy g = 10m/s2, π = 3,14. Chu kì dao động điều hòa của con lắc là
A. 1,40 s.
B. 1,99 s.
C. 0,58 s.
D. 1,15 s.
Hướng dẫn
qE
l
q 0
E  P 

 F  P  gbk  g 
 T  2
qE
m
g
m

3


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ
l

Thay số T  2
g

qE
m

 2.3,14

Hoàng Sư Điểu

50.102
 1,15s  Chọn D.
5.106.104
10 
0,01

Chú ý: Câu hỏi này là câu nằm trong đề thi chính thức của Bộ GD năm 2010.
Ví dụ 2. (Thi thử chuyên Vĩnh Phúc năm học 2016-2017). Hai con lắc đơn có
cùng chiều dài dây treo , cùng khối lượng m = 10g. Con lắc thứ nhất mang điện
tích q, con lắc thứ hai không mang điện. Đặt cả hai con lắc trong điện trường
đều có vectơ cường độ điện trường thẳng đứng hướng xuống với cường độ điện
trường E = 3,104 V/m. Kích thích cho hai con lắc dao động điều hòa thì thấy
trong cùng một khoảng thời gian nếu con lắc thứ nhất thực hiện được 2 dao động
thì con lắc thứ hai thực hiện được 4 dao động. Lấy g = 10m/s2. Giá trị của q là
A. 4.10-7C.
B. -4.10-7C.
C. 2,5.10-6C.
D. -2,5.10-6C.
Hướng dẫn
T N

t
t1 t 2
T=
 t  N.T 
 N1T1  N2T2  1  2  2  T1 >T2
N
T2 N1


qE
g1  g 

T1 >T2  g1  g 2 
m  Fd  E  q < 0 (1).

g 2  g


T1
g2

2
T2
g1

g
10
2
 q  2,5.106 C
4

qE
q .3.10
g
10 
m
10.103

Từ (1) suy ra: q = - 2,5.10- 6C Þ Chọn D.
Ví dụ 3: Có hai con lắc đơn giống nhau. Vật nhỏ của con lắc thứ nhất mang
điện tích 2,45.10-6C, vật nhỏ con lắc thứ hai không mang điện. Treo cả hai con
lắc vào vùng điện trường đều có đường sức điện thẳng đứng, và cường độ điện
trường có độ lớn E = 4,8.104 V/m. Xét hai dao động điều hòa của con lắc, người
ta thấy trong cùng một khoảng thời gian, con lắc thứ nhất thực hiện được 7 dao
động thì con lắc thứ hai thực hiện được 5 dao động. Lấy g = 9,8 m/s 2. Khối
lượng vật nhỏ của mỗi con lắc là
A. 12,5 g.
B. 4,054 g.
C. 7,946 g.
D. 24,5 g.
Hướng dẫn
T N
t
5
t1 t 2
T=
 t  N.T 
 N1T1  N2T2  1  2   T1 N
T2 N1 7


qE
g1  g +

T1 <T2  g1 >g 2 
m  Fd  E  q < 0 (1).

g 2  g

4


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
T1
g2
5

 
T2
g1
7

g
5
9,8
 
qE
7
2, 45.106 .4,8.104
g+

9,8 
m
m

Dùng chức năng SHIFT-SOLVE và nhập hàm
25
9,8

 X  0,125  m  0,125kg  12,5 g  Chọn A.
49
2, 45.106 .4,8.104
9,8 
X
Ví dụ 6: Có ba con lắc đơn cùng chiều dài cùng khối lượng cùng được treo trong
điện trường đều có E thẳng đứng. Con lắc thứ nhất và thứ hai tích điện q1 và q2,
con lắc thứ ba không tích điện. Chu kỳ dao động nhỏ của chúng lần lượt là T1, T2, T3
q
1
5
có T1  T3 ; T2  T3 . Tỉ số 1 là
3
3
q2
A. - 12,5.

B. – 8.

C. 12,5.
Hướng dẫn

D. 8.

1

T1  3
q E
q E
T g 1
 T1  T3  T2 
g  1  g  g  2
Nếu T3  1  
m
m
T  5
g3
2
g
g
1
2

3


q E
g 1
 T2 g

q1 E
m

 32  1  9 
8g 
T
g
g
q
q
 1

3
m

 1  12,5  1  12,5

q2
q2
q E

16g  q 2 E
g 2
 T32 g 2

9
m
m
 25
 T 2  g  25 
g
3
 2

Chọn A.
Chú ý: T1  T2  nên điện tích q1 và q2 luôn trái dấu nhau.
Ví dụ 7: Một con lắc đơn dao động bé có chu kỳ T. Đặt con lắc trong điện
trường đều có phương thẳng đứng hướng xuống dưới. Khi quả cầu của con lắc
tích điện q1 thì chu kỳ của con lắc là T1=5T. Khi quả cầu của con lắc tích điện q2
thì chu kỳ là T2=5T/7. Tỉ số giữa hai điện tích là
A. q1/q2 = -7.
B. q1/q2 = -1 .
C. q1/q2 = -1/7 .
D. q1/q2 = 1.
Hướng dẫn

 T1  5
q2 E
q E

T g 1
gg 1
Nếu T  1  
5  T2  T  T1  g 
m
m
T 2  7
g
g2
g1

5

Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

 T22 g
25
g


 2 

q2 E
q E
T
g
49
2

g 2
24g  25.
q
q

m 
m
 1  1  1  1
 2

q2

q2
g
 T1  g  25 
 24g  25. q1 E
2
T

q E
g1
m
g 1

m

Chọn A.
Ví dụ 8 : Một con lắc đơn có quả nặng là một quả cầu bằng kim loại thực hiện
dao động nhỏ với ma sát không đáng kể. Chu kỳ của con lắc là T0 tại một nơi g
= 10 m/s2. Con lắc được đặt trong thang máy, khi thang máy chuyển động lên
trên với gia tốc a1 thì chu kỳ con lắc là T1 = 3T0. Khi thang máy chuyển động lên
trên với gia tốc a2 thì chu kỳ con lắc là T2 = 3/5T0. Tỉ số a1/a2 bằng bao nhiêu?
A. -0,5.
B. 1.
C. 0,5.
D. -1.
Hướng dẫn
 T1  3T0
 g1  g  a1

3T0  T1  T2  g1  g 2  


 g 2  g  a2
T2  5
 T1
g
3
 
 g  9 g1  9  g  a1 
g1
 8 g  9a1
a
 T0



 1  0,5


9
9
a2
g 2   g  a2  16 g  9a2
 T2  g  3  g 
25
25

T
g2 5
 0

Ví dụ 9: Một con lắc đơn treo trong thang máy ở nơi có gia tốc trọng trường g =

10m/s2 . Khi thang máy đứng yên con lắc dao động với chu kì 2s. Nếu thang
máy có gia tốc hướng xuống với độ lớn a = 4,4m/s2 thì chu kì dao động của con
lắc là
A.

5
3

5
6

25
s.
36

C. s

B. s .

D. 1,8s.

Hướng dẫn.
Cách 1: Cách truyền thống.

T  2

l
T
g

1
T'
 
T
g

g
g
10
5
T' T
 2.
 s
gbk
gbk
10  4,4 3

Chọn C.
Cách 2: Dùng phương pháp thuận nghịch.
1

11
36g g T2
1 36 1
5T 5
a  g  g bk  g  a  g  g 

 '2  . 2  T ' 
 s
25

25
T
25 T
6 3
a  4,4

Chon C.

6


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
Ví dụ 10: Treo con lắc đơn có độ dài l trong thang máy, lấy g  10m/s2 . Cho
thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a=2m/s2 thì chu kỳ
dao động của con lắc đơn
A. tăng 25%.
B. giảm 8,7%.
C. giảm 9,5%.
D. tăng 11,8%.
Hướng dẫn
Thang máy đi lên nhanh dần đều nên gbk  g  a

l
T  2
g
T'





T
l
T '  2

ga


g
10
30


 T '  91,3%T
ga
10  2
6

T  T '  100%T  91,3%T  8,7%  giảm 8,7%. Chọn B.

c. Con lắc đơn đặt trong chất lưu

l
. Công
g
thức này chỉ đúng với con lắc đặt trong môi trường là chân không. Nếu con lắc
đặt trong chất lưu (chất lỏng hoặc chất khí) đồng tính thì gia tốc lúc này không
còn là gia tốc rơi tự do nữa mà chính là gia tốc biểu kiến. Thật vậy
*Bình thường khi công thức tính chu kì của con lắc đơn là T  2

* Nếu con lắc đơn chịu tác dụng thêm bởi lực Ácsimét F A có hướng thẳng đứng

hướng lên thì độ lớn FA  Vg
Trong đó:  là khối lượng riêng của chất lỏng (hay chất khí), g là gia tốc trọng
trường tự do và V là thể tích vật chìm trong chất lòng hay chất khí đó.
Trọng trườn biểu kiến lúc này là
gbk  g 

FA FA  Vg
Vg

l


 gbk  g 
 g 1    T  2
m  DV

m
DV

 D
g 1  
 D

Sử dụng công thức tính gần đúng x
l 

T  2
 2
. 1  


g  D

g 1  
D
T


l

'

1  1  x   1   x




1
2

 
 


 1 
T  T '  1 

T
 2D 
 2D 



1 nên ta sử dụng các công thức tính gần đúng.
D
Chú ý: Các kí hiệu của của khối lượng riêng có thể có nhiều cách kí hiệu khác
nhau.
Khi tiến hành áp dụng công thức tính T’ thì cần chú ý đến đơn vị đo của  và D
phải cùng thứ nguyên.
Do

7


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

Ví dụ 1: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc
làm bằng một hợp kim khối lượng riêng D = 8,67g/cm3. Tính chu kỳ T' của con
lắc khi đặt con lắc trong không khí; sức cản của không khí xem như không đáng
kể, quả lắc chịu tác dụng của sức đẩy Ác-si-mét, khối lượng riêng của không khí
là d = 1,3g/lít.
A. 2,00024s.
B. 2,00015s.
C.1,99993s.
D. 1,99985s.
Hướng dẫn
g  = 1,3g   1,3.103 g/cm3
1m3 =106 cm3 =103lit  1lit=103cm3  d =1,3



lit  103 cm3 

 
d   1,3.103 


Áp dụng công thức: T '  1 
T  1 

 T= 1  2.8,67  .2  2,00015s
 2D 
 2D  

Chọn B.
Ví dụ 2: Một con lắc đơn có chu kì T = 2s khi đặt trong chân không. Quả lắc
làm bằng một hợp kim có khối lượng m = 50g và khối lượng riêng D =
0,67kg/dm3. Khi đặt trong không khí, có khối lượng riêng là D0 = 1,3g/lít. Chu
kì T' của con lắc trong không khí là
A. 1,9080s.
B. 1,9850s.
C. 2,1050s.
D. 2,0019s.
Hướng dẫn

0,67kg

 D  0,67 kg/ dm3
 D  103 m3
D


 0 1,94.103

3
D
 D0  1,3g/lit
D  1,3.10 kg
3
3

 0
10 m

 1,94.103 
 
 D0 

1
'
T '  1 
T

1

T


T

1 

 .2  2,0019s . Chọn D.

 2D 
2
 2D 




Ví dụ 3: Một con lắc đơn dao động với chu kỳ T0 trong chân không. Tại nơi đó,
đưa con lắc ra ngoài không khí ở cùng một nhiệt độ thì chu kỳ của con lắc là T.
Biết T khác T0 chỉ do lực đẩy Acsimet của không khí. Gọi tỉ số khối lượng
riêng của không khí và khối lượng riêng của chất làm vật nặng là . Mối liên
hệ giữa T với T0 là:
A. T 

T0
.
1 

B. T0 

T
1 

C. T0 

T
.
1 

D. T 

Hướng dẫn
gbk  g 

FA FA  Vg
Vg

l


 gbk  g 
 g 1    T  2
m  DV

m
DV

 D
g 1  
D



Theo đề ta có  

8



D

 T  2

T0
l

 Chọn D.
g 1   
1 

T0
.
1 


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
Câu 16: Một con lắc đơn gồm một dây treo l = 0,5 m, vật có khối lượng m = 40
g mang điện tích q = -8.10-5 C dao động trong điện trường đều có phương thẳng
đứng có chiều hướng lên và có cường độ E = 40 V/ cm, tại nơi có g= 9,79
m/s2.Chu kì dao động của con lắc là
A.T = 1,05 s
B. T = 2,1 s
C. T = 1,5 s
D. T = 1,6 s.
Hướng dẫn

F  E  F  P  T  2
q0

l
qE
g
m

0,5

 2
9,79 

40
102
4.103

 1,05s

8.105.

Chọn A.
Ví dụ 4: Chọn câu trả lời đúng Một con lắc đơn có khối lượng vật nặng là 80 g
đặt trong một điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường E có phương
thẳng đứng, hướng lên, có độ lớn E= 48 V/cm. Khi chưa tích điện cho quả nặng
chu kỳ dao động nhỏ của con lắc T= 2 s, tại nơi có g= 10 m/s2. Tích cho quả
nặng điện tích q= - 6.10-5 C thì chu kỳ dao động của nó bằng:
A. 1,6 s
B. 2,5 s
C. 2,33 s
D. 1,71 s.
Hướng dẫn
F  E  F  P  T  2

q 0

T  2

l

'

g

qE
m

l
g




T'

T

g
qE
g
m

g
10

 2.
 1,71s  Chọn D.
qE
5 48
6.10
.
g
102
m
10 
80.103
2. Chu kì tần số khi có F theo theo phương ngang.
T' T

g bk


F
 tan  
P


F
P
 g   Pbk 
 P 2  F 2  T '  2
m
cos 

g

F2
 gbk 
 g2  2
cos 
m


l
g2 

F2
m2

Chú ý:  là góc lệch khi con lắc cân bằng có ngoại lực F.
Ví dụ 1: Chu kì dao động nhỏ của con lắc đơn dài 1,5 m treo trên trần của một
chiếc xe đang chạy nhanh dần đều trên mặt phẳng nằm ngang với gia tốc 2,0
m/s2 là (lấy g = 10 m/s2 )
A.T = 2,7 s
B. T = 2,2 s
C. T = 2,4 s
D. T = 5,4 s
Hướng dẫn

9


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

l

Áp dụng T '  2

g a
2

2

1,5

 2

102  22

Hoàng Sư Điểu

 2,4s  Chọn C.

Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo tại trần của 1 toa xe, khi xe chuyển động đều
con lắc dao động với chu kỳ 1s, cho g=10m/s2. Khi xe chuyển động nhanh dần
đều theo phương ngang với gia tốc 3m/s2 thì con lắc dao động với chu kỳ
A. 0,9787s
B. 1,0526s
C. 0,9524s
D. 0,9216s.
Hướng dẫn
*Khi con lắc chuyển động đều thì con lắc dao động vơi chu kì T  2
*Khi con lắc chuyển động nhanh dần đều thì T '  2



T'

T

g
g a
2

2

T' T

g
g a
2

2

 1.

10
102  32

l
g

l
g  a2
2

 0,9787 s Chọn A.

Ví dụ 2: Một con lắc đơn được treo vào trần của một xe ô tô đang chuyển động
theo phương ngang. Chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe
chuyển thẳng đều là T1, khi xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a là T2 và
khi xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc a là T3. Biểu thức nào sau đây
đúng?
A. T2 = T1 = T3.
B. T2< T1< T3.
C. T2 = T3< T1.
D. T2> T1> T3.
Hướng dẫn
Gọi chu kỳ dao động của con lắc đơn trong trường hợp xe chuyển thẳng đều là
T1, khi xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a là T2 và khi xe chuyển
động chậm dần đều với gia tốc a là T3 khi đó

 T  2 l
 1
g


l
 T3  T3  T1  Chọn C.
T2  2
2
g  a2


l
T  2

 3
2
g  a2

Câu 4: Một con lắc đơn gồm một quả cầu kim loại nhỏ, khối lượng m = 1g, tích
điện dương q = 5,56.10-7 C, được treo vào một sợi dây mảnh dài l = 1,40 m trong
điện trường đều có phương nằm ngang, E = 10.000 V/m,tại nơi có g = 9,79 m/s2.
Con lắc ở vị trí cân bằng thì phương của dây treo hợp với phương thẳng đứng
một góc xấp xỉ bằng
A.α = 600.
B.α = 100.
C. α= 200
D. α= 300.

10


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
Hướng dẫn
*Con lắc ở vị trí cân bằng thì phương của dây treo hợp với phương thẳng đứng
 q E
F qE
   arc tan 
một góc được xác định tan   

P mg
 mg 
 q E
 5,56.107.104 
0

thay số   arc tan 
  arctan 
  30  Chọn D.
3
mg
10
.9,79




Câu 5: Một con lắc đơn dài l = 25cm, hòn bi có khối lượng m = 10g và mang
điện tích q = 10-4C. Treo con lắc vào giữa hai bản kim loại thẳng đứng, song
song cách nhau d = 22cm. Đặt vào hai bản hiệu điện thế một chiều U = 88V, lấy
g = 10 m/s2. Chu kì dao động điều hòa với biên độ nhỏ là
A. 0,897s.
B. 0,659s.
C. 0,957 s.
D. 0,983 s.
Hướng dẫn
Điện trường bên trong hai bản được xác định
U
F qU
l
E  
 T  2
2
d
m m.d
 qU 

g2  

 m.d 

T  2

25.102
 104.88 
102  

 0,01.0, 22 

 0,957 s  Chọn C.

d

3. Chu kì , tần số khí có F theo phương xiên
2

F
F
 gbk  g 2     2 g . cos 
m

m
 '
F
 P
F
F

g bk  g   

 sin  
sin 
m
mgbk
 sin  sin 

'
 gbk  P  T '  2 l

m
gbk

 

*Gọi n là vectơ đối của P khi đó   F, n và 

Con lắc khi ở VTCB

góc hợp bởi phương của sợi dây so với phương
thẳng đứng khi có trường lực F.
Nhận xét: Ta nhận thấy trong các biểu thức tính chu kì khác nhau đều có gia tốc
gbk, , gia tốc đó có phương trùng với phương của dây treo khi con lắc ở VTCB.
Ví dụ 1: Một con lắc đơn gồm dây dài 1 m vật nặng 100 g dao động điều hoà tại
nơi có thêm trường ngoại lực có độ lớn 1 N có hướng hợp với hướng của trọng
lực một góc 1200. Lấy g = 10 m/s2. Khi ở vị trí cân bằng sợi dây hợp với phương
thẳng đứng một góc

11

Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

A. 300 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,99 s.
B. 360 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,41 s.
C. 300 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,41 s.
D. 600 và chu kì dao động của con lắc đơn là 1,99 s.
Hướng dẫn

  1800  1200  600
2
2

 gbk  g 2   F   2 g. F cos   102   1   2.10. 1 cos 600  10

m
0,1
m
 0,1 


F
1
l
1
0
0

 sin   mg sin   0,1.10 sin 60    60  T  2 g  2 10  1,99s
bk
bk

Chọn D.
Ví dụ 2: Một toa xe trượt không ma sát trên một đường dốc xuống dưới, góc
nghiêng của dốc so với mặt phẳng nằm ngang là α = 30o. Treo lên trần toa xe
một con lắc đơn gồm dây treo chiều dài l = 1m nối với một quả cầu nhỏ. Trong
thời gian xe trượt xuống, kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ
góc nhỏ. Bỏ qua ma sát, lấy g = 10m/s2. Chu kì dao động của con lắc là
A. 2,135s.
B. 2,315s.
C. 1,987s.
D. 2,809s.
Hướng dẫn
*Khi xe chuyển động không ma sát xuống dốc thì lực quán tính (hệ quy chiếu
phi quán tính gắn với xe) ngược hướng chuyển động và có độ lớn
F
F  Pt  mg sin   a   g sin   10sin 30  5m/s2
m

 g  g 2  a 2  2 ga cos   5 3m/s 2
 bk
 Chọn

l
1
 2
 2,135s
T  2

g
5 3

A.
Chú ý: Khi không có ma sát gia tốc biểu kiến có
thể tính như sau
P'
P '  Pn cos   mg cos   gbk   g cos 
m
Trong đó Pt là trọng lực tiếp tuyến và Pn là trọng
lực pháp tuyến khá quen thuộc khi phân tích từ
trọng lực P.

Chú ý: Trên mặt nghiêng thì     900  cos   sin 
Ví dụ 3: Một toa xe trượt không ma sát trên một đường dốc xuống dưới, góc
nghiêng của dốc so với mặt phẳng nằm ngang là 450. Lấy gia tốc trọng trường g
= 10 m/s2. Treo lên trần toa xe một con lắc đơn gồm dây treo chiều dài 1,5 m nối

12


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
với một quả cầu nhỏ. Trong thời gian xe trượt xuống, chu kì dao động nhỏ của
con lắc đơn là
A. 2,89 s.
B. 2,05 s.
C. 2,135 s.
D. 1,61 s.
Hướng dẫn

gbk  g cos   10cos 450  5 2m/s 2  T  2

l
1,5
 2
 2,89s
g
5 2

Chọn A.
Ví dụ 4. (Thi thử sở Thanh Hóa – 2016). Một con lắc đơn gồm dây treo dài l =
1m gắn một đầu với vật có khối lượng m. Lấy g = 10m/s2,  2  10 . Người ta
đem con lắc đơn nói trên gắn vào trần ôtô đang đi lên dốc chậm dần đều với gia
tốc 5 m/s2. Biết dốc nghiêng một gốc 300 so với phương ngang. Chu kì dao động
của con lắc này là
A.2,000s
B. 2,135s
C.1,925s
D.2,425s.
Hướng dẫn
gbk  g 2  a 2  2 ga cos   102  52  2.10.5cos600  5 3m/s2

T  2

l
1
 2
 2,135s  Chọn B.
gbk
5 3

Ví dụ 5: Con lắc đơn chiều dài l treo vào trần của một toa xe chuyển động trượt
xuống dốc nghiêng góc  so với mặt phẳng ngang. Hệ số ma sát giữa xe và mặt
phẳng nghiêng là k, gia tốc trọng trường là g. Chu kì dao động bé của con lắc
đơn là:
l
l
A. T = 2π
B. T = 2π
.
g(k+1)cos
gcos
C. T = 2π

l
.
gcos k2+1

D. T = 2π

lcos
.
g k2+1

Hướng dẫn
Khi có ma sát thì gia tốc quán tính của con lắc được tính bằng công thức
a  g  sin   k cos   (1).
gbk  g 2  a 2  2 ga cos   T '  2

l

 2
gbk

l
g cos  1  k 2

 Chọn C.

Chú ý: Thay biểu thức (1) vào biểu thức của gbk và rút gọn, chú ý cos   sin 
thì sẽ rút được kết quả như trên.
Đối với xe trượt xuống dốc ta có các công thức tính nhanh.
Các em học sinh có thể học thuộc công thức T  2

l
g cos  1  k 2

để áp

dụng các bài toán thỏa mãn điều kiện trên.

13


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

*Khi không có ma sát thì k = 0 công thức trên trở thành T  2

l

g cos 

Ví dụ 5: Một toa xe trượt trên một đường dốc xuống dưới, góc nghiêng của dốc
so với mặt phẳng nằm ngang là α = 60o. Treo lên trần toa xe một con lắc đơn
gồm dây treo chiều dài l = 1m nối với một quả cầu nhỏ. Trong thời gian xe trượt
xuống, kích thích cho con lắc dao động điều hoà với biên độ góc nhỏ. Hệ số ma
sát là 0,1. Lấy g = 10m/s2. Chu kì dao động của con lắc là
A. 2,135s.
B. 2,315s.
C. 1,987s.
D. 2,803s.
Hướng dẫn
Cách 1: Cách giải tuần tự.
Khi có ma sát thì gia tốc quán tính của con lắc được tính bằng công thức





a  g  sin   k cos   10 sin 60  0,1.cos600  SHIFT RCL

 

(Do số

lẻ nên ta lưu vào biến A).
2

gbk  g 2  a 2  2 ga cos   102  A  2.10 A cos300

(Bấm  SHIFT RCL .,,, để lưu vào biến B).

T  2

l
 2
gbk

1
 2,803s  Chọn D.
B

Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh.
T  2

l
g cos  1  k

2

1

 2
10cos 60

0

1  0,12

 2,803s  Chọn D.

Vi dụ 6: Một con lắc đơn gắn vào trần xe ôtô, ôtô trượt xuống dốc nghiêng góc
300 so với phương nằm ngang thì dao động với chu kì 1,5s.(g=10m/s2). Chu kì
dao động của con lắc khi xe chuyển động thẳng đều đi lên mặt nghiêng nói trên
là
A. 1,2s.
B. 0,5s.
C. 0,8s.
D. 1,4s.
Hướng dẫn
Sau khi nắm vững các phương pháp ta tiến hành giải nhanh
T '  2

l
 2
g cos 

l
1
.
 T  T ' cos   1,5 cos30  1, 4 s
g cos 
T

Chọn D.
Câu 5: Một con lắc đơn gắn vào trần xe ôtô, ôtô đang chạy chậm dần đều với
gia tốc 5m/s2 đi lên dốc nghiêng góc 300 so với phương nằm ngang thì dao động
với chu kì 1,1s (g =10m/s2). Chu kì dao động của con lắc khi xe chuyển động
thẳng đều đi xuống mặt nghiêng nói trên
A. 1,21s.

B. 0,51s.
C. 0,8s.
D. 1,02s.

14


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
Hướng dẫn
T  2

T T'

l
g 2  a 2  2 ga cos 

T  2

l

g



g 2  a 2  2 ga cos 
 1,1
g

T


T'

g 2  a 2  2 ga cos 
g

102  52  2.10.5cos 600
 1,02s Chọn D
10

Câu 8: Một con lắc đơn gắn vào trần xe ôtô, ôtô đang chạy nhanh dần đều với
gia tốc 2m/s2 đi lên dốc nghiêng góc 300 so với phương nằm ngang thì dao động
với chu kì 1,5s.(g=10m/s2). Chu kì dao động của con lắc khi xe chuyển động
thẳng đều đi lên mặt nghiêng nói trên là
A. 1,37s
B. 0,52s
C. 0,84s
D. 1,44s.
Hướng dẫn
T  2

T T'

l
g 2  a 2  2 ga cos 

T  2

l

g




g 2  a 2  2 ga cos 
 1,5
g

T

T'

g 2  a 2  2 ga cos 
g

102  22  2.10.2cos 600
 1, 44s
10

Chọn D
Câu 9: Một con lắc đơn gồm quả cầu tích điện dương 100 C , khối lượng 100
g buộc vào một sợi dây mảnh cách điện dài 1,5 m. Con lắc được treo trong điện
trường đều 10 kV/m của một tụ điện phẳng có các bản đặt nghiêng so với
phương thẳng đứng góc 300 (bản trên tích điện dương), tại nơi có g = 10 (m/s2).
Chu kì dao động nhỏ của con lắc trong điện trường là
A. 0,938 s.
B. 1,99 s.
C. 1,849 s.
D. 1,51 s.
Hướng dẫn
q E 100.106.104

a

 10 và   1200
m
0,1
 g  g 2  a 2  2ag cos   10 3
 bk

l
1,5
 2
 1,849s
T  2
g
10 3
bk


Chọn C.
4. Vận tốc, biên độ, năng lượng và lực căng dây khi có ngoại lực F.
Khi có ngoại lực F tác dụng để tính vận tốc của vật trước tiên ta hãy xác định
gbk, xác định vị trí cân bằng rồi từ đó xác định  và  0 rồi áp dụng các công

15


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ



Hoàng Sư Điểu



 v  2 g l  cos   cos  
v  g l  2   2
bk
0
bk
0


 100
 
thức 
vmax  2 gbk l 1  cos  0 
 vmax   0 gbk l

Vị trí cân bằng được xác định tùy theo phương của F.
*Nếu F theo phương thẳng đứng thì VTCB lệch góc bằng bằng 0 rad so với
phương thẳng đứng.
F
*Nếu F theo phương ngang thì VTCB được xác định tan  CB  .
P
*Nếu F theo phương xiên thì VTCB được xác định

g bk

2


P'
F
F
 gbk   g 2     2 g. cos 
F
m
m

m
 g 
m  P'
F
F
 sin   sin   sin   mg sin 
bk



T  mg bk  3cos   2cos  0 
Tương tự cho lực căng dây 
.

 Tmax  mg bk  3  2cos  0 
Ví dụ 1: Một con lắc đơn dây treo có chiều dài 0,5 m, quả cầu có khối lượng
100 g, tại nơi có thêm trường ngoại lực có độ lớn 1 N có hướng ngang từ trái
sang phải. Lấy g = 10 (m/s2). Kéo con lắc sang phải và lệch so với phương thẳng
đứng góc 540 rồi thả nhẹ. Tính tốc độ cực đại của vật.
A. 0,42 m/s.
B. 0,35 m/s.
C. 2,03 m/s.

D. 2,41 m/s.
Hướng dẫn
F
1
tan  CB  
 1   CB  450   0  54  45  90
P 0,1.10


F
 0 100
gbk  g     10 2 
 v   0 g bk l  9.
. 10 2.0,5  0, 42m/s 2
180
m
Chọn A.
Ví dụ 2. (Đề thi chính thức ĐH – 2012): Một con lắc đơn gồm dây treo có
chiều dài 1m và vật nhỏ có khối lượng 100g mang điện tích 2.10-5 C. Treo con
lắc đơn này trong điện trường đều với vectơ cường độ điện trường hướng theo
phương ngang và có độ lớn 5.104 V/m. Trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua
điểm treo và song song với vectơ cường độ điện trường, kéo vật nhỏ theo chiều
của vectơ cường độ điện trường sao cho dây treo hợp với vectơ gia tốc trong
trường g một góc 54o rồi buông nhẹ cho con lắc dao động điều hòa. Lấy g = 10
m/s2. Trong quá trình dao động, tốc độ cực đại của vật nhỏ là
A. 0,59 m/s
B. 3,41 m/s.
C. 2,87 m/s.
D. 0,50 m/s.
Hướng dẫn

2

2

16


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
tan  CB 

F qE 2.105.5.104


 1   CB  450   0  54  45  90
P mg
0,1.10


F
 0 100
gbk  g     10 2 
 v   0 gbk l  9.
. 10 2.1  0,59m/s 2
180
m
Chọn A.
Ví dụ 3: Một con lắc đơn gồm sợi dây mảnh dài l = 1m, vật có khối lượng
2

2

m  100 3 g tích điện q = 10-5 C. Treo con lắc đơn trong điện trường đều có
phương vuông góc với gia tốc trọng trường g và có độ lớn E = 105 V/m. Kéo
vật theo chiều của vec tơ điện trường sao cho góc tạo bởi dây treo và g bằng 60o
rồi thả nhẹ để vật dao động. Lực căng cực đại của dây treo là
A. 3,54 N.
B. 2,14 N.
C. 2,54 N.
D. 1,54 N.
Hướng dẫn


F qE
1

  CB  300   0  60  30  300
 tan  CB  
P
mg
3

 Chọn C.

2
20

 qE 
2
 Tmax  mgbk  3  2cos  0   2,54 N
 gbk  g   m  

3



Ví dụ 4: Cho một con lắc đơn có vật nặng 100 g, tích điện 0,5 mC, dao động tại
nơi có gia tốc g = 10 m/s2. Đặt con lắc trong điện trường đều có véc tơ điện
trường nằm ngang, độ lớn 2000/ V/m. Đưa con lắc về vị trí thấp nhất rồi thả nhẹ.
Tìm lực căng dây treo khi gia tốc vật nặng cực tiểu
A. 2,19 N.
B. 1,5 N.
C. 2 N.
D. 1,46 N.
Hướng dẫn
tan  CB 

qE
mg



0,5.103 .2.103
0,1.10

2

 1   CB

 qE 
 45 ; gbk  g  
  10 2

 m 
0

2

Đưa con lắc về vị trí thấp nhất (Vị trí cân bằng cũ khi chưa có điện trường) rồi
thả nhẹ nên biên độ 0  450 .

a

 gbk sin  

2



 2 gbk  cos   cos  0   gbk sin 2   4 cos   cos 450
2



2

 a 
 1

 x  1
a  gbk 3cos 2   4 2 cos   3 Đặt y  
 và cos   x  
 2


 gbk 
y  3 x 2  4 2 x  3  y '  0  6 x  4 2  0  x0 

2 2  1


 x  1
3
 2


17


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

  1  1
 y

2

 2


2 2
 2 2 1
 ymin  x0  cos  



3
   
 y 
3
3
 
 y  x  cos   1

0

 max
2
y
1

6

4
2




 2 2

amin  T  mgbk  3cos   2cos  0   0,1.10 2  3.
 2.cos 450   2 N



3


Chọn C.
Chú ý:
*Nếu con lắc đi qua VTB (    0 ) mà tác dụng lực theo phương thẳng đứng thì
không làm thay đổi biên độ dao động.
*Nếu con lắc đi qua VTCB (   0 ) mà tác dụng lực theo phương thẳng đứng
thì không làm thay đổi tốc độ cực đại của vật (tức là không làm thay đổi cơ
năng của vật).

*Nếu con lắc đi qua vị trí  

0

mà tác dụng lực theo phương thẳng đứng thì
n
độ biến thiên thế năng chính bằng độ biến thiên cơ năng.
1
1
1

2
2
2
Wt  2 mgbk l  2 mgl  2 ml  gbk  g 

 W  1 mg l '2  1 mgl 2  1 ml  g  '2  g 2 
bk

0
0
bk 0
0

2
2
2

 0
 g  g  02  g 2
Wt W
n

 2  gbk  g    gbk 0'2  g 02  
 gbk 0'2  bk 2
0
n
Ví dụ 5: Một con lắc đơn đang dao động điều hoà trong một thang máy đứng
yên tại nơi có g = 9,8m/s2 với năng lượng dao động là 150mJ, thì thang máy bắt
đầu chuyển động nhanh dần đều xuống dưới với gia tốc 2,5m/s2. Biết rằng tại
thời điểm thang máy bắt đầu chuyển động là lúc con lắc có vận tốc bằng 0, con
lắc tiếp tục dao động điều hoà trong thang máy với năng lượng
A. 141mJ.
B. 201mJ.
C. 112mJ.
D. 88,3mJ.
Hướng dẫn
Khi con lắc đơn đang ở VTB mà thang máy chuyển động thì không làm thay đổi
biên độ của chúng.

1

2
 W1  2 mgl 0
g
g
W
g a
 2  bk  W2  bk .W1 
.W1  112mJ  Chọn C.

W1
g
g
g
 W  1 mg l 2
 2 2 bk 0

18


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
Ví dụ 6: Một con lắc đơn dao động điều hòa trong thang máy đứng yên tại nơi
có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s2 với năng lượng dao động là 150mJ, gốc thế
năng là vị trí cân bằng của quả nặng. Đúng lúc vận tốc của con lắc bằng không
thì thang máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc 2,5m/s2. Con lắc sẽ
tiếp tục dao động điều hòa trong thang máy với năng lượng dao động
A. 150 mJ.
B. 129,5 mJ.
C. 111,7 mJ.

D. 188,3 mJ.
Hướng dẫn
Khi con lắc đơn đang ở VTB mà thang máy chuyển động thì không làm thay đổi
biên độ của chúng.
1

2
 W1  2 mgl 0
g
g
W
ga
 2  bk  W2  bk .W1 
.W1  188,3mJ Chọn D.

W1
g
g
g
 W  1 mg l 2
 2 2 bk 0
Ví dụ 7: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q, dây
treo dài  2 m. Đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện
trường nằm ngang thì khi vật đứng cân bằng dây treo hợp với phương thẳng
đứng một góc 0,05 rad. Lấy g  10m / s2 . Nếu đột ngột đổi chiều điện trường
(phương vẫn nằm ngang) thì tốc độ cực đại của vật đạt được trong quá trình dao
động ngay sau đó là
A. 44,74 cm / s.
B. 22,37 cm / s.
C. 40,72 cm / s.

D. 20,36 cm / s.
Hướng dẫn

g
cos 
Vị trí cân bằng khi E hướng ngang từ trái sang
phải là OC, khi đột ngột đổi chiều E thì VTCB lúc
này là Om , vị tri OC đóng vai trò là VTB (tốc độ
tại OC bằng không). Do đó biên độ
Gia tốc biểu kiến: g bk 

Om

OC

 0  2  0,1rad

v   0 gbk l   0

g
10
l  0,1
.2  0, 447m/s = 44,7cm/s  Chọn A.
cos 
cos 0,01

Ví dụ 8: Hai con lắc đơn có chiều dài dây treo như nhau, vật nặng có cùng khối
lượng cùng đặt trong điện trường đều có phương nằm ngang. Hòn bi con lắc thứ
nhất không tích điện. Hòn bi con lắc thứ 2 tích điện, khi cân bằng thì dây treo
của nó tạo với phương thẳng đứng góc 600. Kích thích cho hai con lắc dao động

điề hòa dao động với cùng biên độ góc. Gọi cơ năng toàn phần con lắc thứ nhất
là W1, cơ năng toàn phần con lắc thứ 2 là W2 thì
A. W1= W2/2.

B. W1= 2W2.
C. W1= W2/
Hướng dẫn

2.

D. W1= W2.

19


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

g
gbk 

W1
W
g
1
 W1  mg 1  cos  0 
cos 




 1  cos   cos 600 

W

mg
1

cos

W2 gbk
W2
2

bk 
0
 2

W2
 Chọn A.
2
Ví dụ 9: Một con lắc đơn gồm hòn bi nhỏ bằng kim loại được tích điện q > 0.
Khi đặt con lắc vào trong điện trường đều có véc tơ cường độ điện trường nằm
ngang thì tại vị trí cân bằng dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc  với
tan = 3/4, lúc này con lắc dao động nhỏ với chu kỳ T1. Nếu đổi chiều điện
trường này sao cho véctơ cường độ diện trường có phương thẳng đứng hướng
lên và cường độ không đổi thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc lúc này là
 W1 

A. T1

5
.
7

B.

T1
.
5

C. T1

7
.
5

D. T1 5 .

Hướng dẫn


F
F
3g
5g
l
 a   g tan  
 gbk1  g 2  a 2 
 T1  2

 tan  
5
g
mg
m
4
4

4


 q  0  F  E  E  P  g  g  a  g  T  l  T  T1
bk 2
2
2

g
4
5

4

Chọn D.
Chú ý: Gia tốc biểu kiến lúc đầu có thể được tính như sau
tan  

3
g
 gbk1 


4
cos 

g



5
l
g  T1  2

4
gbk1

l
5g
4

3

cos  arctan 
4

Ví dụ 10: Trong thang máy đứng yên treo một con lắc đơn và một con lắc lò
xo. có m=250g , k =10N/m . Chu kì dao động của hai con lắc bằng nhau và biên
độ của con lắc đơn la 80 .Khi thang máy dược kéo lên nhanh dần đều với gia tốc
a=g/10 thi chu kỳ T và biên độ α của con lắc đơn là bao nhiêu? Lấy π2 = g =
10m/s2 .
A. T = 0,953s; α=7,6280
B. T =1s ; α=7,6280

0
C.T =0,863s; α=7,224
D. T=0,953s; α=7,2240.
Hướng dẫn
Chu kì của con lắc lò xo bằng chu kì con lắc đơn khi thang đứng yên.

m
0,25
 2 10
 1s
k
10
Tại VTCB mà thang máy đi lên nhanh dần đều thì:
T  2

20


Chuyên đề: CLĐ chịu tác dụng của ngoại lực
g
g
10
T
1
 0,953s
g
10
g bk
g
10 

10
10
*Năng lượng của con lắc đơn được bảo toàn trước và sau khi thang máy đi lên
tại VTCB.
T'  T

1
1
g
10
W  mgl02  mg bk l0'2  '0  0
8
 7,6280  Chọn A
2
2
g bk
11

ĐÓN ĐỌC:
1.TUYỆT PHẨM CÁC CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ TẬP 1. Điện Xoay
Chiều (đã phát hành trên toàn quốc)

Tác giả: Hoàng Sư Điểu ( Chủ biên)
Đoàn Văn lượng – Th.S Nguyễn Thị Tường Vi
(Sách được các Gv và Hs yêu thích nhất và thuộc sách bán chạy của
nhà sách Khang Việt).
/>3.TUYỆT PHẨM CÁC CHUYÊN ĐỀ VẬT LÍ TẬP 2. Dao Động
Cơ (sẽ phát hành trong năm 2017)

Tác giả: Hoàng Sư Điểu

Nhà sách Khang Việt phát hành.
Website: WWW.nhasachkhangviet.vn
Nguyên tắc thành công: Suy nghĩ tích cực; Cảm nhận đam
mê; Hành động kiên trì !
Chúc các em học sinh THÀNH CÔNG trong học tập!
GV: HOÀNG SƯ ĐIỂU, TT LUYỆN THI 91A NGUYỄN CHÍ
THANH. TP HUẾ

 Email:
 ĐT: 0909.928.109 – 0976.735.109

Thường xuyên khai giảng lớp luyện thi với mục tiêu điểm số
khác nhau trong kì thi Quốc gia đặc biệt các lớp 8-9-10 tại TT
91A NGUYỄN CHÍ THANH. TP HUẾ.

21


Tuyệt phẩm các chuyên đê vật lý tập 2. Dao động cơ

Hoàng Sư Điểu

Phụ huynh và các em học sinh liên hệ qua SĐT trên để đăng kí sớm nhất.Lưu
ý: Có làm bài test trước khi xếp lớp.

GV dạy offline muốn đăng kí nhận tài liệu luyện thi Quốc
Gia từ thầy Hoàng Sư Điểu trong suốt 1 năm xin vui lòng
liên hệ 0909.928.109
Lưu ý: Chỉ nhận cuộc gọi lúc 7h-8h30 sáng (không nhắn
tin).

Link
sách:
/>
22