Lý thuyết về hiệu ứng âm điện từ trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

NGUYỄN NGỌC DUNG

LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN - TỪ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH
CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Ngọc Dung

LÝ THUYẾT VỀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN - TỪ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ
VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60.44.01.03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - Năm 2014

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới
GS.TS. Nguyễn Quang Báu, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em
hoàn thành luận văn này.
Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng
dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu
làm luận văn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý
lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô
đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu
sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, 5 – 2014
Học viên: Nguyễn Ngọc Dung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƯƠNG 1. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN- TỪ TRONG HỐ
LƯỢNG TỬ ................................................................................................................3
1.1 Dây lượng tử. ........................................................................................................3
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử .....................................................................................3
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô
hạn. ..............................................................................................................................3

1.2 Tính toán trường âm- điện- từ trong hố lượng tử ..................................................4
CHƯƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN - TỪ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN. .................15
2.1 Lý thuyết hiệu ứng âm điện từ ...........................................................................15
2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với hố thế hình chữ
nhật cao vô hạn ..........................................................................................................17
2.3 Tính toán trường âm - điện- từ trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao
vô hạn. ……………………………………………………...……………..……….23
CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO
DÂY LƯỢNG TỬ GaAs .........................................................................................32
3.1 Sự phụ thuộc của trường âm - điện - từ vào nhiệt độ..........................................32
3.2 Sự phụ thuộc của trường âm – điện từ vào từ trường .........................................33
Thảo luận kết quả ......................................................................................................34
KẾT LUẬN ...............................................................................................................35
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................36
PHỤ LỤC ..................................................................................................................39
.......................................................................................................................................


DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào
từ trường ngoài trong trường hợp từ trường yếu, nhiệt độ cao,
Hình 2.1: Hiệu ứng âm- điện- từ trong khối bán dẫn

Trang 14
Trang 15

Hình 3.1: Đồ thị sự phụ thuộc của trường âm - điện – từ vào nhiệt độ
trong dây lượng tử

Trang 32

Hình 3.2. Đồ thị sự phụ thuộc của trường âm - điện- từ vào từ trường
trong dây lượng tử.

Trang 33


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong hai thập niên vừa qua, tiến bộ của vật lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm
được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể
[1-6] sang các màng mỏng và các cấu trúc thấp chiều [7-25]. Những cấu trúc thấp
chiều như các hố lượng tử (quantum wells), các siêu mạng (superlattices), các dây
lượng tử (quantum wires) và các chấm lượng tử (quantum dots) … đã được tạo nên
nhờ sự phát triển của công nghệ vật liệu mới với những phương pháp như kết tủa hơi
kim loại hóa hữu cơ (MOCDV), epytaxi chùm phân tử (MBE)… Trong các cấu trúc
nano như vậy, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hướng
tọa độ với một vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie,
các tính chất vật lý của điện tử thay đổi đáng kể, xuất hiện một số tính chất mới khác,
gọi là hiệu ứng kích thước. Ở đây, các quy luật của cơ học lượng tử bắt đầu có hiệu
lực, khi đó đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng bị biến đổi. Phổ
năng lượng bị gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn. Do các tính chất quang, điện
của hệ thấp chiều biến đổi, đã mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện điện tử, ra
đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học, kỹ thuật.
Ví dụ như: các đi-ốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch… Trong các cấu
trúc thấp chiều đó, cấu trúc dây lượng tử thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các
nhà vật lý lý thuyết và thực nghiệm. Khi nghiên cứu các tính chất vật lý các nhà khoa
học chú ý nhiều đến sự ảnh hưởng của sóng âm đến các tính chất của vật liệu, hay còn
gọi là sự tương tác của sóng âm với các cấu trúc thấp chiều nói chung và dây lượng tử

nói riêng.
Các công trình nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng âm-điên-từ trong bán dẫn khối,
bán dẫn mẫu Kane, bán dẫn lưỡng cực, siêu mạng và trong hố lượng tử đã được nghiên
cứu [7,21]. Tuy nhiên, hiệu ứng âm-điện-từ trong dây lượng tử vẫn chưa được nghiên
cứu lý thuyết. Trong khoá luận này sẽ trình bày nghiên cứu tính toán trường âm-điệntừ trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn bằng phương pháp phương
trình động tử.

1


2. Phương pháp nghiên cứu.
Để giải những bài toán thuộc loại này, ta có thể áp dụng nhiều phương pháp lý
thuyết khác nhau như lý thuyết nhiễu loạn, lý thuyết hàm Green, phương pháp tích
phân phiến hàm, phương trình động lượng tử… Mỗi phương pháp đều có những ưu
nhược điểm của nó, nên việc sử dụng phương pháp nào tốt hơn chỉ có thể được đánh
giá tùy vào từng bài toán cụ thể. Để tính toán hiệu ứng âm- điện-từ trong dây lượng tử
từ góc độ lượng tử ta sử dụng phương trình động lượng tử. Đây là phương pháp được
sử dụng nhiều trong nghiên cứu bán dẫn khối, trong siêu mạng, trong bán dẫn thấp
chiều rất có hiệu quả
3. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được chia
làm 3 chương:
Chương 1: Dây lượng tử và hiệu ứng âm - điện- từ trong hố lượng tử.
Chương 2: Biểu thức giải tích của trường âm – điện - từ trong dây lượng tử hình
chữ nhật với hố thế cao vô hạn.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết cho trường âm- điện- từ trong
dây lượng tử GaAs
Các kết quả chính của khóa luận được chứa đựng trong chương 2 và chương 3.
Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của trường âm - điện - từ trong dây lượng tử
hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Việc khảo sát số cũng được thực hiện và cho thấy

sự phụ thuộc của trường âm - điện - từ vào nhiệt độ T của hệ và từ trường H. Kết quả
thu được là mới, có những điểm khác biệt so với trường hợp trường âm – điện- từ trong
hố lượng tử.

2


CHƯƠNG 1. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ HIỆU ỨNG ÂM – ĐIỆN- TỪ
TRONG HỐ LƯỢNG TỬ
1.1 Dây lượng tử.
1.1.1 Khái niệm dây lượng tử.
Dây lượng tử ( quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển
động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều ( kích thước cỡ 100 nm ), chỉ có một chiều
được chuyển động tự do ( trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn);
vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã
chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được
chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD.
Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường,
bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều.
1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế
cao vô hạn.
Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề
cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng
điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình
Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều
2


H   
2  V(r)  U(r)    E

 2m *


(1.1)

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam giữ
điện tử do sự giảm kích thước. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước
ba trục được giả thiết lần lượt là a, b, L; L >> a, b. Ta luôn giả thiết z là chiều không bị
lượng tử hóa ( điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ
trong hai chiều còn lại( x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện
tử là m*.
0 khi 0  x  a;0  y  b
V 
 khi x  0  x  a; y  0  y  b

3

(1.2)


Khi đó hàm sóng có thể viết là:

 n,N x, y , z 

 1 ikz 2
 n x  2
 N y 
sin 
sin 
 e



 L
a
 a  b
 b 
0


khi
0  x  a;0  y  b
khi x  0  x  a; y  0  y  b;

(1.3)

Và phổ năng lượng của điện tử:
En,N

k 2  2 2  n2 N 2 
k 

 

2m* 2m*  a2 b2 

 

2

(1.4)

Trong đó n, N là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y; k= (0,0,kz)
là véc tơ sóng của điện tử.
1.2 Tính toán trường âm-điện- từ trong hố lượng tử [7,21]
Hamilton của hệ điện tử- phonon âm trong hố lượng tử trong biểu diễn lượng
tử hóa thứ cấp như sau

H  H 0  H e ph

(1.5)

trong đó H0 là năng lượng của các điện tử và phonon không tương tác

H0 



N

( p )aN , p aN , p ,

N , p

Và H e ph là Hamiltonian tương tác điện tử dòng phonon

He ph 



N , N ' , p ,q

CqU N , N ' (q)aN , p q aN ', p cq exp  iqt 

với

q3 1/2
Cq  ic (
) ;
20S
2
l

 l  (1  cs2 / cl2 )1/2 ;

1   l2  l
1   t2 
  q
 (  2)

2

t
2 t 
l


 t  (1  cs2 / ct2 )1/2 ,

4

,


2
1  px2 p y  2

 N ( p )    N     ( ) ,
2  2m 2 m 


1/2

 N,p



 2 
z  z0

N (
) exp(ipx x) exp(ip y y),

 Lx Ly 
a
H



2
2 1/2

ở đây   (c   ) , c ,  lần lượt là tần số cyclotron và tần số đặc trưng cho hố

thế, N = 0, 1, 2…, U N , N '  q  là yếu tố ma trận của toán tử U  exp iqy  l z  .
U N , N '  q    N* , pU N ' , p dV =




aH2 l2 
  p'y , py  q px' , px exp   z0l  m  


4


2


aH2 l  

z  z0 
 
m 
m 
2
m



exp


  dz


a
H

 



 


1

2
1  m  2


  2
N
Lx Ly 2 N !   

 z  z0
  H N2 
 aH



2
 2
Lx Ly



2


a2 


aH3 l2 
 2  exp   z0l  H l
4m
 m



2


  p'y , py  q px' px .


Để tính toán trường âm- điện- từ trong hố lượng tử trước hết chúng ta thiết lập
phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong hố lượng tử, và chúng ta bắt
đầu từ phương trình động cho trung bình thống kê của toán tử số hạt trong hố lượng
tử. f N , p  aN , p aN , p






t

i

 aN , p aN , p
t

t

 aN , p aN , p , H  .
t

(1.6)

Sử dụng Hamiltonian (1.5) và các phép biến đổi toán tử chúng ta thu được phương
trình động lượng tử cho điện tử tương tác với sóng âm

5


f N , p



t

1



2

 2 3  | C
q cs

N'



  N' , p

 q

q

|2 | U  q  |2

 f

N ' , p  q

 

  N , p  q  f N ' , p

 q



 f N , p 

 

 f N , p   n' , N ' , p

 q

  N , p  q

.

Từ đây ta có phương trình hàm phân bố của điện tử tương tác dòng phonon
ngoài khi có mặt từ trường
f N , p

 eE+c  p , h  ,
p


 f

N ' , p  q

f N , p  f N0, p 1


 2  | C |2 | U |2
 2

q
NN '
  p 
q cs
N'

3



 f N , p   N ' , p



  N ' , p

 q

 q

 

  N , p  q  f N ' , p



 q



 f N , p 

(1.7)

  N , p  q .

Phương trình (1.7) là phương trình cơ sở để tính toán trường âm điện từ trong
hố thế parabol.
Từ phương trình (1.7) bằng cách nhân hai vế với e p (   N , p ) và lấy tổng


m

p ,

theo N và

chúng ta thu được phương trình mật độ dòng riêng R
R

 c h, R   Q  S ,



(1.8)

với:

R

p
p  f ' 
f N ' , p     N ' , p ; Q  e2    E , N , p      N ' , p ,



m
p 
N ' , p m 





N ' , p

1  2 
S 2
 | Cq |2
q cs
3



  N' , p

 q



 |U

N ' , p



NN '

|2



 f
  

p
    N' , p

m

 

  N , p  q  f N ' , p

 q

 f N , p



N ' , p  q

N ' , p q



 f N , p 



  N , p  q .

Giải phương trình (1.8) ta thu được biểu thức của R như sau:

R










Q  S   c h, Q   h, S   c2 2 Q  S , h h .
2 2

1  c



Mật độ dòng toàn phần được cho bởi biểu thức sau:

6






 



j   Rd   L0 Q  L0 S 
0





 

2
Q  c h, Q   c2 2 Q, h h  S  c h, S   c2 2 S , h h d  .
2 2
1




c
0



 

Q    ; S  

Ta đi tính biểu thức:

Q  e2



N ' , p

p  f N ' , p
 E,
m 
p


     N ' , p .






Trong trường hợp xấp xỉ tuyến tính theo E và  ta có thể thay thế hàm f N ', p bằng
hàm f 0  p  . Thực hiên phép chuyển tổng thành tích phân


Qe

2

2



1

 p dp  d
 2  


2

N'



0

0

p  f N ' , p
 E,
m 
p


     N ' , p .




Xét p  p y ta có
f N ', p
p

và d 



f N ', p  N ' , p

 N ' , p



p



f N ', p p y   2
  ,
 N ' , p m   
y

 
dp y   . Do đó:
m


py

2

Q   

e2
2



 2m   
N'

Tương tự ta cũng có biểu thức

1   f

c  N '   
E.

2   


S  

7




S

1
2

 2 

3

q cs



 | Cq |

2

N'

4

 Lx Ly 

2

 2 

2

4



 a 
 2 
m



4
l

6
H


aH2  p y  q  c2 aH2 Kl2 
py
1


 exp  2 Kl


dp y  dpx    N ' , p 

2
4m   2 2  m


f '


 f '

 q N , p   N ' , p  q   N , p  q  q N , p   N ' , p q   N , p  q 
p


 p








1  2 
 2
 | Cq |2

q cs
3


N'

4

L L 
x

2

 2 







2

4

y



 a 

 2 
 m

4
l

6
H


aH2  p y  q  c2 
 a2  2 
1

 p y dp y  d  N ', p    N ' , p 
 exp   H l 
exp

2

2
  l
2 
 4m   2  m


 f

f



q
  N '  N    q 
  N '  N    q  

 N ' , p


 N' , p








1  2 
 2
 | Cq |2
q cs
3


N'

4

 Lx Ly 

2

 2 







2

4



 a 
 2 
 m

4 6
l H

  N  N 

 a2  2 
1
f
 exp   H l 
q  

2
 4m   2  m 

'

  N  N 

  q  

'

  q

 


 2 a2 2

  py exp   l H2 c  py  q  dpy



0

1  2 
 2
| C |2
q cs q
3


N'

4

L L 
x

2

 2 

y

2

4


 q 1
 a 
 2

2
 m
 m  2 
4
l

6

H

  N  N 

 a2  2
2 a 2 2 
 exp   H l  l H2 c q  

 4m

2
4
f


.
2 4
 4l aH c4

'

Đặt S  A f với


8

  N  N 

  q  

'

  q

 


1  2 
A 2
| C |2
q cs q
3


N'

4

L L 
x

2

 2 

2

4

y


 q 1
a 
 2

2
 m
 m  2 
4 6
l H

  N  N 

 a 
2Kl a c2 
 exp  

q 

 4m

2
H

2
l

2
H

2

'

  N  N 

  q  

'

  q



4
.
4l2 aH4 c4
2

Vậy ta có




L0 (Q)  

1  

2 2
c

0

Q    h, Q    h  h, Q  d
2 2
c

c

 e2 m 
1   f

    N    0 E  c 

2 2 
1  c   
2   

0







 e2 m 
1   f 0 
e2 m 
1   f 0  



2 2 
  h,



N

E



h
h
,



N

E  d .


c




2    

2     


  
  



c 2 e2 m

e2 m 
1   f0


    N     ij E j d  

2 2
2 2
 
2   


0 1  c
0 1  c

c2 3 e2 m 

1   f 0
1   f



      N     ijk hk E j d  
    N    0 hi h j E j d 

2 2
2   
 
2   



0 1  c



l


1   f

    N    0 d

2   

0 1   

Đặt al  

 

L0 Q 

2 2
c

e2 m
a1ij  c a2 ijk hk  c2a3hi hj  E j .



Thực hiện tính toán tương tự ta có:


L0 (S )  
0






1  

2 2
c



2 2
0 1  c

S    h, S     h  h, S  d
2 2
c

c

 A W    A
ij

j

c

h Wj  c2 2 Ahi h j Wj 

ijk k

 b1 ij  cb2 ijk hk  c2b3hi h j   j


l
f
Ad
2 2
0 1  c    

với bl  

9

Cuối cùng ta có dòng toàn phần ji   ij E j  ij j , trong đó:

e2 m
 ij 
a1ij  c ijk hk  c2a3hi hj  là ten-xơ đỗ dẫn điện


ij  b1ij  cb2 ijk hk  c2b3hi h j  là ten-xơ đỗ dẫn âm

Khi mẫu cách điện hoàn toàn j  0 => jz  0 và j y  0

j y   yj E j  yj j   yx Ex   yy Ey   yz Ez  yx  x   yy  y   yz  z  0 ,
Do đó:

 yy Ey   yz  z  0 ,
và jz   zj E j  zj j   zx Ex   zy Ey   zz Ez  zx  x   zy  y  zz  z  0 ,

 zy Ey  zz  z  0 .
Từ đây ,suy ra:

 yy2 Ey  yz yy z  0 và  zy2 Ey zz zy  z  0
 EAME  Ey 

      
   
zy

yy

yz zz

2
yy

2
zy

z

.

(1.9)

Phương trình (1.9) là biểu thức trường âm điện từ trong hố lượng tử với thế
parabol khi có mặt từ trường ngoài.
Bây giờ ta xem xét thời gian phục hồi của hạt tải phụ thuộc vào năng lượng của
v

  
hạt tải theo công thức sau:      0 
 ta có:
 K BT 

10


 yz  

e2 m
e2 m
c a2 ;  yy 
a ;    yx ;

 1 xy

 yz   zy ; xz  0 ; zz  b1 ;zy  cb2 .
Từ đây ta thu được

EAME



e2 m
e2 m

b
a

b
 c 2  1 1  c a2  
  c a1b2  b1a2 

2
2
e2 m a12  c2 a22
 e2 m   e2 m

  a1     c a2 


 

v

  

1   f

Ta có a1  
    N    0 d và thay    0 
 ta được:
2 2 
2   

 kBT 
0 1  c 




v

v

  
  
0 
0 
 




kBT 
kBT 
f0
f0
1



a1  
d    N   
d
2v
2v

20







0

2
2
1  c 0 

1  c2 02 

 kBT 
 kBT 



Đặt x 


d

; z  F => dx 
; f  1 x z
kBT
kBT
k BT
1 e



 0 xv
f0
 0 xv
f0
1

k
T
x

dx


N

dx 


B
c

2 2 2v
2 2 2v
x
2  0 1  c 0 x x

0 1  c 0 x

a1  



 0 xv1
f0
 0 xv
f0
1


kT

dx    N   
dx
2 2 2v  B 
2 2 2v
x
2  0 1  c 0 x x

0 1  c 0 x

Thực hiện tính toán tương tự ta thu được



 02 x2v1
f0
 02 x2
f0
1

k
T
dx


N

dx ,


B



2 2 2v
2 2 2v
x
2  0 1  c 0 x x

0 1  c 0 x

a2  

11


v

  



0


kBT 
f 0
A. 0 xv f 0

b1  
A
dx


2v
0 1  c2 02 x2v x dx ,

x



0
1  c2 02 

 kBT 
2v

  
0 



kBT 
f 0
A. 02 x 2v f 0

b2  
A
dx

dx .
2v
2 2 2v



x
1



x

x


c
0

0
0
1  c2 02 

 kBT 


f0
xm
dx chúng ta thu được
2 2 n
0 1  c 0 x x

Sử dụng ký hiệu Fm,n  z   

1

a1   0 kBTFv 1,2v  z     N   0 Fv,2v  z  ,
2

1

a2   02 kBT .F2v1,2v  z     N   02 Fv,2v  z  ,
2


b1   0 .AFv,2v  z  ; b2   02 .AF2v,2v  z  .
Thay a1 , a2 , b1 , b2 vào (1.9) ta được
EAME 



1



   A 02 F2 v ,2  z    0 k BTFv 1,2 v  z     N   0 Fv,2 v  z    
e m 
2





c

2



1
 


  A 0 Fv ,2 v  z    02 k BTF2 v 1,2 v  z     N   02 F2 v,2 v    
2


 



2


1


  0 kBTFv 1,2v  z     N   0 Fv ,2v  z   
2




1



   (kBT )  F2 v 1,2v  z     N   02 F2 v ,2 v  z  
2



2 4
c 0

2

12

2

1



 .




EAME 

c 1

A 0 F2v,2v  z  Fv1,2v  z   Fv,2v  z  F2v1,2v  z  
e2 m kBT



2


1


1



 N  
 N  





2
2
  Fv1,2v  z   
Fv,2v  z    c2 02  F2v 1,2v  z   
F2v,2v  z  
kBT
kBT














2 1








(1.10)

Phương trình (1.10) là trường âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với thế
parabol trong trường hợp thời gian phục hồi xung lượng phụ thuộc vào thời gian. Để
tính toán cho trường âm điện lượng tử chúng tôi sẽ xem xét cho trường hợp

  1; f0  e x z  →

f 0
 e x  z  ta được
x



  1   1 
 1   1 
Ci 
 sin 
  Si 
 cos 
 ,






 c 0   c 0 
  c 0  c 0



  1   1 
 1   1 
Ci 
 cos 
  Si 
 sin 
 ,







 c 0   c 0 
  c 0  c 0

1 kBFT
F2,2  3 3 e
c 0
F
1
F1,2  2 2 e kBT
c 0


 1   1 
1 kBFT   1   1 
F3,2  4 4 e Ci 
 cos 
  Si 
 sin 
 ,
c 0
 c 0   c 0 
  c 0   c 0 
2 k 1

1 x2k

   1 x


Với Si  x  
; Ci  x    ln  x   
.
2 k 1  2k 1 2k 1!
k 1 2k  2k !
k 1

k

Thế vào phương trình trên chúng ta đạt được
 1 
1  
2
 Ci 2 
  Si 
 
e mkBT   c 0 
 c 0  
2 4 2
  1 
  0 ( N  1/ 2)2 
2 0 ( N  1/ 2)
1  
2
 ci 2 

si
1



2



 

(kBT )2
kBT

 c 0   
  c 0 

EAME 

c 0 A 
2

(1.11)
1

  1   1   2 
 2  2  1 
1    
2
  2Si 
Ci
cos

sin

Si

Ci

 
 


 


   
  c 0   c 0   c 0 
 c 0    c 0 
 c 0    

13


Bằng phương pháp phương trình động lượng tử đạt được biểu thức giải tích
trường âm điện từ lượng tử trong hố lượng tử với thế parabol trong trường hợp thời
gian phục hồi xung lượng phụ thuộc vào năng lượng của hạt tải. Từ biểu thức ta thấy
rằng ngoài sự phụ thuộc vào các tham số đặc trưng hố lượng tử thì trường âm điện phụ
thuộc mạnh vào sự có mặt của từ trường ngoài như tần số cyclotron [7,21]. Để thấy rõ
hơn sự phụ thuộc của trường âm điện vào tần số sóng âm, nhiệt độ của hệ và từ trường
ngoài biểu thức (1.11) được tính số cho trường hợp hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs
[7,21].

Hình 1.1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của trường âm điện từ vào từ trường
ngoài trong trường hợp từ trường yếu, nhiệt độ cao, với T=250K (đường liền

nét), T=270K (đường nét đứt). Ở đây q  1.5 1010 (s 1 ) .

Do trong dây lượng tử , điện tử bị giam cầm theo hai chiều và chỉ còn tự do theo
một chiều , khác với trong hố lượng tử(điện tử bị giam cầm theo một chiều và chỉ còn
tự do theo hai chiều) nên các đặc trưng trên của trường âm điện từ trong dây lượng tử
hình chữ nhật với thế cao vô hạn sẽ khác và điều này sẽ được trình bày chi tiết ở chương
sau.

14


CHƯƠNG 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TRƯỜNG ÂM - ĐIỆN- TỪ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

2.1 Lý thuyết hiệu ứng âm – điện – từ
Hiệu ứng âm-điện-từ (acoustomagnetoelectric effect) trong các chất bán dẫn
một loại hạt tải được dự đoán lý thuyết lần đầu tiên vào năm 1967, sau đó được phát
hiện thực nghiệm vào năm 1971 trong bán dẫn khối n-InSb. Nội dung của hiệu ứng
như sau:
Giả sử mẫu chất dẫn hình khối chữ nhật được đặt trong từ trường H hướng theo
một cạnh (Oz) của mẫu và cho truyền dòng sóng âm cường độ

W

dọc theo trục Ox

(Hình 2.1). Khi đó nếu mẫu hoàn toàn được cách điện thì giữa hai mặt bên (theo
phương Oy) xuất hiện một hiệu điện thế, hay nếu ta đóng mạch theo phương này thì
xuất hiện một dòng điện. Dòng điện như vậy gọi là dòng âm-điện-từ.[2]

H

z

w

O

x

V

y
Hình 2.1. Hiệu ứng âm-điện-từ trong bán dẫn khối

Hiệu ứng âm-điện-từ tương tự như hiệu ứng Hall trong bán dẫn, ở đây dòng âm
đóng vai trò của dòng điện

jx .

15

W


Nguyên nhân xuất hiện dòng âm-điện-từ là sự tồn tại các dòng riêng của các nhóm
hạt tải mang năng lượng khác nhau, khi dòng trung bình toàn phần trong mẫu bằng
không.
Do sự phụ thuộc vào năng lượng



của thời gian phục hồi xung lượng, độ linh

động trung bình của các hạt tải trong các “dòng riêng” này nói chung sẽ khác nhau. Vì
vậy, nếu như toàn bộ mẫu được đặt trong từ trường ngoài thì dòng Hall tạo bởi các
nhóm hạt tải này sẽ không triệt tiêu nhau và hiệu ứng âm-điện-từ tạo ra:
+ Dòng âm-điện-từ (Nếu mẫu đóng mạch theo phương Oy).
+ Trường âm-điện-từ (Nếu mạch theo phương Oy hở).
Hiệu ứng âm-điện-từ trong các chất bán dẫn một loại hạt tải đã được nghiên cứu
tương đối chi tiết khi định luật tán sắc của hạt tải có dạng parabol. [6]
Tuy nhiên, định luật tán sắc parabol (  p 

p

2

2m ,

p -xung lượng, m-khối lượng

hiệu dụng của điện tử) chỉ có hiệu lực trong các chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm  g
lớn hơn nhiều so với năng lượng đặc trưng của điện tử dẫn

F

F

(trong bán dẫn suy biến,

là năng lượng Fecmi) hoặc 3 T (trong bán dẫn không suy biến, T là nhiệt độ mạng
2

tinh thể trong đơn vị năng lượng), vì chỉ khi đó mới có thể bỏ qua tương tác giữa vùng
dẫn và vùng hoá trị.
Trong các bán dẫn InSb vùng dẫn bị lệch khỏi dạng parabol và sự lệch dạng đó
đã ảnh hưởng không nhỏ về chất đến các tính chất vật lý của các bán dẫn loại này. [7,8]
. Hiệu ứng âm-điện-từ trong bán dẫn mẫu Kane (bán dẫn loại InSb, coi mẫu là đồng
nhất, đẳng hướng và có định luật tán sắc Kane) cũng đã được nghiên cứu trong trường
hợp

ql >>1 ( q -vectơ sóng âm, l -độ dài trung bình bước nhảy tự do của điện tử) [2,9].

Tác giả công trình [9] đã chỉ ra rằng trong trường hợp này hiệu ứng âm-điện-từ được
quyết định bởi sự phân bố điện tử liên quan tới sự phụ thuộc của khối lượng hiệu dụng

16


vào năng lượng của chúng và hiệu ứng có thể xuất hiện ngay cả khi thời gian phục hồi
xung lượng không phụ thuộc vào năng lượng của điện tử. Còn tác giả công trình [2]
cho rằng chính vì tính phi parabol của định luật tán sắc tự động kéo theo sự phụ thuộc
của thời gian hồi phục xung lượng vào năng lượng, cho dù ban đầu không có sự phụ
thuộc đó, và đã chỉ ra được rằng các điều xét trong [9] chỉ đúng khi chưa có giả thiết
về sự phụ thuộc của thời gian phục hồi xung lượng vào năng lượng. Hiệu ứng âm-điệntừ trong bán dẫn mẫu Kane, có tính tới sự phụ thuộc  ( ) đã được nghiên cứu [2].
2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử với hố thế
hình chữ nhật cao vô hạn.
Ta giả sử sóng âm có tần số ωq được truyền dọc theo dây lượng tử hình chữ
nhật với hố thế cao vô hạn dọc theo trục Oz, từ trường dọc theo trục Ox. Xét trường
hợp khi nhiệt độ thấp ωq/η = νs|q|/η << 1 và ql >> 1, νs vận tốc của sóng âm, q là số

sóng âm. Khi đó hàm sóng có dạng như sau:

 n , N , p (r ) 

2
sin(k x x)sin(k y y)exp(ikz z)
abL

(2.1)

Với k x  n ; k y  N ; k z  pz và n, N là các giá trị nguyên dương (là chỉ số
b

a

subband),L là chiều dài dây lượng tử, a,b là bề rộng vuông góc theo chiều x,y.
Phổ điện tử trung bình trong sự có mặt của từ trường bị lượng tử hóa, ta xét
sóng âm truyền dọc theo chiều z.

 2n2 2 2 N 2 2kz2
 n, N , p 


2ma2
2mb2
2m
2

(2.2)

*) Ta có phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử khi có mặt
sóng siêu âm:

H  H ee  H p p  H e p
H



n ',N',k'

n ',N',k'





a  n ',N',k 'an ',N',k'   qbqbq 
q



n ', n '1 ,N',N'1

I n ',n '1 ,N',N'1 Ck an', N ', p' k an1 ',N1', p 'z (bq  b   q ) 
z

z

CqU n ',n '1 ,N',N'1 (q )a  n ',N', p 'z  q an '1 ,N'1 , p 'z bq exp(iq t )

n ', n '1 ,N',N'1 , q

17

(2.3)


Trong đó:

a  n,N,k , an,N,k : lần lượt là toán tử sinh, hủy điện tử.

b q , bq : Lần lượt là toán tử sinh hủy hạt phonon
là vecto sóng

k

q3 /  2  FS  : Hằng số tương tác giữa điện tử và phonon ngoài.

Cq  icl2

q /  2  vaV  : Hằng số tương tác giữa điện tử và phonon quang.

Ck  

1   l   l
 1   t2 
2
2 1/2
2
2 1/2

   2
Với F  q 
 ;  l  (1  cR / cl ) ;  t  (1  cR / ct ) ;
 2 l   t
 2 t 
S = ab: diện tích bề mặt.

ct và c là vận tốc ngang và vận tốc dọc của sóng âm;  là mật độ khối lượng của dây
lượng tử; I n ',n' ,N',N' là thừa số đặc trưng phụ thuộc vào bản thân vật liệu và đối với dây
1

1

lượng tử hình chữ nhật.
'

I n ',n' ,N',N'
1

1



32 4 (qx ann ')2 1  (1) nn cos(qx a



2
(qx a)4  2 2 (qx a)2 (n2  n' 2 )   4 (n2  n' 2 )2 



32 4 (q ybNN ' )2 1  (1) N  N ' cos(q yb 
(q yb)4  2 2 (q yb)2 ( N 2  N ' 2 )   4 ( N 2  N ' 2 )2 

2

Un, ,n , , N , , N , (q)   *n, , N , , pU *n, , N , , p dV : là yếu tố ma trận của toán tử U  exp(iqy  k z)
1
1
1
U n, , n , , N , , N , ( q ) 
1



1

iP
4
n x
N y
sin 2 (
) sin 2 (
) exp( z z ) exp(iqy k l z 0 ) exp( ik 'z z)dV

abL
a
b







4
n x
n ' x
N y
N ' y
sin (
)sin (
)dx  sin (
)sin (
)exp(iqy)dy  exp i(kz  k z' ) z  exp(kl z0 )dz

abL 
a
a
b
b




4
n x
n ' x
N y

N ' y

exp(kl z0 ) k k '  sin (
)sin (
)dx  sin (
)sin (
) exp(iqy)dy
z, z
abL
a
a
b
b
0

a

e kl L k ,k '
 2 2 eibq

2
z z

2n  
(4n2 2  b2 q 2  b2 q 2 ) 
2
2
2 
kl bL q  bq    2n   
2





18


e kl L k ,k '
i 4n2 2  ibq

(e  1)
2
2
kl bL2
q  bq    2n  



*) Phương trình động lượng tử cho điện tử trong sự có mặt của sóng siêu âm và
từ trường ngoài
Chúng ta xét phương trình cho trạng thái trung bình điện tử an, N ,k an, N ,k

và nó
t

được gọi là hàm phân bố lượng tử tổng quát. Phương trình đối với an, N ,k an, N ,k
dạng: i

 a  n,N,k an,N,k
t

i

f n,N,k

 a  n,N,k an,N,k , H

t

t

t

có
t

(2.4)

Sử dụng hệ thức giao hoán của toán tử sinh, hủy điện tử và toán tử sinh hủy
boson:

a

, a n ',N',p'z  an,N,pz a  n ',N',p'z  a  n ',N',p'z an,N,p z   n,n ' N,N' p, p 'z ;

a

n ,N, pz

, an,N, pz  a  n,N, pz , a  n,N, pz  0

b

n,N, pz

, b n ',N', p 'z  bn,N, pz b n ',N', p 'z  b n ',N', p 'z bn,N, pz   n,n ' N,N' pz , p 'z ;

n,N,p z



 





bn,N, pz , bn,N, pz   b n,N, pz , b n,N, pz   0

Số hạng 1:

 


 an, N ,k an, N ,k ,   n ', N ',k' an ', N ',k' an ', N ',k'  
n ', N ',k'






 an, N ,k an, N ,k an ', N ',k'an ', N ',k'  an ', N ',k' an ', N ',k' an, N ,k an, N ,k  0

(2.5)

Số hạng 2:
 


 a n,N, pz an,N, pz ,  q bq bq 
k



0

(2.6)

t

Vì a, b là các toán tử độc lập nên giao hoán tử giữa chúng bằng 0).
Số hạng 3:

 


a n,N,k an,N,k ,  CqU n,N,n',N' (q )a n ',N',k an ',N',k qbq exp(iqt ) 
n ,n',N,N', k , q



19






n ,n',N,N', k , q





CqU n,N,n',N' (q ) a  n,N,k an,N,k , a  n ',N',k an ',N',k qbq exp(iqt ) 
t





CqU n,N,n',N' (q) a  n,N,k an ',N',k q n,n ' N,N' k ,k qbq a  n ',N',k an,N,k n,n ' N,N ' k ,k bq  exp(iqt )

n ,n',N,N',k ,q



   CqU n,N,n',N' (q)a  n,N,k an ',N',k qbq   CqU n,N,n',N' (q )a  n ',N',k an,N,k bq   exp(iqt )
n,n',N,N',k ,q
 n,n',N,N',k ,q



t

t





 CqU n,n',N,N' (q ) a n,N,k an ',N',k qbq   CqU n,n',N,N' (q )a n ',N',k an,N,k bq   exp(iqt )
n ,n ',N,N',k,q 
n ,n ',N,N',k,q


















CqU n,n',N,N' (q ) Fn ',N',k q,n,N,k ,q (t )  Fn,N,k ,n ',N',k q ,q (t ) exp(iqt )

n ,n ',N,N',k,q

t

(2.7)

Với

F

n,N,kz ,n ',N',kz' ,q

(t )  an, N ,k a
z

b

n ', N ',kz' q t

Thay (2.5), (2.6), (2.7) vào biểu thức (2.4). Ta thu được:



a n,N,k an ',N',k
t



i



n,n ',N,N',q z ,q





CqU n,n',n,N' (q) Fn ',N',k q ,n,N,k ,q (t )  Fn,N,k ,n ',N',k q,q (t ) exp(iqt ) (2.8)
z z
z
z

Tìm biểu thức F
(t ) bằng phương pháp phương trình động lượng tử
n,N,k ,n ',N',k ' ,q
z

 a  n,N,k an ',N',k 'bq
F
i
i
t
t

z

t

 a  n,N,k an ',N',k 'bq , H 
z
z



(2.9)
t

*) Ta có:

 a  n,N,k an ',N',k 'bq , a  n '',N'',k ''an '',N'',k '' 



 a n,N,k an '',N'',k ''bq n ',n '' N ',N '' k ,k ''  a
z

z

z

a

b 



''
' ''
n '',N'',k z n ',N',k z ' q n ',n '' N ', N '' pz , pz

Suy ra
 



a n,N,kz an ',N',k 'z bq ,   n '',N'',k ''z a n '',N'',k ''z an '',N'',k ''z     n,N,kz   n '',N'',k ''z a n,N,k an ',N',k 'bq

 t
n '',N'',k ''z



*) Ta có:

20



(2.10)
t