Các chuyên đề toán ôn thi vào 10 file word

Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
Chuyên đề I. căn bậc hai

1. A2 A ;
và B 0).
3.

2.

A
A

(với A 0 và B > 0);
B
B

4.

5. a) A B A2 B (với A 0 vàB 0 )
B 0 ).
6.
8.
9.

b)

A 1

AB (với AB 0 vàB 0));
B B

7.

A.B A. B (với A 0

A2 .B A. B (với B 0 ).

A B A2 B (với A < 0 và
A
A B

(với B > 0).
B
B

C
C( A B)

(với A 0 và B2 A ).
A B2
A B
C
C( A B )

(với A 0,B 0 vàA B ).
A B
A B
Các dạng bài toán thờng gặp trong CĐ I

Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức rồi thu gọn biểu thức đó.
Dạng 2: Tính giá trị của biẻu thức sau khi đã thu gọn.

Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng
hoặc lớn hơn một số thực cho trớc.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, ......của biểu thức sau khi đã thu gọn.
Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vào các vấn
đề sau:
1) Việc tìm ĐKXĐ là vô cùng quan trọng
2) Để thu gọn đợc biểu thức HS phải tìm đợc MTC và qui
đồng mẫu số
(Trong quá trình tìm MTC cần chú ý đến hằng đẳng thức
A2 B 2 A B A B và qui tắc đổi dấu )
I. Tìm điều kiện xác định
Chú ý: + f (x) xác định khi và chỉ khi f ( x) 0
+

1
xác định khi và chỉ khi f(x) > 0
f ( x)

f ( x ) 0
g ( x)
xác
định
khi
và
chỉ
khi

f ( x ) h( x )
f ( x) h( x) 0
x 0

x 3
x 0

x0
+
xác định
x x
x 0
x x 0

+

+

x 0
x 3

xác định
x x
x x 0

x 0
1 x 0

x 1

Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a) 4 x 1 ;
b) 4 x 1 ;
c) x 2 2

1

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
2x 3
;
x 1

d)
m)

x

e)

x2 4 ;

x x
2x 1

n)

;

g)
l)

x2 1

2
x 5
x
1

x 1 x x

II. Biểu thức liên hợp và trục căn thức
Ví dụ 1.2: Tính giá trị các biểu thức sau:
A 4 2 3
B 42 3
C 3 2 2






3 1
2 1

2

31 31 31
2

2

3 1 3 1

2 1 2 1

Chú ý: Khi cần thu gọn các biểu thức trong căn ta cần liên tởng
đến hai hằng đẳng thức quen thuộc A B 2 A2 2 AB B 2 . Trong khi
viết nên viết số lớn đứng trớc để khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta
không phải đổi dấu.
Ví dụ 1.3: Khi thu gọn biểu thức K 9 4 5 ta có thể biến đổi
theo 2 cách sau:
Cách 1: K 9 4 5
Cách 2: K 9 4 5

5 2
2 5

2

2

5 2 5 2
2



5 2



5 5 2 vì 2

5 0

Rõ ràng là làm theo cách 1 thuận lợi hơn rất nhiều và không bị
nhầm dấu.
Vận dụng:
1. Tính: A 5 2 6;
B 5 2 6;
C 9 4 2
2. Tính A biết
a ) A 13 2 42;

b)A 46 6 5;

c)A 12 3 15

d)A 13 4 30;

e)A 7 4 3;

g)A 11 4 2

Khi các biểu thức cần tính hay thu gọn mà ở MT đang chứa căn
thì ta cần nghỉ đến
việc trục căn thức - nhân với biểu thức liên hợp.
Chú ý:
+

1

x a

+

k

x a

+

3

3

k

x a








1. x a
x a

x a2
x a x a

k. 3 x 2 a3 x a 2
3



x a





3

x 2 a3 x a 2

k . 3 x 2 a3 x a 2
3

x a



3

x 2 a3 x a 2













k. 3 x 2 a3 x a 2
x a3





k. 3 x 2 a3 x a 2
x a3

Ví dụ 1.4: Trục các căn thức sau:
2

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT





A

1

21

1. 2 1
2 1

2 1
1
2 1 2 1

B

3

5 2

C 3

1

2 3

1. 3 4 33 2 9

2 3 3 4 33 2 9





3


3

5

5 3
3 5 3

5 3
3
2 5 2











3

4 33 2 9
7

Vận dụng: Làm mất căn ở mẫu trong mỗi biểu thức sau:
1
5 3
1
3
4 6 3 9

a)
3

b)

1
8 2

c)

4
7 33

3

d)

3

5
11 3 4

e)

Ví dụ 1.5: Rút gọn các biểu thức sau:
6
2

A = 4 2 3 7 4 3;
B=

. C 42 3 4 2 3
7 2
83 7
Lời giải
A=

4 2 3 7 4 3 ( 3 1)2 (2

3 1 2

B=


3 )2

3 1.

3 3 1 2

6
2
6( 7 2)
2(8 3 7 )



7 2
8 3 7 ( 7 2)( 7 2)
(8 3 7 )(8 3 7 )

6( 7 2) 16 6 7

3
1

= 2 7 4 (3
C 42 3

7 )2 2 7 4 3



4 2 3



2

3 1



7 2 7 4 3



2

3 1 3 1

7 7 1.

3 1 2

Ví dụ 1.6: Rút gọn các biểu thức sau:





A x2 2 x2 1 2; B x2 2 x2 1 x 1; C x2 3 4 x2 1 1 x 5
D x x

1
1
1
x x ;
2
4
4

E x2 2y x2 y2 x y 0

Lời giải
A x2 2 x2 1 2

x2 1 1

x 2 1 1 x 2 1 1 (vì
B x2 2 x2 1



2

x 2 1 1, x R )



2

x 2 1 1 x 2 1 1 x 1



C x2 3 4 x2 1 2



2

x 2 1 2



x 2 1, R / 1 x 5

3

THCS Tam Dng




Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT

1
1
1 1
D x x x x x
2
4
4 2


2

2


1 1
1 1
1 1
1
x x x x , x
4 2

4 2
4 2
4

E x2 2 y x2 y2



x2 y2 y



2

x 2 y 2 y, x y 0

Xét một số ví dụ tổng hợp sau

Ví dụ 1.7

a
1
1
2

): (

).
a 1 a a
a 1 a 1

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn K.
b) Tính giá trị của K khi a 3 2 2 .
c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0.
Lời giải
a 0
1 a 0.
a) ĐKXĐ:
a

1

Cho biểu thức: K = (

K= (

a

a1
a

K (
a1

K=



1
a

a

):(

1



2
)
a 1

a 1
1
1
2
):(

)
a ( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)

a 1
a 1 2
a 1
a 1
a 1
:

.

a ( a 1) ( a 1)( a 1)
a ( a 1) a 1
a

b) Ta có: a 3 2 2 (1 2 )2 a 1 2
a 1 3 2 2 1 2(1 2 )


2.
Do đó: K =
a
1 2
1 2
a 1
0 a 1 0 a 1.
c) Với a > 0 a 0.Do đó K
a
Kết hợp với ĐK, ta có K 0 0 a 1 .
Ví dụ 1.8: Cho biểu thức: P (

4 x
2 x



8x
x1
2
):(

).
4 x
x 2 x
x

a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của x để P = -1.
c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x 3).P x 1 .
Lời giải
4 x
8x
x 1
2

): (

), ĐK: x 4,x 1,x 0 .
a) P (
2 x 4 x x 2 x
x
4

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
4 x(2 x) 8x
x 1 2( x 2)
]:[

]
(2 x)(2 x)
x( x 2)
8 x 4x
3 x
4 x(2 x)
x(2 x)
4x
:

.

P=
.
(2 x)(2 x) x( x 2) (2 x)(2 x)
x 3
x 3
4x
1 4x 3 x 4x x 3 0 4x 4 x 3 x 3 0
b) P =
x 3
9
( x 1)(4 x 3) 0.Vì x > 0 x .
16
4x
x 1 m.4 x x 1
c) Ta có: m( x 3).P x 1 m( x 3)
x 3
1
x(4m 1) 1 . Vì x > 9 > 0 nên 4m - 1 > 0 m và

4
1
x
(1)
4m 1
1
5
9 m thỏa mãn (1)
Do đó:
4m 1
18
5
Vậy với m thì với mọi x > 9 ta có: m( x 3).P x 1 .
18
1
x 1 1 x
): (

).
Ví dụ 1.9: Cho biểu thức: P ( x
x
x
x x
a) Rút gọn P.
2
b) Tính giá trị của biểu thức khi x
2 3
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn: P x 6 x 3 x 4 .
Lời giải
1

x 1 1 x
): (

), ĐK: 1 x 0 .
a) P ( x
x
x
x x
x 1 ( x 1)( x 1) 1 x ( x 1)( x 1) x( x 1) ( x 1)2
:[
]
.

P=
.
x
x( x 1)
x
x( x 1)
x
2
2(2 3 )

4 2 3 ( 3 1)2 x 3 1
b) Ta có: x
2 3 (2 3 )(2 3 )
( 3 1 1)2
3
3( 3 1)

Do đó: P
.
2
3 1
3 1
c) P x 6 x 3 x 4 , ĐK: x 4 .
P=[

5

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
( x 1)2

x 6 x 3
x

x 4 x 2 x 1 6 x 3

x 4

x 4 x 4 x 4 0 ( x 2)2 x 4 0


x 2 0 và x 4 0 x 4

Ví dụ 1.10: (TN.THCS: 2002): Cho biểu thức: A

x

x 1

2 x 1
x( x 1)

.
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
c) Tìm các giá trị của x để A A .
d) Tìm x để A = -3
Lời giải
a) ĐKXĐ: 1 x 0 .
x
2 x 1
x2 2 x 1 ( x 1)2
x 1




Ta có: A
.
x 1
x( x 1)
x( x 1)
x( x 1)
x

x 1
36 1 5

.
b) Khi x = 36, ta có A
6
x
36
x 1
0 x 1 0 x 1(vì x >0).
c) Ta có: A A A 0
x
Đối chiếu với ĐK, ta có A A 0 x 1 .
1
1
x x
(TMĐK)
4
16
(Chú ý rằng nếu yêu cầu bài toán là tìm x để A A thì nó t-

d) A = -3

x1
3
x

x 1 3. x 4 x 1

ơng đơng với việc ta tìm x để A < 0)

1
1

.
Ví dụ 1.11: (TN.THCS 2005): Cho biểu thức: P 1
.
x 1 x x

a) Tìm TXĐ và rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 25.
c) Tìm x để P. 5 2 6 ( x 1) 2 x 2008 2 3
Lời giải
a) ĐKXĐ: 1 x 0 .
1
1
x 11
1
x
1
1

P 1

.

.

.
x 1 x x
x 1

x( x 1)
x 1 x( x 1) ( x 1)2

1
1

b) Thay x = 25, ta đợc: P
( 25 1)2 16
c) P. 5 2 6 ( x 1) 2 x 2008 2 3
6

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
1
. ( 2 3 )2 .( x 1)2 x 2008 2 3
2
( x 1)
2 3 x 2008 2 3 x 2008 0 x 2008
Ví dụ 1.12: (Đề thi vào lớp 10 THPT Nghệ An 2009 - 2010)
=

Cho biểu thức: A

x x 1 x 1

x 1
x 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
9
4

b) Tính giá trị của A khi x =

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
Lời giải
x 0
1 x 0
x 1 0

a) Điều kiện xác định
A

x x 1 x 1


x 1
x 1





x x 1
x 1
x x 1 x 1 x 1
x

x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x1













9
4

3
9
2 3
b) Thay x = vào biểu thức A ta đợc: A
3
4
9
1

1
2
4
x
x
1
1
10
0 x 1.
c) A 1
x1
x1
x1
Đối chiếu với điều kiện, ta đợc A 1 0 x 1 .

Ví dụ1.13: (Đề thi vào lớp 10 THPT - Nghệ An 2010-2011).
Cho biểu thức A

x

x1

2
2

x 1 x 1

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định. Hãy tìm GTNN của B =

A(x 1).
Lời giải
a) ĐKXĐ 1 x 0
x

x1

A


x



2
2
x



x 1 x 1
x1






x 1 2 x 1 2

x 1 x 1





x

2



2

x 1

2
x 1 x 1





x 2 x 2 2

x 1 x 1

b) Thay x = 9 vào biểu thức A ta đợc: A
x
c) B A x 1
x 1





x1







x 1 x



9
3
.
9 1 4

2

2



x x1
x

.
x 1 x 1
x 1

1 1
1

x x x ĐKXĐ
2 4
4


7

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
1
1
khi và chỉ khi x .

4
4
x2
x 1


Ví dụ 1.14: Cho A
x x 1 x x 1

Vậy MinB =

1
x1

a) Rút gọn A
b) Tính A với x 4 2 3
Lời giải
a) ĐKXĐ: 1 x 0
x2
x 1


Ta có A
x x 1 x x 1

=
=

x 2 x 1

x1







x2



x 2 x





x 1 x x 1

x 1 x x 1

x 1 1. x x 1

x 1 x x 1

x x1





1





x 1
x x 1

x x x 1 x

1



x1

x1

x 1 x x 1

x
x x 1

b) x 4 2 3 3 1
2

x 3 1 A

4 2 3
4 2 3 3 1 1



4 2 3
4

10 4 3

.

13
3

Bài tập tự làm
1.1. Thu gọn các biểu thức:
A 2
C=
.

3 .( 6 2 );

( 5 3)2 (2

B=
5 )2 ;

82 2 23 2
2


3 2
2
1 2

D = ( 10 2 )(6 2 5 ) 3 5

(ĐS: A = 2; B = -1; C = 1; d = 16).
1.2.
a) Tính A = 2 3(3 3 ) (3 3 1)2 .
b

a

)(a b b a)
b) Rút gọn biểu thức: B = (
a ab ab b
(ĐS: A = 34; B = b - a với ĐK: a > 0, b > 0 và ab).
1.3. Rút gọn các biểu thức: A 4 15 10 6 4 15 .
1
1
1


1.
1.4. Giải phơng trình:
x 3 x 2
x 2 x1
x1 x
1.5. CMR: A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 2 10



1.6. Cho biểu thức: B (



x
1 2 x 1

)(

2
2 x
x 1

a) Rút gọn B.
b) Tìm các giá trị của x để B > 0.
c) Tìm các giá trị của x để B = -2.

8

THCS Tam Dng



x 1
)
x 1


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
1 x
; b/ 0 x 1; c/ x (1 x)2 )
(ĐS: a/B
x
x x 1 x x 1 2(x 2 x 1)

):
1.7. Cho A (
x 1
x x x x

a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
x 1
;b/ x 4,x 9 )
(ĐS: a/ A
x 1
x2 x
2x x
1
1.8. Cho biểu thức: y
x x 1
x
a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b) Giả sử x > 1, Chứng minh rằng y y 0
c) Tìm GTNN của y.
1
1
khix )
(ĐS: a/ y x( x 1); c/ yMin
4
4
x 2
x
1
x 1


):
(x 0,x 1)
1.9. Cho biểu thức: A (

2
x x 1 x x 1 1 x
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
2
(ĐS: a/ A
)
x x 1
x 1 x 1 x2 4x 1 x 2003


).
1.10. Cho biểu thức: K (
x 1 x1
x2 1
x
a) Tìm ĐK của x để K xác định & rút gọn K
b) Với những giá trị nguyên nào của x thì K có giá trị nguyên.
x 2003
; b/ x 2003)
( ĐS: a/ x 1,x 0;K
x
1.11. Biết x2 5 x y2 5 y 5 (1) Tính x + y.

(HD: Nhân cả hai vế của (1) với





x2 5 x và





y2 5 y )

x 2
x 1
x 1



1.12. Cho biểu thức: T 1 :
x

1
x
x

1
x

x

1


a) Rút gọn T.
b) Chứng minh rằng: T 3x 1 vàx 0
x1
1;b/ x 1 2 x T 3 )
( a/ T
x
x x
1
2
:
1.13. Cho biểu thức: A
. CMR A < 0 với 0 < x
x x 1 x x 1
< 1.
9

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
1 2x x 1 2x x 1 x
1

1.14. Cho biểu thức: P
:
1 x
x
1 x x
1 x

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x 7 4 3 .
c) Tìm GTLN của a khi P > a.
1 x x
1
1
;b/ P 3;c/ P
x 1 2
. x 1 1 - đẳng thức
( a/ P
x
x
x
không xảy ra. Vậy P > 1. Do đó GTLN của a là a = 1).
x 2
x 1
x 1



1.15. Cho M
x

1
x
x

1
x

x

1


a) Rút gọn M.
b) CMR: 1 > 3M với mọi ĐK thích hợp của x.
x
1
x1
2 x
(1 x 0);b/ 1
1
3 1 3 M )
( a/ M
M
x x 1
x
x
1
x 4
2x 1

: 1
.
1.16. Cho biểu thức: A
x 1
x x 1
x x 1
a) Rút gọn A.
b) Tìm các số nguyên x sao cho A cũng nhận giá trị nguyên.
( a/ A

x
;
x 3

b/ A 1

3
x 4, 16, 36)
x 3


x
1 1
2
:


1.17. Cho: M
.
x 1 x x x 1 x 1

a) Rút gọn M.
x 1
;b/ x 1 )
b) Tìm x sao cho M > 0 ( a/ M
x
x 1

x 1
1

4 x . x

1.18. Cho: M
x 1
x
x 1

a) Rút gọn M.
b) Tính M khi x = 2.
a x2
a x2
1.19. Cho: A=
2 a
2 a
x
x
a) Rút gọn A.
b) Tìm ĐK của x và a để A2 A.
1
c) Tìm các ĐK của x và a để A .

4
1
3
2


1.20. Cho biểu thức: A
.
x 1 x x 1 x x 1
10

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng: A 1.
x
;b/ Hãy CM : A 10)
( a/ A
x x 1
x
1 x x x x
.
với (1x 0).


1.21. Cho biểu thức: A
2 x x 1
x 1

2
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A > -6.
( a/ A 2 x; b/ 0 x 1 hoặc
1 x 9).
1.22. Đề thị vào lớp 10 năm học 2006 - 2007.
1
x 1
1

Cho biểu thức: P
.
:
2
x x 1 x (1 x)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tìm x để P > 0.
1 x
;b/ 0 x 1)
( a/1 x 0,P
x
2 x
2
3
:

1.23. Cho biểu thức: A
.
x 1 1 x x x
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi x = 9.
c) Cho x > 1. Tìm GTNN của A.
x
9
;b/ )
( a/1 x 0,A
2
x 1

x
1 1
2
:


1.24. Cho P
.
x

1
x

1
x

x
1

x

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P > 0.
x 1
;b/ x 1 ).
( a/ 1 x 0,P
x
1 x 1
x 2
1
.


:
1.25.Cho biểu thức P
x x 2
x 1
x 1
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
1
b) Tìm x để P .
4
x 2
;b/ x 64 )
( a/ x 4,1 x 0,P
3 x

11

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
x 2
x 2 (1 x)2
.

1.26. Cho biểu thức P
x

1
2
x

2
x

1


a) Rút gọn P.
b) Tính P với x 7 4 3
c) Tìm GTLN của P.
1
1
( a/ P x x;b/ P 3 3 5;c/ MaxP x ).
4
4

x
1 1
2
:



1.27. Cho biểu thức P
x 1 x x x 1 x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P < 0.
c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn:
P. x m x
x 1
;b/ 0 x 1;c/1 m 1 )
( a/1 x 0,P
x

x
1 1
2
:


1.28. Cho biểu thức: P
.
x 1 x x x 1 x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P < 0.

c) Tìm các số m để có các giá trị của x thỏa mãn:
P. x m x
1 2x x 1 2x x x x
1



:
1.29. Cho biểu thức: P
x 1 x
1 x x
1 x

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với x 7 4 3
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a.
3

1

1

1.30. Cho biểu thức: P
:
x 1 x 1
x 1
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của x để p

5

4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M
1.31. Rút gọn biểu thức sau: P
1.32. Rút gọn biểu thức: A

x 12 1
.
x 1 P

1
1

( ĐS: 2 3 )
3 2
3 2

x 1
1
: 2
x x x x x x

12

THCS Tam Dng

(ĐS: x 1 )


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT

( a b ) 2 4b a 9b 6 ab
:
1
3 1 1
1.33. Rút gọn biểu thức sau:
( ĐS:
)
1
( a b) :
ab

a
b
a
b
2 x
x 1 9 x 6
1


:
3
1.34. Cho biểu thức : P
3 x 1 9 x 1



3 x 1

B

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P

6
5

c) Cho m > 1. Chứng minh rằng luôn có hai giá trị của x thoả
mãn P = m.
9
x x
( x 0, x 9 ); b/ x 4; x
; c/ Đặt x t m 1 phơng
25
3 x 1
1
trình ẩn t luôn có hai nghiệm dơng t )
3

x 1 6 x 1
x
2

:



1.35. Cho biểu thức: P
2 x 3 2 x x 3
x 1

(ĐS: a/ P =

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x =
c) So sánh P với

3 2 2
4

3
2

1.36. Cho biểu thức: P

10 x
2 x 3
x 1


x3 x 4
x 4 1 x

a) Rút gọn P
b) Chứng minh: P > -3 với mọi x thuộc TXĐ.
c) Tìm GTLN của P
x

x 2

2 x


1.37. Cho biểu thức: P

x 1 x 1
:

x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P > 2
c) Tìm GTNN của P
x
( x 0, x 1); b / x 1c / min P 2 )
x 1
1

2 x
x x
1

:


1.38. Cho biểu thức: P
x 1 x x x x 1 x x x x 1 x 1

(ĐS: a/ P

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P x 2
c) Tìm GTNN của P
d) Tìm m để có x thoả mãn ( x 1) P m x
13

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
x -1
,1 0, b/ x =3+2 2 )
x +1

x
1
1
:

1.39. Cho biểu thức A

x1
x 1 x x

(ĐS: a/ P =

a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x 3 2 2
c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình
A x m x có nghiệm.
e) Tìm x để A A
g) Tìm x để A 2 3
chuyên đề 2. Hàm số bậc nhất

1. Hàm số có dạng: y = ax + b ( a 0 ) đợc gọi là hàm số bậc nhất
đối với biến số x.
2. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x và
có tính chất:
- Hàm số đồng biến trên R khi a > 0.
- Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0.
3. a đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b ( a 0 ).
4. Với hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y a ' x b' d ' , trong đó a
và a ' khác 0 ta có:
*) a a' (d)và(d' )cắt nhau.
*) a = a ' và bb' (d) và(d' ) song song với nhau.
*) a a' vàbb' (d)và(d' ) trùng nhau.
*) a.a ' 1 d d '
Ví dụ 2.1: Viết phơng trình đờng thẳng thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
a) Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm (1 ; 0).
1
b) Song song với đờng thẳng y x 2 và cắt trục tung tại
2

điểm có tung độ bằng 2.
Lời giải
a) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b. Vì hệ số góc
của đờng thẳng là 3, do đó : a = 3.
Vì đờng thẳng đi qua điểm (1 ; 0). Thay x = 1, y = 0 vào phơng trình đờng thẳng, ta đợc: 0 = 3.1 + b b 3 .
Vậy phơng trình đờng thẳng là: y = 3x - 3.
b) Phơng trình đờng thẳng có dạng: y = ax + b
14

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
1
1
Vì đờng thẳng song song với đờng thẳng y x 2 a ,b2 .
2
2
Vì đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b2,( 2).
1
Vậy phơng trình đờng thẳng là: y x 2 .
2
Ví dụ 2.2: Cho hàm số: y = (2 - m)x + m - 1
(d).
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm bậc nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y đồng biến, nghịch
biến.
c) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng
y = 3x + 2.

d) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng
y = -x + 4 tại một điểm trên trục tung.
e) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng
y = -x + 4 tại một điểm trên trục hoành.
g) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 1 (k)
h) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) đi qua điểm M(2; -1).
Lời giải
a) y là hàm bậc nhất khi và chỉ khi 2 m0 m2 .
b) Hàm số đồng biến khi 2 m 0 m 2
Hàm số nghịch biến khi 2 m 0 m 2
c) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 2 khi và chỉ
khi:
2 m3 m 1

m 1 .

m

1

2
m

3


d) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + 4 tại một điểm trên
trục tung khi và chỉ khi: m 4 5 m 5 .
e) Đờng thẳng (d) cắt đờng thẳng y = -x + 4 tại một điểm trên
trục hoành 2 m 4 m 1 0 m

g) d k 2 m .2 1 m

7
3

5
2

h) Đờng thẳng (d) đi qua M(-2; 1) 1 2 m 2 m 1 m

4
3

Ví dụ 2.3: Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết
rằng đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1 ; 3) và B(2 ; 1).
Lời giải
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 3) và B(2 ; 1) nên:
15

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
3 a b
a 2

.

1 2a b b5
Chú ý: Ngoài cách giải trên HS có thể tham khảo cách giải tổng

quát sau:
Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A x1; y1 và B x2 ; y2 là:
x x1
y y1

.
x2 x1 y2 y1

áp dụng vào ví dụ 2.3 ta có:

x 1 y 3

2 x 1 1 y 3 y 2 x 5 .
2 1 1 3

Ví dụ 2.4: Cho hàm số y = kx + 3 2x + k
a) Xác định k để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến.
b) Xác định k để đồ thị là đờng thẳng đi qua M(1;3)
c) Xác định k để đồ thị là đờng thẳng cắt hai trục toạ độ
tạo thành tam giác có diện tích bằng 1.
Lời giải
Hàm số có dạng y = (k 2).x + k 3.
a) Để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến thì k 2 > 0 <=> k > 2.
b) Để hàm số đi qua M(1;3) thì 3 = (k 2).1 + k + 3 <=> k = 1.
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại A(0; k + 3), cắt trục hoành tại
k 3
;0
k 2
1
k 3

2
1 k 3 2 k 2 k 2 6k 9 2 k 2
Do đó S k 3
2
k 2

điểm B

+ Nếu k > 2 --> PTVN
+Nếu k < 2 --> PT có nghiệm k 4 11; k 4 11
Bài tập vận dụng
2.1. Cho hàm số y = x + m (d). Tìm m để (d):
a) Đi qua điểm A(1;2011).
b) Song song với đờng thẳng x - y + 3 = 0.
1
c) Tiếp xúc với (P): y x2 .
4
a
/
m

2010
; b / m 3; c / m 1 )
(
2
2
1

: 2
2.2. Cho hàm số: y
.
x x x x x x 1 x x
a) Rút gọn y
b) Cho A(2 ; 5), B(-1 ; 1), C(4 ; 9). Chứng minh rằng A, B, C
thẳng hàng và
đờng thẳng ABC song song với đờng thẳng ở câu a.
c) CMR đờng thẳng BC và hai đờng thẳng 2y + x - 7 = 0,
y = 3 đồng quy.
16

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
(a/ ĐK: 1 x 0, y 2x 2;b/ đờng thẳng AB: y = 2x + 1 thay tọa độ
C vào đờng thẳng AB; c/ đồng quy tại M(1 ; 3)).
2.3 Cho hàm số y = 4x + 7.
a) Các điểm A(-1 ; 3), B(4 ; 7/4) có nằm trên đồ thị hàm số
không?.
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A và B.
c) Cho biết vị trí tơng đối của hai đờng thẳng đó. Vẽ
chúng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
1
11
(a) A(-1 ; 3) thuộc đồ thị hàm số; b) y = x ; c) hai đờng
4
4
thẳng vuông góc và cắt nhau tại A(-1 ; 3) ).

2.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(0 ; 5), B(-3 ; 0),
C(1 ; 1),
M(-4,5 ; -2,5).
a) CMR: A, B, M thẳng hàng và A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
5
(a/ Phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A, B là: y x 5 ,
3
kiểm tra xem điểm M, điểm C có thuộc đờng thẳng AB hay
không; b/ Tam giác ABC vuông, SABC 8,5 )
2.5. Cho hai đờng thẳng có phơng trình: 2x - y = -6 và x + y = 3.
a) Xác định tọa độ giao điểm M của hai đờng thẳng.
b) Hai đờng thẳng lần lợt cắt trục hoành tại A và B. Tính
diện tích tam giác MAB.
c) Giả sử (x ; y) là tọa độ của điểm thuộc miền tam giác
MAB. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2x + y.
a) M(-1 ; 4). b) SMAB 12 . c) Xét đờng thẳng có phơng trình 2x +
y = k ( Dk ).
( Dk ) luôn song song hoặc trùng với đờng thẳng y = -2x và ( Dk )
cắt Oy tại (0 ; k).
Những điển có tọa độ(x ; y) thỏa 2x + y = k nằm trên ( Dk ) nên
việc tìm GTLN, GTNN của k tơng ứng với vị trí của ( Dk ) cắt miền
tam giác MAB và
( Dk ) cắt Oy sao cho k cao nhất và k thấp nhất.
Do đó: - GTLN của k ứng với ( Dk ) đi qua B, nghĩa là 2.3 + 0 = k
k 6 .
- GTNN của k ứng với ( Dk ) đi qua B, nghĩa là 2.(-3) + 0 = k
k 6 .
2.6. Cho ba đờng thẳng:
2

2
(d 1 ): y (m 1)x (m 5) với m1.
(d 2 ): y = x + 1
17

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
(d 3 ): y = -x + 3.
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (d 1 ) luôn đi qua một
điểm cố định.
b) Chứng minh rằng nếu (d 1 ) // (d 3 ) thì (d 1 ) (d2 ).
c) Xác định m để ba đờng thẳng trên đồng quy.
2.7. Cho các đờng thẳng:
(d 1 ): y = 4mx - ( m + 5) với m 0 .
(d 2 ): y (3m2 1)x m2 4 .
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi đờng thẳng (d 1 ) luôn đi
qua một điểm A cố định; đờng thẳng (d 2 ) luôn đi qua một
điểm B cố định.
b) Tính khoảng cách AB.
c) Với giá trị nào của m thì (d 2 ) // (d 1 ).
d) Với giá trị nào của m thì (d 2 ) và (d 1 ) cắt nhau.
2.8. Cho điểm A(0;-1) và B(-4; 3). Viết phơng trình đờng thẳng
(d) là đờng trung trực của AB. Tính góc tạo bởi đờng thẳng d với
trục Ox.
2.9. Cho hai điểm A(1;3) và B(-2;1).
a) Hãy lập phơng trình đờng thẳng (k) đi qua A và B
b) Xác định khoảng cách từ O đến đờng thẳng (k)
c) Hãy lập phơng trình đờng thẳng đi qua C(2;-1) và:

c1 ) Song song với đờng thẳng (k)
c2 ) Vuông góc với đờng thẳng (k)
chuyên đề III. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

1. Phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax + by = c, trong
đó a,b,c R, a b 0
2. Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm.
Tập nghiệm của nó đợc biểu diễn bởi đờng thẳng ax + by = c.
3. Để giải hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ngời ta thờng sử
dụng hai phơng pháp: cộng và thế (xem chi tiết SGK toán 9 tập 2).
4. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc1: Lập hệ phơng trình.
- Chọn hai ẩn và đặt ĐK thích hợp cho chúng.
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đã biết.
18

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
- Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại
lợng.
Bớc 2: Giải hệ hai phơng trình nói trên.
Bớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phơng trình,
nghiệm nào thích hợp với bài toán và đa ra kết luận.
ax byc
(a,b,c,a' ,b' ,c' 0)
Chú ý: 1) Hệ phơng trình: '
'
'

a x b y c
a b c
- Có vô số nghiệm nếu: ' ' . .
a b c
a b c
- Vô nghiệm nếu: ' ' . .
a b c
a b
- Có một nghiệm duy nhất nếu: ' ' .
a b
2) Trong chuyên đề III việc giải bài toán bằng cách lập hệ
phơng trình là
vô cùng quan trọng (chiếm một tỷ lệ rất cao trong việc thi lên lớp 10
THPT hàng năm) do đó chúng tôi tập trung đi sâu vào các bài tập
và phơng pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
Ví dụ 3.1: Giải các hệ phơng trình.
( 5 2)x y 3 5
4x 7 y 16
a)
(1)
b)
x 2 y 6 2 5
4x 3 y 24
(2)
Lời giải
4 x 7 y 16
10 y 40
y 4

4 x 3 y 24
4 x 7 y 14
x 3

a)

x 3
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
.
y

4

Chú ý: Trong hai phơng trình nên giữ lại phơng trình nào đơn
giản nhất.
b) C1/ Từ phơng trình thứ hai, ta có: x = 2 y 2 5 6 (*) thay vào
phơng trình thứ nhất ta đợc: ( 5 2)(2 y 2 5 6) y 3 5
y 3 5
Thay y 3 5 vào (*), ta đợc : x = 0.
x 0
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
.
y

3

5

( 5 2)x y 3 5
2( 5 2)x 2 y 2( 5 3)

C2/
(3)
x 2 y 6 2 5
x 2 y 6 2 5
19

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
Cộng vế theo vế hai phơng trình của hệ (3), ta đợc: x = 0, từ đó
ta có y 3 5 .
Chú ý: Mọi bài toán giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn, ta đều
giải đợc bằng phơng pháp cộng hoặc phơng pháp thế. Nhng trớc
khi giải đối với từng bài, ta phải chọn phơng pháp đơn giản và tiện
lợi nhất.
kx y 5 (1)
Ví dụ 3.2: Cho hệ phơng trình:
(2)
x y 1
a) Với giá trị nào của k thì hệ phơng trình có nghịêm (x ; y)
= (2 ; -1)
b) Với giá trị nào của k thì hệ phơng trình có nghịêm duy
nhất ? Hệ phơng trình vô nghiệm.
Lời giải
a) Thay x = 2, y = -1 vào phơng trình (1), ta đợc: 2k - (-1) = 5
k 2 .
Và x = 2, y = -1 thỏa mãn phơng trình (2).
Vậy với k = 2, hệ phơng trình có nghiệm là: (x ; y) = (2 ; -1)

k 1
b) Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất k 1 .
1 1
k 1 5
Hệ phơng trình vô nghiệm k 1 .
1 1 1
Một số vấn đề cần quan tâm khi giải bài toán bằng cách lập
hệ phơng trình
+ Mối liên hệ giữa ba đại lợng vận tốc (v), quãng đờng (s) và
s
t

thời gian (t) trong bài tập chuyển động: s vt; v ; t

s
v

+ Nếu vận tốc thực của thuyền (ca nô) là x km/h, vận tốc
dòng chảy là y km/h thì vận tốc của thuyền (ca nô) khi xuôi dòng
là x + y km/h, khi ngợc dòng là x y km/h..
+ Nếu một đội hoàn thành công việc xong trong a (ngày) thì
một ngày cả đội làm đợc

1
(công việc).
a

+ Nếu 2 ngời chuyển động ngợc chiều nhau thì khi hai ngời
gặp nhau có tổng quãng đờng bằng quãng đờng ta đang xét.
Ví dụ 3.3: (Toán chuyển động)

Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng
một lúc, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A
là 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nh trờng hợp trên, nhng
ngời đi chậm hơn xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau
ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc mỗi ngời.
Lời giải
Gọi vận tốc ngời đi nhanh là x (km/h).
20

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
Vận tốc ngời đi chậm là y (km/h). ĐK: x > y > 0.
Nếu hai ngời cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đờng ngời
đi nhanh đi đợc 2 km, ngời đi chậm đi đợc 1,6 km, ta có phơng
2 1,6
trình: .
x y
1
Nếu ngời đi chậm khởi hành trớc ( h), ta có phơng trình:
10
1,8 1 1,8
.
x 10 y
2 1,6
x y
Ta có hệ phơng trình:
giải ra ra đợc: x = 4,5; y = 3,6
1

,
8
1
1
,
8


x 10 y
(TMĐK)
Vận tốc của ngời đi nhanh là 4,5 km/h, vận tốc của ngời đi chậm là
3,6 km/h.
Ví dụ 3.4: (Toán chuyển động)
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định và trong một thời gian
đã định. Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45
phút. Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút.
Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Lời giải
Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)
Và thời gian dự định đi của ô tô là y (h). ĐK: x > 10, y > 1/2.
Do đó, quãng đờng AB là xy (km)
Khi ô tô giảm vận tốc 10 km/h, ta có PT:
3
(x 10)(y ) xy 3x 40y30 (1)
4
Khi ô tô tăng vận tốc 10 km/h, ta có PT:
1
(x 10)(y ) xy x 20y 10 (2)
2
3x 40 y 30

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
x 20 y 10
Giải ra ta đợc: x = 50, y = 3 (TMĐK)
Vận tốc dự định của ô tô là: 50 km/h, thời gian dự định là: 3
giờ.
Ví dụ: 3.5: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong
4 ngày thì xong việc. Nếu ngời thứ nhất làm một mình trong
chín ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa
21

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong
việc.
Lời giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x
(ngày)
Thời gian ngời thứ âhi làm một mình xong công việc là y (ngày)
ĐK: x > 4; y > 4.
Một ngày ngời thứ nhất làm đợc

1
(công việc)
x

1

Một ngày ngời thứ hai làm đợc y (công việc)

Hai ngời làm xong công việc trong 4 ngày. Do đó, một ngày hai ngời làm đợc

1
(công việc)
4
1 1 1

x y 4

Do đó ta có phơng trình

(1)

Ngời thứ nhất làm trong 9 ngày rồi ngời thứ hai đến cùng làm 1
10

1

ngày nữa thì xong công việc nên ta có phơng trình x y 1
(2)
1 1 1
x y 4

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
.Giải ra ta đợc (x; y) =
10 1 1
x y

(12; 6)(TMĐK)
Vậy ngời thứ nhất làm một mình thì 12 ngày là xong công việc

Ngời thứ hai làm một mình thì 6 ngày là xong công việc
Ví dụ 3.6: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một
thời gian qui định. Nếu giảm 3 ngời thì thời gian kéo dài thêm sáu
ngày. Nếu tăng thêm hai ngời thì xong sớm hơn dự định 2 ngày.
Hỏi theo qui định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày,
biết rằng khả năng lao động của các thợ là nh nhau.
Lời giải
Gọi số thợ cần thiết là x (ngời). Thời gian cần thiết là y (ngày)
ĐK: x: nguyên dơng và y dơng
Coi toàn bộ công việc nh một đơn vị công việc, thì một ngời thợ
1

trong một ngày làm đợc xy (công việc)
Nếu giảm đi ba ngời thì thời gian kéo dài thêm 6 ngày. Nghĩa là x
3 (ngời) làm trong y + 6 (ngày) thì xong công việc, tức là

x 3 y 6

1
1 x 3 y 6 xy
xy

(1)
22

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
Tơng tự nếu tăng thêm 2 (ngời) thì cần y 2 (ngày), do đó ta có

1

phơng trình x 2 y 2 xy 1 x 2 y 2 xy
(2)

x 3 y 6 xy

x 8


Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
(TMĐK)
x 2 y 2 xy
y 10
Bài tập luyện tập

3.1. Giải các hệ phơng trình sau:
10x 9 y 8
a)
b)
15x 21y 0,5
x 2 y 4
c)
2x y 7
4x 3 y 1
e)
2x 3 y 5
x y xy11
g) 2
2

x y xy 30
x y xy2 3 2
t) 2
2
x y 6

( 5 2)x y 3 5

x 2y6 2 5
4x 3 y 7
c)
5x 2 y 8
x y 3
f) 3
3
x y 9
xy64

h) 1 1 1
x y 4

x y y x 12
m)
x x y y 28

mx y 1

3.2. Cho hệ phơng trình: x y
2 3 334
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1.

b) Tìm giá trị của m để hệ phơng trình vô nghiệm
(a/ x = 2002, y = 2001 b/ m = 3/2).
2x my 3
3.3. Cho hệ phơng trình:
mx 3 y 4
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1.
b) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thỏa
mãn:
x0 0, y0 0
(a/ x = -5/7, y = 11/7; b/ m = -2;-1;0;1;2)
mx y 10
3.4. Cho hệ phơng trình:
2x 3 y 6
a) Giải hệ khi m = 1.
b) Tìm m để hệ phơng trình vô nghiệm.
23

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
(a/ x = 36/5,y = 14/5; b/ m = -2/3)
2x y 4
3.5. Cho hệ phơng trình:
x ay1
a) Khi a = 1, giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng.
b) Tìm giá trị của a để hệ phơng trình có nghiệm là x = -3,
y = -10.
(a/ x = 5/3, y = -2/3; b/ a = -2/5)
ax y 3 (1)

3.6. Cho hệ phơng trình:
x 2y2 (2)
1
a) Khi a , giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
2
b) Gọi (D1 ) và (D2 ) lần lợt là các đờng thẳng có phơng trình
(1) và (2).
- Tìm a để (D1 ) cắt (D2 ) tại điểm có tọa độ (2 ; 0).
- Tìm a biết rằng có điểm A trên (D1 ) và điểm B trên (D2 )
xA xB 0
thỏa mãn:
yA 3 yB 0
(a/ x = 4, y = 1; b/ -/ a = 3/2, -/ a = 3/2)
(1)
mx y 2m
3.7. Cho hệ phơng trình:
x my1 m (2)
a) Xác định m để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất.
b) Xác định m để hệ phơng trình trên có nghiệm nguyên.
c) Chứng tỏ rằng M(x ; y) với (x ; y) là nghiệm của hệ phơng
trình luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
d) Tìm giá trị của m để biểu thức P = xy có giá trị lớn nhất.
Tìm giá trị lớn nhất đó ( với x, y là nghiệm của hệ phơng trình).
3.8. Tổng của hai số bằng 59. Hai lần của số này bé hơn ba lần
của số kia là 7. Tìm hai số đó. (34 và 25)
3.9. Một sân trờng hình chữ nhật có chu vi 340m. Ba lần chiều
dài hơn bốn lần chiều rộng là 20m. Tính chiều dài và chiều rộng
của sân trờng. (100m và 70m)
3.10 Hai nguời thợ cùng xây một bức tờng trong 7 giờ 12 phút thì
xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 5 giờ và ngời thứ hai làm trong

6 giờ thì cả hai xây đợc

3
bức tờng. Hỏi mỗi ngời làm một mình
4

thì bao lâu xây xong bức tờng. (12 và 18)
24

THCS Tam Dng


Một số chuyên đề trọng tâm ôn thi vào lớp 10 THPT
3.11. Tìm một số có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng
chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục
chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng là 2 và d cũng là 2. (Số
83)
3.12. Một xe lửa phải vận chuyển một lợng hàng. Nếu xếp vào mỗi
toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn
thì có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở
bao nhiêu tấn hàng. (8 toa và 123 tấn)
3.13. Hai đội xe chở cắt để san lấp một khu đất. Nếu hai đội
cùng làm thì trong 12 ngày xong việc. Nhng hai đội chỉ cùng làm
trong 8 ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp trong 7 ngày nữa thì
xong việc. hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc
(Đội thứ nhất 21 ngày - đội thứ hai 28 ngày)
3.14. Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km
và đi ngợc chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ
nhất khởi hành trớc xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai
đi đợc 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe

(Xe thứ nhất 40km/h - xe thứ hai 35km/h)
3.15. Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể nớc cạn, sau 4

4
giờ thì
5

đầy bể. nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở tiếp vòi
thứ hai thì sau

6
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu một mình vòi thứ
5

hai chảy thì bao lâu đầy bể (8 giờ)
3.16. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng
cụ. Thực tế, xí nghiệp I vợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vợt mức
kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm đợc 404 dụng cụ.
Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
( xí nghiệp I: 200 dụng cụ, xí nghiệp II: 160 dụng cụ).
3.17. Hai trờng A và B có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9 đạt tỉ lệ
84%.
Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90%. Tính xem mỗi trờng có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi.
(Trờng A: 150, trờng B: 100)
3.18. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đỗ
đầy nớc vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc
bình thứ ba đầy nớc còn bình thứ hai chỉ đợc nữa thể tích của
nó, hoặc bình thứ hai đầy nớc còn bình thứ ba chỉ đợc một phần
ba thể tích của nó. Hãy xác định thể tích mỗi bình.
( V1 50l,V2 40l,V3 30l )

25

THCS Tam Dng