Các chuyên đề toán ôn thi vào lớp 10 PTTH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.95 MB, 152 trang )
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
1
CÁC CHUYÊN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN
I. Biến đổi, rút gọn căn thức và các bài toán liên quan
Bài 1. Đơn giản các biểu thức sau:
)3 8 4 18 5 32 50
) 125 2 20 3 80 4 45
3 2 3
) 6 2 4
2 3 2
a
b
c
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
. 12 2 35 , 5 2 6, 16 6 7 , 8 28, 7 24 , 4 2 3, 18 2 65
27 10 2, 14 6 5, 17 12 2, 7 4 3, 2 3, 2 3, 9 4 5
. 5 2 6 5 2 6 , 17 12 2 24 8 8 , 17 3 32 17 3 32
15 6 6 33 12 6 , 8 2 15 23 4 15 , 31 8 15 24 6 15
49 5 96 49 5 96 , 3 2 2 5 2 6 , 17 4 9 4 5
. 13 30 2 9 4 2
a
b
c
, . 4 5 3 5 48 10 7 4 3
9 4 5. 21 8 5
. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2 , .
4 5 5 2
3 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3
. , . , .
2 3 2 3 2 3 2 3
17 12 2 17 12 2
.
d
e f
g h i
Bài 3. Chứng minh biểu thức sau là số nguyên
2 3 5 13 48
6 2
A
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 5 3 5 48 10 7 4 3
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
2
b)
3 2 2 3 2 2
17 12 2 17 12 2
c)
6 2 2 12 18 8 2
d)
0; 0;
a b a b b a
a b a b
a ab a ab a ab
e)
2 2
1 0
1 1
x x x x
x x
x x x x
Bài 5. Thu gọn các biểu thức sau:
a)
2 4 6 2 5 10 2
A .
b)
2
1 1 2
. 1
1
1 1
a a
B
a
a a
c)
15 12 1
5 2 2 3
A
.
d)
2 2 4
.
2 2
a a
a
a a a
với
0, 4
a a
e)
11 2 30 8 4 3 5 2
A
Bài 6. Rút gọn biểu thức:
3 5 3 5
2 3 5 2 3 5
R
.
Bài 7. Không dùng máy tính, hãy so sánh:
4 7 4 7
x và
2 3 2 3
y
Bài 8.
a) Với mỗi số tự nhiên
1
k
, chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1
k k k k k k
.
b) Áp dụng tính giá trị của biểu thức sau:
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
3
1 1 1
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
Bài 9. Cho biểu thức
2
1 : 1
2 1
a a a a
P
a a
. Rút gọn P và tìm a nguyên để P
cũng có giá trị nguyên.
Bài 10. Cho biểu thức
1
2
2 1 1
x x x x x
A
x x x
Rút gọn A và tìm x để A > - 6
Bài 11.Cho biểu thức
2
2 1
2
1 1
x
x x x x
P
x x x x
. Rút gọn P và tìm giá trị nhỏ nhất
của P.
Bài 12. Rút gọn biểu thức
2 3 2
: 2
5 6 2 3 1
x x x x
P
x x x x x
Và tìm x để
1 5
2
P
Bài 13. Rút gọn biểu thức
1 3 1 3
. :
ab ab a b
A
a b a a b b a b a a b b a ab b
Bài 14. Rút gọn biểu thức:
1 2 1
: 2
1
x
A x
x
x x x
. Tìm số chính phương trình
để 3A là số nguyên.
Bài 15. Chứng minh với mọi giá trị của x để biểu thức có nghĩa thì giá trị của:
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
4
1 3 3 4 4
.
1 5
2 2 2 2
x x x
A
x
x x
không phụ thuộc vào x
Bài 16. Cho biểu thức
1 1 1
1 1
1 2 1
x x x
P
x x
x x x
a) Rút gọn biểu thức P. Tìm x để
2
5
P
b) Tìm x nguyên để
x
,
1
P
cũng là số nguyên.
Bài 17. Rút gọn biểu thức:
2
4
1 1
: 2
2
xy
P x
x y y x
x x y y
Bài 18. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x, y
2
y y
x x y x x
A
x y x y
x y
x y
Bài 19. Cho biểu thức
1
2 1 2
1 1
x x x x
M x x
x x
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nào của x thì biểu thức
2
P
M
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 20. Cho biểu thức
27 32 5 3 1
2 15 3 5
x x x x
A
x x x x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A < 1.
Bài 21. Cho biểu thức
1 1 1
4 .
1 1 2
a a
A a
a a a a
a) Rút gọn A
b) Tìm a để
2
P a
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
5
Bài 22. Cho biểu thức
3 1
3
1
x x
x x
P
x x x x
(x > 0)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh P < 4.
Bài 23. Cho biểu thức
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
A
x x x x
. Rút gọn A và tìm giá trị lớn
nhất của A.
II. Phương trình, bất phương trình
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a)
2
2
48 4
10
3 3
x x
x x
b)
2
6 7 3 4 1 50
x x x
c)
2
4 5 6 10 12 3
x x x x x
d)
4 2
2 2
2 2 3 2 4 0
x x x x x
.
Bài 2. Giải các phương trình sau
1) 464
2
xxx 2) xxx 242
2
3)
943
22
xxx
4) 2193
2
xxx 5)
0323
2
xxx
6) 2193
2
xxx
7)
51333 xx
8) xx 214 9) 321 xxx
10) 8273 xxx 11) 012315 xxx
12) xxx 2532 14)
3 3 1 2 2 2
x x x x
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
6
Bài 3. Giải các phương trình sau
a)
3 3 1 2 2 2
x x x x
b)
3 1 2 6 7 2
x x x x
c)
2
3 2
x x x x
d)
2 2
11 31
x x
e)
2 2
4 12 5 4 12 11 15 0
x x x x
f)
2
(2004 )(1 1 )
x x x
g)
2 2
17 17 9
x x x x
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
6 3 3 1 2
x x
b)
2
1 1 2 3
x x x x
c)
2
2
4 1 1
x x x
d)
2
9 9
x x
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
2
2 3 5
y y y
b)
2
12 30 13 2 1
x x x
c)
4 6 2 6
x x x
d)
2 8 32 2 2 10
x x x
e)
2 14 5 7 3
x x x
f)
2 2 2
5 1 3 2 1
x x x
g)
2 3 2 2 1 2
x x x x
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 1 6 1 3
x x x x
b) 3 3 19 6 2 2
x x x x
c)
3 2 2 2 1 12 1 2 3
x x x x
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
7
d)
9 6 3 2 1 2
x x
e)
4 3 2
x x
f)
9 1
3 3 2
2 2
x x
g)
2
3 2 3
y y y y
h)
2 2
3 2 3
x x x x
i)
2 1 1
2
1 2 2
x
x x
j)
8 5 5
x x
Bài 7. Giải các bất phương trình sau:
a)
2
3 2 0
x x
b)
2
5 6 0
x x
c)
2
3 4 0
x x
b)
3
3 2 0
x x
e)
3 2
5 8 4 0
x x x
f)
2
4 5
0
2
x x
x
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a)
2 1 2
x
b)
3 4
x
c)
2
1 3
x
d)
2
4 4 9
x x
Bài 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)
2 3 0
3 0
x
x
b)
2
4 0
3 0
x
x
c)
2
2
3 2 0
4 9 0
x x
x
III. Hệ phương trình
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau
a)
2
3
2
xy x
x y
b)
2
2 2
3 2 0
2 9
x y xy y
x y
c)
2 2
2
2 5 3 0
2 1
x xy y
x xy
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
8
a)
3 2 2 3
2 2
3 3 2 0
4 5
x x y xy y
x y
e)
2
4 0
2 9
xy y
x y
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
3 5
6 8
x y
x y y
b)
2 4 5
2 14
x y x
x y
c)
2
2 2 11
2 33
x y x
y x
d)
2 2
24
24
x y x y
xy
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
1 1 5
3 2 1 14
2 4 11
3 2 1 7
x y
x y
b)
1 2 3
2
1 1 1
1 1 6
x y
x y
c)
1 4 741
1 2 902
x y
x y
d)
2
1 3
2
2 1
1
x y z
x y
x y z
Bài 4. Giải hệ phương trình:
a)
5
2 1 2 2
x y
x y
b)
2 2
2
2 6
2 3
x y
xy y
Bài 5. Giải hệ phương trình:
a)
2
2
2 1
2 1
x xy
y xy
b)
2
2
6 6
9 2
x y x
y xy
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
9
a)
2
2
3 4 2
xy y
y xy y
b)
2 5
3 2 8 4
x y
x y
c)
2 1 3 6
1
x y
x y
d)
2
4
2
2 3 1 0
y xy
y xy
e)
2
2
2 9
1
5
x y
y
x
f)
2
2 5
2 2 1
y x
x y
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
1 0
2
xy x y
x y
b)
2
2 2
2 2 0
2 9
xy xy y
y x
c)
2 2
2
2 3 0
2 7
x y xy
x xy
d)
2 2
2
4 4 2 0
6
x xy y x y
x y
e)
2 2
2 2
4 3 0
2 3
x y xy
x y
f)
2
2 0
2 5
xy y y
xy y
g)
1 1
2 3
x y
x y
x y
h)
3 3
2 2 0
2 1 12
x y x y
x y
Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
2
2
2
7
x xy
y xy
b)
2
2
5 6
5 6
x y
y x
c)
2
2
4 2
4 2
yx xy
y x y
d)
3
3
2 4
2 4
x y
y x
e)
2
2
2 2 0
3 2 0
x xy x
y x
f)
3 2
3 2
3 4
3 4
x xy
y x y
g)
2 2
2
3
x y x
xy y
h)
2 2
2
4
3 4
x xy y
y xy
Bài 9. Giải các hệ phương trình sau.
a)
1 3
4
2 3 2
2 1
3
2 3 2
x y x y
x y x y
b)
2 2
2
2 2 0
xy x y
x y x y
c)
2 3 4
3 5
x y x
x y
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
10
d)
2 2
2 2
1 1 15
2
1 1 25
4
x y
x y
x y
x y
e)
2
2 1 7
2 15 0
x y
x y
f)
2
2 2
3
1 6
x y xy
x y xy
IV. Phương trình bậc hai và định lý Viete
Bài 1. Cho phương trình
2
1 2 2 0
m x mx m
(m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa
2 2
1 2
8
x x
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 2. Cho phương trình
2 2
3 2 2 3 1 0
x m x n m
(m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương x
1
, x
2
.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
2
1 2
5
x x
Bài 3. Cho phương trình
2
3 2 2 0
m x m x m
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương x
1
, x
2
.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
thỏa
2 2
1 2 1 2
65
3
49
x x x x
Bài 4. Cho phương trình
2 2
3 1 1 6 0
x m x m x x
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình không thể có 3 nghiệm.
Bài 5. Cho phương trình
2
2 2 1 3 0
x m x m
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm x
1
,x
2
và tìm hệ thức liên hệ giữa
x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2 1 2
A x x x x
c) Tìm các giá trị nguyên của m để
1 2
1 2
x x
B
x x
cũng là một số nguyên.
d) Tìm m để
1 2 1 2
6 6 3 9
x x x x
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
11
Bài 6. Cho phương trình
2
3 1 2 3
0
2
x mx m x m
x
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 7. Cho phương trình
4 2
1 3 4 0
m x mx m
a) Chứng minh rằng phương trình không thể có 3 nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 8. Cho phương trình
2
1 2 1 3 0
m x m x m
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 9. Cho phương trình
4 2
2 4 0
x mx
. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có
4 nghiệm phân biệt
1 2 3 4
, , ,
x x x x
thỏa
4 4 4 4
1 2 3 4
32
x x x x
Bài 10. Cho phương trình
2
2 1 2 4 0
x m x x m
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có 1 (2, 3, 4) nghiệm.
Bài 11. Cho phương trình
2 2
2 2 1 3 6
0
2
x m x m m
x
a) Giải phương trình khi
2
3
m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
,x
2
thỏa
1 2
2 16
x x
Bài 12. Cho phương trình
2 2
2 3 2 2 0
x x m m m
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để
2 2
1 2 1 2
3 11 0
x x x x
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
x x
Bài 13. Cho phương trình
2
4 0
mx x m
.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
12
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều nguyên.
Bài 14. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
1 1 1
0
x m mx x x
x
Bài 15. Cho phương trình:
2
1 2 2 3 0
x x mx m x m
a) Giải phương trình khi
1
m
b) Chứng minh phương trình không thể có ba nghiệm phân biệt.
Bài 16. Tìm m để phương trình
2
4 10 12
4 5
2
mx mx m
m
x
có hai nghiệm thực
phân biệt.
Bài 17. Cho phương trình
2 2
2 4 8 0
x m x m
.
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình. Hãy lập một hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m.
c) Với giá trị nào của m, biểu thức
2 2
1 2 1 2
A x x x x
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị
lớn nhất đó.
Bài 18. Cho phương trình
2
2 1 6 11 0
x x m m
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
V. Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình
Bài 1. Tìm một số có 2 chữ số biết rằng tích hai chữ số bằng 2 lần tổng hai chữ số.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
13
Bài 2. Tìm phân số biết rằng nếu tăng tử số thêm 1 đơn vị thì phân số tăng 1/21 và nếu
tăng mẫu số thêm 1 đơn vị thì phân số giảm 1/42.
Bài 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 34m và có đường chéo bằng 13m.
Tìm kích thước của mảnh vườn.
Bài 4. Tìm độ dài của một tam giác vuông biết rằng có 1 cạnh bằng trung bình cộng của
hai cạnh còn lại và diện tích của tam giác bằng 6.
Bài 5. Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một
mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ.
Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó.
Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?
Bài 6. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm trong 12 ngày. Họ
làm chung với nhau được 9 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác, đội II tiếp tục
làm. Do cải tiến kĩ thuật nên đội II làm xong công việc trong 3 ngày rưỡi. Hỏi mỗi đội
làm một mình thì bao mhiêu ngày xong công việc?
Bài 7. Một công ti may giao cho tổ máy A may 16.800 sản phẩm, tổ B may 16.500 sản
phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc. Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10
công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B. Nếu tổ A được hỗ trợ thêm
10 công nhân ngay từ đầu thì sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định
số công nhân ban đầu của mỗi tổ, mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm.
Bài 8. Lớp 9A có các học sinh thi học sinh giỏi cấp Thành phố, các bạn thi ba môn Toán,
Lý và Hóa. Biết rằng số học sinh không thi bằng số học sinh thi cả ba môn, không có em
nào chỉ thi Toán hoặc Lý. Số học sinh thi 2 môn Toán Hóa bằng số học sinh chỉ thi môn
Hóa và bằng ½ số học sinh thi hai môn Lý Hóa. Biết rằng số học sinh thi môn Hóa bằng
19 và số học sinh thi môn Lý không quá 11 em. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh.
Bài 9. Ba tổ cùng làm một công việc. Nếu ba tổ cùng làm thì làm xong trong 1h 20 phút.
Nếu tổ 1 làm trong 1 giờ, sau đó tổ 2 và tổ 3 tiếp tục làm thì hoàn thành công việc sau
1h36 phút. Biết rằng năng suất tổ 3 bằng ½ năng suất tổ 1. Hỏi mỗi tổ làm công việc một
mình thì làm xong công việc trong bao lâu.
Bài 10. Theo kế hoạch hai tổ cùng sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ hai vượt mức 21%. Vì vậy theo
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
14
thời gian quy định họ đã vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ
theo kế hoạch?
Bài 11. Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông biết rằng chu vi bằng 24 và
a) Độ dài đường cao hạ từ đỉnh góc vuông bằng 4.8
b) Bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2.
c) Diện tích bằng 12.
Bài 12. Để tặng thưởng cho các học sinh đạt thành tích cao trong một kì thi Olympic toán
dành cho học sinh lớp 9, ban tổ chức đã trao 30 phần thưởng cho các học sinh với tổng
giải thưởng là 2.700.000 đồng bao gồm: mỗi học sinh đạt giải nhất được 150.000 đồng;
mỗi học sinh đạt giải nhì được 130.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng
100.000 đồng; mỗi học sinh đạt giải khuyến khích được thưởng 10.000 đồng. Biết rằng
có 10 giải ba và ít nhất một giải nhì được trao. Hỏi ban tổ chức trao bao nhiêu giải nhất,
bao nhiêu giải nhì và khuyến khích.
Bài 13. Trên quãng đường Sài Gòn – Long Khánh có độ dài 100km, xe thứ nhất đi từ SG
và xe thứ hai đi từ Long Khánh xuất phát cùng lúc. Hai xe gặp nhau lần đầu sau 1 giờ.
Sau khi gặp nhau xe thứ nhất tiếp đến Long Khánh và quay về ngay, còn xe thứ hai đến
Sài Gòn nghỉ lại 1 giờ 40 phút rồi quay lại. Hai xe gặp nhau lần thứ hai đúng vị trí gặp
nhau lần đầu. Tính vận tốc hai xe.
Bài 14. Mỗi tổ A và B được phân công xếp 2400 con hạt giấy để sử dụng cho Lễ Hội
Mừng Xuâm 2013. Theo dự định thì tổ A sẽ xếp chậm hơn tổ B là 4 ngày. Tuy nhiên, sau
khi xếp được 10 ngày thì 4 bạn của tổ B được phân công làm việc khác nên tổ B hoàn
thành công việc chậm hơn tổ A là 1 ngày. Biết rằng mỗi ngày 1 bạn xếp được 10 con hạt
giấy. Tính số lượng học sinh của mỗi tổ.
VI. Hình học
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỷ số lượng giác
Bài 1. (Các hệ thức lượng trong tam giác vuông). Cho tam giác ABC vuông tại A,
đường cao AH. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) AH
.
BC = AB.AC
b) AH
2
= HB.HC
c) BH.BC = AB
2
, CH.CB = AC
2
.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
15
d)
2 2 2
AB AC BC
e)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
Bài 2. Cho tam giác ABC có đường cao AH, BH = 1, HA = HC = 2.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính AD, AE.
c) Chứng minh tam giác ADE và tam giác ACB đồng dạng. Tính DE.
d) Tính diện tích tam giác ABC, suy ra độ dài đường cao hạ từ B của tam giác ABC.
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2, AD = 4. Gọi E là hình chiếu của A trên BD;
M, N là trung điểm của DE và BC.
a) Tính độ dài các đường chéo của hình chữ nhật ABCD.
b) Tính DE, AM.
c) Tính góc AMN
Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a, E là điểm thuộc cạnh BC. Trên tia đối của tia DC
lấy điểm F sao cho EAF = 90
0
, gọi K là giao điểm của AE và đường thẳng CD.
a) Tính
2 2
1 1
AE AK
b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt CD tại H. Chứng minh chu vi tam
giác CHE không phụ thuộc vào vị trí điểm E trên BC.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = 4,8 và BC = 10. Tính độ dài
các cạnh của tam giác vuông còn lại.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có tỉ số giữa đường cao AH và trung tuyến AM là
24:25 và diện tích tam giác ABC bằng 12cm
2
. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên
AB và AC. Cho HB = 18/5 và HC = 32/5. Tính độ dài đường cao và độ dài các cạnh của
tam giác ABC.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC. Gọi Bx, Cy lần lượt là hai tia
vuông góc với BC tại B và C (Bx, Cy cùng phía đối với BC). Đường thẳng qua A vuông
góc với AM cắt By tại D, cắt Cy tại E. Cho AB = 6, AC = 8.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
16
a) Tính AM
b) Tính BD, CE và DE.
c) Gọi K là trung điểm DE. Tính MK và chứng minh MK PQ (với P là giao điểm
của MD và AB, Q là giao điểm của ME và AC)
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên
AB và AC.
a) Chứng minh
2
2
BH AB
BC BC
b)
2
2
HB AB
HC AC
c)
3
3
BD AB
CE AC
Bài 10. Cho hình thang cân ABCD có CD = 10. AB bằng độ dài đường cao của hình
thang. Biết rằng AD AC. Tính độ dài các cạnh còn lại của hình thang.
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và BD là đường phân giác trong (D BC). Biết
4 10, 4
BD AD
. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H
trên AB và AC. Cho BD = 9/5 và CE = 16/5. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Tính tỉ số lượng giác của góc
ABC, ACB.
Bài 14. Cho tam giác ABC có B = 60
0
, C = 45
0
. Đường cao AH = 2.
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC.
b) Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính AED, DE và diện tích tứ
giác BDEC.
c) Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt cạnh BC tại M. Tính MB, MC.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
17
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 15
0
. Vẽ đường cao AH. Đặt AH = a, gọi
M là trung điểm BC.
a) Tính AM và BC theo a.
b) Tính AB, AC theo a.
c) Từ đó suy ra sinBAC hay sin15
0
, sin75
0
.
Bài16. Cho tam giác ABC nhọn có BAC = 60
0
. Chứng minh rằng
2 2 2
.
BC AC AB AB AC
2. Đường tròn
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có ABD = ACD = 90
0
.
a) Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và
bán kính của đường tròn đó.
b) Gọi E là giao điểm của AB và CD và I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh
B, I, C, E cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh EI AD.
Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là một điểm nằm trên đường tròn sao
cho AC = ½ AB.
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Gọi D là điểm đối xứng C qua AB. Chứng minh D thuộc đường tròn.
c) Chứng minh tứ giác OCAD là hình thoi. Tính diện tích của tứ giác.
Bài 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB, CD là một dây cung. Gọi H, K là hình chiếu
của A và B trên CD.
a) Chứng minh CH = DK.
b) Chứng minh H, K nằm ngoài đường tròn.
Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là điểm thuộc đường tròn sao cho
AB = R√3. Vẽ CH AB, H AB.
a) Tính AC và góc A.
b) Đường tròn đường kính CH cắt CA, CB lần lượt tại D và E, tứ giác CDHE là hình
gì? Tại sao? Tính DE.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
18
c) Chứng minh CO DE và tính khoảng cách từ O đến DE.
d) Tìm vị trí của C trên đường tròn để diện tích hình chữ nhật CDHE là lớn nhất.
Bài 5. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. C và D là hai điểm thuộc đường tròn
sao cho C thuộc cung AD. Gọi I là giao điểm của AD và BD. S là giao điểm của AC và
BD.
a) Chứng minh rằng IC.IB = ID.IA, SC.SA = SD.SB.
b) Chứng minh SI AB.
c) Chứng minh AI.AD + BI.BC không phụ thuộc vào vị trí của điểm C và D.
d) Gọi M là trung điểm IS, H là giao điểm của SI và AB. Chứng minh rằng 5 điểm
M, C, D, O và H cùng thuộc một đường tròn.
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, và H là trực tâm tam giác ABC. Gọi M
là trung điểm BC, I là điểm đối xứng của H qua M.
a) Tứ giác BHCI là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh I (O) và A, O, I thẳng hàng.
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh H, G , O thẳng hàng và GH =
2GO.
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB và AC tại D, E. BE
và CD cắt nhau tại H. AH cắt DE tại K và BC tại F
a) Chứng minh AF BC.
b) Chứng minh FK.FH = FB.FC
c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng 4 điểm D, E, F, M cùng thuộc một
đường tròn.
d) DE cắt BC tại I. Chứng minh
FB IB
FC IC
e) Chứng minh FH.FA = FI.FM, suy ra H là trực tâm của tam giác AIM.
Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Lấy điểm C trên nửa đường
tròn
a) Tìm vị trí điểm C để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
b) Trên tia AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Hỏi điểm M di chuyển trên đường nào
khi C di chuyển trên nửa đường tròn.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
19
c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BC. Điểm N di chuyển trên
đường nào khi C thay đổi.
Bài 9. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn (O;R) đường kính BC cắt
AB, AC lần lượt tại E và F. Vẽ đường cao AH cắt BF tại I.
a) Chứng minh E, I, C thẳng hàng.
b) Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AFI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến
của (O).
Bài 10. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến PA, PB của
(O). Gọi C, D lần lượt là điểm đối xứng của B qua O và P.
a) Chứng minh C, A, D thẳng hàng.
b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Chứng minh CP đi qua trung điểm của AH.
Bài 11. Cho đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi a và b là hai tiếp tuyến của đường tròn
tại A và B. C là một điểm thuộc đường tròn. Tiếp tuyến tại C cắt a và b lần lượt tại D và
E. Gọi H là hình chiếu của C trên AB.
a) Chứng minh a//b
b) Chứng minh AD.BE = R
2
và DE = AD + BE.
c) Xác định vị trí tương đối của đường tròn đường kính DE và đường thẳng AB.
d) Chứng minh CH, AE và BD đồng quy.
Bài 12. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Vẽ đường tròn tâm I đường kính
AO. Trên bán kính OB lấy H, đặt AH = x. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt
(O) tại C. AC cắt (I) tại D.
a) Chứng minh tiếp tuyến tại C của (O) và tiếp tuyến tại D của (I) là Cx và Dy song
song nhau.
b) Giả sử BD tiếp xúc (I).
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
20
1. Chứng minh tam giác OCH và IDB đồng dạng.
2. Tính x, BC, AC theo R.
Bài 13. Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Dựng dây AC = R và tiếp tuyến
Bx. Tia phân giác của goác BAC cắt OC Tại E, cắt BC tại F, cắt Bx tại D, cắt nửa đường
tròn (O) tại H (H không trùng A).
a) Chứng minh BD
2
= AD. DH
b) Chứng minh 4 điểm B, D, E, O cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm của
đường tròn này.
c) Chứng minh BH là tia phân giác của góc CBD.
d) Đường thẳng AC cắt Bx tại M. Chứng minh
1
2
DB
DM
.
Bài 14. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và dây cung AC = R.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại C. Tính độ dài cạnh BC theo R.
b) Trên tia OC lấy điểm D sao cho C là trung điểm của OD. Chứng minh AD là tiếp
tuyến của (O).
c) Vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O) (E là tiếp điểm). Chứng minh tam giác ADE
đều.
d) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng AE tại M. Gọi K là giao
điểm của DB và OM. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OKB
Theo R.
Bài 15. Cho đường tròn (O; R) bán kính OB, dây AC vuông góc với OB tại trung điểm I
của OB.
a) Tứ giác ACBO là hình gì? Vì sao?
b) Tiếp tuyến của (O) tại điểm A cắt tia OB tại điểm E. Chứng minh EC là tiếp tuyến
của đường tròn.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác OEC theo R.
d) Tính diện tích tam giác OEC theo R.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
21
Bài 16. Cho đường tròn tâm O, điểm E nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến EM, EN
với đường tròn (M, N là các tiếp điểm).
a) Chứng minh OE vuông góc với MN.
b) Vẽ đường kính NB của đường tròn (O). Biết
OE MN
tại H. Chứng minh tứ giác
OBMH là hình thang.
c) Biết OM = 2, OE = 4. Tính độ dài các cạnh của tam giác EMN.
d) Tính diện tích tam giác EMN.
Bài 17. Cho (O; R) đường kính AB. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho CA < CB. Vẽ
dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi E là điểm đối xứng của A qua H.
a) Chứng minh rằng tứ giác ACED là hình thoi.
b) Đường tròn (I) đường kính EB cắt BC tại M. Chứng minh rằng D, E, M thẳng
hàng.
c) Chứng minh rằng HM là tiếp tuyến của đường tròn (I).
d) Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) sao cho AB = 4AH.
Bài 18. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm của OB và
đường thẳng (d) vuông góc với AB tại I. Lấy điểm H trên (d) sao cho
2
3
R
IH . Tia AH
cắt (O) tại M. Tia BM cắt (d) tại C. Tia BH cắt AC tại N.
a) Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC. Bốn điểm M, N, C, H cùng thuộc
một đường tròn (E).
b) Chứng minh EO vuông góc với NM.
c) Tính theo R bán kính đường tròn (E) ở câu a.
d) Chứng minh ME tiếp xúc với (O).
Bài 19. Cho hai đường tròn hai điểm O, I thỏa OI = 5;
a) Chứng minh rằng đường tròn (O; 4) và (I; 3) cắt nhau tại hai điểm A và B.
b) Chứng minh I, O, A, B cùng thuộc một đường tròn.
c) Vẽ đường kính AD và AE của (O) và (I). Chứng minh D, B, E thẳng hàng.
d) Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O) tại M và cắt (I) tại N. Chứng minh rằng
đường trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của DE.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
22
Bài 20. Cho hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A. Tiếp tuyến chung ngoài của (I)
và (O) lần lượt tiếp xúc với (I) và (O) tại C và B. Chứng minh tam giác BAC vuông tại A
và tiếp tuyến chung của (I) và (O) đi qua trung điểm của BC.
Bài 21. Cho điểm A trên đường tròn (O; R) và gọi (I) là đường tròn có tâm I và đường
kính AO.
a) Giải thích rõ vị trí tương đối của 2 đường tròn (O) và (I).
b) B là điểm bất kì trên (O) (B không nằm trên đường thẳng AO) AB cắt (I) tại C.
Chứng tỏ C là trung điểm của AB và IC //OB
c) OI cắt (I) tại D, AD cắt (O) tại E. Chứng tỏ B, O, E thẳng hàng.
d) Chứng tỏ 3 đường thẳng AO, BD và CE đồng qui tại một điểm. Điểm này là điểm
đặc biệt gì của tam giác ABE.
Bài 22. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên OA lấy điểm E. Gọi I là trung điểm
của AE. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB. Vẽ (O’) đường kính EB.
a) Chứng minh (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại B.
b) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?
c) CB cắt (O’) tại F. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
d) Chứng minh IF là tiếp tuyến của (O’).
Bài 23. Cho đường tròn (O; 2cm) có AB là đường kính. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là
AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A
và B) vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi H là giao điểm của OC
và AM, K là giao điểm của OD và BM.
a) Chứng minh CD = AC + DB và CO vuông góc OD.
b) Tính tích AC. BD và chứng minh OH. OC = OK. OD.
c) Khi diện tích tứ giác ABDC bằng 32cm
2
. Tính diện tích tam giác ABM.
d) Khi có chu vi tứ giác ABDC bằng 14 cm. Tính AC.
Bài 24. Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB và dây cung BC = R.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông. Suy ra góc A.
b) Đường thẳng qua O và vuông góc với AC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O)
tại D. Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Vẽ CH vuông góc với AB tại H. Chứng minh DB qua trung điểm của CH.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
23
d) Tính diện tích tam giác ADC theo R.
Bài 25. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M là một điểm di chuyển
trên nửa đường tròn đó ( M khác A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H.
Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M.
a) Chứng minh rằng các điểm C, M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn tâm
O tại M
b) Chứng minh rằng tổng AC + BD không đổi; khi đó tính tích AC.BD theo CD.
c) Giả sử CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng OA
2
= OB
2
= OH.OK
Bài 26. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By và tiếp
tuyến tại một điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax tại C, By tại D.
gọi N là giao điểm của AD và BC, P là giao điểm của OC và AM, Q là giao điểm của OD
và BM.
a) Chứng minh MN//AC
b) Chứng minh PQ //AB
c) Ba điểm P, N, Q thẳng hàng
Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam
giác.
a) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng AC với đường tròn (O) ngoại tiếp tam
giác BIC.
b) Gọi H là trung điểm của BC, IK là đường kính của đường tròn (O). Chứng
minh:
AI HI
AK HK
.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
24
Bài 28. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), BAC = 60
0
. Hai đường cao BD
và CE cắt nhau tại H. AH cắt BC tại AF.
a) Tính BOC và tính BC theo R.
b) Tính DE
c) Chứng minh rằng AO DE
d) Chứng minh AB.AC = 2R.AF
e) Chứng minh
. .
4
ABC
AB AC BC
S
R
Bài 29. Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = ½ R. Hai đường thẳng d và d’
thay đổi qua M và vuông góc với nhau; d cắt (O) tại A và C; d’ cắt (O) tại B và D.
a) Chứng minh MA.MC = MD.MB = ¾ R
2
b) Chứng minh AC
2
+ BD
2
không phụ thuộc vào vị trí của d và d’.
c) Gọi P là trung điểm của AB. Chứng minh MP CD
d) Gọi Q là trung điểm của CD. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 30. Cho đường tròn (O;R) và dây cung khác đường kính. Tiếp tuyến tại A và B
cắt nhau tại P. Qua A vẽ đường thẳng song song với PB và cắt (O) tại F. PF cắt (O) tại H.
Gọi D là giao điểm của OP và AB.
a) Chứng minh
b) Gọi M là giao điểm của AH và BP. Chứng minh
c) Chứng minh là trung điểm BP.
d) Chứng minh và ODF = OFP = OHF
e) Chứng minh DA là phân giác góc HDF
f) Gọi K la giao điểm của AB và PF. Chứng minh KH.KP = KB
2
g) Chứng minh KB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác PHB
3. Góc nội tiếp – Tứ giác nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, thỏa
0 0
75 , 45
BAC ACB .
a) Tính
AOB
và AB.
b) Tính AC.
Nguy
ễ
n Tăng V
ũ
[
CHUYÊN Đ
Ề
ÔN THI VÀO L
Ớ
P 10 KHÔNG CHUYÊN
]
25
c) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Các đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D, E, F và cắt nhau tại I.
a) Chứng minh DB = DC.
b) Chứng minh BD = DI.
c) Chứng minh AD vuông góc EF.
Bài 3. Chứng minh rằng hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Bài 4. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). M là một điểm trên cung nhỏ
BC. AM cắt BC tại D.
a) Tính BC theo R.
b) Chứng minh DA.DM = DB.DC
c) Chứng minh MA = MB + MC.
d) Chứng minh
MD MD
MB MC
không phụ thuộc vào vị trí của M.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O;R). Ta kẻ dây AM cắt BC tại
N.
a) Chứng minh rằng tam giác ABN đồng dạng với tam giác AMB.
b) Chứng minh rằng tích AM.AN không phụ thuộc vào vị trí của M và tính tích đó
theo R và đường cao h của tam giác ABC kẻ từ A.
Bài 6. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H trên AB và
AC.
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp, xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ
giác.
b) Chứng minh AB.AD = AE.AC, suy tứ giác BDEC nội tiếp.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, K là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam tứ giác BDEC. Chứng minh AIOK là hình bình hành.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC). Đường tròn tâm I
đường kính AH cắt AB, AC tại D và E. DE cắt đường thẳng BC tại F.
a) Tứ giác ADHE là hình gì? Tại sao?
