Luận án tiến sĩ toán học bài toán hit của peterson tại một số dạng bậc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VÕ PHÚC

BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON
TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐẶNG VÕ PHÚC

BÀI TOÁN HIT CỦA PETERSON
TẠI MỘT SỐ DẠNG BẬC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số:

62 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Phản biện 1: PGS. TS. Lê Minh Hà
Phản biện 2: TS. Phan Hoàng Chơn
Phản biện 3: PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN SUM

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2017


Lời cam đoan
Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sum. Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu
của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được đồng tác giả là thầy hướng
dẫn của tôi cho phép sử dụng khi đưa vào luận án và chưa từng được ai cơng bố
trước đó.

Tác giả

Đặng Võ Phúc


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sự kính trọng sâu
sắc nhất đến Thầy hướng dẫn là PGS.TS. Nguyễn Sum. Thầy rất nghiêm khắc
nhưng mẫu mực, Thầy không chỉ hướng dẫn một cách tận tình, định hướng, giúp
đỡ tác giả vượt qua được những khó khăn trong những bước đi đầu tiên làm
nghiên cứu sinh mà còn sự quan tâm giúp đỡ về mặt vật chất lẫn tinh thần của
Thầy trong cuộc sống để tác giả hoàn thành luận án này một cách tốt nhất.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học
Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn cùng q Thầy Cơ giáo giảng
dạy lớp nghiên cứu sinh Tốn Đại số và Lý thuyết số khóa 2 đã tận tình giúp đỡ
và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu khoa học

tại Trường đại học Quy Nhơn.
Tác giả xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến gia đình, bạn bè gần xa, đặc
biệt là các bạn NCS. Trần Đình Phụng, NCS. Dư Thị Hịa Bình và NCS. Lưu Thị
Hiệp đã ln sát cánh động viên, chia sẻ giúp đỡ rất nhiều cho tác giả, để tác giả
vượt qua được những biến cố về sức khỏe và có thêm động lực hồn thành tốt
nhất chương trình nghiên cứu sinh của mình.

Tác giả

Đặng Võ Phúc


i

Mục lục
Mục lục

i

Bảng một số ký hiệu

iii

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức cơ sở

11

1.1

Cấu trúc đại số Steenrod mod 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk

1.3

Một số hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4

Đồng cấu Kameko

1.5

Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và đơn thức chấp nhận được

1.6

Tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7

Một số kết quả về bài toán hit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
. . 18

Chương 2. Bài toán hit đối với đại số đa thức tại bậc (k − 1)(2d − 1) 26
2.1

Một số đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2

Chứng minh Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chương 3. Bài toán hit đối với đại số đa thức năm biến tại một số
dạng bậc

40

3.1

Chứng minh Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2

Chứng minh Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Chương 4. Ứng dụng của bài toán hit cho đồng cấu chuyển đại số


ii
thứ năm của Singer

74

4.1

Đồng cấu chuyển đại số và giả thuyết của Singer . . . . . . . . . . . 74

4.2

Chứng minh Định lý 4.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3

Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Kết luận và kiến nghị

87

Danh mục các cơng trình liên quan đến luận án

89

Tài liệu tham khảo

90

Phụ lục A

96

A.1 Các đơn thức chấp nhận được bậc 4(2d − 1) trong P5 . . . . . . . . 96
A.2 Các đơn thức chấp nhận được bậc 6 trong P5

. . . . . . . . . . . . 106

A.3 Các đơn thức chấp nhận được bậc 17 trong P5 . . . . . . . . . . . . 107
A.4 Các đơn thức chấp nhận được bậc 18 trong P5 . . . . . . . . . . . . 112
A.5 Các đơn thức chấp nhận được bậc 39 trong P5 . . . . . . . . . . . . 115


iii

Bảng một số ký hiệu
F2

: Trường hữu hạn có hai phần tử.

Pk

: Đại số đa thức của k biến x1 , x2 , . . . , xk trên trường F2 .

(Z/2)k

: Không gian véctơ k chiều trên trường F2 ,
2-nhóm Abel sơ cấp hạng k.

B(Z/2)k

: Khơng gian phân loại của (Z/2)k .

GLk

: Nhóm tuyến tính tổng qtgồm các tự đẳng cấu của (Z/2)k .

H∗ (B(Z/2)k , F2 )

: Đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k , với hệ số trên F2 .

H ∗ (B(Z/2)k , F2 )

: Đối đồng điều kỳ dị của B(Z/2)k , với hệ số trên F2 .

A

: Đại số Steenrod mod 2.

TorA
∗,∗ (F2 , F2 )

: Đồng điều của A , với hệ số trên F2 .

Ext∗,∗
A (F2 , F2 )

: Đối đồng điều của A , với hệ số trên F2 .

P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) : Không gian con của H∗ (B(Z/2)k , F2 ) gồm
tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi tác động
của mọi toán tử Steenrod bậc dương.
Nk

: Tập hợp tất cả các số nguyên dương không vượt quá k.

Nk

: Tập hợp tất các các cặp (i; I), với I = (i1 , i2 , . . . , ir ) ⊆ Nk ,
1

XI

i < i1 < i2 < . . . < ir

k, 0

r < k.

: Đơn thức x1 . . . xˆi1 . . . xˆir . . . xk =

xi ,
i∈Nk \I

với I = (i1 , i2 , . . . , ir ) ⊆ Nk .
X{i}

: Đơn thức x1 . . . xˆi . . . xk trong Pk với 1

X∅

: Đơn thức x1 x2 . . . xk trong Pk .

X

: Đơn thức x1 x2 . . . xk−1 trong Pk−1 .

αi (n)

: Hệ số thứ i

i

k.

0 trong khai triển nhị phân

của số nguyên dương n.
α(n)

: Số các hệ số 1 trong khai tiển nhị phân của n.

µ(n)

: Số min{m ∈ N| α(n + m)

|S|

: Lực lượng của tập hợp S.

m}.


1

Mở đầu
Ký hiệu H • (X, F2 ) là đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X, lấy hệ số
trên trường nguyên tố F2 , có hai phần tử. Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng
các toán tử đối đồng điều mà ngày nay mang tên ông, tác động tự nhiên lên
H • (X, F2 ):
Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ),
trong đó k là số ngun khơng âm bất kỳ. Trong nhiều trường hợp, các tốn
tử này là một cơng cụ hữu hiệu để nhận biết sự khác nhau về kiểu đồng luân
của các không gian tôpô. Chẳng hạn, chúng ta có thể thấy rằng hai khơng gian
CP 4 /CP 2 và S6 ∨ S8 mặc dù có cùng vành đối đồng điều nhưng không tương
đương đồng luân (hay không cùng kiểu đồng ln) bởi vì tốn tử Sq 2 tác động
tầm thường trên nhóm đối đồng điều H 2 (S6 ∨ S8 , F2 ) nhưng không tầm thường
trên H 2 (CP 4 /CP 2 , F2 ).
Trong quá trình nghiên cứu đối đồng điều của các khơng gian Eilenberg-Mac

Lane, Serre [70] đã chỉ ra rằng với phép cộng thông thường và phép hợp thành
của các ánh xạ, các toán tử Steenrod Sq k sinh ra tất cả các toán tử đối đồng điều
ổn định. Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod được gọi là đại số Steenrod mod 2,
ký hiệu là A . Cấu trúc của đại số này còn được khảo sát như là đại số thương
k

của một F2 -đại số kết hợp tự do, phân bậc, sinh bởi các ký hiệu Sq , k

0 chia

cho iđêan hai phía sinh bởi tập tất cả các phần tử có dạng:
k

m

Sq ⊗F2 Sq +
0 t [k/2]

m−1−t
k+m−t
t
Sq
⊗F2 Sq , 1
k − 2t

trong đó, ký hiệu [k/2] là phần nguyên của k/2 và

m
k

0

k < 2m và Sq + 1,

là hệ số nhị thức được tính
k

k

theo mod 2. Khi đó, các phần tử trong trong đại số A là Sq k := [Sq ], với [Sq ]
k

là lớp trong A có đại diện là Sq . Vì thế, tốn tử Steenrod Sq 0 là toán tử đồng
nhất và các toán tử Sq k (với k > 0) thỏa mãn các quan hệ Adem [2] như sau:
Sq k Sq m =
0 t [k/2]

m−1−t
Sq k+m−t Sq t , với 0 < k < 2m.
k − 2t

Sau đó, đại số Steenrod được nhiều tác giả nghiên cứu chuyên sâu và trở thành
một công cụ quan trọng để giải quyết bài toán phân loại kiểu đồng luân của các


2
khơng gian tơpơ, một trong những bài tốn trung tâm của Tôpô đại số hiện nay.
Từ việc nghiên cứu bài tốn này đã dẫn tới một bài tốn rất khó trong lý thuyết
đồng ln ổn định, đó là tính tốn tường minh đối đồng điều (mod 2) của đại số
Steenrod, H ∗,∗ (A , F2 ) := Ext∗,∗

A (F2 , F2 ), nó là một F2 -đại số song phân bậc-giao
hoán và là trang E2 của dãy phổ Adams [1] hội tụ về thành phần 2-xoắn của
nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu π∗S (S0 ). Cấu trúc của đại số này mặc dù đã
được nhiều tác giả nghiên cứu sâu sắc gần nửa thế kỷ, tuy nhiên cho đến nay vẫn
rất khó để nắm bắt được nó.
Vào năm 1989, Singer [38] đã cố gắng sử dụng công cụ lý thuyết biểu diễn
modular của các nhóm tuyến tính để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod,
ông thiết lập một đồng cấu đại số mà ngày nay nó được gọi là đồng cấu chuyển
hạng k (hay thứ k) của Singer:
∗
k
GLk
ϕk : TorA
,
k,k+∗ (F2 , F2 ) → (F2 ⊗A H (B(Z/2) , F2 ))

từ đồng điều (mod 2) của đại số A đến không gian con của F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 )
gồm tất cả các lớp bất biến dưới tác động thơng thường của nhóm tuyến tính tổng
quát GLk := GL(k, F2 ). Ở đây, (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k xem như
F2 -không gian véctơ k chiều và B(Z/2)k là không gian phân loại của nó. Đồng
cấu đối ngẫu
T rk : F2 ⊗GLk P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) → Extk,k+∗
(F2 , F2 )
A
cũng được gọi là đồng cấu chuyển của Singer. Chú ý rằng P H∗ (B(Z/2)k , F2 ) =
(F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ))∗ là không gian con của đại số đồng điều H∗ (B(Z/2)k , F2 )
gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu đối với tác động của mọi toán tử Steenrod
bậc dương. Singer đã chỉ ra trong [38] rằng T rk là một đẳng cấu với k

2 và

tại một số bậc với k = 3, 4. Trong trường hợp hạng năm, ông chứng minh T r5
khơng là tồn cấu tại bậc 9. Các kết quả này của Singer đã chỉ ra giá trị khơng
tầm thường của đồng cấu chuyển. Vì vậy, nó được kỳ vọng là một cơng cụ hữu
ích để mơ tả đối đồng điều của đại số Steenrod, Extk,∗
A (F2 , F2 ). Đặc biệt, trong
[38], Singer đã đưa ra giả thuyết sau đây.
Giả thuyết 4.1.1 (Singer [38]). Đồng cấu T rk là một đơn cấu, với mọi số nguyên
dương k.
Giả thuyết này được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Tôpô đại số (xem


3
Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh
[17], Chơn-Hà [9, 10, 11], Minami [23], Quỳnh [34], Sum [47, 49, 50, 51], Sum-Tín
[52] và một số tác giả khác). Cơng trình [3] của Boardman năm 1993 đã chỉ ra giả
thuyết của Singer cũng đúng với k = 3, cụ thể Boardman chứng minh T r3 cũng là
một đẳng cấu. Gần đây, N. H. V. Hưng và các cộng sự đã xác định hoàn toàn ảnh
của T r4 (xem Bruner-Hà-Hưng [5], Hưng [14], Hà [12], Nam [69], Hưng-Quỳnh
[17]). Đáng chú ý, N. H. V. Hưng chứng minh trong [14] rằng với bất kỳ k

5

có vơ số bậc mà tại đó T rk khơng là đẳng cấu. Tuy nhiên, ơng khơng khẳng định
được T rk là một đơn cấu. Vì vậy, giả thuyết của Singer cho đến nay vẫn còn để
ngỏ.
Để chứng minh hoặc phủ định giả thuyết của Singer thì việc nắm rõ cấu trúc
của tích tensor F2 ⊗A H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) là một trong những yếu tố quyết định. Vì
vậy, việc giải quyết giả thuyết của Singer có mối liên hệ mật thiết với bài toán
xác định tường minh một hệ sinh tối tiểu của F2 -đại số phân bậc

Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼
= F2 [x1 ; x2 ; . . . ; xk ],
được xét như là một môđun trên đại số Steenrod A , trong đó ký hiệu F2 [x1 ; . . . ; xk ]
là F2 -đại số đa thức của k-biến x1 , x2 , . . . , xk , mỗi biến có bậc 1. Cấu trúc A môđun trái (không ổn định) của đại số Pk được xác định tường minh bởi công
thức:
Sq m (xt ) =





 xt nếu m = 0,

x2t nếu m = 1,



 0 nếu m > 1,

và công thức Cartan [67]: Sq m (f g) =

Sq t (f )Sq m−t (g), với f, g là các đa
0 t m

thức thuần nhất bất kỳ trong Pk . Nếu xét F2 như là một A -mơđun tầm thường
thì bài tốn được quy về tìm một cơ sở của F2 -khơng gian véctơ phân bậc
Pk /A + .Pk = F2 ⊗A Pk =

(F2 ⊗A Pk )n ,
n 0

trong đó (F2 ⊗A Pk )n := (Pk )n / (Pk )n ∩ A + .Pk , với (Pk )n là F2 -không gian con
của Pk gồm các đa thức thuần nhất bậc n. Ngày nay, bài toán này được gọi là
bài toán "hit" đối với đại số đa thức. Peterson [28] là tác giả đầu tiên nghiên cứu
bài tốn này vào năm 1987. Ơng đã đưa ra giả thuyết rằng (F2 ⊗A Pk )n = 0
nếu α(n + k) > k, trong đó ký hiệu α(n) là số các chữ số 1 trong khai triển nhị


4
phân của n. Giả thuyết này được ông chứng minh cho trường hợp k

2. Sau

đó, Wood [64] chứng minh cho trường hợp tổng qt vào năm 1989. Sau các cơng
trình này, bài toán hit thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều tác giả
trong và ngoài nước (xem Boardman [3], Bruner-Hà-Hưng [5], Carlisle-Wood [6],
Crabb-Hubbuck [8], Hà [12], Hưng [13], Hưng-Nam [15, 16], Kameko [18, 19],
Minami [23], Mothebe [25, 26], Nam [68, 69], Repka-Seilck [35], Silverman [36],
Silverman-Singer [37], Singer [39], Walker-Wood [58, 59, 60], Wood [64], Sum
[43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50], Tín [54, 55, 56], Tín-Sum [57] và một số tác giả
khác).
Có thể nói bài tốn hit là một bài tốn mang tính thời sự bởi những ứng dụng
quan trọng của nó. Cụ thể hơn, bài tốn này khơng những là một cơng cụ hữu
ích để nghiên cứu ảnh của đồng cấu chuyển của Singer mà nó cịn được ứng dụng
để nghiên cứu một số bài toán kinh điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết
cobordism của các đa tạp thể hiện qua công trình của Peterson [29]; bài tốn phân
tích ổn định khơng gian phân loại của các 2-nhóm Abel sơ cấp qua cơng trình của
Priddy [33]; lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính qua các cơng
trình của Wood [66], Walker-Wood [59]. Cho đến nay, bài toán hit mới giải tường
minh cho trường hợp k

4. Trong trường hợp tổng quát, nó vẫn là một bài tốn

mở.
Trong luận án này, chúng tơi tập trung nghiên cứu bài tốn hit của Peterson;
từ đó trên cơ sở sử dụng các kết quả của bài tốn này, chúng tơi nghiên cứu kiểm
chứng giả thuyết của Singer cho trường hợp k = 5 tại một số bậc. Một cách cụ
thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu cấu trúc của không gian véctơ F2 ⊗A Pk , với
k

5, tại một số dạng bậc và ứng dụng các kết quả này để kiểm chứng giả thuyết

của Singer về đồng cấu chuyển thứ năm T r5 , tại các bậc tương ứng.
Như chúng tơi đã trình bày ở trên, bài tốn hit mới giải quyết hồn tồn cho
số biến k

4. Cụ thể hơn, trường hợp k

2 đã được tính tốn tường minh trong

cơng trình [28] của Peterson. Trường hợp k = 3 là kết quả của Kameko thực hiện
trong Luận án [18] tại trường Đại học Johns Hopkins vào năm 1990. Đặc biệt,
trong cơng trình này Kameko đưa ra một giả thuyết về một cận trên của số chiều
không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n chỉ phụ thuộc vào số biến của đại số đa thức Pk ,
(2i − 1), với n là số nguyên dương tùy ý. Giả

cụ thể là dim(F2 ⊗A Pk )n
1 i k

5
thuyết này được Kameko chứng minh là đúng đối với số biến k

3. Năm 2007,

N. Sum [43] giải quyết trọn vẹn bài toán hit cho trường hợp k = 4 trong một bản
thảo dài 240 trang. Cơng trình này sau đó được rút gọn lại và cơng bố chính thức
vào năm 2015 (xem Sum [48]). Dựa vào kết quả này, giả thuyết của Kameko vẫn
đúng với k = 4. Tuy nhiên, giả thuyết này khơng cịn đúng khi k

5; kết quả

này đã được N. Sum chứng minh đầy đủ và cơng bố trong các cơng trình [44, 45].
Một trong những cơng cụ hữu hiệu để tính tốn bài tốn hit cũng như nghiên
0

cứu đồng cấu chuyển của Singer là đồng cấu của Kameko Sq ∗ : (F2 ⊗A Pk )k+2d →
(F2 ⊗A Pk )d , với d là một số nguyên dương tùy ý. Đồng cấu này được cảm sinh
từ một F2 -đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định như sau:

ψ(x) =



u nếu x = x1 x2 . . . xk u2 ,

0

các trường hợp khác,

với mọi đơn thức x ∈ Pk . Ngồi cơng cụ này, hàm số học sau đây cũng được ứng
dụng để giải quyết bài tốn hit
(2dt − 1), dt > 0, 1

µ(n) = min r ∈ N : n =

t

r

1 t r

= min r ∈ N : α(n + r)

r ,

trong đó, n là một số nguyên dương tùy ý.
Chú ý rằng, tác động của các đại số A và GLk trên Pk là giao hốn với nhau.
Vì vậy, khơng gian véctơ (F2 ⊗A Pk ) cũng có cấu trúc là một GLk -mơđun. Kameko
đã chứng minh trong [18], nếu µ(n) = k thì n − k là một số chẵn và đồng cấu
0

Sq ∗ : (F2 ⊗A Pk )n −→ (F2 ⊗A Pk ) n−k
2

là một đẳng cấu các GLk -môđun. Từ các tính chất sơ cấp của hàm µ, ta thấy
rằng với mỗi số nguyên không âm m, tồn tại số nguyên t

0 sao cho µ(k(2d −

1) + 2d m) = k, với mọi d > t. Do đó, từ kết quả của Kameko, suy ra rằng đồng
cấu lặp
(Sq∗0 )d−t : (F2 ⊗A Pk )k(2d −1)+2d m −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t m
là một phép đẳng cấu các GLk -môđun với mọi d

(0.1)

t. Tuy nhiên, giá trị của t là

chưa xác định được cụ thể. Trong cơng trình [14], N. H. V. Hưng đã chỉ ra rằng


6
đồng cấu lặp (0.1) là đẳng cấu với mọi d

k − 2. Gần đây, trong quá trình nghiên

cứu đồng cấu chuyển hạng năm của Singer, Tín-Sum [57] đã mở rộng kết quả này
của Hưng bằng việc chứng minh đồng cấu lặp (0.1) là một đẳng cấu với mỗi d
nếu và chỉ nếu t

t

t(k, m) := max{0, k − α(m + k) − ς(m + k)}, trong đó ký hiệu

ς(n) là số nguyên không âm lớn nhất u sao cho số nguyên dương n chia hết cho
2u . Ở đây, số t(k, m) là không vượt quá (k − 2), với bất kỳ số ngun khơng âm
m. Kết quả của Tín-Sum đóng vai trị quan trọng trong việc rút ngắn các tính
tốn bài tốn hit tại một số dạng bậc.
Từ một kết quả của Wood trong cơng trình [64], bài tốn hit được rút gọn về

tính tốn tại các bậc có dạng
n = s(2d − 1) + 2d m,
với s, d, m là các số ngun khơng âm sao cho 1
µ(m)

(0.2)
s

k, m = 0 hoặc s − 2

s − 1.

Ta biết rằng, giải bài toán hit tại các dạng bậc n có dạng (0.2) tương đương
với tìm một cơ sở của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n . Tuy nhiên, việc xác định
tường minh được một cơ sở của (F2 ⊗A Pk )n là rất phức tạp, mặc dù đã có sự hỗ
trợ của máy tính điện tử. Trong nhiều trường hợp, nếu đánh giá ước lượng được
số chiều của khơng gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n thì có thể giúp cho chúng ta thuận lợi
hơn trong việc tính tốn. Một trong các kết quả liên quan đến sự kiện này là bất
đẳng thức sau đây cho số chiều của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) :
min{k,d}

dim(F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1)

d

N (k, (k − 1)(2 − 1)) +
i=2

k
,

i

Ở đây, ký hiệu N (k, n) dùng để chỉ số các đơn thức spike bậc n trong Pk (xem
Định nghĩa 1.6.1) và n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng như (0.2) cho trường hợp
s = k−1, m = 0. Bất đẳng thức trên được thiết lập bởi Mothebe trong luận án [25]
của ông thực hiện tại trường Đại học Manchester năm 1997 và được cơng bố chính
thức trong [26] vào năm 2013. Cấu trúc của không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1)
cũng được chúng tôi khảo sát trong luận án này và thu được kết quả sau đây (kết
quả này được công bố trong bài báo [30]).


7
Định lý 2.1. Cho n = (k − 1)(2d − 1) với d là một số nguyên dương tùy ý. Đặt
p = min{k, d} và q = min{k, d − 1}. Nếu k
dim(F2 ⊗A Pk )n
1 t p

3 thì

k
k
+ (k − 3)
t
2

k
1

Dấu “=” xảy ra nếu và chỉ nếu hoặc k = 3 hoặc k = 4, d

.

q

5 hoặc k = 5, d

6.

Từ định lý này và tính chất của các đơn thức spike, chúng tôi dễ dàng thu được
hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.10. Cho n, p, q như trong Định lý 2.1. Khi đó
dim(F2 ⊗A Pk )n

N (k, n) +
2 t p

k
k
+ (k − 3)
t
2

k
2

.

q

Như vậy, bất đẳng thức của Mothebe ở trên được suy ra trực tiếp từ hệ quả

này. Kết hợp các kết quả của Kameko [18], N. Sum [47] và kết quả của chúng tôi
trong Định lý 2.1, việc giải quyết bài toán hit đối với số biến k

5 tại dạng bậc

(k − 1)(2d − 1) được thuận lợi hơn và thu gọn lại một cách đáng kể.
Ứng dụng Định lý 2.1, chúng tơi tính tốn tường minh các đơn thức chấp nhận
được bậc (k − 1)(2d − 1) trong Pk với k = 5, d là số nguyên dương bất kỳ. Kết
quả chúng tôi thu được là định lý sau đây (kết quả này được công bố trong bài
báo [32]).
Định lý 3.1. Số chiều của F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A P5 )4(2d −1) xác định như
bảng dưới đây:
n = 4(2d − 1)
dim(F2 ⊗A P5 )n

d=1 d=2 d=3 d=4 d
45

190

480

650

5

651

Gần đây, trong các cơng trình [54, 55, 56], N. K. Tín bằng cách sử dụng tính
đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko (0.1) đã tính tốn tường minh

bài tốn hit đối với P5 tại dạng bậc như (0.2) với s = 5, m ∈ {1, 2, 3}. Trường
hợp s = 5, m = 5 đã được N. Sum tính tốn cụ thể trong bài báo [50]. Tiếp nối
các cơng trình này, chúng tôi nghiên cứu cho trường hợp m = 6. Cụ thể, chúng
tôi xác định tường minh một cơ sở của F2 -không gian véctơ F2 ⊗A P5 tại bậc
5(2d − 1) + 6.2d , với d là một số nguyên dương tùy ý. Kết quả chúng tôi đạt được
là định lý dưới đây (kết quả này với d = 1 đã được cơng bố chính thức trong bài
báo [31]).


8
Định lý 3.2. Cho n = 5(2d − 1) + 6.2d với d là số nguyên dương tùy ý. Khi đó,
ta có dim(F2 ⊗A P5 )n = 566 nếu d = 1 và dim(F2 ⊗A P5 )n = 2130 nếu d

2.

Bằng cách sử dụng trực tiếp Bổ đề 3.3 trong Hưng [14], ta dễ dàng tính được
µ(83) = 5. Do đó, theo Bổ đề 3.5 trong Hưng [14], ta thấy rằng µ(5(2d −1)+6.2d ) =
5, với mọi d

3. Từ đây, áp dụng Định lý Kameko (xem Định lý 1.4.1), đồng cấu

lặp
(Sq∗0 )d−2 : (F2 ⊗A P5 )5(2d −1)+6.2d −→ (F2 ⊗A P5 )5(22 −1)+6.22
là một đẳng cấu của các GL5 -mơđun, với mọi d

2. Vì vậy, chúng tơi chỉ cần

chứng minh Định lý 3.2 cho các trường hợp d = 1, 2. Đối với trường hợp d = 1
thì phép chứng minh là khơng q khó nhưng với trường hợp d = 2 thì q trình
tính tốn địi hỏi nhiều kỹ thuật phức tạp. Tuy nhiên, qua phép chứng minh này

chúng tôi thu được một số kỹ thuật mới khá thú vị để giải bài toán hit đối với số
biến k = 5.
Trên cơ sở sử dụng các kết quả nghiên cứu của bài toán hit đối với đại số P5
tại các bậc có dạng như (0.2), chúng tơi kiểm chứng giả thuyết của Singer trong
trường hợp hạng năm tại các bậc 4(2d −1) và 5(2d −1)+6.2d . Cụ thể hơn, tại dạng
5
bậc 4(2d − 1), N. Sum [49] đã chứng minh (F2 ⊗A P5 )GL
= 0. Lấy đối ngẫu, ta
4(2d −1)

có F2 ⊗GL5 P H4(2d −1) (B(Z/2)5 , F2 ) = 0, với mọi d. Áp dụng kết quả này và các
kết quả của Lin [21], Chen [7] và Tangora [53], ta thấy rằng đồng cấu chuyển đại
số
d

T r5 : F2 ⊗GL5 P H4(2d −1) (B(Z/2)5 , F2 ) → Ext5,4.2
A

+1

(F2 , F2 )

là đẳng cấu tầm thường. Do đó, giả thuyết của Singer là đúng cho trường hợp
k = 5 tại bậc 4(2d − 1), với d là số nguyên dương bất kỳ.
Đối với dạng bậc n = 5(2d − 1) + 6.2d , chúng tôi kiểm chứng giả thuyết của
Singer về đồng cấu T r5 tại bậc này cho trường hợp d = 1 tương ứng với n = 17.
Cụ thể, chúng tôi ứng dụng Định lý 3.2, tính tốn tường minh cơ sở của F2 -khơng
5
gian véctơ (F2 ⊗A P5 )GL
17 . Kết quả chúng tôi đạt được là định lý sau đây (kết quả

này được cơng bố trong bài báo [31]).
Định lý 4.1.4. Có đúng một lớp trong (F2 ⊗A P5 )17 khác 0 và bất biến đối với
5
tác động của nhóm GL5 . Nghĩa là, dim(F2 ⊗A P5 )GL
17 = 1.

Nhận xét rằng, T r :=

T rk là một đồng cấu đại số (xem Singer [38]). Khi
k 1


9
đó, sử dụng kết quả của Singer [38], Hà [12], Tangora [53], ta thấy rằng phần tử
h2 d0 = h0 e0 ∈ Ext5,22
A (F2 , F2 ) là phân tích được và nằm trong ảnh của T r5 tại
song bậc (5, 22). Kết hợp nhận xét này với Định lý 4.1.4, chúng tôi thu được hệ
quả sau đây (kết quả này cũng được công bố trong bài báo [31]).
Hệ quả 4.1.5. Đồng cấu chuyển đại số
T r5 : F2 ⊗GL5 P H17 (B(Z/2)5 , F2 ) → Ext5,22
A (F2 , F2 )
là một đẳng cấu.
Hệ quả này đã chỉ ra giả thuyết của Singer cũng đúng trong trường hợp hạng
năm tại bậc 17.
Bây giờ, để kiểm chứng giả thuyết của Singer về đồng cấu chuyển đại số trong
trường hạng năm tại bậc n = 5(2d − 1) + 6.2d với d

2, chúng tôi chỉ cần xác

5
định (F2 ⊗A P5 )GL
với d = 2 (tức là, n = 39). Như chúng ta đã biết, đồng cấu
n

của Kameko với k = 5 tại bậc 39:
(Sq∗0 )(5,39) := Sq∗0 : (F2 ⊗A P5 )39 −→ (F2 ⊗A P5 )17
5
là một toàn cấu của các GL5 -mơđun. Do đó, mọi phần tử trong (F2 ⊗A P5 )GL
39 đều

có dạng γ[ψ(d0 )] + [a], trong đó γ ∈ F2 ; a ∈ (P5 )39 sao cho [a] ∈ Ker (Sq∗0 )(5,39) ,
5
d0 ∈ (P5 )17 và [d0 ] là phần tử khác không duy nhất trong (F2 ⊗A P5 )GL
17 . Ta

biết rằng phần tử h3 d1 = h1 e1 ∈ Ext5,44
A (F2 , F2 ) và nằm trong ảnh của T r5 nên
5
dim(F2 ⊗A P5 )GL
39

1. Dễ thấy rằng, nếu giả thuyết của Singer về đồng cấu

5
chuyển hạng năm T r5 là đúng tại bậc 39 thì dim(F2 ⊗A P5 )GL
39 = 1. Việc xác định

các phần tử của khơng gian này có dạng γ[ψ(d0 )] + [a] như đã trình bày ở trên là
rất phức tạp, tuy nhiên nếu dự đoán sau là đúng thì việc chứng minh đơn giản

hơn rất nhiều.
Giả thuyết 4.1.6. Với k = 5 và bậc 39, ta có Ker(Sq∗0 )(5,39)

GL5

= 0.

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, luận án được
chia thành 4 chương với nội dung như sau:
• Chương 1, chúng tơi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về bài toán hit và
một số kết quả liên quan nhằm sử dụng cho các chương tiếp theo.
• Chương 2, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n với
n = (k − 1)(2d − 1) tương ứng với dạng bậc như (0.2) với s = k − 1, m = 0, d


10
là số nguyên dương tùy ý. Cụ thể, chúng tôi mở rộng kết quả của Mothebe
[25, 26], thiết lập một chặn dưới chặt hơn đối với số chiều của không gian
véctơ (F2 ⊗A Pk )(k−1)(2d −1) (xem Định lý 2.1).
• Chương 3, chúng tôi dựa vào kết quả trong Chương 2 và một số kết quả của
Kameko [18], N. Sum [48] để tính tốn tường minh các đơn thức chấp nhận
được trong P5 tại các bậc có dạng như (0.2) với s ∈ {4, 5} và m ∈ {0, 6}
(xem Định lý 3.1 và 3.2).
• Chương 4, bằng cách sử dụng các kết quả nghiên cứu bài toán hit, chúng tôi
xác định tường minh các GL5 -bất biến của P5 tại bậc n = 5.(2d −1)+6.2d với
d = 1 (xem Định lý 4.1.4). Ứng dụng kết quả này và một số kết quả đã biết
của Singer [38], Hà [12], và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyết
của Singer là đúng trong trường hợp hạng năm và tại bậc 5(2d − 1) + 6.2d với
d = 1 (xem Hệ quả 4.1.5). Ngoài ra, dựa vào các kết quả của N. Sum [49], Lin
[21], Chen [7] và Tangora [53], chúng tôi chứng minh giả thuyết của Singer

cũng đúng với k = 5 và tại bậc 4(2d − 1), với d là số nguyên dương bất kỳ.
Trong phần Phụ lục, chúng tôi liệt kê tất cả các đơn thức chấp nhận được trong
P5 đã tính tốn trong Chương 3.
Luận án được viết dựa trên các cơng trình [30, 31, 32].
Tác giả
Đặng Võ Phúc


11

Chương 1

Một số kiến thức cơ sở
Trong toàn bộ luận án này, nếu khơng nói gì thêm, vành hệ số được xét là
trường nguyên tố F2 có hai phần tử 0 và 1.
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về đại số
Steenrod mod 2, tác động của đại số Steenrod trên đại số đa thức Pk , một số hàm
số học và đồng cấu Kameko khi nghiên cứu bài toán hit, quan hệ thứ tự giữa các
đơn thức trong Pk và đơn thức chấp nhận được. Phần cuối của chương, chúng tôi
nhắc lại tiêu chuẩn về đơn thức hit của Singer và một số kết quả đã biết về bài
toán hit đối với đại số đa thức Pk .

1.1

Cấu trúc đại số Steenrod mod 2

Vào năm 1947, Steenrod [40] xây dựng các toán tử đối đồng điều ổn định
Sq k : H • (X, F2 ) → H •+k (X, F2 ),
với k là số nguyên không âm, tác động tự nhiên lên đối đồng điều kỳ dị của không
gian tôpô X, lấy hệ số trên trường nguyên tố F2 , có hai phần tử. Các toán tử này

ngày nay được gọi là tốn tử Steenrod (hay dãy Steenrod) và có các tính chất sau
đây (xem Steenrod and Epstein [42]):
(i) Sq i (u + v) = Sq i (u) + Sq i (v), với mọi u, v ∈ H • (X, F2 ).
(ii) Sq 0 = id H • (X,F2 ) .

 u2 nếu i = dim u,
i
(iii) Sq (u) =
 0 nếu i > dim u.
(iv) Sq 1 = δ là đồng cấu Bockstein kết hợp với dãy khớp ngắn
0 → Z/2 → Z/4 → Z/2 → 0.


12
(v) Công thức Cartan (xem Cartan [67]):

Sq i (u

Sq i−t (v), ∀u, v ∈ H • (X, F2 ).

Sq t (u)

v) =
0 t i

(vii) Quan hệ Adem (xem Adem [2])
j−t−1
Sq i+j−t ◦ Sq t , 0 < i < 2j,
i − 2t

Sq i ◦ Sq j =
0 t [i/2]

trong đó, hệ số nhị thức được lấy theo mod 2.
Đại số sinh bởi các toán tử Steenrod Sq i được gọi là đại số Steenrod mod 2,
ký hiệu là A .
Chú ý 1.1.1. Cấu trúc của đại số Steenrod còn được khảo sát như sau (xem
Mosher and Tangora [24]): Gọi V là F2 -không gian véctơ phân bậc sinh bởi các
i

ký hiệu Sq , i

0 bậc i

0. Đặt

T k (V ), T k (V ) := V ⊗F2 V ⊗F2 · · · ⊗F2 V , T 0 (V ) = F2 , T 1 (V ) = V

T (V ) =
k 0

k lần

là F2 -đại số tensor của V. Với mỗi cặp số nguyên dương (i; j), 0 < i < 2j, đặt
i

j

R(i, j) = Sq ⊗F2 Sq +
0 t [i/2]

j−t−1
i+j−t
t
Sq
⊗F2 Sq .
i − 2t
0

Gọi I là ideal hai phía của T (V ) sinh bởi tất cả các phần tử R(i, j) và Sq + 1.
Khi đó, đại số Steenrod A được xem như là đại số thương T (V )/I.
Chú ý rằng, từ công thức Cartan, Sq i (u

v) = Sq i (v)

Sq i (v). Tuy nhiên,

ta có định nghĩa sau đây.
Sq i được gọi là

Định nghĩa 1.1.2 (Walker and Wood [61]). Toán tử Sq :=
i 0

toán tử Steenrod tổng. Tốn tử này thỏa mãn
Sq(u

v) = Sq(u)

Sq(v).

Nói một cách khác, toán tử Steenrod tổng là đồng cấu F2 -đại số
Sq : H ∗ (X, F2 ) → H ∗ (X, F2 ).
Biết rằng, nếu u ∈ H ∗ (X, F2 ), với dim u = n thì u ∈ H n (X, F2 ), do đó
Sq i (u) =

Sq(u) =
i 0

Sq i (u).
0 i n


13
Định nghĩa 1.1.3 (Steenrod and Epstein [42]). Ta nói một phần tử bậc i

0

trong đại số A gọi là phân tích được, nếu nó có thể viết dưới dạng tổng của các
hợp thành các phần tử trong A có bậc nhỏ hơn i.
Định lý 1.1.4 (Steenrod and Epstein [42]). Toán tử Sq i là khơng phân tích được
i

khi và chỉ khi i là lũy thừa của 2. Tập hợp tất cả các phần tử Sq 2 , i

0 và Sq 0

là một tập sinh cực tiểu của F2 -đại số A .
Trong [22], Milnor chỉ ra rằng đại số Steenrod A là đại số Hopf liên thơng, đối
giao hốn, có kiểu hữu hạn với đối tích và phép bổ sung cho bởi
Sq i−k ⊗F2 Sq k ,

∆ : A −→ A ⊗F2 A , Sq i −→
0 k i


 1 nếu i = 0,
: A −→ F2 , Sq i −→
 0 nếu i > 0.
Hạt nhân của đồng cấu bổ sung được gọi là iđêan bổ sung của đại số A , ký hiệu
là A + .

1.2

Tác động của đại số Steenrod trên đại
số đa thức Pk

Bài toán chúng tôi tập trung nghiên cứu như đã đề cập trong phần Mở đầu là bài
tốn tìm một hệ sinh cực tiểu của đại số đa thức phân bậc Pk = F2 [x1 ; x2 ; . . . ; xk ]
được xét như là một môđun trên đại số Steenrod A . hay bài toán hit đối với đại số
đa thức. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc cổ điển A -môđun trái (không
ổn định) của đại số đa thức Pk .
Ký hiệu (Z/2)k là 2-nhóm Abel sơ cấp hạng k và B(Z/2)k là không gian phân
loại của nó. Biết rằng, H ∗ (B(Z/2), F2 ) ∼
= F2 [x] vi deg x = 1 nờn theo cụng thc
Kă
unneth, chúng ta có
Pk := H ∗ (B(Z/2)k , F2 ) ∼
= F2 [x1 ] ⊗F2 F2 [x2 ] ⊗F2 · · · ⊗F2 F2 [xk ] = F2 [x1 ; . . . ; xk ],
k lần

trong đó F2 [x1 ; . . . ; xk ] là F2 -đại số đa thức của k-biến, mỗi biến có bậc 1.


14
Tác động trái của A trên Pk được xác




 xt
Sq m (xt ) =
x2t



0

định tường minh bởi công thức
nếu m = 0,
nếu m = 1,
nếu m > 1,

và công thức Cartan [67]
Sq m (f g) =

Sq t (f )Sq m−t (g),
0 t m

với mọi đa thức thuần nhất f, g ∈ Pk . Kết hợp với Định nghĩa 1.1.2, ta nhận được
Sq m (xdt ) =

d
m

xm+d
, trong đó
t

d
m

là hệ số được tính theo mod 2. Với tác động

này, Pk có cấu trúc là một A -môđun trái (không ổn định).
Sau đây là một số kết quả cổ điển về tác động của A trên Pk .
Mệnh đề 1.2.1 (Walker and Wood [61]). Cho f là một đa thức thuần nhất trong
Pk . Thế thì
(i) Nếu i > deg f thì Sq i (f ) = 0. Nếu i = deg f thì Sq i (f ) = f 2 .
s

(ii) Nếu i khơng chia hết cho 2s thì Sq i (f 2 ) = 0.
s

s

s

Ngoài ra, Sq r2 (f 2 ) = (Sq r (f ))2 .
(iii) Sq 1 Sq 2k (f ) = Sq 2k+1 (f ) và Sq 1 Sq 2k+1 (f ) = 0 với mọi k ∈ Z+ .

1.3

Một số hàm số học

Trong mục này, chúng tơi trình bày lại định nghĩa và một số tính chất của hai
hàm số số học α và µ. Những hàm số học này được ứng dụng trong việc tính toán
bài toán hit.
Định nghĩa 1.3.1. Cho n ∈ N. Ký hiệu αi (n) là hệ số thứ i trong khai triển nhị
phân của n, tức là n có dạng như sau
n = α0 (n)20 + α1 (n)21 + α2 (n)22 + · · · ,
trong đó αi (n) = 0 hoặc αi (n) = 1, với mọi i

0. Hàm số học α : N −→ N xác

định bởi
αi (n), ∀n ∈ N.

α(n) =
i 0


15
Từ định nghĩa này, ta thấy rằng α(n) là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân
của n.
Định nghĩa 1.3.2. Hàm số học µ : N −→ N xác định bởi µ(0) = 0 và
(2dt − 1), dt > 0, 1

µ(n) = min r ∈ N : n =

t

r

1 t r

= min{r ∈ N : α(n + r)

r}.

Mệnh đề 1.3.3 (Kameko [18]). Cho m, n là các số ngun dương. Khi đó, µ(n)
m khi và chỉ khi α(n + m)

m.

Mệnh đề sau đây là một tính chất sơ cấp quan trọng của hàm số học µ. Kết
quả này đã được N. Sum trình bày trong các cơng trình [44, 45] năm 2010 khi
phủ định giả thuyết của Kameko [18].
Mệnh đề 1.3.4 (Sum [44, 45, 50]). Cho n là một số ngun dương. Khi đó,
µ(n) = r khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một dãy số nguyên d1 > d2 > . . . >
dr−1

dr > 0 sao cho
n = 2d1 + 2d2 + · · · + 2dr−1 + 2dr − r.

Trong bài báo [50], N. Sum đã chứng minh chi tiết mệnh đề này. Chú ý rằng,
tính chất này của hàm µ có thể đã được biết đến bởi các chuyên gia; tuy nhiên
cho đến nay chúng tơi chưa tìm được tài liệu chính thống về số học trình bày
chính thức kết quả này.
Hệ quả 1.3.5. Cho n là một số nguyên dương. Khi đó, chúng ta có:
(i) µ(n) > k khi và chỉ khi α(n + k) > k.

(ii) n − µ(n)

0 và là số chẵn. Ngồi ra, µ

n − µ(n)
2

µ(n).

(iii) µ(2n + µ(n)) = µ(n).
Chúng tơi nhắc lại một kết quả quan trọng của Wood [64] về số chiều của
F2 -không gian véctơ (F2 ⊗A Pk )n thơng qua hàm số học µ(n). Chú ý rằng, kết
quả này là một giả thuyết của Peterson [28] đưa ra năm 1987 khi nghiên cứu bài
toán hit. Ơng chứng minh nó cho trường hợp k

2 và sau đó Wood [64] chứng

minh cho trường hợp tổng quát.
Định lý 1.3.6 (Wood [64]). Nếu µ(n) > k thì dim(F2 ⊗A Pk )n = 0.


16

1.4

Đồng cấu Kameko

Ký hiệu GLk := GL(k, F2 ) là nhóm tuyến tính tổng qt trên trường F2 . Nhóm
GLk tác động trái trên Pk cho bởi
(w(f ))(x1 , x2 , . . . , xk ) = f (w(x1 ), w(x2 ), . . . , w(xk )),

k

trong đó w = (wij ) ∈ GLk và w(xj ) =

wij xi , 1

j

k. Khi đó, Pk có cấu

i=1

trúc là một GLk -mơđun trái. Vì tác động của đại số A và GLk trên Pk là giao
hoán với nhau nên (F2 ⊗A Pk ) cũng có cấu trúc là một GLk -môđun.
k
Với d là số nguyên dương bất kỳ, ký hiệu (F2 ⊗A Pk )GL
là không gian con
d

của F2 ⊗A Pk sinh bởi các lớp bậc d bất biến dưới tác động của nhóm GLk . Ta
k
biết rằng, đối ngẫu của (F2 ⊗A Pk )GL
là F2 ⊗GLk P Hd (B(Z/2)k ), F2 ), trong đó
d

P H∗ (B(Z/2)k ), F2 ) là không gian con của H∗ (B(Z/2)k ), F2 ) gồm tất cả các phần
tử bị triệt tiêu bởi tác động của mọi tốn tử Steenrod bậc dương. Khi đó, đồng
0

cấu của Kameko Sq xác định trên F2 ⊗GLk P Hd (B(Z/2)k , F2 ) là đồng cấu

0

Sq : F2 ⊗GLk P Hd (B(Z/2)k , F2 ) −→ F2 ⊗GLk P Hk+2d (B(Z/2)k , F2 ).
Boardman [3] chứng minh trong trường hợp k = 3 và Minami [23] chứng minh
0

cho trường hợp tổng quát, đồng cấu Sq giao hoán với toán tử Squaring cổ điển
A
Sq 0 : ExtA
k,k+d (F2 , F2 ) → Extk,2k+2d (F2 , F2 ) thông qua đồng cấu chuyển đại số T rk

của Singer [38]. Điều này có nghĩa, biểu đồ sau đây là giao hốn
F2 ⊗GLk P Hd (B(Z/2)k , F2 )
Sq

T rk

Extk,k+d
(F2 , F2 )
A

0

Sq 0

F2 ⊗GLk P Hk+2d (B(Z/2)k , F2 )

T rk

Extk,2k+2d

(F2 , F2 ).
A

Lấy đối ngẫu, ta được biểu đồ giao hoán
TorA
k,2k+2d (F2 , F2 )

ϕk

0

Sq∗0

TorA
k,k+d (F2 , F2 )

k
(F2 ⊗A Pk )GL
k+2d

Sq ∗
ϕk

k
(F2 ⊗A Pk )GL
.
d


17

0

GLk
k
Chú ý rằng, đồng cấu Sq ∗ : (F2 ⊗A Pk )GL
là đối ngẫu của
k+2d −→ (F2 ⊗A Pk )d
0

0

đồng cấu Kameko Sq . Hơn nữa, đồng cấu Sq ∗ được cảm sinh từ đồng cấu sau
đây cũng được ký hiệu là
0

Sq ∗ : (F2 ⊗A Pk )k+2d → (F2 ⊗A Pk )d .
Đồng cấu này cũng được gọi là đồng cấu của Kameko và nó được cảm sinh từ
một F2 -đồng cấu ψ : Pk −→ Pk xác định bởi

ψ(x) =



u nếu x = x1 x2 . . . xk u2 ,

0

các trường hợp khác,

với mọi đơn thức x ∈ Pk . Chú ý rằng, ψ không phải là đồng cấu A -môđun. Tuy

nhiên, ψSq 2t = Sq t ψ và ψSq 2t+1 = 0 với bất kỳ số nguyên không âm t. Ngày nay,
đồng cấu của Kameko là một trong những cơng cụ hữu hiệu để tính tốn bài toán
hit và nghiên cứu đồng cấu chuyển đại số của Singer [38].
Một kết quả quan trọng của Kameko [18] sau đây được chứng tơi ứng dụng để
tính tốn bài toán hit trong các chương tiếp theo.
Định lý 1.4.1 (Kameko [18]). Cho d là số nguyên dương. Nếu µ(2d + k) = k, thì
0

đồng cấu Sq ∗ : (F2 ⊗A Pk )2d+k −→ (F2 ⊗A Pk )d là một đẳng cấu GLk -môđun.
Định lý sau đây được phát biểu và chứng minh trong [57] cho ta một điều kiện
cần và đủ về sự đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko.
Định lý 1.4.2 (Tín-Sum [57]). Cho d là số nguyên không âm bất kỳ. Đồng cấu
lặp Kameko
(Sq∗0 )d−t : (F2 ⊗A Pk )k(2d −1)+2d m −→ (F2 ⊗A Pk )k(2t −1)+2t m
là một đẳng cấu GLk -môđun với mọi d

t nếu và chỉ nếu t

t(k, m), với bất kỳ

số ngun khơng âm m. trong đó
t(k, m) := max{0, k − α(m + k) − ς(m + k)}.
Ở đây, ký hiệu ς(n) là số nguyên không âm lớn nhất u sao cho số nguyên dương
n chia hết cho 2u .
Chú ý rằng, trong định lý này, ta ln có t(k, m)

k − 2, với mọi m; do đó

kết quả này là một mở rộng kết quả của N. H. V. Hưng khi nghiên cứu về tính

18
đẳng cấu của đồng cấu lặp của đồng cấu Kameko trong bài báo [14]. Hơn nữa,
kết quả này giúp cho việc giải bài toán hit tại một số dạng bậc được rút ngắn lại
một cách đáng kể.

1.5

Quan hệ thứ tự giữa các đơn thức và
đơn thức chấp nhận được

Một số ký hiệu sau đây trong cơng trình của N. Sum [48] sẽ được chúng tôi sử
dụng trong suốt Luận án này.
Ký hiệu
Nk = {1, 2, . . . , k},
XI = Xi1 ,i2 ,...,ik = x1 x2 . . . xˆi1 . . . xˆir . . . xk
xi , I = {i1 , i2 , . . . , ir } ⊆ Nk .

=
i∈Nk \I

Nói riêng, chúng ta có:
XNk = 1,
X∅

= x1 x2 . . . xk ,

X{i} = x1 x2 . . . xˆi . . . xk , 1

i

Cho đơn thức x = xa11 xa22 . . . xakk ∈ Pk . Với mỗi i

k.

0, ta đặt

Ji (x) = {j ∈ Nk : αi (aj ) = 0}.
Khi đó, đơn thức x ∈ Pk được viết lại như sau
i

XJ2i (x) .

x=
i 0

Định nghĩa 1.5.1 (Kameko [18]). Với mỗi đơn thức x = xa11 xa22 . . . xakk ∈ Pk , định
nghĩa hai dãy số liên kết với x bằng cách đặt
ω(x) = (ω1 (x); ω2 (x); . . . , ωi (x); . . .),
σ(x) = (a1 ; a2 ; . . . ; ak ),
trong đó ωi (x) =
1 j k

αi−1 (aj ) = deg XJi−1 (x) , i

1.

Dãy số ω(x) được gọi là véctơ trọng của x và dãy σ(x) được gọi là véctơ lũy
thừa của x.