Giải bài tập về hình chiếu đối xứng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

DẠNG 16: HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG, MẶT (VÀ ỨNG DỤNG)
A ( 1; −2; 4 )
Câu 350: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là
điểm
N ( 0; −2;0 )
M ( 0; −2; 4 )
P ( 0; 0; 4 )
Q ( 1;0; 0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
A ( 1; −2; 4 )
N ( 0; −2;0 )
Hình chiếu vuông góc của
trên trục Oy là điểm
.
( P ) : x − 2 y + 2 z + 9 = 0 , mặt cầu ( S ) tâm
Câu 351: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng
O tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) tại H ( a; b; c ) . Tổng a + b + c bằng

A. 2 .

B. 1 .

C. −1 .
Hướng dẫn giải

D. −2 .

Chọn C

( )
Tiếp điểm H ( a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của O lên mp P .
x = t

∆ :  y = −2t
 z = 2t

Đường thẳng ∆ qua O và ∆ ⊥ ( P ) có phương trình
x = t
 y = −2t


t = −1
 z = 2t


⇒ H = ∆ ∩ ( P ) , giải hệ phương trình  x − 2 y + 2 z + 9 = 0 được  x = −1; y = 2; z = −2
Vậy H ( −1;2; − 2 ) nên a + b + c = −1 + 2 − 2 = −1 .

M ( 1; 2; 4 )
( yOz ) là điểm
Câu 352: Cho điểm
, hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng
M ′ ( 0; 2; 4 )
M ′ ( 1;0; 0 )
M ′ ( 1; 2; 0 )
M ′ ( 2; 0; 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
r
( yOz ) : x = 0 ⇒ vec tơ pháp tuyến là k ( 1;0;0 ) .
r
M ( 1; 2; 4 )
k ( 1;0;0 )
Đường thẳng đi qua
và nhận
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
x
=
1
+

t


d : y = 2
z = 4


( yOz ) là giao điểm của d và ( yOz ) .
Hình chiếu vuông góc M ′ của M lên mặt phẳng
⇒ M ′ ( 0; 2; 4 )
Xét phương trình: 1  + t = 0 ⇔ t = −1
.
Oxyz
Câu 353: Trong không gian với hệ tọa độ
, hình chiếu vuông góc M ' của điềm M (1;−1;2) trên Oy có
tọa độ là
A. (0;1;0) .
B. (1;0;0) .
C. (0;0;2) .
D. (0;−1;0) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang 1/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz
x = 2 + t

∆ :  y = 1 − 2t
 z = 2t


A ( −1;1; 6 )
Câu 354: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
. Hình chiếu vuông
góc của điểm A trên đường thẳng ∆ là:
M ( 3; −1; 2 )
K ( 2;1;0 )
N ( 1;3; −2 )
H ( 11; −17;18 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
( α ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆ tại H . Khi đó H là hình chiếu của A trên
Gọi
(α) .

( α ) : 1( x + 1) − 2 ( y − 1) + 2 ( z − 6 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 2 z − 9 = 0 .
Phương trình mặt phẳng
H ( 2 + t ;1 − 2t ; 2t )
Ta có H ∈ ∆ ⇔
.
H ∈ ( α ) ⇔ 2 + t − 2 ( 1 − 2t ) + 4t − 9 = 0 ⇔ t = 1
.
Vậy

H ( 3; −1; 2 )

là điểm cần tìm.

x −1 y +1 z − 2
∆:
=
=
Oxyz
,
2
1
1 . Tìm hình chiếu vuông góc của
Câu 355: Trong không gian
cho đường thẳng
∆ trên mặt phẳng ( Oxy ) .
 x = −1 + 2t
x = 0
 x = 1 + 2t
 x = −1 + 2t





 y = −1 + t
 y = −1 − t
 y = −1 + t
 y = 1+ t
z = 0
z = 0
z = 0
z = 0
A. 
B. 
C. 
D. 
Hướng dẫn giải
Chọn C
uu
r
M
1;
−
1;
2
u
(
)
∆ = ( 2; 1; 1)
Đường thẳng ∆ qua điểm
.

rvà có vectơ chỉ phương:
( Oxy ) có vectơ pháp tuyến k = ( 0; 0; 1) .
Mặt phẳng
( P ) là mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc mặt phẳng ( Oxy ) , thì ( P ) qua M và có vectơ
Gọi
r
uur r
n = u∆ ; k  = ( 1; − 2; 0 )
pháp tuyến
.
Khi đó, phương trình mặt phẳng

( P)

là: x − 2 y − 3 = 0 .

( Oxy ) , thì d chính là giao tuyến của ( P ) với ( Oxy ) .
Gọi d là hình chiếu của ∆ lên
 x = 3 + 2t

d : y = t
x − 2 y − 3 = 0
d :
z = 0
N ( 1; − 1; 0 )

z = 0
Suy ra
hay
. Với t = −1, ta thấy d đi qua điểm

.
A ( −2;3; 4 ) B ( 8; −5;6 )
Câu 356: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
. Hình chiếu
( Oyz ) là điểm nào dưới đây.
vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng
P ( 3;0; 0 )
N ( 3; −1;5 )
M ( 0; −1;5 )
Q ( 0; 0;5 )
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
I ( 3; −1;5 )
Tọa độ trung điểm của AB là
.

Trang 2/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( Oyz ) là M ( 0; −1;5) .
Vậy hình chiếu của I trên mặt phẳng
A ( 2; −1;1)
Câu 357: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm
∆:

∆.

và đường thẳng

x −1 y +1 z
=
=
2
−1 2 . Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng

 17 13 8 
K  ;− ; ÷
3 3.
A.  3

 17 13 8 
K  ;− ; ÷
9 9.
B.  9

 17 13 2 
K  ;− ; ÷

C.  12 12 5  .

 17 13 8 
K  ;− ; ÷
6 6
D.  6

.
Hướng dẫn giải
Chọn B

r
u = ( 2; −1; 2 ) . K ∈ ∆ ⇒ K ( 1 + 2t ; −1 − t; 2t )

∆
Đường
.
uuuurthẳng có vecto chỉ phương
⇒ KM = ( 1 − 2t; t ;1 − 2t )
.
r uuuur
4
u.KM = 0 ⇔ 2 ( 1 − 2t ) − t + 2 ( 1 − 2t ) = 0 ⇔ −9t + 4 = 0 ⇔ t =
9.
Vì KM ⊥ ∆ nên
 17 −13 8 
⇒K ;
; ÷
 9 9 9 .

A ( −1; 2;1)
Câu 358: Trong không gian Oxyz cho điểm
, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng
( Oxy ) là
tọa độ
Q ( 0; 2;0 )
M ( −1; 2; 0 )
P ( 0; 2;1)
N ( −1;0;1)
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( Oxy ) .
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
 x = −1

y = 2
z = 1+ t
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: 
.
( Oxy ) . Ta có { A′} = d ∩ ( Oxy ) .
Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
 x = −1
 x = −1
y = 2
y = 2



⇔

z = 1+ t
z = 0

t = −1
Vậy tọa độ của A′ là nghiệm của phương trình  z = 0
.

A ( −1; 2;1)
( Oxy ) là M ( −1; 2;0 ) .
Vậy hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng tọa độ
M ( 2;3;1)
Câu 359: Trong không gian Oxyz , xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
lên mặt
(α ) : x −2y + z = 0 .
phẳng
3
 5 
5
; 2; ÷
 2; ;3 ÷

5;
4;3
(
).
( 1;3;5) .

A.  2  .
B.
C.  2 2  .
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
uuuur uuur
MH = n( α ) = ( 1; −2;1)
α
.
(
)
Gọi H là hình chiếu của M lên
Ta có
.
Trang 3/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

x = 2 +1
( MH ) :  y = 3 − 2t
z = 1+ t

H = M ∩(α ) ⇒

Hình học tọa độ Oxyz

.

tọa độ H là nghiệm hệ

x = 2 + t
 y = 3 − 2t


1
z = 1+ t
 x − 2 y + z = 0 ⇒ 2 + t − 6 + 4t + 1 + t = 0 ⇒ 6t = 3 ⇒ t = 2
3
5
H  ; 2; ÷
Vậy  2 2  .

I ( 2; − 3; − 4 )
Câu 360: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
x+2 y+2 z
d:
=
=
3
2
−1 . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm H . Tìm tọa độ điểm
H.
 1 1

H =  − ; 0; ÷
H = ( 1; 0; − 1)
 2 2.
A.
B.
.
C.

H = ( 4; 2; − 2 )

.

1
 1
H =  − ; −1; − ÷
2.
 2
D.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm H nên H là hình chiếu của I lên d .
 x = −2 + 3t

 y = −2 + 2t ( t ∈ ¡ )
uu
r
 z = −t
u
= ( 3; 2; − 1)

Ta có d có phương trình tham số: 
và có một VTCP d
.
H ∈ d ⇒ H ( −2 + 3t ; − 2 + 2t ; − t )
.
uuu
r
IH = ( −4 + 3t;1 + 2t; 4 − t )
.
uu
r uuu
r
u .IH = 0 ⇔ 3 ( −4 + 3t ) + 2 ( −5 + 2t ) − 1( 4 − t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H ( 1;0; − 1)
Mà d
.
( P ) :6 x + 3 y − 2 z + 24 = 0 và điểm
Câu 361: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
A ( 2;5;1)
( P) .
. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên
H ( 4; − 2;3)
H ( −4; 2;3)
H ( 4; 2;3)
H ( 4; 2; − 3)
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
r
P)
n = ( 6;3; −2 )
(
Mặt phẳng
có một vtpt
.
( P) .
Đường thẳng AH qua A và vuông góc với
 x = 2 + 6t

 y = 5 + 3t
 z = 1 − 2t
Suy ra phương trình đường thẳng AH là 
.
⇒ H ( 2 + 6t;5 + 3t;1 − 2t )
Trang 4/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

H ∈ ( P ) ⇒ 6 ( 2 + 6t ) + 3 ( 5 + 3t ) − 2 ( 1 − 2t ) + 24 = 0 ⇔ t = −1
.
H ( −4; 2;3)
Vậy
.
A ( 3; −1;1) B ( 4; 2; −3)
Câu 362: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
. Gọi A′ là hình chiếu
( Oxy ) và B′ là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng
vuông góc của A trên mặt phẳng
( Oyz ) . Độ dài đoạn thẳng A′B′ bằng
A. 2 3 .
B. 3 3 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
A ( 3; −1;1)
( Oxy ) nên A′ ( 3; −1;0 ) .
Do A′ là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
B ( 4; 2; −3)
( Oyz ) nên B′ ( 0; 2; −3)
Do B′ là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
uuuur
uuuur
2

2
2
A′B′ = ( −3;3; −3 ) ⇒ A′B′ = ( −3) + 3 + ( −3) = 3 3
Ta có
.
( α ) : 3x − 2 y + z + 6 = 0 . Hình chiếu vuông góc của điểm
Câu 363: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
A ( 2; −1;0 )
( α ) có tọa độ là
lên mặt phẳng
( 1;0;3) .
( 2; −2;3) .
( 1;1; −1) .
( −1;1; −1) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
r
( α ) : 3x − 2 y + z + 6 = 0 có vectơ pháp tuyến là n = ( 3; −2;1) .
H ( x; y ; z )
( α ) . Khi đó:
Gọi
là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng
 x − 2 = 3k
 x = 2 + 3k
 y + 1 = −2k
 y = −1 − 2 k



uuur
r


 AH = k .n
( x − 2; y + 1; z ) = k ( 3; −2;1)
z=k


z = k


 H ∈ ( α ) ⇔ 3 x − 2 y + z + 6 = 0
⇔
3 x − 2 y + z + 6 = 0 ⇔ 3 x − 2 y + z + 6 = 0
Mà

H ( −1;1; −1)
Giải hệ trên ta có: x = −1 ; y = 1 ; x = −1 hay
.
M ( 2; −1;1)
Câu 364: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
, tìm tọa độ M ′ là hình chiếu vuông
( Oxy ) .
góc của M trên mặt phẳng
M ′ ( 0;0;1)
M ′ ( 2; −1;0 )
M ′ ( −2;1;0 )

M ′ ( 2;1; −1)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B

 x = 6 − 4t

 y = −2 − t
 z = −1 + 2 t
Câu 365: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d : 
.
Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có tọa độ là:
A. (2; −3;1) .

B. (2;3;1) .

C. ( −2;3;1) .
Hướng dẫn giải

D. (2; −3; −1) .

Chọn A

Gọi H là hình chiếu của A lên d H (6 − 4t ; −2 − t ; −1 + 2t ) .
Trang 5/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

uuur
uu
r
AH = (5 − 4t; −3 − t ; −2 + 2t ); ud = ( −4; −1;2 )
.
uuur
uuur uu
r
AH ⊥ d ⇔ AH .ud = 0 ⇔ −4(5 − 4t ) + −1( −3 − t ) + 2( −2 + 2t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (2; −3;1) .
A ( 1;1; −1)

d:

x−4 y−4 z−2
=
=
2
2

−1 . Hình chiếu

Câu 366: Trong không gian Oxyz , cho
và đường thẳng
vuông góc của điểm A lên đường thẳng d là:
N ( 2; 2;3)
P ( 6;6;3)
M ( 2;1; −3 )
Q ( 1;1; 4 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuur
H ( 4 + 2t ; 4 + 2t ; 2 − t ) ∈ d
AH = ( 3 + 2t;3 + 2t;3 − t )
Lấy điểm
.
uuur r. Khi đó
⇔ ( 3 + 2t ) 2 + ( 3 + 2t ) 2 − ( 3 − t ) = 0 ⇔ t = −1
Để H là hình chiếu của A thì AH .ud = 0
.
H ( 2; 2;3 )
H ≡ N ( 2; 2;3 )

Ta được hình chiếu
. Đối chiếu với đáp án ta có
.
( P ) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0 và điểm M ( 1; −2; 4 ) . Tìm tọa
Câu 367: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( P) .
độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
1;1;3) .
5; 2; 2 ) .
0; 0; −3 ) .
3; 0;3) .
A. (
B. (
C. (
D. (
Hướng dẫn giải
Chọn D
( P ) . Phương trình tham số của
+ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng
 x = 1 + 2t

 y = −2 + 2t

∆ là  z = 4 − t
. Gọi H là hình chiếu của M trên ∆ .
H ∈ ∆ ⇒ H ( 1 + 2t ; −2 + 2t ; 4 − t )
+
.
( P ) nên 2 ( 1 + 2t ) + 2 ( −2 + 2t ) − ( 4 − t ) − 3 = 0 ⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ t = 1.
+ Vì H nằm trên

H ( 3;0;3) .
Vậy ta được
M ( 3; 4;5 )
( P ) : x − y + 2 z − 3 = 0 . Hình
Câu 368: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
và mặt phẳng

( P ) là
chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng
H ( 6;7;8 )
H ( 1; 2; 2 )
H ( 2;5;3)
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C

D.

H ( 2; −3; −1)

x = 3 + t

y = 4 − t
 z = 5 + 2t


( P ) là:
Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng
.
( P ) có tọa độ là nghiệm ( x; y; z ) của hệ
Hình chiếu vuông góc H của M lên mặt phẳng
x = 3 + t
x = 2
y = 4−t
y = 5


⇔

 z = 5 + 2t
z = 3

t = −1
phương trình:  x − y + 2 z − 3 = 0
.
Trang 6/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Suy ra

H ( 2;5;3 )

Hình học tọa độ Oxyz

.

A ( 0;1; 2 )
Câu 369: Trong không gian với hệ trục Oxyz , tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm
trên mặt
( P) : x + y + z = 0 .
phẳng
( −2; 2;0 ) .
( −2; 0; 2 ) .
( −1;1; 0 ) .
( −1;0;1) .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Kiểm tra các đáp án:
r
M ( −1;0;1) ∈ ( P ) ( P )
n = ( 1;1;1)
Ta
có một véctơ pháp
tuyến

uuucó:
ur
uuuu
r.
r
AM ( −1; −1; −1) ⇒ AM
n = ( 1;1;1) ⇒ AM ⊥ ( P )
M ( −1;0;1)
cùng phương với
. Do đó
là hình
A ( 0;1; 2 )
( P) .
chiếu vuông góc của
trên
Cách 2: Phương pháp tự luận:
x = t

∆ :  y =1+ t
A ( 0;1; 2 )
( P ) . Ta có  z = 2 + t
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua
và vuông góc với
( P ) là M ( −1; 0;1) . Do đó M ( −1;0;1) là hình chiếu vuông góc của
Tọa độ giao điểm của ∆ và
A ( 0;1; 2 )
( P) .
trên
x y −1 z +1
d: =

=
M
1;0;
4
(
)
1
−1
2 .
Câu 370: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên đường thẳng d .
H ( 1;0;1)
H ( −2;3;0 )
H ( 0;1; −1)
H ( 2; −1;3)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
x y −1 z +1
d
:
P

M
1;0;
4
( ) là mặt phẳng qua (
) và vuông góc với đường thẳng 1 = −1 = 2 .
Gọi

( P ) : x −1 − y + 2 ( z − 4) = 0 ⇔ x − y + 2z − 9 = 0 .
Phương trình mặt phẳng
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d .
 x − y + 2z − 9 = 0
t = 2
x = t
x = 2


⇔


 y = 1− t
 y = −1

 z = 3
Tọa độ của H là ngiệm của hệ phương trình:  z = −1 + 2t
.

M ( 2;0;1)
Câu 371: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi H hình chiếu vuông góc của
lên đường
x −1 y z − 2

∆:
= =
1
2
1 . Tìm tọa độ điểm H .
thẳng
H ( 2; 2;3)
H ( 0; −2;1)
H ( 1;0; 2 )
H ( −1; −4;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C

Trang 7/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

x = 1+ t

∆ :  y = 2t
z = 2 + t ( t ∈ ¡


Hình học tọa độ Oxyz

uuuur
H ∈ ∆ ⇒ H ( t + 1; 2t ; t + 2 ) ⇒ MH = ( t − 1; 2t ; t + 1)
Ta có
mà r
.
u = ( 1; 2;1)
Đường thẳng ∆ có một
là
.
uuuurVTCP
r
MH ⊥ ∆ ⇔ MH .u = 0 ⇔ ( t − 1) + 4t + ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ⇒ H ( 1;0; 2 )
Khi đó
.
M ( 3; 2; − 1)
Câu 372: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz
là điểm:
M ( 3; 2; 0 )
M ( 3;0;0 )
M ( 0; 2;0 )
M ( 0;0; − 1)

A. 2
.
B. 3
.
C. 4
.
D. 1
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
M 1 ( x; y; z )
là hình chiếu vuông góc của điểm M lên trục Oz .
x = y = 0
⇒
 z = −1 .
⇒ M 1 ( 0;0; − 1)

)

.

M ( 1; −3; −5 )
( Oyz )
Câu 373: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , hình chiếu của điểm
trên mặt phẳng
có tọa độ là
0; −3;0 )
( 0; −3;5) .
( 1; −3; 0 ) .
( 0; −3; −5 ) .

A.
B.
C. (
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
x +1 y + 3 z + 2
d:
=
=
1
2
2 và điểm A ( 3; 2; 0 ) . Điểm đối
Câu 374: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
xứng của điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là
( 0; 2; − 5)
( −1;0; 4 )
( 7;1; − 1)
( 2;1; − 2 )
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( P ) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d . Phương trình của mặt phẳng
Gọi
( P ) là: 1( x − 3) + 2 ( y − 2 ) + 2 ( z − 0 ) = 0 ⇔ x + 2 y + 2 z − 7 = 0 .
H = d ∩( P)

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng d , khi đó
H ∈ d ⇒ H ( −1 + t ; − 3 + 2t ; − 2 + 2t )
H ∈ ( P ) ⇒ −1 + t − 6 + 4t − 4 + 4t − 7 = 0
Suy ra
, mặt khác
⇒ t = 2 . Vậy H ( 1;1; 2 ) .
Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d , khi đó H là trung điểm của AA′ suy ra
A′ ( −1; 0; 4 )
.
A 0; −1; 2 )
B 1;0; −2 )
Câu 375: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , (
và (
lần lượt là hình chiếu vuông góc
x y +1 z − 2
∆: =
=
4
1
−1 và ( P ) : 2 x − y − 2 z − 6 = 0 . Tính S = a + b + c .
của điểm I (a; b; c) trên
A. 3 + 2 .

B. 5 + 3 .

C. 0.
Hướng dẫn giải

D. 4 + 3 .

Trang 8/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Chọn C

x y +1 z − 2
r
=
=
⇒
a
= ( 4;1; −1)
4
1
−1
Ta có
r
( P ) : 2 x − y − 2 z − 6 = 0 ⇒ n = ( 2; −1; −2 )
∆:

Gọi d là đường thẳng đi qua
 x = 1 + 2t


 y = −t
 z = −2 − 2t


B ( 1;0; −2 )

và vuông góc với mp(P), phương trình tham số của d là:

⇒ I ( 1 + 2t ; −t ; −2 − 2t )
Vì Buurlà hình chiếu của I trên (P) nên I ∈ d
⇒ AI = ( 1 + 2t ;1 − t ; −4 − 2t )
uur r
uur r
⇒ 4 ( 1 + 2t ) + 1 − t − ( −4 − 2t ) = 0
Vì A là hình chiếu của I trên ∆ nên ⇒ AI ⊥ a ⇒ AI .a = 0
⇒ t = −1
I 1 + 2t ; −t ; −2 − 2t ) = ( −1;1;0 ) ⇒ a = −1; b = 1; c = 0
Do đó (

Vậy a + b + c = 0 .

Câu 376: Hình chiếu vuông góc của điểm
H 3;1; 2 )
A. (
.
3

H 1;3; ÷
2.

C. 

M ( 1;3; −2 )

d:

x − 3 y −1 z − 2
=
=
4
2
3 là.

trên đường thẳng
H 7;3;5 )
B. (
.
3 10 
 23
H  ;− ; ÷
D.  29 29 29  .

Hướng dẫn giải
Chọn D
α
Mp ( ) qua M vuông góc với d có phương trình 4 x + 2 y + 3z − 4 = 0 Tọa độ hình chiếu vuông
α
góc của M trên d là giao điểm của d và ( ) .
4 x + 2 y + 3 z − 4 = 0
 x = 3 + 4t



3 10 
 23
 y = 1 + 2t
⇒ H  ;− ; ÷
 29 29 29  .
⇒ tọa độ H là nghiệm của hệ pt  z = 2 + 3t

I 1;2;3)
( P ) : 2 x − 2 y − z − 4 = 0.
Câu 377: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm (
và mặt phẳng
P
Mặt cầu tâm I tiếp xúc mặt phẳng ( ) tại điểm H . Tìm tọa độ điểm H .
A. H (3;0;2) .
B. H (−3;0; −2) .
C. H (−1;4;4)
D. H (1; −1;0) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Trang 9/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

P
Điểm H cần tìm chính là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mặt phẳng ( ) . Phương trình
 x = 1 + 2t

y = 2 − 2y
z = 3 − t
tham số đường thẳng IH là 
.
P
Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng ( ) ta có:
2(1 + 2t ) − 2(2 − 2t ) − 3 + t − 4 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (3;0;2).
M ( 1; 2; 3)
α
Câu 378: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
và mặt phẳng ( ) có phương trình
là x − 2 y + z − 12 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
(α) .
H 2; 0; 4 )
H −1; 6; 1)
H 3; − 2; 5 )
H 5; − 6; 7 )
A. (
.
B. (
.
C. (
.
D. (

.
Hướng dẫn giải
Chọn C
α
Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng ( ) . Suy ra d có 1 VTCP
x = 1+ t

 y = 2 − 2t ( t ∈ ¡ )
r
z = 3 + t
u = ( 1; −2;1)
. Phương trình đường thẳng d là: 
.
H là hình chiếu của M lên ( α ) ⇒ H = d ∩ ( α ) .
H ∈ d ⇒ H ( 1 + t; 2 − 2t ;3 + t ) .
H ∈ ( α ) ⇒ ( 1 + t ) − 2 ( 2 − 2t ) + ( 3 + t ) − 12 = 0 ⇔ t = 2 ⇒ H ( 3; −2;5 )
.
A ( −1; 2;1)
Câu 379: Trong không gian Oxyz cho điểm
, hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng
( Oxy ) là
tọa độ
M ( −1; 2;0 )
P ( 0; 2;1)
N ( −1;0;1)
Q ( 0; 2;0 )
A.
B.
C.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn A
( Oxy ) .
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
 x = −1

y = 2
z = 1+ t
Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng: 
.
( Oxy ) . Ta có { A′} = d ∩ ( Oxy ) .
Gọi A′ là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng
 x = −1
 x = −1
y = 2
y = 2


⇔


z = 1+ t
z = 0

t = −1
Vậy tọa độ của A′ là nghiệm của phương trình  z = 0
.

A ( −1; 2;1)
( Oxy ) là M ( −1; 2;0 ) .

Vậy hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng tọa độ
M ( 1; 2;3)
( α ) có phương trình
Câu 380: Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
x − 2 y + z − 12 = 0 . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng
Trang 10/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

(α) .
A.

H ( 5; −6;7 )

.

B.

H ( 2;0; 4 )

.

H ( 3; −2;5 )

C.
.
Hướng dẫn giải

Hình học tọa độ Oxyz

D.

H ( −1;6;1)

Chọn C

.

r
M ( 1; 2;3)
nα = ( 1; −2;1)
MH
Đường thẳng
đi qua
nhận
làm vec tơ chỉ phương có phương trình
x = 1+ t

 y = 2 − 2t
z = 3 + t
tham số là: 
.
H = MH ∩ ( α )
H ( 1 + t ; 2 − 2t ;3 + t )

Ta có
suy ra
.
H ∈( α )
1 + t − 2 ( 2 − 2t ) + 3 + t − 12 = 0 ⇔ t = 2
Vì
nên
.
H ( 3; −2;5 )
Vậy
.
M ( 1; 2;3)
( Oxz ) là điểm
Câu 381: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của M trên
nào sau đây.
F ( 0; 2;0 )
E ( 1;0;3)
K ( 0; 2;3)
H ( 1; 2;0 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B

M ( 1; 2;3)
( Oxz ) là điểm E ( 1;0;3) .
Hình chiếu vuông góc của
trên
A ( 3; − 4;5 )
Câu 382: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng
( Oxz ) là điểm:
Q ( 0;0;5 )
M ( 3; 0;0 )
N ( 0; − 4;5 )
P ( 3;0;5 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( P ) : 2 x + y + 6 z − 1 = 0 và hai điểm
Câu 383: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
A ( 1; − 1;0 ) B ( −1;0;1)
( P ) có độ dài
,
. Hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng
bao nhiêu?
255

237
137
155
A. 61
B. 41
C. 41
D. 61
Hướng dẫn giải
Chọn B
uuu
r
AB ( −2;1;1) ⇒ AB = 6
Ta có
.
2.1 − 1 + 6.0 − 1
d ( A; ( P ) ) =
= 0 ⇒ A∈ ( P)
22 + 12 + 62
.
2.( −1) + 1.0 + 6.1 − 1
3
d ( A; ( P ) ) =
=
2
2
2
41 .
2 +1 + 6
Vậy

A′B′ = AH = AB 2 − d 2 ( B, ( P ) ) = 6 −

9
237
=
41
41 .

Trang 11/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z + 1 = 0 và đường thẳng
Câu 384: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
x y−2 z
d: =
=
1
1
−1 . Hai mặt phẳng ( P ) , ( P′ ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) tại T và T ′ . Tìm tọa
độ trung điểm H của TT ′ .
 7 1 7
5 2 7

 5 1 5
5 1 5
H − ; ; ÷
H  ; ;− ÷
H − ; ; ÷
H  ; ;− ÷
A.  6 3 6  .
B.  6 3 6  .
C.  6 3 6  .
D.  6 3 6  .
Hướng dẫn giải
Chọn D
P

T
O

H
K

T′

P′

d

( S)

có tâm mặt cầu

I ( 1; 0; − 1)

d

K = d ∩ ( ITT ′ )
Gọi
. Ta có  d
d . Ta có K ( 0; 2; 0 )

, bán kính R = 1 .
⊥ IT
⇒ d ⊥ ( ITT ′ )
⊥ IT ′

nên K là hình chiếu vuông góc của I trên

2

R2  1  1
IH IH .IK
=
=
=
÷ =6
2
2
IK
6



IK
IK
Ta có
.
5 xO + xK 5

 xH = 5 + 1 = 6

5 y + yK 2

⇔  yH = O
=
5 +1
6

uuur 1 uuur
5 zO + z K −5

 5 1 −5 
uuur uuur r
⇒ OH = OK
 zH = 5 + 1 = 6 ⇔ H  6 ; 3 ; 6 ÷


.
⇔ 5HO + HK = 0
6

M ( 5;7; −13)
Câu 385: Trong không gian Oxyz , cho điểm

. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
( Oyz ) . Tọa độ điểm H là?
mặt phẳng
H ( 0;7; −13 )
H ( 5;7; 0 )
H ( 0; −7;13)
H ( 5;0; −13)
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Trang 12/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S ng Vit ụng Trng THPT Nho Quan A

Hỡnh hc ta Oxyz

Chn A

( Oyz ) nờn H ( 0;7; 13) .
Do H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn mt phng ta
DNG 17: TèM IM THA K I XNG

A ( 4;1; 2 )

Cõu 386: -2017] Trong khụng gian Oxyz , cho im
. Ta im i xng vi A qua mt
Oxz )
phng (
l
A ( 4; 1; 2 )
A ( 4; 1; 2 )
A ( 4; 1; 2 )
A ( 4;1; 2 )
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hng dn gii
Chn B
( Oxz ) l H ( 4; 0; 2 ) .
Hỡnh chiu ca A lờn mt phng
ta im i xng l A ( 4; 1; 2 ) .
A ( 1; 2;3)
Cõu 387: Trong khụng gian Oxyz , cho im
. Tỡm ta im im B i xng vi im A
qua mt phng
B ( 1; 2;3 )
A.
.

( Oyz ) .

B.

B ( 1; 2; 3 )

B ( 1; 2; 3)
.
C.
.
Hng dn gii

Chn A
Hỡnh chiu ca im A xung mt phng
B ( 1; 2;3)
nờn ta im
.

( Oyz )

l

I ( 0; 2;3 )

D.

B ( 1; 2;3)

.

. Khi ú I l trung im ca AB

Cõu 388: Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai mt phng ( P) : x + 2 y + z +1 = 0 v
(Q):2x y + 2z + 4 = 0
. Gi M l im thuc mt phng ( P ) sao cho im i xng ca M
qua mt phng (Q) nm trờn trc honh. Tung ca im M bng:
A. 4
B. 2
C. - 5
D. 3
Hng dn gii
Chn A
Gi A l im i xng ca M qua mt phng (Q) vỡ A ẻ Ox nờn ta cú A( a; 0;0) .
ỡù x = a + 2t
ùù
d : ớ y =- t ( t ẻ Ă )
ùù
ùùợ z = 2t
(
Q
)
Phng trỡnh ng thng qua A v vuụng gúc vi
cú dng
.
Ta cú (Q) ầ d = I , I ẻ d nờn I (a + 2t ; - t ; 2t ) . Mt khỏc I ẻ (Q) nờn 2(a+ 2t) + t + 4t + 4 = 0
ổ
ử
- 4 - 2a 4 + 2a - 8 - 4a ữ
4 2a
Iỗ

a + 2.
;
;
ữ
ỗ
ữ
ỗ
9
9
9 ứ
9 . Nờn ố
ổ
- 4 - 2a
8 + 4a - 16 - 8a ử
ữ
ị Mỗ
2a + 4.
- a;
;
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
9
9
9
.

t=

- 4 - 2a
8 + 4a - 16 - 8a
ị 2a + 4.
- a + 2.
+
+1 = 0
M ẻ ( P)
9
9
9
9a - 16 - 8a +16 + 8a - 16 - 8a + 9 = 0
a = 7 . Vy M ( - 1; 4; - 8) .
Trang 13/14 - Mó thi 100

T: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( α ) : 2 x + 2 y − z − 4 = 0 và đường
Câu 389: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x−2 y−2 z+2
d:
=

=
1
2
−1 . Tam giác ABC có A ( −1; 2;1) , các điểm B , C nằm trên ( α ) và
thẳng
trọng tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của BC là:
A.

M ( 2;1; 2 )

B.

M ( 2; −1; −2 )

M ( 1; −1; −4 )
C.
Hướng dẫn giải

D.

M ( 0;1; −2 )

Chọn B

uuur 3 uuu
r
3 7
3 7
AM = AG ⇒ M  t + ;3t + 2; − t − ÷
G ( t + 2, 2t + 2, −t − 2 )

2
2
2 2 .
2
Gọi
là trọng tâm. Vì
Mα∈ ( )t ⇒ = −1M
⇒ ( 2, −1, −2 )
Lại có
.
A ( 2; −3;5 )
Câu 390: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Tìm tọa độ A′ là điểm đối xứng với A qua trục
Oy .

A.

A′ ( 2; −3; −5 )

B.

A′ ( −2; −3;5 )

A′ ( −2; −3; −5 )
C.
Hướng dẫn giải

D.

A′ ( 2;3;5 )

Chọn C

A ( 2; −3;5 )
H ( 0; −3;0 )
Gọi H là hình chiếu vuông góc của
lên Oy . Suy ra
Khi đó H là trung điểm đoạn AA′ .
 x A′ = 2 xH − x A = −2

 y A′ = 2 y H − y A = −3
 z = 2 z − z = −5 ⇒ A′ ( −2; −3; −5 )
H
A
 A′
.
A ( −2;3; − 1)
Câu 391: Trong không gian Oxyz , cho điểm
. Gọi A′ là điểm đối xứng với điểm A qua trục
hoành. Tìm tọa độ điểm A′ .
A′ ( −2;0;0 )
A′ ( 2; − 3;1)
A′ ( 0; − 3;1)
A′ ( −2; − 3;1)
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D

Trang 14/14 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14