BÀI GIẢNG (phần 2 laplace)

BÀI GIẢNG ÔN THI LÝ THUYẾT MẠCH
Chương IV: Phân tích mạch bằng phương pháp toán tử Laplace
Đặt vấn đề
Trong thực tế tác động lên mạch điện hoặc sự thay đổi cấu trúc của mạch thường bắt
đầu từ một thời điểm t0 nào đó (thường qui ước t0  0 ), khi đó mạch điện trải qua hai
chế độ:
 Chế độ quá độ
 Chế độ xác lập
Ở chế độ quá độ, phản ứng trong mạch có qui luật KHÁC với tác động và phụ thuộc
vào cấu trúc cũng như tính chất các phần tử mạch. Quá trình quá độ liên quan tới việc
tích lũy hoặc giải phóng năng lượng của các điện cảm và điện dung trong mạch.
Sau khi kết thúc chế độ quá độ, mạch chuyển sang chế độ xác lập, khi đó phản ứng
trong mạch có qui luật GIỐNG với qui luật của tác động.
Hoạt động cấp nguồn cho mạch hoặc thay đổi cấu trúc của mạch được mô hình hóa
bằng hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ một khóa K. Ví dụ:
C
K

+

E

R

L

u (t )

Biết khóa K đóng tại thời điểm t=0, tìm điện áp u(t)?
Phương pháp toán tử Laplace là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết bài toán loại
này.

Liên quan tới hoạt động ĐÓNG hoặc MỞ khóa K, có hai định luật gọi là các định
luật “đóng-mở”:
Định luật 1: Dòng điện qua điện cảm không thể đột biến mà phải biến thiên liên tục từ
giá trị vốn có của nó ngay trước thời điểm đóng mở.
Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, khi đó định luật này được mô tả gọn như sau:
iL (0)  iL (0) , trong đó iL (0) là dòng qua điện cảm NGAY TRƯỚC KHI
“đóng-mở”, iL (0) là dòng qua điện cảm NGAY SAU KHI “đóng-mở”.
Định luật 2: Điện áp trên điện dung không thể đột biến mà phải biến thiên liên tục từ
giá trị vốn có của nó ngay trước thời điểm đóng mở.
Giả sử thời điểm “đóng-mở” t=0, khi đó định luật này được mô tả gọn như sau:
uC (0)  uC (0) , trong đó uC (0) là điện áp trên điện dung NGAY TRƯỚC KHI
“đóng-mở”, uC (0) là điện áp trên điện dung NGAY SAU KHI “đóng-mở”.
Điều kiện ban đầu của mạch: Các dòng điện qua điện cảm hoặc điện áp trên điện
dung tại thời điểm “đóng-mở” gọi là ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU của mạch.


4.1. Giới thiệu phép biến đổi Laplace:
Cho hàm f(t) thỏa mãn điều
kiện sau:
1. f (t )  0, t  0.
2. f (t ) liên tục hoặc liên tục
từng đoạn khi t  0.
Xét tích phân:


 f (t )e

 pt

dt ,

p    j (1)



Ký hiệu: F ( P)   f (t )e  pt dt (2)
0

F(P) gọi là ẢNH LAPLACE của f(t). Hàm f(f)
gọi là hàm gốc. Quan hệ ảnh-gốc được qui ước
như một trong các biểu diễn sau:
F ( P)  f (t )
F ( P)  f (t )
L
f (t ) 
 F ( P)

0

Nếu tích phân (1) tồn tại, ta
nói (1) là phép biến đổi thuận
Laplace cho hàm f(t).

Khi biết hàm ảnh, có thể tìm lại hàm gốc nhờ
bảng tra hàm ảnh- hàm gốc.

Lưu ý: Để thuận tiện làm bài tập, trong đề sẽ cho sẵn quan hệ hàm ảnh – hàm
gốc.

Một số tính chất của phép biến đổi Laplace
1. Tính đơn ánh:
Mỗi hàm gốc chỉ có một hàm ảnh và ngược lại
2. Tính chất tuyến tính:
Nếu f1 (t )  F1 ( P), f 2 (t )  F2 ( P) thì af1 (t )  bf 2 (t )  aF1 ( P)  bF2 ( P)
3. Tính chất ảnh của đạo hàm:
df (t )
Nếu f (t )  F ( P) thì
 PF ( P)  f (0)
dt
4. Tính chất ảnh của tích phân:
F ( P) G(0)

Nếu f (t )  F ( P) thì  f (t )dt 
,
P
P
trong đó G(t )   f (t )dt và G(0)  G(t ) t 0


A
P

Bảng quan hệ ảnh- gốc của một số hàm
Hàm gốc f(t) ( t  0 )
Hàm ảnh F(P)
A

A
P

A
P( P  )
A
P2
AP
2
P  2
A
2
P  2
A
2
P  2P  02
AP
2
P  2P  02

Aet
A
(1  et )

At

Acos(t )
A
sin(t )

A t
e sin 1t , với 1  02   2
1




Aet  cos 1t  sin 1t  , 1  02   2
1




4.2. Các định luật ở dạng toán tử Laplace:
4.2.1. Định luật Ôm:
3.2.1.1. Định luật Ôm cho điện trở:
Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:
Biểu thức của
định luật Ôm cho
U ( P)
U ( P)
I R ( P)  R
 I R ( P)  R
(2)
điện trở trên miền
R
R
thời gian:
(2) là định luật Ôm cho điện trở ở dạng toán tử.
uR (t )
iR (t ) 
(1)
R
Nhận xét: Đối với điện trở, dạng biểu thức của định luật Ôm trên miền thời gian và

miền toán tử là như nhau: Từ (1) nhận được (2) hoặc (3) bằng cách thay thế dòng điện
và điện áp tức thời bằng ảnh toán tử của chúng.
Sơ đồ tương đương của điện trở trên miền toán tử Laplace:
I R ( P)

R

U R ( P)

4.2.1.2. Định luật Ôm cho điện cảm:
Biểu thức của định Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:
luật Ôm cho điện
U L ( P)  L  PI L ( P)  iL (0)  PLI L ( P)  LiL (0)
cảm trên miền thời
U ( P)  LiL (0) U L ( P)  LiL (0)
gian:
 I L ( P)  L

(2)
PL
Z
(
P
)
L
di (t )
uL (t )  L L
(1) Trong đó Z ( P)  PL gọi là trở kháng toán tử của điện cảm,
L
dt

đơn vị đo là Ôm (  ). Thành phần LiL (0) gọi là sức điện
động đặc trưng cho điều kiện ban đầu.
(2) là định luật Ôm cho điện cảm ở dạng toán tử.
Sơ đồ tương đương của điện cảm trên miền toán tử:


I L ( P)

I L ( P )Z L ( P )

Z L ( P) Li (0)
L

U L ( P)

U L ( P)

b) Khi điều kiện đầu “0”

a) Khi điều kiện đầu khác 0

3.2.1.3. Định luật Ôm cho điện dung:
Thực hiện biến đổi Laplace cả 2 vế của (1) ta có:
Biểu thức của định
luật Ôm cho điện cảm I C ( P)  C  PU C ( P)  uC (0)   PC.U C ( P)  CuC (0)
trên miền thời gian:
u (0)
u (0)
U C ( P)  C
U C ( P)  C

duC (t )
iC (t )  C
(1)
P 
P
 I C ( P) 
(2)
dt
1
Z ( P)
C

PC
1
gọi là trở kháng toán tử của điện
PC
u (0)
dung, đơn vị đo là Ôm (  ). Thành phần  C
gọi là sức
P
điện động đặc trưng cho điều kiện ban đầu.

Trong đó ZC ( P) 

(2) là định luật Ôm cho điện dung ở dạng toán tử.
Sơ đồ tương đương của điện dung trên miền toán tử:

I C ( P) Z C ( P) uC (0) / P
U C ( P)
a) Khi điều kiện đầu khác 0

I C ( P)

ZC ( P)
U C ( P)

b) Khi điều kiện đầu “0”


3.2.2. Định luật Kiếc-khốp 1:
Trên miền thời gian, xét
Biến đổi Laplace 2 vế của (1) ta có:
N
một nút bất kì ta có:
I k ( P)  0
(2)
N

k

1
ik (t )  0
(1)

(2) là định luật Kiếc-khốp 1 ở dạng toán tử.
k 1
Nhận xét: Từ (1) nhận được (2) bằng cách thay thế giá trị tức thời của các dòng
bằng ảnh toán tử của chúng.
3.2.3. Định luật Kiếc-khốp 2:
Trên miền thời gian, xét

Biến đổi Laplace 2 vế của (1) ta có:
N
một vòng bất kì ta có:
iCy (0) M
U
(
P
)

L
i
(0)


Eq ( P) (2)
N
M

x x Lx y P  
k
k

1
q

1
(1)
uk (t )   e p (t )

k 1

p 1
(2) là định luật Kiếc-khốp 2 ở dạng toán tử, trong đó
có chứa các nguồn đặc trưng cho điều kiện ban đầu
của mạch.
4.2.4. Sơ đồ tương đương của mạch điện trên miền toán tử Laplace:
Các định luật trên miền biến phức cho phép xây dựng sơ đồ tương đương của
mạch trên miền toán tử bằng cách:
 Thay thế các dòng, áp, các nguồn bằng ẢNH LAPLACE của chúng.
 Thay thế các điện trở, điện cảm, điện dung bằng SƠ ĐỒ TƯƠNG
ĐƯƠNG của chúng.
Ví dụ xây dựng sơ đồ tương đương của mạch trên miền biến phức
Mạch trên miền thời gian:
Mạch trên miền toán tử:
L1
Z ( P)
E3 ( P )
i1
i3
L1iL1 (0)
I ( P)
I (P)
L1

1

R1

e1

V1

C2

e2

i2
V2

R3

R1

ZC 2 (P)



E1 ( P )

uC 2 (0)
P

E2 ( P)

3

I 2 ( P)

R3

Nhận xét: Sơ đồ mạch trên miền biến phức có dạng GIỐNG mạch thuần trở!
 Có thể sử dụng tất cả các phương pháp đã học để phân tích mạch trên miền toán
tử!
Lưu ý: Có thể giữ nguyên kí hiệu cho điện cảm và điện dung (không cần thay
bằng các khối chữ nhật), chỉ cần hiểu rằng các điện cảm và điện dung được đại
diện bằng TRỞ KHÁNG TOÁN TỬ của chúng!
3.2.5. Trở kháng phức và tổng dẫn phức của đoạn mạch (mạng 2 cực) không
nguồn:
Do cấu trúc mạch trên miền toán tử giống mạch thuần trở nên cách tính trở kháng
toán tử hoặc tổng dẫn toán tử của đoạn mạch giống như hệ các điện trở thuần. Sau
đây là một số ví dụ:

a

R

a

R

L

b

b

C

Z ab ( P)  ZTD ( P)  R  ZC ( P)  R 
b

a

Z1

Z2

ZN

Zab ( P)  ZTD ( P)  R  Z L ( P)  R  PL
1
PC

Zab (P)  ZTD (P)  Z1(P)  Z2 (P)  ...  Z N ( P)


Z1

a

Z2

b

1
1
1
1
1




 ... 
Z ab ( P) ZTD ( P) Z1 ( P) Z 2 ( P)
Z N ( P)
 Yab ( P)  YTD ( P)  Y1 ( P)  Y2 ( P)  ...  YN ( P)

ZN

3.3. Các phương pháp phân tích mạch bằng phương pháp toán tử:
Cũng do cấu trúc mạch trên miền toán tử giống với mạch thuần trở nên các phương
pháp phân tích cũng tương tự như cho mạch thuần trở với chú ý như sau:
Mạch thuần trở
Điện trở R
Điện dẫn G
Điện trở tương đương RTD
Điện dẫn tương đương GTD
Điện trở Rij

Mạch trên miền biến phức
Trở kháng toán tử Z(P)
Tổng dẫn toán tử Y(P)
Trở kháng toán tử tương đương ZTD ( P)
Tổng dẫn toán tử tương đương YTD ( P)
Trở kháng toán tử Zij ( P)

Điện dẫn Gij

Tổng dẫn toán tử Yij ( P)