Chuyên đề vecto trong không gian

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

TOÁN 11
1H3-1

ĐT:0946798489

VECTO TRONG KHÔNG GIAN
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN

Contents
A. CÂU HỎI .................................................................................................................................................................... 1
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT.................................................................................................................................. 1
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ .................................................................................................................................. 2
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ......................................................................... 6
DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ .............................................................................................. 8
B. LỜI GIẢI THAM KHẢO .......................................................................................................................................... 10
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT................................................................................................................................ 10
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ ................................................................................................................................ 10
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC ....................................................................... 20
DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ ............................................................................................ 24

A. CÂU HỎI
DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.

(THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD . Hỏi có bao nhiêu

vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD ?
A. 12 .

B. 4 .
C. 10 .
D. 8 .

Câu 2.

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
  
A. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba vectơ đó cùng phương.

  
B. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba vectơ đó bằng vectơ 0 .
  
C. Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.



  
D. Cho hai vectơ không cùng phương a và b và một vectơ c trong không gian. Khi đó a, b, c đồng



phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho c  ma  nb .

Câu 3.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
A. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
  


B. Nếu trong ba vectơ a , b , c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
  
C. Nếu giá của ba vectơ a , b , c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
  
D. Nếu trong ba vectơ a , b , c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Câu 4.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.



  
A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c  ma  nb với m, n là các số duy nhất.





B. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d  ma  nb  pc với d là véctơ bất kì.
C. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 5.

ĐT:0946798489

  
Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
  


 
A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma  nb  pc  0 ta suy ra m  n  p  0 .


 
  
B. Nếu có ma  nb  pc  0 , trong đó m 2  n 2  p 2  0 thì a, b, c đồng phẳng.


 
  
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 ta có ma  nb  pc  0 thì a, b, c đồng phẳng.
  
  
D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.

DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ
Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khẳng định
nào dưới đây là đúng?
 
 
 
 
A. AI  CJ .
B. DA  IJ .
C. BI  DJ .
D. AI  JC .
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mệnh đề nào sau đây sai?
   
  
A. AB  AD  AA '  AC ' .
B. AC  AB  AD .
 
 
C. AB  CD .
D. AB  CD .
(THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G .
Mệnh đề nào sau đây sai?
 1    
    
A. GA  GB  GC  GD  0 .
B. OG  OA  OB  OC  OD .
4
 2   
 1   

C. AG  AB  AC  AD .
D. AG  AB  AC  AD .
3
4



Câu 9.







Cho tứ diện ABCD , gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; Đẳng thức nào sai?
 1  
 1  
A. IJ  AC  BD . B. IJ  AD  BC .
2
2
 1   
 1  
C. IJ  DC  AD  BD .
D. IJ  AB  CD .
2
2




Câu 10.
















Cho tứ diện ABCD . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
   
   
A. BC  AB  DA  DC .
B. AC  AD  BD  BC .
   
   
C. AB  AC  DB  DC .
D. AB  AD  CD  BC .

Câu 11. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chọn đẳng thức vectơ đúng:
   

   
A. AC '  AB  AB '  AD .
B. DB '  DA  DD '  DC .
   
   
C. AC '  AC  AB  AD .
D. DB  DA  DD '  DC .
Câu 12. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Biểu thức nào sau đây đúng:
  
   
A. A ' D  A ' B '  A ' C . B. AB '  AB  AA '  AD .
   
   
C. AC '  AB  AA '  AD .
D. AD '  AB  AD  AC ' .
Câu 13. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây sai?
   
  
A. AB  CD  CB  AD . B. 2MN  AB  DC .
   
   
C. AD  2MN  AB  AC .
D. 2MN  AB  AC  AD .
Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Khẳng định nào sau đây đúng?
   
    
A. SA  SD  SB  SC . B. SA  SB  SC  SD  0 .
   
   
C. SA  SC  SB  SD . D. SA  SB  SC  SD .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 15. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . ABC  . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
AB ?




A. AB .
B. AC .
C. AC  .
D. AB .
Câu 16. Cho hình chóp S . ABC , gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có
   
  

A. SA  SB  SC  SG . B. SA  SB  SC  2SG .
  

  

C. SA  SB  SC  3SG . D. SA  SB  SC  4SG .
Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .
Cho các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

    
   

A. GA  GB  GC  GD  0 .
B. GA  GB  GC  GD  2IJ .
    
   

C. GA  GB  GC  GD  JI .
D. GA  GB  GC  GD  2 JI .
       
Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABCABC  . Đặt AA  a, AB  b, AC  c, BC  d . Trong các biểu thức
véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.
   
  
    
  
A. a  b  c  d .
B. a  b  c .
C. a  b  c  d  0 . D. b  c  d  0 .
Câu 19. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để
A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:
    
   
A. OA  OB  OC  OD  0 .
B. OA  OC  OB  OD .
 1   1 
 1   1 
C. OA  OB  OC  OD .
D. OA  OC  OB  OD .

2
2
2
2

Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Khi đó, vectơ bằng vectơ AB là vectơ nào dưới đây?




A. D ' C ' .
B. BA .
C. CD .
D. B ' A ' .
Câu 21. Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
 1   
 1   
A. AO  AB  AD  AA1 .
B. AO  AB  AD  AA1 .
3
2
 1   
 2   
C. AO  AB  AD  AA1 .
D. AO  AB  AD  AA1 .
4
3













Câu 22. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Khẳng định nào sau đây là đúng?
   
   
A. AD  DH  GC  GF .
B. AD  AB  AE  AG .
   
   
C. AD  DH  GC  GF .
D. AD  AB  AE  AH .
Câu 23. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng
  

thức vectơ: DA  DB  DC  k DG
1
1
A. k  2.
B. k  3.
C. k  .
D. k  .
2

3
Câu 24. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai.
   
   
A. AB  AA1  AD  DD1 .
B. AC1  AB  AD  AA1 .
    
     
C. AB  BC1  CD  D1 A  0 .
D. AB  BC  CC1  AD1  D1O  OC1 .
Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
   

A. Nếu SA  SB  2SC  2SD  6SO thì ABCD là hình thang.
   

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA  SB  SC  SD  4SO .
   

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA  SB  2SC  2SD  6SO .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

   


D. Nếu SA  SB  SC  SD  4SO thì ABCD là hình bình hành.
       
S
.
ABCD
ABCD
Câu 26. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Đặt SA  a ; SB  b ; SC  c ; SD  d .
Khẳng định nào sau đây đúng?
    
   
   
   
A. a  b  c  d  0 .
B. a  b  c  d .
C. a  d  b  c .
D. a  c  d  b .
Câu 27. Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?
 1  
 1  
A. PQ  BC  AD . B. PQ  BC  AD .
2
2
 1  
  
C. PQ  BC  AD .
D. PQ  BC  AD .
4











Câu 28. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k thích

 
hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN  k AC  BD



A. k  2.

1
B. k  .
2



1
C. k  .
3

D. k  3.

Câu 29. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
   
A. CA1  AC  CC1 .
B. AC1  CA1  2C1C  0 .
  
 

C. AC1  A1C  AA1 .
D. AC1  A1C  2 AC .
       
Câu 30. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA  a, SB  b , SC  c, SD  d .
Khẳng định nào sau đây đúng?
    
   
   
   
A. a  c  d  b  0 .
B. a  c  d  b .
C. a  b  c  d .
D. a  d  b  c .
Câu 31. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là.

  
   
A. SI  SA  SB  SC . B. SI  3 SA  SB  SC .
 1  1  1 
   

C. SI  SA  SB  SC .
D. 6SI  SA  SB  SC .
3
3
3





Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
đúng?
  
   
A. AB  AC  AD .
B. SB  SD  SA  SC .
   
    
C. SA  SD  SB  SC . D. AB  BC  CD  DA  0 .
   
Câu 33. Cho hình lập phương ABCDEFGH , thực hiện phép toán: x  CB  CD  CG
 
 
 
 
A. x  CE .
B. x  CH .
C. x  EC .
D. x  GE .
Câu 34. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi G là điểm thỏa mãn:

     
GS  GA  GB  GC  GD  0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?


A. G , S không thẳng hàng.
B. GS  4OG .




C. GS  5OG .
D. GS  3OG .
Câu 35. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
  

BD  DD  BD  k BB
A. k  4 .
B. k  1 .
C. k  0 .
D. k  2 .
Câu 36. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?
   
   
A. BC  BA  B1C1  B1 A1 .
B. AD  D1C1  D1 A1  DC .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

   
C. BC  BA  BB1  BD1 .

   
D. BA  DD1  BD1  BC .

ĐT:0946798489

Câu 37. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung
điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng

   
thức vectơ: PI  k PA  PB  PC  PD .



1
.
2
  

  

 
 
Câu 38. Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Xét các vectơ x  2a  b , y  4a  2b , z  3b  2c .
Chọn khẳng định đúng?
 
 

A. Hai vectơ x , y cùng phương.
B. Hai vectơ x , z cùng phương.
  
 
C. Ba vectơ x , y , z đồng phẳng.
D. Hai vectơ y , z cùng phương.

A. k 

1
.
4



B. k  2 .

D. k 

C. k  4 .

Câu 39. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.
   1 
  1  1 
A. C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 .
B. C1M  C1C  C1 D1  C1 B1 .
2
2
2
  


   
C. BB1  B1 A1  B1C1  2 B1 D .
D. B1M  B1 B  B1 A1  B1C1 .
Câu 40. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD và G là trung điểm của MN
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
   

A. GM  GN  0 .
B. MA  MB  MC  MD  4MG .
   
    
C. GA  GB  GC  GD .
D. GA  GB  GC  GD  0 .
Câu 41. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Khẳng định nào sau đây là sai?
    
   
A. BD  D ' D  B ' D '  BB ' .
B. AC  BA '  DB  C ' D  0 .
    
   
C. AC  BA '  DB  C ' D  0 .
D. AB  B ' C '  DD '  AC ' .
    
Câu 42. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA  GB  GC  GD  0 ( G là trọng tâm của tứ diện).
Gọi G0 là giao điểm của GA và mp  BCD  . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?









A. GA  2G0G .
B. GA  4G0G .
C. GA  3G0G .
D. GA  2G0G .
Câu 43. Cho tứ diện đều ABCD , M và N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB và CD . Mệnh đề nào sau
đây sai?.
 1  
   
A. AC  BD  AD  BC .
B. MN  AD  BC .
2   
   

 
C. AC  BD  AD  BC  4 NM .
D. MC  MD  4MN  0 .





Câu 44. Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, với K là trung điểm CC1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng
định sau:
   1 
   

A. AK  AB  AD  AA1
B. AK  AB  BC  AA1
2
  1  1 
   
C. AK  AB  AD  AA1
D. AK  AB  AD  AA1
2
2
Câu 45. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với M  CD1  C1 D . Khi đó:
 1  1  1 
 1   1 
A. AM  AB  AD  AA1
B. AM  AB  AD  AA1
2
2
2
2
2

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

   1 
C. AM  AB  AD  AA1
2

ĐT:0946798489

 1  1  
D. AM  AB  AD  AA1
2
2

Câu 46. Cho ABCD. A1 B1C1 D1 là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:
 

   
A. AC1  A1C  2 AC
B. AC1  CA1  2CC1  0
  
  
C. AC1  A1C  AA1
D. CA1  AC  CC1
   
Câu 47. Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa GA  GB  GC  0 ( G là trọng tâm của tứ diện). Gọi O là giao
điểm của GA và mặt phẳng (BCD). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?




A. GA  2OG
B. GA  4OG





C. GA  3OG
D. GA  2OG
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC
Câu 48.

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 ( Tham khảo hình vẽ bên ).
A1
D
1

B1

C1

A
B

D
C

Mệnh đề nào sau đây đúng?
  
  
A. AC1  AA1  AD .
B. AC1  AA1  AB .
  
   
C. AC1  AB  AD .
D. AC1  AA1  AD  AB .
     

Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC. ABC . Đặt AB  a , AA  b , AC  c . Khẳng định nào sau đây đúng?
   

  
A. BC  a  b  c .
B. BC  a  b  c .


  
  
C. BC  a  b  c .
D. BC  a  b  c
 
  
Câu 50. Cho lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C '. Đặt AA  a , AB  b , AC  c Gọi I là điểm thuộc đường
   

thẳng CC ' sao cho C ' I  3C ' C , G điểm thỏa mãn GB  GA '  GB '  GC '  0. Biểu diễn vectơ IG
  
qua các vectơ a, b, c. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
 1  
 1  1 
 

A. IG   a  2b  3c  .
B. IG  (a  b  2c ) .
3
43

 1  

 1   1 


C. IG  (a  c  2b ) . D. IG   b  c  2a 
4
4
3

Câu 51.

(Thi thử THPT lần 2-Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho hình lăng trụ ABC . ABC  với G là trọng
tâm của tam giác ABC  .

     
Đặt AA  a, AB  b, AC  c . Khi đó AG bằng
 1  
 1  
 1  
 1  
A. a  b  c .
B. a  b  c .
C. a  b  c .
D. a  b  c
6
3
2
4













Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />




6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 52.

ĐT:0946798489

Cho tam giác x  1, x  3. có AB = 2; AC = 5, gọi AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh
BC). Mệnh đề nào sau đây đúng?
 5  2 
 5  2 
A. AD  AB  AC . B. AD  AB  AC .
7

7
7
7
 5  2 



5
2 
AB  AC . D. AD   AB  AC .
C. AD 
7
7
7
7

Câu 53. (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC . ABC  , gọi
     
M là trung điểm cạnh bên BB . Đặt CA  a , CB  b , CC   c . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  1  

  1  
1  
  1
A. AM   a  b  c . B. AM  a  b  c . C. AM   a  b  c . D. AM  a  b  c .
2
2
2
2

Câu 54.

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.

Câu 58.

Câu 59.

(THPT NAM TRỰC - NAM ĐỊNH - 2018) Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung
     
điểm của BC và AD . Đặt AB  b , AC  c , AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng?
 1   
 1   
 1   
 1   
A. MP   d  b  c  . B. MP   d  b  c  .C. MP   c  d  b  . D. MP   c  b  d  .
2
2
2
2
     
Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x  AB, y  AC , z  AD . Khẳng định
nào sau đây đúng?
 2   

2   

A. AG  ( x  y  z ) . B. AG   ( x  y  z ) .
3
3
 1   

1   
C. AG  ( x  y  z ) . D. AG   ( x  y  z ) .
3
3
 




ABCD
.
A
B
C
D
O
ABCD
Cho hình hộp
có tâm . Gọi I là tâm hình bình hành
. Đặt AC   u ,
    
CA '  v , BD  x , DB  y . Khẳng định nào sau đây đúng?

 1    
1    

A. 2OI    u  v  x  y  .
B. 2OI   u  v  x  y  .
2
4


1    
1    
C. 2OI    u  v  x  y  .
D. 2OI   u  v  x  y  .
4
2

     
Cho lăng trụ tam giác ABC . ABC  có AA  a, AB  b, AC  c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ BC 
  
qua các vectơ a, b, c .
   

  

  
   
A. BC   a  b  c
B. BC   a  b  c
C. BC   a  b  c
D. BC   a  b  c .
   
Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB  b , AC  c ,
 

AD  d . Khẳng định nào sau đây đúng.
 1   
 1   
A. MP  (c  b  d ) . B. MP  (c  d  b) .
2
2
 1   
 1   
C. MP  (c  d  b) . D. MP  (d  b  c) .
2
2
     
Cho tứ diện ABCD . Đặt AB  a, AC  b, AD  c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các khẳng
định sau, khẳng định nào đúng?
 1 
 
 1
  
A. DM  a  2b  c . B. DM  2a  b  c .
2
2
 1   
 1   
C. DM  a  2b  c . D. DM  a  b  2c .
2
2














Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 60. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD và BC lần

  

 
lượt lấy các điểm P, Q sao cho 3 AP  2 AD , 3BQ  2 BC . Các vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng khi
chúng thỏa mãn đẳng thức vectơ nào sau đây:
 3  3 
 1  1 
A. MN  MP  MQ . B. MQ  MN  MQ .
4
4

2
2
 2  2 
 3  3 
C. MN  MP  MQ . D. MN  MP  MQ .
3
3
2
2
Câu 61. Cho tứ diện đều ABCD , M là trung điểm của cạnh AB và G là trộng tâm cảu tam giác BCD .
     
  

Đặt AB  b, AC  c, AD  d . Phân tích véc tơ MG theo d , b, c .

 1  1  1 
1  1  1 
A. MG   b  c  d .
B. MG  b  c  d .
6
3
3
6
3
3










1
1
1
1
1
1 
C. MG   b  c  d .
D. MG   b  c  d .
6
3
3
6
3
3
DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ
Câu 62.

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 ( Tham khảo hình vẽ bên ).
A1
D
1

B1

C1

A
B

Mệnh đề nào sau đây sai?
  
A. Các véc tơ A1C1 , BD, CA đồng phẳng.
  
C. Các véc tơ AC1 , AA1 , AC đồng phẳng.

D
C

  
B. Các véc tơ AC1 , AA1 , AD đồng phẳng.
  
D. Các véc tơ AC1 , BB1 , AC đồng phẳng.

Câu 63. Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng.
  
  
A. BA1 , BD1 , BD đồng phẳng.
B. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng.
  
  
C. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng.
D. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.
Câu 64. Cho hình hộp ABCD. ABC D . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABBA và BCC B
. Khẳng định nào sau đây sai?
 


A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.
B. BD  2 IK  2 BC .
  
 1  1 
C. Ba vectơ BD; IK ; BC  không đồng phẳng. D. IK  AC  AC  .
2
2
Câu 65. Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành
BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
  
 
A. BD , EK , GF đồng phẳng.
B. BD , IK ,
  
 
C. BD , AK , GF đồng phẳng.
D. BD , IK ,

ABEF và K là tâm hình bình hành

GC đồng phẳng.

GF đồng phẳng.

Câu 66. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Bộ 3 vectơ nào sau đây đồng phẳng:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

  
A. AB ', CD ', A ' B .

  
B. AC ', AD, AB .

  
C. AC ', C ' D, A ' B ' .

ĐT:0946798489

  
D. B ' D, AC , A ' D ' .

Câu 67. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB và CD. Ba véc tơ nào đồng phẳng:
  
  
  
  
A. MN , AC , AD .
B. MN , AC , BD .
C. MN , AC , BC .
D. MN , BC , BD .
  
  
Câu 68. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?
 
 
A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 và ma  nb  pc  0 .

 
 
B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m  n  p  0 và ma  nb  pc  0 .
 
 
C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma  nb  pc  0 .
  
D. Giá của a, b, c đồng qui.
Câu 69. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD , BC . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
 
  
A. Các vectơ BD , AC đồng phẳng.
B. Các vectơ AB , DC , MN đồng phẳng.
  
 
C. Các vectơ AB , AC , MN không đồng phẳng.
D. Các vectơ AN , CM ,

MN đồng phẳng.
Câu 70. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
    
A. Vì AB  BC  CD  DA  0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
  
B. Vì NM  NP  0 nên N là trung điểm của đoạn MP.
 1  
C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI  OA  OB.
2
  


 
D. Từ hệ thức AB  2 AC  8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng.
  
Câu 71. Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
 
  
A. Các vectơ x  a  2b  4c , y  3a  3b  2c đồng phẳng.
  
    
B. Các vectơ x  a  b  c , y  2a  3b  c đồng phẳng.
  
    
C. Các vectơ x  a  b  c , y  2a  b  3c đồng phẳng.
   
    
  
D. Các vectơ x  a  b  2c , y  2a  3b  6c , z   a  3b  6c đồng phẳng.


Câu 72. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM  3MD ,


NB  3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai?
  
  
A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.
B. Các vectơ AB, PQ, MN đồng phẳng.
  
  

C. Các vectơ PQ, DC , MN đồng phẳng.
D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.





Câu 73. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M là trung điểm của AA ' , O là tâm của hình bình hành
ABCD . Cặp ba vecto nào sau đây đồng phẳng?

 
 

A. MO, AB và B ' C . B. MO, AB và A ' D ' .
 
 


C. MO, DC ' và B ' C . D. MO, A ' D và B ' C ' .
Câu 74. Cho tứ diện ABCD. M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . Bộ ba vecto nào dưới đây
đồng phẳng?
  
  
A. BC , BD, AD.
B. AC; AD; MN .
  
  
C. BC ; AD; MN .
D. AC; DC ; MA.
Câu 75. Cho tứ diện ABCD. M là điểm trên đoạn AB và MB  2MA . N là điểm trên đường thẳng CD

  


mà CN  kCD . Nếu MN , AD, BC đồng phẳng thì giá trị của k là:
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
9


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. k 

2
.
3

B. k 

ĐT:0946798489

3
.
2

C. k 

4
.
3

D. k 

1
.
2

Câu 76. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BD lần lượt lấy M, Nsao cho AM=3MD; BN=3NC. Gọi
P,Q lần lượt là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
  
A. Các vec tơ BD, AC , MN không đồng phẳng
  
B. Các vec tơ MN , DC , PQ đồng phẳng
  
C. Các vec tơ AB, DC , PQ đồng phẳng
  
D. Các vec tơ AC , DC , MN đồng phẳng

B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1.

Câu 2.
Câu 3.
Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

DẠNG 1. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Chọn A


Số vectơ khác vectơ 0 mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD là số
các chỉnh hợp chập 2 của phần tử  số vectơ là A42  12 .
Chọn D
Theo định lý về tính đồng phẳng của ba vectơ chọn D
Chọn A
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Chọn C
Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.
 
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a, b không cùng phương.





  
Câu C sai vì d  ma  nb  pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c
đồng phẳng.
Chọn D
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng
không đồng phẳng.
DẠNG 2. ĐẲNG THỨC VÉC TƠ
Chọn D

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
10


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 7.

Câu 8.

ĐT:0946798489

Chọn D

  

Mệnh đề sai là: AB  CD , AB và CD là hai Vectơ đối nhau.
Chọn C
Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:
 1   
    
    
GA  GB  GC  GD  0  4GA  AB  AC  AD  0  AG  AB  AC  AD .
4
Chọn D



Câu 9.



A

I

D

B
J
C

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
11


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

  
1  1  
Ta có: IJ  IA  AJ   AB  AC  AD
2
2
1   
 AB  CD  2 BC .
2
 1  
Vậy đẳng thức sai là IJ  AB  CD .
2
Câu 10. Chọn C





ĐT:0946798489



1  
1     
 BC  AD  AB  BD  CD  DC  BC
2
2















  
   
 AB  AC  CB
Có      AB  AC  DB  DC .
 DB  DC  CB
Câu 11. Chọn B

   
Theo quy tắc hình hộp ta có DB '  DA  DD '  DC
B'
C'
A'

D'
B
C

A

.
Câu 12.
Câu 13.

Câu 14.

Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.

D

Chọn C
     
AB  AA '  AD  AA '  AC  AC  .
Chọn D
Ta có N là trung điểm của BC nên
      

     
  
2MN  MB  MC  MA  AB  MA  AC  2MA  AB  AC  DA  AB  AC   AD  AB  AC
(Vì M là trung điểm AD).
Chọn C
         
Ta có VT  SB  BA  SD  DC  SB  SD  ( BA  DC )  SB  SD  VP (Vì ABCD là hình bình
  
hành nên BA  DC  0 ).
Chọn A

Ta có AB //AB  AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
Chọn C

       

SA  SB  SC  SG  GA  SG  GB  SG  GC  3SG .
Chọn A
   
 
  
GA  GB  GC  GD  2GI  2GJ  2 GI  GJ  0 .



Câu 18.



Chọn D

        
Ta có: b  c  d  AB  AC  BC  CB  BC  0 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
12


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Câu 19.

ĐT:0946798489

Chọn B
A

D
O

B

Câu 20.

C

Chọn A
B'
C'
A'

D'
B
C

A

 
Dễ dàng thấy AB  D ' C ' .
Câu 21. Chọn B
   
Theo quy tắc hình hộp: AC1  AB  AD  AA1 .
 1 
 1   
Mà AO  AC1 nên AO  AB  AD  AA1 .
2
2
Câu 22. Chọn C



D



C

B
D

A

G

F
E

H

   
* Ta có AD  AB  AE  AG theo qui tắc đường chéo hình hộp  Phương án A sai.
  
 
  
AD  DH  AH
* Do       AD  DH  (GC  GF ) . Vậy B sai.
GC  GF  GB  HA
     
* Có AD  AB  AE  BD  BF  FD  Phương án C sai.
    
 AD  DH  AD  AE  ED    
* Có     
 AD  DH  GC  GF . Vậy D đúng.
GC  GF  FC  ED
Câu 23. 
Chọn
B 
 

DA  DB  DC  3DG .
Câu 24. Chọn A

     
 
   
Ta có AB  AA1  AB1 , AD  DD1  AD1 mà AB1  AD1 nên AB  AA1  AD  DD1 sai.
Câu 25. Chọn C

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
13


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

   

A. Đúng vì SA  SB  2SC  2SD  6SO SC   BIH  .



Vì O, A, C và BIH thẳng hàng nên đặt OA  kOC ; OB  mOD

 
  k  1 OC   m  1 OD  0 .
 
OA OB

 2  AB / / CD.
Mà OC , OD không cùng phương nên k  2 và m  2 
OC OD

B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k  1, m  1  O là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 26. Chọn D

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:
 

 SA  SC  2 SO
 (do tính chất của đường trung tuyến)
  
SB

SD

2
SO

   
   
 SA  SC  SB  SD  a  c  d  b .
Câu 27. Chọn A
   
   
Ta có: PQ  PB  BC  CQ và PQ  PA  AD  DQ
 1  
        
nên 2PQ  PA  PB  BC  AD  CQ  DQ  BC  AD . Vậy PQ  BC  AD
2
Câu 28. Chọn B

 1  
1    
MN  MC  MD (quy tắc trung điểm)  MA  AC  MB  BD
2
2
 1  
  
Mà MA  MB  0 (vì M là trung điểm AB )  MN  AC  BD .
2
Câu 29. Chọn D
+ Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.























Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />


14


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

D

O
D1

A1

Câu 30.

C1

B1

Chọn B

   

   
a  c  SA  SC  2 SO
Gọi O  AC  BD . Ta có:     
  a  c  d  b .
d  b  SD  SB  2 SO
Câu 31. Chọn C
  

 1  1  1 
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA  SB  SC  3SI  SI  SA  SB  SC .
3
3
3
Câu 32. Chọn D

s

C

B
O
A

D

  
 SA  SB  BA
* Có    

 .
 SC  SD  DC   BA
   
   
Mà muốn có SA  SD  SB  SC  SA  SB  SC  SD  Vô lí. Vậy A sai.
      
* Có AB  BC  CD  DA  AC  CA  0 . Vậy B đúng.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
15


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

  
* Theo quy tắc hình bình hành AB  AD  AC  Phương án C sai.
       

* Có SB  SD  SA  SC  AB  CD  AB  BA  2 AB . Vậy D sai.
Câu 33. Chọn A
     
CB  CD  CG  CA  CG  CE .
Câu 34. Chọn B

      
     
GS  GA  GB  GC  GD  0  GS  4GO  OA  OB  OC  OD  0
  



 GS  4GO  0  GS  4OG .
Câu 35. Chọn B





B'

C'
D'

A'

C

B
A
   
Ta có BD  DD  DB  BB nên k  1
Câu 36. Chọn D

D

B1

C1
D1

A1

C

B
A

D

        
Ta có: BA  DD1  BD1  BA  BB1  BD1  BA1  BD1  BC nên D sai.
 
 
   
Do BC  B1C1 và BA  B1 A1 nên BC  BA  B1C1  B1 A1 . A đúng
        
Do AD  D1C1  D1 A1  AD  D1 B1  A1 D1  D1 B1  A1 B1  DC nên
   
AD  D1C1  D1 A1  DC nên B đúng.
     
Do BC  BA  BB1  BD  DD1  BD1 nên C đúng.
Câu 37. Chọn A
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
16


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

 
  


Ta có PA  PC  2 PM , PB  PD  2 PN
   
 
 


1
nên PA  PB  PC  PD  2 PM  2 PN  2( PM  PN )  2.2.PI  4 PI . Vậy k 
4
Câu 38. Chọn A
 


+ Nhận thấy: y  2 x nên hai vectơ x , y cùng phương.
Câu 39. Chọn A

ĐT:0946798489

B

A
M

C

D

A1

B1

D1

C1

    1    1  
A Sai vì B1M  B1 B  BM  BB1  BA  BD  BB1  B1 A1  B1 D1
2
2
 1      1 
 BB1  B1 A1  B1 A1  B1C1  BB1  B1 A1  B1C1 .
2
2
    1    1  
B Đúng vì C1M  C1C  CM  C1C  CA  CD  C1C  C1 A1  C1 D1
2
2
 1      1 
 C1C  C1 B1  C1 D1  C1 D1  C1C  C1 D1  C1 B1 .
2
2
C Sai. theo câu B suy ra.
     
D Sai vì BB1  B1 A1  B1C1  BA1  BC  BD1 .
Câu 40. Chọn C
M , N , G lần lượt là trung điểm của AB , CD , MN theo quy tắc trung điểm:
 
  
   

GA  GB  2GM ; GC  GD  2GN ; GM  GN  0 .
    
  

Suy ra: GA  GB  GC  GD  0 hay GA  GB  GC  GD .
Câu 41. Chọn B

























C

B
D

A

C'

B'
A'

D'

       
Theo t/ c hình hộp: AB  DC  AB  DC ; AD  BC  AD  BC  ;
   
A A  BB  CC   D D .
      
* Ta có: AB  BC   D D  AB  AD  A A  AC  (qui tắc hình hộp)  Phương án A đúng.
        
* Ta có: BD  DD  BD  ( BD  BD)  DD  0  BB  BB  Phương án B đúng.
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
17


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

         
* Ta có: AC  BA  DB  C D  AC  BA  C B  AC  DA  BA
   

 DC  BA  AB  AB  2 AB  Phương án C sai.
         
* Ta có: AC  BA  DB  C D  AC  BA  C B  AC  DA  BA
    
 DC  BA  AB  AB  0  Phương án D đúng.
Câu 42. Chọn C
A

G
B

D
G0
M
C

Theo đề: G0 là giao điểm của GA và mp  BCD   G0 là trọng tâm tam giác BCD .
   
 G0 A  G0 B  G0C  0
    
Ta có: GA  GB  GC  GD  0

  
   



 GA   GB  GC  GD   3GG0  G0 A  G0 B  G0C  3GG0  3G0G .



Câu 43.

 



Đáp án D
A
M
B
D
N
C
   
   
A. Đúng vì: AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC .
    
  
B.
Đúng
vì:
AC  BD  AM  MN  ND  BM  MN  NC
  
 


 2 MN  AM  BM  ND  NC  2MN
   
 
 
 

C. Đúng vì: AC  BD  AD  BC  2 AN  2 BN  2 AN  BN  2 NA  NB  4 NM .



 







 

 













Vậy D sai
Câu 44.
Hướng dẫn giải
     1    1 
Có AK  AC  CK  ( AB  AD)  AA1  AB  AD  AA1
2
2
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
18


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

B

A

C

D

K
A1

B1

C1

D1

Chọn A
Câu 45.
Hướng dẫn giải
    
1    1  1 
Ta có: AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1
2
2
2
Chọn B
Câu 46.
Hướng dẫn giải

A

B

D

C

A1

B1

C1

D1

     
 
Ta có: AC1  A1C  AA1 AC1  AA1  AC1  A1C  C1 A1
Chọn C
Câu 47.
A

N
G
B
O
M

H

D

C

Hướng dẫn giải
Gọi M, N là trung điểm của BC, AD
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
19

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 G là trung điểm MN. Gọi H là hình chiếu của N lên MD  NH là đường trung bình của
AOD và OG là đường trung bình của MNH
1
1 1
1
1
 OG  NH  . AO  OG  NH  . AO
2
2 2
2
4


hay GA  3OG
Chọn C
DẠNG 3. PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO CÁC VÉC TƠ CHO TRƯỚC
Câu 48. Chọn D
A1
D
1

B
B1

C1

A
B
     
Ta có AC1  AA1  AC  AA1  AD  AB

D
C

Câu 49.
A'

C'

B'

A

C

B

  Chọn C
Ta có B ' C  B ' B  BC
  
  
  BB '  BA  AC   BB '  AB  AC
  
 b  a  c



  
  
 BC  a  b  c hay BC  a  b  c .
Câu 50. Chọn A

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
20


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

    
GB  GA  GB  GC   0
    
 4 IG  IB  IA  IB  IC 
  
 
  
 4 IG  IC  CB  IC   C A  IC   C B  IC 
  
 
 4 IG  IC  3IC   2CB  C A




 
 


 1 
  
 4 IG  CC   2  AB  AC   AC
3



 1  1    
 IG   a  2b  3c 
43


Câu 51.

Chọn B
C

A

B

C'

A'
G
B'

 1   
Do G là trọng tâm tam giác ABC  nên AG  AA  AB  AC  .

3
Áp dụng quy tắc hình bình hành trong các hình bình hành ABBA, ACC A có:
 1  1   1    1  1   1  1 
AG  AA  AB  AA  AC  AA  AA  AB  AC  a  b  c .
3
3
3
3
3
3
3
Câu 52. Chọn A





 





A

C

D
B

AB DB 2

  5 DB  2 DC .
AC DC 5


 
 
 5  2 
Suy ra: 5 BD  2 DC  5 AD  AB  2 AC  AD  AD  AC  AC .
7
7

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:



 



Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
21


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Câu 53.

 1   1     1   
Ta có: AM  AB  AB  CB  CA  CB  CA  CB  CB  2CA .
2
2
   2
Theo quy tắc hình bình hành ta lại có: CB  CC   CB .
 1   
  1 
  1
Do đó: AM  2CB  CC   2CA  CA  CB  CC    a  b  c .
2
2
2



 



 





A

P
B

D
M

Câu 54.

C

   1  1  
1   
1   
Ta có: MP  AP  AM  AD   AB  AC    AD  AB  AC    d  b  c  .
2
2
2
2
Câu 55. Chọn C

   
Ta có: G là trọng tâm tam giác BCD  GB  GC  GD  0 .
     
   
  1   
Nên x  y  z  AB  AC  AD  3 AG  GB  GC  GD  3 AG  AG  x  y  z .
3
Câu 56. Chọn C



Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />



22


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Ta phân tích:
 

     
u  v  AC   CA  AC  CC   CA  AA  2 AA .
 


     
x  y  BD  DB  BD  DD  DB  BB  2 BB  2 AA .



   
 u  v  x  y  4 AA  4 AA  4.2OI .

1    
 2OI    u  v  x  y  .
4
Câu 57. Chọn D




 
 





C'

A'

B'

C

A

B

  
  
     
Ta có: BC   BA  AC    AB  AC  AA  b  c  a  a  b  c .
Câu 58. Chọn B
     
 


 1   
Ta có c  d  b  AC  AD  AB  2 AP  2 AM  2 MP  MP  (c  d  b) .
2
Câu 59. Chọn D
      1    1  
Ta có: DM  DA  AB  BM  AB  AD  BC  AB  AD  BA  AC
2
2
1  1   1  1   1   
 AB  AC  AD  a  b  c  a  b  2c .
2
2
2
2
2
Câu 60. Chọn A

 









A

M

P
B
D
N

Q
C



 
 
3 AP  2 AD  3 AM  3MP  2 AM  2 MD
Ta có

 
 AM  2MD  3MP 1

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
23


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489



 
 

3BQ  2 BC  3BM  3MQ  2 BM  2MC

 
 BM  2MC  3MQ  2 
 3  3 
Cộng 1 và  2  theo vế suy ra MN  MP  MQ .
4
4
Câu 61. Đáp án A

A

M

D

B
G
C

 1    1 1  1   1  
MG  MB  MC  MD  . AB  MA  AC  MA  AD
3
3 2
3
3










1
2
1
1
1
2  1
 1  1 
 AB  MA  AC  AD  AB  .   AB   AC  AD
6
3
3
3
6
3  2
3
 3
1  1  1 
1  1  1 
  AB  AC  AD   b  c  d
6
3
3
6
3
3







 



DẠNG 4. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉC TƠ
Câu 62. Chọn B
A1
B1

C1

C1

A

D

B

C
  
Ta có A1C1 , BD, CA cùng có giá song song hoặc nằm trong  ABCD   A đúng
  

Ta có AC1 , AA1 , AC cùng có giá nằm trong  AA1C1C   C đúng
  
Ta có AC 1 , BB1 , AC cùng có giá song song hoặc nằm trong  AA1C1C   D đúng
Vậy B sai.
Câu 63. Chọn B
  
Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng  BCD1 A1  .

Câu 64.

Chọn C

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
24


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Ta có: BD   ABCD  ; IK / / AC , AC   ABCD   IK / /  ABCD  ;
BC  / / BC , BC   ABCD   BC  / /  ABCD  .
  
Vậy ba vectơ BD; IK ; BC  đồng phẳng.
Câu 65. Chọn D
D

C

B

K
I
H

G

E

F

 IK //( ABCD )
  

+ GF //( ABCD)  IK , GF , BD đồng phẳng.
BD  (ABCD)

+ Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 66. Chọn A
D

C

B

A

C'

D'

A'

B'

  
Dễ thấy DC song song với mặt phẳng  ABBA  nên AB ', CD ', A ' B đồng phẳng.
Câu 67.

Chọn B

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
25