don dieu ham so

Vấn đề 4. ĐẠO HÀM
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
1) Đònh nghóa.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác đònh trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
.
Nếu tồn tại :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
thì đạo hàm của hàm số
( )
y f x=
tại điểm

0
x
là :
( )
( ) ( )
0
0
0
0
' lim
x x
f x f x
f x
x x
→
−
=
−
hay
( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
' lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
, trong đó :

( ) ( )
0 0 0
,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
2) Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử
x∆
là số gia của
0
x
, tính
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
.
Bước 2. Lập tỉ số
y
x
∆
∆
.
Bước 3. Tính
0
lim

x
y
x
∆ →
∆
∆
.
II. Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử
( )
u u x=
và
( )
v v x=
là các hàm số có đạo hàm tại x thuộc khoảng xác đònh. Ta có :
•
( )
' 'ku ku=
(k là hằng số)
•
( )
' ' 'u v u v+ = +
•
( )
' ' 'u v u v− = −
•
( )
. ' ' 'u v u v uv= +
•
( )

'
2
' '
, 0
u u v uv
v x
v v
−
 
= ≠
 ÷
 
III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
•
( )
1
' .x x
α α
α
−
=

( )
1
' . 'u u u
α α
α
−
=

•
'
2
1 1
x x
 
= −
 ÷
 

'
2
1 'u
u u
 
= −
 ÷
 
•
( )
'
1
2
x
x
=
( )
'
'
2

u
u
u
=
•
( )
'
sin cosx x=
( )
'
sin '.cosu u u=
•
( )
'
cos sinx x= −
( )
'
cos '.sinu u u= −
•
( )
'
2
2
1
1
cos
tgx tg x
x
= = +
( )

( )
'
2
2
'
'. 1
cos
u
tgu u tg u
u
= = +
•
( )
( )
'
2
2
1
1
sin
cotgx cotg x
x
= − = − +
( )
( )
'
2
2
'
cot '. 1

sin
u
gu u cotg u
u
= − = − +
28
•
( )
'
x x
e e=
( )
'
'.
u u
e u e=
•
( )
'
.ln
x x
a a a=
( )
'
. '.ln
u u
a a u a=
•
( )
'

1
ln x
x
=
( )
'
'
ln
u
u
u
=
•
( )
'
log
ln
a
x
x
x a
=
( )
'
'
log
ln
a
u
u

u a
=
IV. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm cấp
1n −
, kí hiệu là
( )
( )
1n
f x
−
. Nếu
( )
( )
1n
f x
−
có đạo
hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của
( )
f x
, kí hiệu là
( )
n
y
hay
( )

( )
n
f x
.
( )
( )
( )
( )
'
1n n
f x f x
−
 
=
 
với
2n ≥
.
A. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tìm các giá trò của x để đạo hàm của hàm số sau đây bằng 0
( )
5 sin 2 4 3 siny x x x x= + −
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Phòng cháy Chữa cháy, 2001)
Giải
Ta có:
( )
' 5 2 cos 2 4 3 cosy x x x= + −
( )
' 0 5 2 cos 2 4 3 cos 0y x x x= ⇔ + − =

( )
2
5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − =
2
4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + =
( )
2
2cos 3 0x⇔ − =
3
cos cos
2 6
x
π
⇔ = =
2 ,
6
x k k
π
π
⇔ = ± + ∈ ¢
.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :
6 6 2 2
sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +
có đạo hàm
'y
không phụ thuộc vào x.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải
Ta có:

6 6 2 2
sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +

( ) ( )
3 3
2 2 2 2
sin cos 3sin cos 2001x x x x x= + + +

( ) ( )
2 2 4 4 2 2 2 2
sin cos sin cos sin cos 3sin cos 2001x x x x x x x x x= + + − + +

4 4 2 2
sin cos 2sin cos 2001x x x x x= + + +

( )
2
2 2
sin cos 2001x x x= + +

1 2001x
= +
29
Do đó:
' 2001y =
(đpcm)
Ví dụ 3. Cho hàm số
( )
1 2
sin sin 3 sin 5

3 5
f x x x x= + +
.
Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải phương trình
( )
' 0f x =
.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải
•
( )
' cos cos3 2cos5f x x x x= + +
•
( )
' 0 cos cos3 2cos5 0f x x x x= ⇔ + + =
( ) ( )
cos cos5 cos3 cos5 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos 2 2 cos 4 cos 0x x x x
⇔ + =
( )
3
4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + =
( )
2
cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x
 
⇔ − + =

 
( )
2
cos 2 cos 2 1 cos 2 2cos 2 1 0x x x x
 
⇔ − + − =
 
( )
2
cos 4cos 2 cos 2 1 0x x x⇔ − − =
2
cos 0
4cos 2 cos 2 1 0
x
x x
=

⇔

− − =


cos 0
1 17
cos 2 cos
8
1 17
cos 2 cos
8
x

x
x
α
β


=

+

⇔ = =


−

= =



( )
2
2
2
x k
x k k
x k
π
π
α
π

β
π

= +



⇔ = ± + ∈



= ± +


¢
Ví dụ 4. Cho hàm số
( ) ( )
log 2 0, 1
x
f x x x x= > ≠
.
Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải bất phương trình
( )
' 0f x ≤
.
Giải
Với điều kiện

0, 1x x> ≠
, ta có:
( )
log 2
x
f x x=
ln 2
.
ln
x
x
=

ln 2.
ln
x
x
=
( )
2
ln 1
' ln 2.
ln
x
f x
x
−
 
⇒ =
 ÷

 
•
( )
2
ln 1
' 0 0
ln
x
f x
x
−
 
≤ ⇔ ≤
 ÷
 
ln 1 0x
⇔ − ≤
(do
2
ln 0, 0x x> ∀ >
và
1x
≠
)
ln 1x⇔ ≤

0 x e⇔ < ≤

So với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình:
0 x e< ≤

và
1x ≠
.
Ví dụ 5. Chứng minh hàm số
( ) ( )
3cos ln 4sin lny x x x= + 
 
thoả mãn phương trình:
2
'' ' 2 0x y xy y− + =
.
30
Giải
Ta có:
•
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x
x x
 
= + + − +
 
 

( ) ( )
7 cos ln sin lnx x= +
•
( ) ( )
7 1
'' sin ln cos lny x x

x x
= − +
Do đó:
2
'' ' 2x y xy y− + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
7 1
sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 2 3cos ln 4sin lnx x x x x x x x x
x x
 
= − + − + + +   
   
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 sin ln cos ln 7 cos ln sin ln 6 cos ln 8 sin lnx x x x x x x x x x x x= − + − − + +
0
=
(đpcm)
Ví dụ 6. Cho hàm số
2000
x
y =
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:

( ) ( )
0 0
' lim lim
x x
y x x y x
y
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

0
2000 2000
lim
x x x
x
x
+∆
∆ →
−
=
∆

0
2000 1
lim 2000 .
x

x
x
x
∆
∆ →
 
−
=
 ÷
∆
 

ln 2000
0
1
lim 2000 . .ln 2000
ln 2000
x
x
x
e
x
∆
∆ →
 
−
=
 ÷
∆
 

2000 ln 2000
x
= .
Chú ý.
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
 
−
=
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Cho hàm số
20
logy x=
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:
( ) ( )
0 0
' lim lim

x x
y x x y x
y
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

( )
20 20
0
log log
lim
x
x x x
x
∆ →
+ ∆ −
=
∆

20
0
log 1
lim
x
x

x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷
 
=
∆
31

0
ln 1
ln 20
lim
.
x
x
x
x
x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷
 
=

∆

0
ln 1
1
lim .
ln 20
x
x
x
x
x
x
∆ →
 ∆ 
 
+
 ÷
 ÷
 
 ÷
=
∆
 ÷
 ÷
 

1
ln 20x
=

.
Chú ý.
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
= .
Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0x =
:

( )
( )
2
1 0
1 0
x
x e khi x
f x
x ax khi x
−

+ >

=


− − + ≤


.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Giao thông Vận tải Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
•
( )
( ) ( )
0
0
' 0 lim
x
f x f
f
x
+
+
→
−
=
( )
0
1 1
lim
x
x
x e

x
+
−
→
+ −
=
0
1
lim
x
x
x
e
e
x
+
−
−
→
 
−
= −
 ÷
−
 
1 1 0
= − =
•
( )
( ) ( )

0
0
' 0 lim
x
f x f
f
x
−
−
→
−
=
2
0
1 1
lim
x
x ax
x
−
→
− − + −
=
( )
0
lim
x
x a
−
→

= − −

a= −
( )
f x
có đạo hàm tại điểm
0x =
( ) ( )
0 0f f
+ −
⇔ =
0 a⇔ = −

0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=
.
Ví dụ 9. Cho hàm số
x
y xe=
.
1) Tính đạo hàm cấp một
'y
và đạo hàm cấp hai
''y
của hàm số trên. Tổng quát, hãy tìm
đạo hàm cấp n
( )
n

y
.
2) Chứng minh rằng :
'' 2 ' 0y y y− + =
.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Dân lập Duy Tân, 2000)
Giải
1) Ta có:
( )
' 1
x x x
y e xe x e= + = +
32