giao an toan 12

Chủ đề 4: SỐ PHỨC
Chủ đề VI: SỐ PHỨC
Tiết 35+36 CHỦ ĐỀ 5 : SỐ PHỨC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b
R
∈
, i là đơn vò ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần ảo
củaz
• z là số thực
⇔
phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo
⇔
phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i
)',',,(
'
'
Rbaba
bb
aa
∈



=

=
⇔
4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b
)R
∈
được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau
=
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)

0 x
5/ Cộng và trừ số phức :
. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
)R
∈
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b
)R
∈
• z biểu diễn
→
u
, z’ biểu diễn
→
'u
thì z + z’ biểu diễn bởi
→→
+

'uu
và z – z’ biểu diễn bởi
→→
−
'uu
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’
)R
∈
.
7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz
−=
−
a)
'.'.;''; zzzzzzzzzz
=+=+=
b) z là số thực
zz
=⇔
; z là số ảo
zz
−=⇔
8/ Môđun của số phức : z = a + bi
a)
OMzzbaz
==+=
22
b)
00,0
=⇔=∈∀≥

zzCzz
c)
Czzzzzzzzzz
∈∀+≤+=
','',''.
9/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghòch đảo của z (z
)0
≠
:
z
z
z
2
1
1
=
−
b) Thương của z’ chia cho z (z
)0
≡
:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'

'
2
1
===
−
c) Với z
.'
'
,0 wzzw
z
z
=⇔=≠
,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''
==







D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc
Bài 1.Thực hiện phép trừhai số phức
a) (2+i) -(4+3i) b) ( 1-2i) -(1-3i) c) (2+3i) + (5+3i) d) ( 3-2i) + (-2-3i)
e) (3-+5i) +(2+4i) f) ( -2-3i) +(-1-7i) k) (4+3i) -(5-7i) h)( 2-3i) -(5-4i)
Bài 2.Thực hiện các phép tính
a) (3-2i) .(2-3i) b) ( 1-i) +(3+7i)
c) 5(4+3i) (-2+15i) d) ( -2-5i) 4i
e) (2+3i)
2
b)(2+3i)
3
Baứi 3 .Tớnh i
3
, i
4
i
5
, i
6
, i
7
; i
8
; i
2006
; i
2007
;. i

2008
;. i
2009
Câu1: Thực hiện các phép toán sau:
a. (2 - i) +
1
2i
3


ữ

b.
( )
2 5
2 3i i
3 4


ữ

c.
1 3 1
3 i 2i i
3 2 2

+ +
ữ ữ

d.

3 1 5 3 4
i i 3 i
4 5 4 5 5

+ + +
ữ ữ ữ

Câu2: Thực hiện các phép tính sau:
a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i)
2
c.
3
1
3i
2


ữ

Câu3: Thực hiện các phép tính sau:
a.
1 i
2 i
+

b.
2 3i
4 5i

+

c.
3
5 i
d.
( ) ( )
2 3i
4 i 2 2i
+
+
e/ 5 + 2i 3(-7+ 6i) ; f/
( ) ( )
2
1 2 15
2 3 3 ; / 1 2 ; / ;
2 3 2
i
i i c i d
i


+ +
ữ
+

Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức
a.
( )
4 5i z 2 i = +
b.
( ) ( )

2
3 2i z i 3i + =
b.
1 1
z 3 i 3 i
2 2

= +
ữ

d.
3 5i
2 4i
z
+
=
Câu5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0
z 0
w 0
=


=

Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng
x i
x i
+

với x là số

thực mà ta phải xác định
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc
a.
z 3 1+ =
b.
z i z 2 3i+ =
a. z + 2i là số thực
b. z - 2 + i là số thuần ảo
c.
z z 9. =
d.
z 3i
1
z i

=
+
là số thực
Cõu 3/Trờn mt phng phc , hóy tỡm tp hp im biu din cỏc s phc tho món h thc sau:
/ 1; / 2 .a z i b z i z + = +
Dạng 3: Gii phng trỡnh bc hai vi h s thc .
a/ x
2
6x + 29 = 0;
b/ x
2
+ x + 1 = 0.
c/ x
2
2x + 5 = 0;

d/ 2x
2
+3x + 4 = 0.
e/3x
2
+2x + 7 = 0
f)
01.3
2
=+
xx

g)
02.32.23
2
=+
xx



2/Tỡm nghim pt:
2
z z=
.

Bi toỏn 2: Gii phng trỡnh bc 2.
Cho phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0. vi = b
2

4ac.
Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghip kộp
b
x x
1 2
2a
= =
(nghim thc)
Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim thc:
b
x
2a

=
Nu < 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim phc
b i
x
2a

=
căn bậc hai của Số phức. phơng trình bậc hai
Dạng 1: tính căn bậc hai của số
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. -5 b. 2i c. -18i d.
4 5
i
3 2


Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai

Ví dụ: Gii phng trỡnh
2
x 4x 7 0 + =
trờn tp s phc
Gii:
2
' 3 3i = =
nờn
' i 3 =
Phng trỡnh cú hai nghim :
x 2 i 3 , x 2 i 3
1 2
= = +
Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức
a. x
2
+ 7 = 0 b. x
2
- 3x + 3 = 0 c. x
2
+ 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0
d. x
2
- 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix
2
+ 4x + 4 - i = 0
g. x
2
+ (2 - 3i)x = 0
Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức

a.
( )
( )
2
z 3i z 2z 5 0+ + =
b.
( ) ( )
2 2
z 9 z z 1 0+ + =
c.
3 2
2z 3z 5z 3i 3 0 + + =
Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là:
a. 2 + 3i và -1 + 3i b. 2i và -4 + 4i
Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm:
a. = 3 + 4i b. =
7 i 3
Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z
1
, z
2
thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra:
a. z
2
- mz + m + 1 = 0 điều kiện:
2 2
z z z z 1
1 2 1 2
+ = +
b. z

2
- 3mz + 5i = 0 điều kiện:
3 3
z z 18
1 2
+ =
Bài tập:
Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau:
a. 7 - 24i b. -40 + 42i c. 11 + 4
3
i d.
1 2
i
4 2
+
Câu 2: Chứng minh rằng:
a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi
b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì
x y
i
k k
+
là căn bậc hia của số phức
a b
i
2 2
k k
+
(k 0)
Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức:

a. z
2
+ 5 = 0 b. z
2
+ 2z + 2 = 0 c. z
2
+ 4z + 10 = 0 d. z
2
- 5z + 9 = 0 e. -2z
2
+ 3z - 1 = 0
Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + i)(z
2
- 2z + 2) = 0 b. (z
2
+ 2z) - 6(z
2
+ 2z) - 16 = 0
c. (z + 5i)(z - 3)(z
2
+ z + 3) = 0 d. z
3
- (1 + i)z
2
+ (3 + i)z - 3i = 0
Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. (z + 2i)
2
+ 2(z + 2i) - 3 = 0 b.

2
4z i 4z i
5 6 0
z i z i
+ +
+ =


ữ

Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết:
a) = 2 - 5i b. = -2 - i
3
c. =
3 i 2
Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az
2
+ bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức R thì

cũng là
nghiệm của phơng trình đó.
Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z
2
- 2mz + m
2
- 2m) = 0
Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình
a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức
Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức:
a. z

2
+
z
+ 2 = 0 b. z
2
=
z
+ 2 c. (z +
z
)(z -
z
) = 0 d. 2z + 3
z
= 2 + 3i
Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo
a. z
3
- iz
2
- 2iz - 2 = 0 b. z
3
+ (i - 3)z
2
+ (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0
Bi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh:
a) (2 + 4i)(3 5i) + 7(4 3i) b) (1 2i)
2
(2 3i)(3 + 2i)
c)
(2 ) (1 )(4 3 )

3 2
i i i
i
+ + +
+
d)
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
+
+

e) (1 + 2i)
3
f)
2 2 1 2
1 2 2 2
i i
i i
+ +
+

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc:
a) 2x
2
+ 3x + 4 = 0 b) 3x
2

+2x + 7 = 0
c)(1 ix)
2
+ ( 3 + 2i)x 5 = 0 d) 2x
4
+ 3x
2
5 = 0
e)
( 2 3) 2 3 2 2i z i i + = +
Bi 3. Tỡm cỏc s phc tha món :
a) 2x + 1+ (12y)i = 2x+( 3y2)i
b) 4x + 3+ (3y2)i = y+1 + (x3)i
c) x + 2y + (2xy)i = 2x + y +(x+2y)i
Bi 4. Bit z
1
v z
2
l hai nghim ca phng trỡnh 2x
2
+
3
x + 3 = 0. Hóy tớnh:
a)
2 2
1 2
z z+
b)
3 3
1 2

z z+
c )
1 2
2 1
z z
z z
+
Bi 5. Tỡm hai s phc, bit tng ca chỳng bng 3 v tớch ca chỳng bng 4.
MT S BI TON NNG CAO
Bài 6. a. Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i. Viết liên hợp và số đối của các số phức đó.
b. Cho
( ) ( )
2 4 3 6z a b i= − + +
với
,a b R
∈
. Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo.
ĐS: a. (3;2), (2;1), (1;−3).
Bài 7. Tìm căn bậc hai của các số phức: a.
1 4 3i+
, b.
17 20 2i+
, c.
46 14 3i−
ĐS: a.
1 2
2 3 ; 2 3z i z i= + = − −
, b.
1 2
5 2 2 ; 5 2 2z i z i= + = − −

, c.
1 2
7 3 ; 7 3z i z i= + = − −
Bài 8. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
2
1 0z z− + =
b.
( )
2
2 2 0z i z i− + − =
c.
( )
2
2 1 4 0iz i z− − − =
d.
( )
2
5 8 0z i z i− − + − =
.
ĐS: a.
1 3
2 2
z i= ±
, b.
1 2
2;z z i= = −
, c.
1 2
2; 2z z i= − = −

, d.
1 2
2 ; 3 2z i z i= + = −
.
Bài 9. Dùng công thức Moa-vrơ để tính a. (1+i)
5
,
( )
6
3 i−
.
1/ Tính :
a/ 5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/
( ) ( )
2
1 2 15 1 tan
2 3 3 ; / 1 2 ; / ; / .
2 3 2 1 tan
i i
i i c i d e
i i
α
α
− +
 
− + +
 ÷
+ −
 
2/ Giải phương trình: a/ x

2
– 6x + 29 = 0; b/ x
2
+ x + 1 = 0.
c/ x
2
– 2x + 5 = 0; d/ x
2
+(1+i) x –(1-i) = 0.
3/Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:
/ 1; / 2 .a z i b z i z− ≤ + = +
4/ Tìm những số thực x và y thoả mãn :
( ) ( )
/ 2 5 ; / 1 3 1 5 6a x i yi b x y i i+ = + + + − = −
.
5/Tìm nghiệm pt:
2
z z=
.
7/ CMR:
( ) ( ) ( )
100 98 96
3 1 4 1 4 1 .i i i i+ = + − +
ĐS: a.
( )
4 1 i− +
, b.
64−
.
Bài 10. a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

( )
8
3 i+
.
b. Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi)
2
−2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực.
ĐS: a.
128; 128 3a b= − = −
, b.
1; 0x y= =
.