CD14 TÍNH số đo góc 90 99

Phát triển tư duy Hình học 7

Chuyên đề 14. TÍNH SỐ ĐO GÓC
A. Kiến thức cần nhớ
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì chúng ta phải nắm vững kiến thức cơ bản sau :
*Trong tam giác :
- Tổng ba góc trong bằng 180�
- Biết hai góc chúng ta xác định được góc còn lại
*Trong tam giác cân :
- Biết một góc chúng ta xác định được góc còn lại .
*Trong tam giác vuông :
- Biết một góc nhọn chúng ta xác định được góc nhọn còn lại
- Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó thì bằng 30�
*Trong tam giác đều :
- Các góc có số đo bằng 60�
- Đường phân giác của một góc chia góc đó ra thành hai góc bằng nhau.
*Một số tính chất cần nhớ:
- Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.
- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
- Tính chất của góc so le trong , đồng vị , trong cùng phía của một đường thẳng cắt hai
đường thẳng song song.
- Trong thực tế , để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối quan
hệ với các góc có trong hình đặc biệt đã nêu ở trêm hoặc xét các góc tương ứng bằng
nhau ......rồi suy ra kết quả.
B. Một số ví dụ:
1
AH  BC
�
2
Ví dụ 1: Cho ABC , C  30�, kẻ AH vuông góc với BC tại H, biết rằng
. Gọi D là trung

�
điểm của AB. Tính số đo ACD ?
Giải

1
AH  BC
�
2
*Tìm cách giải: Xuất phát từ AHC vuông có C  30�và
. Với hai yếu tố này giúp ta
30�
nghĩ tới việc chứng minh tam giác vuông có một góc bằng
. Với lập luận đó chúng ta nghĩ tới

việc chứng minh ABC cân.
*Trình bày lời giải:
1
� AH  AC
�
�
2
Xét AHC có C  30�, AHC  90�
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Mà

AH 

1
BC (GT ) � BC  AC
2

���
� ACB cân tại C � CD là đường phân giác của C
ACD  15�.
Ví dụ 2: Cho ABC có tia phân giác góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Biết
�
rằng BI=2IM và BIM  90�. Tính số đo góc A.
Giải

�
�  90� A
BIC
2 . Do vậy chúng ta
*Tìm cách giải : Dựa vào Ví dụ 4 chuyên đề 7 chúng ta biết rằng
�
�
�
chỉ cần tính BIC . Mặt khác , theo giả thiết BIM  90�nên chúng ta chỉ cần tính MIC . Do MB=MC
và BI=2.IM nên dễ dàng suy luận được tạo ra điểm D sao cho M là trung điểm ID. Từ đó chúng ta có
lời giải sau .

* Trình bày lời giải

�

�
Trên tia đối của tia MI lấy MD = MI. BMI  CMD; IM  DM �VBIM VCDM (c.g .c)
�  CDM
� � CDI
�  900
� BI  CD; BIM
Từ � BI  2.IM � BI  ID( 2.IM )

A

� CD  ID � CDI vuông cân tại D
�  450 � BIC
�  1350
� CID

I

�
�
�
BIC có BIC  135 nên IBC  ICB  45
0

0

� �
BI và CI là phân giác của B và C nên





�
�  ICB
�
ABC  �
ACB  2 IBC
 900 � �
A  900

B

C
M
D

0
�
Ví dụ 3. Cho ABC cân tại A với BAC  90 kẻ BD, AH lân lượt vuông góc với AC,
BC. Trên tia BD lấy điểm K sao cho BK = BA. Tính số đo góc HAK

Cách vẽ 1. Vì tam giác ABC cân tại A có AH vuông góc với BC dễ chứng minh
� �
�
được AH là đường phân giác của góc BAC � A2  A3
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2

Phát triển tư duy Hình học 7

�
� �
�
�
Mặt khác BA =BK (giả thiết) nên ABK cân tại B � BAK  BKA hay BKA  A1  2 A2
(1)
Trong tam giác ADK có :

A

� �
K
A1  900 (2)

123

Từ (1) và (2) ta được
�  900 � �
�  450
2�
A1  2 A
A1  A
2
2

K

0

�
Vậy HAK  45

B

C

H

Cách vẽ 2. Gọi I là giao điểm của AK và BC
�
$ �
BIK có AKB  I  CBD ( góc ngoài tam giác )
0
�
�
�
�
$ �
Mà CBD  A2 (  90  ACB) nên AKB  I  A2 (1)

�  IAH
� �
KAB
A3

A

(2)

1
32

�
�
Mặt khác AKB  KAB (3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra

D

K

� �
�
IAH
A3  I$ A
2
�
�  I$
A �
A3 � IAH
Lại có 2

B

H

C

I

�  450
� AIH cân tại H � HAK
* Nhân xét
*Bài toán này có nhiều cách giải. Ngoài cách giải trên đây chúng ta còn có thể
hạ KJ  AH ( J �AH ) rồi chứng minh tam giác ẠK vuông cân tại J
0
0
�
�
Nếu BAC  90 ta có kết quả HAK  135 ( bạn đọc tự chứng minh theo ý trên)

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia AC lấy điểm E và F sao cho
�
ABE  150 và CE = CF. Tính số đo góc CBF
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm F dựng tam giác đều BED. Ta có
� �
�  300
EBC
ABC  �
ABE  450  150  300 � CBD

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7

B
Khi đó BC là tia phân giác của góc
EBD nên

D

BCD =BCE (c.c.c) � CD  CE  CF

� DEF vuông tại D. Ta có
�EF  1800  AEB
�  BED
�  1800  750  600  450
D
Vậy DEF vuông cân tại D

A

C

E

F

Lại có

�FE  450 ; �
�FE  �
D
ACB  450 � D
ACB do đó BC song song với DF

Ta lại có tam giác BDF cân tại D ( vì DB=DF=DE) và
�  BDE
�  EDF
�  600  900  1500
BDF
0
0
0
�
�
�
�
�
nên DFB  DBF  15 � CBF  DFB  15 . Vậy CBF  15

* Nhận xét . Dựa vào kỹ thuật trên, chúng ta có thể giải được bài toán đảo
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho
�  150
CBF
. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=CF. Tính số đo góc CBE.
0
�
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cân tại A có A  20 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao
�
cho AD=BC. Tính ACD

Giải:
0
� �
* Tìm cách giải. Từ đề bài ta tính được B  C  80 . Do

0
0
0
� �
đó B  A  80  20  60 là một góc của tam giác đều. Do
đó có thể nghĩ đến phương pháp để vẽ đường phụ là
tam giác đều.

A

D

Khi vẽ đường phụ chúng ta chú ý vẽ xuất phát điểm
0
0
0
luôn luôn xuất hiện mối liên hệ giữa 20 ;60 ;80 . Sau
đây là một vài cách giải.

* Trình bày lời giải

I

B

C

Cách vẽ 1. Dựng điểm I nằm trong tam giác sao cho
tam giác BIC là tam giác đều
Ta có ABI và ACI có AB = AC, IB = IC, AI là cạnh

0
�
�
chung � ABI= ACI (c.c.c) � BAI  CAI  10 (1)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7
0
�
�
Mặt khác ADC và CIA có AD = CI ( = BC), DAC  ICA(  20 ) , AC là cạnh chung
nên

�
�
ADC = CIA (c.g.c) � ACD  CAI (2)
0
�
Từ (1) và (2) � ACD  10

Cách vẽ 2:. Dựng tam giác đều ADM ( M và C
nằm khác phía với so với AB)
�  200  600  800
� CAM

A
M

D

0
�
�
ABC và CAM có MA = BC, ABC  CAM( 80 ) ,
AC là cạnh chung

�
� ABC = CMA (c.g.c) � ACM
 200 và CM = AC
ADC và MDC có AD=MD, AC=MC, CD là cạnh
chung
200
�
�
� ACD  MCD 
 100
� ADC = MDC (c.c.c)
2

C

B

Cách vẽ 3. Dựng tam giác đều CAN( B, N khác phía so với AC)

�  200  600  800
DAN
Xét ABC và NAD có AD=BC;

�  NAD(
�
ABC
 800 )

A

N

D

AB=AN (=AC) � ABC = NAD(c.g.c)
�  200
� AC  ND và AND
Xét DNC có ND = NC ( cùng bằng AC) � CND
cân tại N mà

B

C

�  600  AND
�  600  200  400
CND
0
0
�  180  40  700 � ACD
�  700  600  100
NCD
2

Cách vẽ 4. Dựng tam giác đều ABK ( K; C cùng phía so với AB)

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5


Phát triển tư duy Hình học 7

Ta có ACK cân tại A mà
�  600  200  40
CAK

� 
� AKC
0

A

1800  400
 700
2

D
K

Mặt khác ADC và BCK
0
�

�
có AD = BC; DAC  CBK ( 20 ); AC  AK (  AB)

B

C

� ADC = BCK(c.g.c) �
�  BKC
�  700  600  100
ACD

0 �
0
�
* Ví dụ 6. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, BAM  30 ; MAC  15 . Tính
số đo góc BCA ?

Giải:
0
�
*Tìm cách giải. Do BAC  45 nên chúng ta nghĩ tới dựng tam giác vuông cân. Do
vậy chúng ta giải như sau :

* Trình bày cách giải.
Kẻ CK  AB . Ta có AKC vuông cân tại
K

A

S

0
�
( vì BAC  45 ) � KA = KC

Vẽ ASC vuông cân tại S ( K, S khác
phía với AC)
Do BKC vuông tại K
� KM 

B
K

M

C

1
BC  MC
2

KMC cân tại M
�
� � AKM
�
�
� MKC
 MCK
 SCM

Dễ dàng chứng minh được KAC = SAC � AK=KC = CS = SA
�
�
KAM và CSM có KM = CM, AKM  SCM , KA = KS � KAM = CSM (c.g.c)
0
�  300 � ASM
�  600
�
� CSM
và SAM  60 � ASM đều � AS = SM = AK � AKM cân
tại A
�  MCK
�
�  450  150  300
� MKC
 900  750  150 � BCA

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 6


Phát triển tư duy Hình học 7

�
�
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC cân tại A có A  3B . Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa
điểm A, vẽ tia Cy sao cho cắt tia phân giác Bx của góc B tại D. Tính số đo góc
ADB
Giải

E
y
D

A

x

B

C

0
�
�
� �
Từ giả thiết ABC cân tại A và A  3B � B  C  36 . Trên tia BA lấy điểm E sao cho
�
BE=BC ( E nằm ngoài đoạn AB). Khi đó tia Bx là tia phân giác của ABC , từ đó dễ
dàng chứng minh được BD vuông góc với CE
0
�
�
�
EBC cân tại B có EAC  ABC  ACB  72

1800  360
�
AEC 
 720

�
�
2
. Do đó AEC  CAE � ACE cân tại C nên CA = CE (1)
0
0
0
�
Ta lại có DEC cân tại D và ECD  132  72  60 nên DEC là tam giác đều (2)
0
0
�  1320  360  960 � ADC
�  180  96  420
ACD
2
Từ (1) và (2) suy ra ACD cân tại C, có
0
0
0
0
�
Trong tam giác BCD có BDC  180  130  18  30

�  ADC
�  BDC
�  420  300  180  120
� ADB
0
�
Vậy ADB  12

C. Bài tạp áp dụng
0
�
14.1. Cho tam giác ABC cân tại A,   80 , điểm D thuộc miền trong tam giác
0 �
0
�
�
sao cho DBC  10 ; DCB  30 . Tính số đo ADB
14.2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc miền trong tam giác sao
0
�
�
cho ADC  150 và tam giác DAC cân tại D. Tính số đo góc ADB .
0 �
0
�
14.3. Cho tam giác ABC có B  45 ;   15 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao
cho CD =2BC. Vẽ DE  AC ( E �AC )

a) Chứng minh rằng EB = ED
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 7


Phát triển tư duy Hình học 7

�

b) Tính số đo góc ADB
0
�
14.4. Cho tam giác ABC cân tại A có   100 . Qua B dựng tia Bx sao cho
�  300
�
CBx
. Tia phân giác của góc ACB cắt tia Bx tại D.
a) So sánh CD và CA.
�
b) Tính số đo góc BDA
0
�
14.5. Cho tam giác ABC cân tại A có   40 . Trên tia phân giác AD của góc A
0
�
lấy điểm E sao cho , trên cạnh AC lấy điểm F sao cho CBF  30
a) Chứng minh rằng :AE =AF
�
b) Tính số đo góc BEF
0
�
14.6. Cho tam giác ABC cân (AB=AC) với BAC  20 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao
0
0
�
�
�
cho CBD  50 , trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BCE  60 . Tính góc CED .
0

�
14.7. Cho tam giác ABC cân có BAC  100 . Điểm M nằm trong tam giác sao cho
�  MCA
�  200
�
MAC
. Tính số đo góc AMB
0 �
0
�
14.8. Cho tam giác ABC với góc BAC  55 ; ABC  115 . Trên tia phân giác của góc
�
�  250
ACB lấy điểm M sao cho MAC
. Tính số đo góc BMC
0
�
14.9. Cho tam giác ABC cân tại A có B C  80 . Điểm M nằm trong tam giác
0
�
�
sao cho MAC  MCA  10 . Tính số đo góc AMB.
0
�
14.10. Cho tam giác ABC cân tại A có B C  80 . M là điểm nằm ngoài tam giác
0 �
0
�
�
�

sao cho MBC  10 ; MCB  30 . Tính số đo các góc AMB; AMC
14.11. Cho tam giác đều ABC, điểm D nằm giữa A và B. Đường thẳng vẽ từ D
vuông góc với AC cắt đường thẳng vẽ từ B vuông góc với BC tại điểm M. Gọi N
là trung điểm của AD. Tính số đo góc MCN.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 8