ĐA CD20 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO, BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC 230 239
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 7 trang )
Phát triển tư duy Hình học 7
HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 20. TÍNH CHẤT CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC,
BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC.
20.1. (h.20.7)
Điểm
nằm trên đường trung trực của
Suy ra
nen
cân, do đó
Chứng minh tuong tự ta được
Ta có
.
.
Mặt khác
nên
.
Suy ra
20.2. (h.20.8)
Vẽ tia phan giác của góc
, góc
, chúng
cắt nhau tại điểm
ở trong tam giác
Đó là một điểm cố định.
Trên cạnh
lấy một điểm
sao cho
Từ
, khi đó
và
suy ra
.
.Điểm
nằm trên đường trung trực của
cách đều hai đầu đoạn thẳng
Tam giác
vuông tại
.
, tam giác
có là các đường trung tuyến ứng
với cạnh huyền nên
Điểm
nên
. Nói cách khác, đường trung trực của
luôn đi qua một điểm cố định là điểm
20.3. (h.20.9)
vuông ở
.
.
cách đều hai đầu đoạn thẳng
cố định nên
nằm trên đường trung trực
của
. Do đó
thẳng cố định.
20.4. (h.20.10)
nằm trên một đường
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 1
Phát triển tư duy Hình học 7
Vì
là đường trung trực của
nên
.
và
cân tại
Do đó
, suy ra
.
.
Ta có
.
Suy ra ba điểm
thẳng hàng và
ngắn nhất
Vậy khi
.
ngắn nhất
là hình chiếu của
trên
thì
ngắn nhất hay khi
là đường
cao xuất phát từ đỉnh
của
thì
ngắn nhất.
20.5. (h.20.11)
a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền của tam giác vuông ta có:
vậy
.
Điểm
cách đều hai đầu đoạn thẳng
di động trên đường trung trực
nên
cố định.
b) Ta có
(bất đẳng thức tam giác mở rộng).
Dấu
sảy ra
nằm giữa
và H và
là trung điểm cẩu
là đường trung tuyến ứng với
của
và
Vậy có độ dài nhỏ nhất là bằng khi và lần
lượt là
hình chiếu của trên (hình 20.12).
20.6. (h.20.13)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 2
Phát triển tư duy Hình học 7
Trên tia
lấy điểm
sao cho
nên
trung trực của
. Vì
Vễ đường phân giác
chúng cắt nhau tại
định và đường trung trược của
Ta có
trên tia
mà
đường trung trược của
cũng cố định. Điểm
định.
Điểm
. Ta phải chứng minh
đi qua
và vẽ đường
là một điểm cố
.
không đổi nên
cũng cố định. Tia
là một điểm cố định, do đó
là tia phân giác của góc
nên
là giao điểm của hai đường thẳng cố định nên
nằm trên đường trung trực của
. Mặt khác
và
của góc
nên
nên
, do đó
cố
cân
.
có:
và
. Do đó
.
Vậy
nằm trên đường trung trực của
, nói cách khác đường trung trực của
đi qua điểm cố định là điểm
20.7. (h.20.14)
•
Tìm cách giải
Giả sử đã xác định được điểm
điểm
sao cho
Ta có
cân tại
.
nên
.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 3
Phát triển tư duy Hình học 7
cân tại
Xét
nên
có
.
là góc ngoài nên
.
.
Do đó xác định được điểm
•
Cách xác định điểm
- Ở trong góc
rồi điểm
.
, điểm
, vẽ tia
sao cho
- Vẽ đường trung trực của
cắt
. Tia
tại
cắt
tại
. Khi đó ta có
.
.
• Chứng minh
Điểm
nằm trên đường trung trực của
cân tại
nên
. Do đó
là tam giác cân
.(1)
.
.
(2)
Từ (1) và (2)
.
20.8. (h.20.15)
Vẽ các đường trung trực của
và
, chúng cắt nhau tại
. Điểm
nằm trên đường trung
trực của
nên
.
Ta có
.
.
Do đó
Điểm
nằm cách đều hai đầu
đoạn thẳng
trung trực của
nên
nằm trên dường
.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 4
Phát triển tư duy Hình học 7
và
Vậy ba đường trung trực của
20.9. (h.20.16)
Xét
vuông tại
và
huyền
,
cùng đi qua điểm
vuông tại
.
có
là các đường trung tuyến ứng với cạnh
nên
cân tại
.
, do
Đó đường trung tuyến
cũng là đường cao.
Ba đường thẳng
là ba đường cao của
nên cùng đi qua một điểm.
20.10. (h.20.17)
Gọi
Xét
là giao điểm của
và
vuông cân tại
nên
vuông cân tại
nên
.
có
do đó
Xét
có
và
cao cắt nhau tại
là hai đường
.
là đường cao thứ ba, do đó
20.11. (H.20.18)
Ta có
(giả thiết)
và
(kề bù)
Từ (1) và (2)
Xét
(1)
(2)
.
vuông tại
có
Do đó
.
.
Vậy
Xét
có
và
là hai đường cao cắt nhau tại
,
là đường cao thứ 3. Do đó
20.12. (h.20.19)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 5
Phát triển tư duy Hình học 7
và
là hai góc có cạnh tương ứng
vuông góc, một góc nhọn, một góc tù nên
chúng bù nhau:
Điểm
nằm trên đường trung trực của
Nên
Do đó
ta được:
cân tại
.Chứng minh tương tự
.
Vậy
20.13. (h.20.20)
.
Vì
nhọn nên
và
nằm trong tam giác.
Điểm
cách đều ba đỉnh của
nên
.
do đó
cân tại
.
.
Do đó:
hay
.
Điểm
là trực tâm của
Hai góc
và
một góc tù nên :
nên
là hai góc có cạnh tương ứng vuông góc, một góc nhọn,
,
Do đó
.
Vậy
20.14. (h.20.21)
Ta có
Mặt khác:
.
nên
.
nên
cân tại .
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh
đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh
nên đường trung trực
của
Đó là một đỉnh cố định.
đi qua đỉnh
,
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 6
Phát triển tư duy Hình học 7
20.15. (h.20.22)
Giải sử
là tam giác đều
nên
Ta còn có
.
Do đó
Xét
.
xó đường trung tuyến
đường cao nên
Mặt khác :
Là tam giác đều.
Do đó ba đường
giả thiết. Vậy
đồng thời là
cân.
nên
phải đồng quy, tức là ba điểm
trùng nhau trái
không thể là tam giác đều.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 7
