Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian oxyz thỏa mãn điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .............................................................................
PHẦN II: NỘI DUNG .......................................................................
Chương I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT .......................................................
CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN
YẾU TỐ CỰC TRỊ ……….................................................................
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ...............................
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ...............................
Chương III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM ...............
I. Tiến hành thử nghiệm .....................................................................
II.
Kết
luận
chung
về
thử
nghiệm
......................................................
III. Bài học kinh nghiệm ....................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................

1/20

Trang 2
Trang 4
Trang 4

Trang 7

Trang 7
Trang 12
Trang 16
Trang 16
Trang 17
Trang 18
Trang 19


PHẦN I: MỞ ĐẦU
I . Lý do chọn đề tài
Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 12 Trường THPT còn lúng túng khi giải
bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Nhiều em giải bài toán
nào thì biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học và
trong nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu bài toán dưới dạng khác, giải
bài toán bằng nhiều cách… Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất
nhiều thời gian do đó kết quả kiểm tra và thi không cao.
Để giúp học sinh lớp 12 khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ
nói chung và có kỹ năng giải nhanh một số bài toán Hình học giải tích trong
không gian có yếu tố cực trị nói riêng, trong năm học 2017 – 2018 tôi đã viết
sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng tìm điểm trong không gian Oxyz thỏa
mãn điều kiện cực trị cho học sinh lớp 12 THPT”. Để tiếp tục phát triển chuyên
đề này, năm học 2018 – 2019 tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng
viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz thỏa mãn
điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT”.
II. Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu và thời gian thực hiện đề tài.
1) Mục đích nghiên cứu:
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 THPT thông qua các bài
toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu
tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm.

2) Đối tượng nghiên cứu:
Trên cơ sở lí luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy học giải các bài
toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu
tố cực trị cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông. Từ đó phân loại và phát triển
hệ thống bài tập về Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian
Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12, đặc biệt là học sinh khá, giỏi.
3) Phạm vi nghiên cứu:
Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ năng Viết phương trình mặt
phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12
THPT bằng bài tập tổng quát sau đó là thực hiện ví dụ dạng câu hỏi trắc nghiệm.
4) Thời gian thực hiện:
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm học 2018 – 2019. Đề tài
đã được đăng kí với tổ và đã được tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực hiện đề tài.
Trong quá trình thực hiện đề tài đã được tổ dự giờ và khẳng định đề tài có chất
lượng, đã được đồng nghiệp áp dụng trong giảng dạy.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm:
+ Đưa ra cơ sở lý thuyết về Hình học giải tích trong không gian Oxyz.
2/20


+ Đưa ra một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong
không gian Oxyz có yếu tố cực trị.
+ Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua các bài tập tự luyện.
IV. Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm
3 chương
Chương I. Cơ sở lí thuyết
Chương II. Một số bài toán Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị.

Chương III. Kết quả và Bài học kinh nghiệm
======================

3/20


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm và tính chất
1) Định nghĩa và tính chất:
r
r
r r r
 Véc tơ u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
uuuu
r

r

r

r

 Điểm M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk
r

 Vectơ 0 = (0; 0;0)
 Điểm A = ( x A ; y A ; z A ) ; B = ( xB ; y B ; z B ) ; C = ( xC ; yC ; zC ) thì:
uuur
uuur

AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) và AB = AB =

 Tọa độ trung điểm I của AB: xI =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( zB − z A )
2

2

x A + xB
y + yB
z +z
; yI = A
; zI = A B
2
2
2

 Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:
x A + xB + xC
y + yB + yC
z +z +z
; yG = A
; zG = A B C
3
3

3
r
r
'
'
'
2) Các phép toán: Cho u = ( x; y; z ) ; v = ( x ; y ; z ) thì:
xG =



 x = x'
r r
r
r r

u ± v = ( x ± x ' ; y ± y ' ; z ± z ' ) ; ku = ( kx; ky; kz ) ; u = v ⇔  y = y '
z = z'




 x = kx '
r
r
r

r
x y z ' ' '
'

u cùng phương với v ⇔ u = kv ⇔  y = ky ⇔ ' = ' = ' ( x . y .z ≠ 0 )
x y z
 z = kz '


3) Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho
r
r
u = ( x; y; z ) ; v = ( x ' ; y ' ; z ' )

3.1. Tích vô hướng của hai véc tơ
r r
r
Định nghĩa: Cho hai vectơ u, v khác vectơ 0 . Tích vô hướng của hai
r r

rr

r r

r r

r

r

r

r

rr

vectơ u, v là một số: u.v = u . v .cos ( u , v ) . Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì qui ước u.v = 0 .
rr

r

r

rr

Biểu thức tọa độ: u. v = x.x ' + y. y ' + z.z ' ; u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ x.x ' + y. y ' + z.z ' = 0
r

Độ dài vectơ: u = x 2 + y 2 + z 2
r r

r

Góc giữa hai vectơ u, v khác vectơ 0 :
rr
r r
u.v
cos u , v = r r =
u.v

( )

x.x ' + y. y ' + z.z '
x 2 + y 2 + z 2 . x '2 + y '2 + z '2

u ⊥ v ⇔ x.x’+ y.y’ + z.z’ = 0

4/20


3.2. Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như
r r

y

x x

z z

y

'
'
'
'
'
'
sau: u, v  =  ' ' ; ' ' ; ÷÷ ' ' = ( yz − y z; zx − z x; xy − x y )
y z z x x y

r r

r

r r

r

Tính chất: u, v  ⊥ u; u , v  ⊥ v

II. Phương trình mặt phẳng
1) Véc tơ pháp tuyến.
r r
- Vectơ n ≠ 0 có giá vuông góc với mặt phẳng (α) được gọi là VTPT của mặt
phẳng (α).
r r

- Nếu u, v là hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt
r r

r

phẳng (α) thì u, v  = n là một VTPT của mặt phẳng (α).
uuu
r uuur

r

- Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì  AB, AC  = n là một VTPT của mặt
phẳng (ABC).
r
- Mặt phẳng (α) đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một VTPT n = ( A; B; C ) có
phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (∗∗) .

Chú ý: Trong không gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với điều
kiện A2 + B2 + C2 > 0 là phương trình một mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến
là: n = (A; B; C).
2) Các cách viết phương trình mặt phẳng.
Cách 1: Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến n =
(A, B, C) có phương trình là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 ⇔ Ax + By + Cz + D = 0.
Cách 2: Mặt phẳng (α) qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có hai vectơ không cùng
phương u1 ,u2 có giá song song hoặc chứa trong (α) thì (α) có vectơ pháp tuyến
là n = [u1; u2 ] .
Cách 3: Từ phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B2 + C2 > 0),
thường dùng khi trong giả thiết có khoảng cách, góc...
Cách 4: Mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc
≠ 0 thì (α) có phương trình:

x y z
+ + =1
a b c

III. Phương trình đường thẳng
1) Véc tơ chỉ phương.
r r
- Vectơ u ≠ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ∆ được gọi là VTCP
của đường thẳng ∆ .
r
- Đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có VTCP u = ( a; b; c ) , khi đó
5/20


 x = x0 + at


+) Phương trình tham số của ∆ là:  y = y0 + bt ;(t ∈ R) , t gọi là tham số.
 z = z + ct
0


+) Phương trình chính tắc của ∆ là:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
( abc ≠ 0) .
a
b
c

2) Các cách viết phương trình đường thẳng.
Cách 1: Đường thẳng d qua Mo(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c):
 x = x0 + at

- Có phương trình tham số là:  y = y0 + bt (t là tham số)
 z = z + ct
0

x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
- Nếu abc ≠ 0 thì d có phương trình chính tắc là:
a
b

c

Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d đi qua.
Cách 3: Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng. Nếu đường thẳng d thuộc hai
mặt phẳng phân biệt (α), (β) có vectơ pháp tuyến là n1 , n 2 và có phương trình lần
lượt là: Ax + By + Cz + D = 0; A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì d gồm các điểm
 Ax + By + Cz + D = 0

M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình: 
. Đường thẳng d có
 A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0
một vectơ chỉ phương là: u = [n1 , n 2 ] .
IV. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M0(x0; y0; z0) và
Ax0 + By0 + Cz0 + D

mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 thì: d ( M 0 ; ( α ) ) =

A2 + B 2 + C 2

V. Góc trong không gian
r
VI.1. Góc giữa hai đường thẳng: Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) và
r

đường thẳng ∆ ' có VTCP u ' = (a ' ; b' ; c ' ) thì:
r ur
u.u '
cos ( ∆, ∆' ) = r ur =
u . u'

aa ' + bb ' + cc '
a +b +c . a +b +c
2

2

2

'2

'2

'2

(

; 00 ≤ ( ∆, ∆ ' ) ≤ 900

)

VI.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng ∆ có VTCP
r
r
u = (a; b; c ) và mặt phẳng (α) có VTPT n = ( A; B; C ) thì:
sin ( ∆, ( α ) )

rr
u.n
r r
= cos u, n = r r =

u.n

( )

Aa + Bb + Cc
A + B +C . a +b +c
2

2

2

2

2

2

; ( 0 0 ≤ ( ∆, α ) ≤ 90 0 )

r

VI.3. Góc giữa hai mặt phẳng: Nếu mặt phẳng (α) có VTPT n = ( A; B; C ) và
ur

mặt phẳng (β) có VTPT n' = ( A' ; B' ; C ' ) thì:
cos ( ( α ) , ( β ) )

r ur
n.n'

r ur'
= cos n, n = r ur =
n . n'

( )

AA' + BB ' + CC '
A + B +C . A + B +C
2

2

2

6/20

'2

'2

'2

; ( 0 0 ≤ ( α , β ) ≤ 90 0 )


VI. Một số bất đẳng thức cơ bản
Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong không gian, ta
cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình đề cực trị xảy ra. Khi đó ta cần khai
thác được các đại lượng không đổi (Đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến
đường thẳng, mặt phẳng,…) để áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản sao

cho phù hợp với bài toán.

7/20


CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT
PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN
YẾU TỐ CỰC TRỊ
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ
Bài Toán 1: Viết phương trình mặt phẳng
(α) đi qua điểm A cho trước và cách M cho
trước một khoảng lớn nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo các bước:
Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (α).
Bước 2: Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MA (không đổi). Vậy d(M, (α)) lớn nhất là
MA khi H ≡ A hay (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với MA.
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz. Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz + 5
= 0 đi qua điểm A(1; 0; -2) và cách điểm M(2; 1; 1) một khoảng lớn nhất. Khi
đó a + b + c nhỏ nhất bằng?
A. -7
B. -3
C. 2
D. 5
Bài giải:
uuur
+) Ta có MA = ( −1; −1; −3)
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (α).

+) Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MA = 11 . Vậy d(M, (α)) lớn nhất là 11 khi H ≡
A hay (α) là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.
r
+) Mặt phẳng (α) qua A(1; 0; -2), có một véctơ pháp tuyến n = (1;1;3) có phương
trình là: x + y + 3z + 5 = 0
⇒ Chọn đáp án D.
Bài Toán 2: Viết phương trình mặt
phẳng (α) chứa đường thẳng d và
cách M cho trước một khoảng lớn
nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo
các bước:
8/20


Bước 1: Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên d, H là hình chiếu vuông góc
của M trên (α).
Bước 2: Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MN (không đổi). Vậy d(M, (α)) lớn nhất là
MN khi H ≡ N hay (α) là mặt phẳng qua N và vuông góc với MN.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với MN.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 3) và đường thẳng d:

x −1 y z − 2
= =
. Gọi (α) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến (α)
2
1
2

lớn nhất. Khi đó (α) đi qua điểm nào?
A. A(1; 1; 0)B. B(1; 1; 1)
C. C(-1; 1; 0)
D. D(0; 1; 1)
Bài giải:
uuuu
r
+) Gọi N(2a + 1; a; 2a + 2) thuộc d ⇒ MN = (2a − 1; a − 5;2a − 1) . N là hình chiếu
uuuu
r

uu
r

vuông góc của M trên d khi MN ⊥ ud = (2;1;2) ⇔ 2(2a – 1) + a – 5 + 2(2a – 1) =
0 ⇔ a = 1 ⇒ N(3; 1; 4).
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (α). Ta có d(M, (α)) = MH ≤ MN
= 3 2 . Vậy d(M, (α)) lớn nhất là 3 2 khi H ≡ N hay (α) là mặt phẳng qua N và
vuông góc với MN.
r
+) Mặt phẳng (α) qua N(3; 1; 4), có một véctơ pháp tuyến n = (1; −4;1) có
phương trình là: x – 4y + z – 3 = 0
⇒ Chọn đáp án A.
Bài Toán 3: Viết phương trình mặt phẳng (α)
đi qua M, song với d và cách d một khoảng lớn
nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo
các bước:
Bước 1: Tìm N là hình chiếu vuông góc của M trên d, gọi H là hình chiếu vuông

góc của N trên (α). Ta có d(d, (α)) = d(N, (α)) = NH ≤ MN (không đổi).
Bước 2: Vậy d(d, (α)) lớn nhất là MN khi H ≡ M hay (α) là mặt phẳng qua M
và vuông góc với MN.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và vuông góc với MN.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -1; 4) và đường
thẳng ∆ :

x −1 y + 2 z
=
= . Biết mặt phẳng (P) có phương trình x + ay + bz + c =
1
−1
3

0 là mặt phẳng đi qua M và cách ∆ một khoảng lớn nhất. Tính T = a + b + c?
A. T = 6
B. T = 3
C. T = -8
D. T = -5
Bài giải:
9/20


uuuu
r

+) Gọi N(a + 1; -a - 2; 3a) thuộc d ⇒ MN = (a; −a − 1;3a − 4) . N là hình chiếu
uuuu
r

uu
r

vuông góc của M trên d khi MN ⊥ ud = (1; −1;3) ⇔ a + a + 1 + 3(3a – 4) = 0 ⇔ a =
1 ⇒ N(2; -3; 3).
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (α). Ta có d(d, (α)) = d(N, (α)) =
NH ≤ MN = 6 . Vậy d(d, (α)) lớn nhất là 6 khi H ≡ M hay (α) là mặt phẳng
qua M và vuông góc với MN.
r
+) Mặt phẳng (α) qua N(2; -3; 3), có một véctơ pháp tuyến n = (1; −2; −1) có
phương trình là: x – 2y – z – 5 = 0
⇒ Chọn đáp án C.
Bài Toán 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q)
chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P)
một góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn:
Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Gọi ∆ = (Q)∩(P), A = d∩(P), lấy điểm B trên d khác A.
Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên (P), M là hình chiếu vuông
góc của H trên ∆.
BH BH
≥
(không đổi). Vậy góc giữa (Q) và (P) là
HM HA
ˆ
ˆ
góc BMH
nhỏ nhất khi tan BMH
nhỏ nhất khi M ≡ A hay (Q) là mặt phẳng có

r
uu
r uu
r
uur uu
r uu
r
một VTPT là n = u∆ ; ud  =   nP ; ud  ; ud  .
uur uur
nP .nQ
Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng: cos(( P ),(Q )) = uur uur
nP . nQ
ˆ =
Bước 3: Ta có: tan BMH

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz. Cho đường thẳng d:

x −1 y + 2 z
=
= . Gọi (Q)
−1
1
2

là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
Khi đó mặt phẳng (Q) đi qua điểm nào?
A. (1; -1; 1)
B. (1; 1; -1)
C. (-1; 1; -1)
D. (-1; -1; 0)

Bài giải:
+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -2; 0), B(0; -1; 2).
r
+) Giả sử mặt phẳng (Q) chứa d có một VTPT là: n = ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2 >
0. Vì mặt phẳng (Q) qua A(1; -2; 0) nên (Q): Ax + By + Cz – A + 2B = 0, mặt
r
khác qua B(0; -1; 2) nên A = B + 2C ⇒ n = ( B + 2C; B; C ) .
+) Gọi ϕ là góc giữa (Q) và (Oxy), khi đó:
10/20


rr
1
1
=
=
n.k
C
2
2
cos ϕ = r r =
2t + 4t + 5 .
B
B
2 ÷ + 4 + 5
n.k
2 B 2 + 4 BC + 5C 2
C
C

Khi đó ϕ nhỏ nhất ⇔ cosϕ lớn nhất ⇔ f(t) = 2t2 + 4t + 5 nhỏ nhất ⇔ t = -1 ⇔ B
= -C, ta chọn B = -1, C = 1 ⇒A = 1. Vậy (Q): x – y + z – 3 = 0
⇒ Chọn đáp án A.
Bài Toán 5: Viết phương trình mặt phẳng
(P) chứa đường thẳng d và tạo với đường
thẳng d’ (d’ không song song với d) một
góc lớn nhất.

Hướng dẫn:
Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Lấy điểm A cố định trên d, kẻ đường thẳng ∆ qua A song song với d’,
lấy điểm B cố định trên ∆ khác A.
Bước 2: Gọi H, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P), d.
BH

BM

ˆ =
ˆ : sin BAH
≤
Bước 3: Ta góc giữa d’ và (P) là góc BAH
(không đổi).
AB
AB
ˆ lớn nhất khi H ≡ M
ˆ
Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAH
lớn nhất khi sin BAH
hay (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với BM.
Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng.

uur uur
ud ' .nP
uur uur
sin( d ',( P)) = cos( ud ' , nP ) = uur uu
r
ud ' . nP

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 7 = 0 chứa
đường thẳng d:

x −1 y +1 z − 2
=
=
2
1
2

và tạo với đường thẳng d’:

x +1 y z −1
= =
1
2
1

một

góc lớn nhất. Tính a + b + c?
A. 0
B. -2

C. -4
D. -3
Bài giải:
Bài giải:
+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -1; 2), B(3; 0; 4).
r
+) Giả sử mặt phẳng (P) chứa d có một VTPT là: n = ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2 >
0. Vì mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 2) nên (P): Ax + By + Cz – A + B - 2C = 0, mặt
r
khác qua B(3; 0; 4) nên B = -2A - 2C ⇒ n = (A; −2 A− 2C; C ) .
+) Gọi ϕ là góc giữa (P) và d’, khi đó:

11/20


r ur
n.u '
3 A + 3C
3 A + 3C
sin ϕ = r ur =
=
n . u'
5 A2 + 8 AC + 5C 2
5( A + C ) 2 − 2( A + C ).C + 2C 2
3

=

2

5−2

C
 C 
+ 2
÷
A+C
 A+C 

=

1
2t − 2t + 5 .
2

Khi đó ϕ lớn nhất ⇔ sinϕ lớn nhất ⇔ f(t) = 2t2 - 2t + 5 nhỏ nhất ⇔ t = 1/2 ⇔ A =
C, ta chọn A = 1, C = 1 ⇒ B = -4. Vậy (Q): x – 4y + z – 7 = 0
⇒ Chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1) và đường thẳng d:
x −1 y z + 2
= =
.
2
1
−1

Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz + d = 0 chứa d sao cho

khoảng cách từ M đến (α) lớn nhất. Với a, b, c, d là số nguyên dương, khi đó a +

b + c nhỏ nhất bằng?
A. 7
B. 3
C. 4
D. 8
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; 1) và đường thẳng d:
x y −1 z
=
= .
2
2
1

Phương trình mặt phẳng (α): ax + by + cz – 53 = 0 đi qua A, song

song với d và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Khi đó a + b + c nhỏ nhất
bằng?
A. -2
B. 2
C. -4
D. 5
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 1 = 0. Phương
trình mặt phẳng (P): x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với (Q) và
cách điểm M(1/2; 0; 2) một khoảng lớn nhất. Khi đó b + c bằng?
A. Đáp án khác
B. 1
C. -4
D. -5
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -2; 0), đường thẳng
∆:

x +1 y z − 2
= =
. Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d = 0 đi
−1
3
1

qua A, song song với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng (P) lớn nhất. Biết a,
b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b + c +
d bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 3
C. -1
D. 1
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; 4;
0) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y – 2z + 2019 = 0. Mặt phẳng (Q): ax
+ by + cz – 4 = 0 đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ
nhất. Tính a + b + c?
A. -2
B. 1.
C. 2
D. 0
Câu 6: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (Q): 12x + by + cz = 0 đi qua gốc
tọa độ O, song song với đường thẳng d:

x −1 y z − 2
= =
2
1

3

x + 2y – z + 1 = 0 một góc nhỏ nhất. Tính b + c?
A. 10
B. -12
C. -14
12/20

và tạo với mặt phẳng (P):
D. -13


Câu 7: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 23 = 0 đi qua hai
điểm A(1; 2; -1), B(2; 1; 3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất. Tính a + 4b +
c?
A. 9
B. -16
C. -9
D. 17
Câu 8: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): 2x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 1 = 0 và tạo với trục Oy một
góc lớn nhất. Tính b + c?
A. 6
B. -6
C. -7
D. 7
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ
Bài Toán 6: Viết phương trình đường thẳng
d chứa trong (P), đi qua A và cách B cho

trước một khoảng lớn nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc
của B trên (P).
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK ≤ BA (không đổi). Vậy d(B, d) lớn nhất là BA khi
r

uur uuu
r

K ≡ A hay d là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u =  nP ; AB  .
r
uur uuu
r
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có một VTCP u = nP ; AB  .
Ví dụ 6: Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; -1), nằm trong mặt phẳng (P): 2x –
y – z = 0 và cách điểm B(0; 2; 1) một khoảng lớn nhất. Biết đường thẳng d đi
qua điểm E(2; b; c). Tính b + c?
A. -2
B. 4
C. 2
D. 3
Bài giải: uuur
+) Ta có: AB = (−1;1; 2)
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc của B
trên (P).
+) Ta có d(B, d) = BK ≤ BA = 6 . Vậy d(B, d) lớn nhất là 6 khi K ≡ A hay d
r

uur uuu
r

là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u =  nP ; AB  = (−1; −3;1) ⇒ Phương trình
x = 1− t

tham số của d là:  y = 1 − 3t ⇒ E(2; 4; -2)
 z = −1 + t


⇒ Chọn đáp án C.

13/20


Bài Toán 7: Viết phương trình đường
thẳng d chứa trong (P), đi qua A và
cách B cho trước một khoảng nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước:
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, H là hình chiếu vuông góc
của B trên (P).
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK ≥ BH (không đổi). Vậy d(B, d) nhỏ nhất là BH khi
K ≡ H hay d là đường thẳng AH.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, H.
Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z = 0 và điểm
M(1; -3; 1). Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O, nằmrtrong mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ M đến đường thẳng đó nhỏ nhất. Gọi u = (1; a; b) là một véc tơ
chỉ phương của đường thẳng (d). Tính a + b?
A. -3

B. 3
C. 2
D. -2
Bài giải:
+) Gọi ∆ là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) ⇒ ∆ có hương trình tham
 x = 1 + 2t

số là:  y = − 3 − t . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) ⇒ H(-1; -2; 0).
 z = 1+ t


+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta có d(M, d) = MK ≥ MH
(không đổi). Vậy d(M, d) nhỏ nhất là MH khi K ≡ H hay d là đường thẳng OH.
 x = −t

⇒ d qua O, H có phương trình tham số là:  y = −2t ⇒ E(2; 4; -2)
z = 0


⇒ Chọn đáp án C.

Bài Toán 8: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua A, nằm trong mặt phẳng
(P) và tạo với đường thẳng d’ cho trước
một góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi.
14/20

Bước 1: Gọi ∆ đường thẳng qua A song song với d’, lấy điểm M cố định trên ∆
khác A.
Bước 2: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P), d. Ta góc giữa
ˆ =
ˆ : sin MAI
d và d’ là góc MAI

MI MH
≥
(không đổi). Vậy góc giữa d và d’ nhỏ
MA MA

ˆ nhỏ nhất khi I ≡ H hay d là đường thẳng qua A, H.
nhất khi sin MAI
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, H.
Cách 2: Dùng công thức góc giữa hai mặt phẳng:
uu
r uur
ud .ud '
uu
r uur
cos(d , d ') = cos( ud , ud ' ) = uu
r uur
ud . ud '

Ví dụ 8: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O, nằm trong mặt phẳng (P): 2x + y –
z = 0 và tạo với đường thẳng d’:

x y −1 z +1
=

=
một góc nhỏ nhất. Biết đường
2
−1
2

thẳng (d) đi qua điểm E(a; b; 13). Tính a + b?
A. -2
B. -5
C. 3
D. 4
Bài giải:
+) Gọi ∆ đường thẳng qua O song song với d’ ⇒ ∆ có hương trình tham số là:
 x = 2t

 y = − t . Lấy điểm M (2; -1; 2) trên ∆.
 z = 2t


+) Gọi ∆’ là đường thẳng qua M và vuông góc với (P) ⇒ ∆’ có hương trình tham
 x = 2 + 2t

số là:  y = − 1 + t . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) ⇒ H(5/3; -7/6;
z = 2 − t


13/6).
+) Gọi I lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên d. Ta góc giữa d và d’ là
MI MH
·

·
=
≥
góc MOI
: sin MOI
(không đổi). Vậy góc giữa d và d’ nhỏ nhất khi
MO

MO

·
nhỏ nhất khi I ≡ H hay d là đường thẳng qua O, H.
sin MOI
 x = 10t

⇒ d qua O, H có phương trình tham số là:  y = −7t ⇒ E(10; -7; 13)
 z = 13t


⇒ Chọn đáp án C.

Bài tập tự luyện
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Đường thẳng (d) đi qua A, song song
với mặt
r
phẳng (P) và khoảng cách từ B đến đường thẳng đó lớn nhất. Gọi u = (-2; a; b) là
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d). Tính a + b?
A. 5
B. 6

C. 11
D. 13

15/20


y −1 z
=
và hai điểm M ( 1; −1;0 ) , B ( 2; −1;3) . Viết
2
−1
phương trình đường thẳng d đi qua điểm M , vuông góc với đường thẳng ∆ và
x
1

Câu 2: Cho đường thẳng ∆ : =
cách N một khoảng lớn nhất.
x −1
=
3
x +1
=
C.
3

A.

y +1 z
=
−2

−1
y −1 z
=
−2
−1

x −1
=
3
x +1
=
D.
3

B.

y −1 z
=
−2
−1
y −1 z
=
−2
1

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Đường thẳng (d) đi qua A, song song với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất. Khi đó đường
thẳng (d) đi qua điểm nào?
A. (0; 1; 0)

B. (23; 11; -1)
C. (-29; -11; 2)
D. (1; 3; -2)
Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z – 3 = 0, điểm A(0; 2; 1) và đường thẳng
∆:

x −1 y z
= = . Đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d
1
2 1

và d’ lớn nhất. Biết d đi qua điểm E(1; b; c). Tính b + c?
A. -3
B. 2
C. 1
D. -1
Câu 5: Cho hai điểm A(0; -1; -1), B(-1; -3; 1). Giả sử C, D là hai điểm di động
thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng.
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của ∆BCD. Khi đó S1 + S2
bằng:
A.

34
3

B.

17
3

C.

11
3

D.

37
3

Câu 6: Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với đường thẳng d’:

x −1 y −1 z +1
=
=
và tạo với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 một góc lớn nhất.
2
2
1

Biết đường thẳng (d) đi qua điểm E(a; b; 16). Tính a + b?
A. 10
B. 14
C. 3
x = 1 + t

Câu 7: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1:  y = 0
d2:
 z = −5 + t


D. Đáp án khác
x = 0

 y = 4 − 2t . Gọi (S): x2
 z = 5 + 3t


+ y2 + z2 - 4x - 6y + d = 0 là mặt cầu đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d 1
và d2 và có bán kính nhỏ nhất. Khi đó d bằng?
A. 4
B. -4
C. 3
D. -3
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C
khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức T =

1
1
1
+
+
có giá trị nhỏ nhất.
2
2
OA OB OC2
B. ( P ) : 6x − 3y + 2z − 6 = 0

A. ( P ) : x + 2y + 3z − 14 = 0

C. ( P ) : 6x + 3y + 2z − 18 = 0
D. ( P ) : 3x + 2y + 3z − 10 = 0
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và mặt
phẳng
(P): 2x + 2y – z + 9 = 0. Đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
r
u = ( 3; 4; −4 ) cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M luôn nhìn đoạn
16/20


AB dưới một góc 900 và độ dài MB lớn nhất. Đường thẳng MB đi qua điểm nào
trong các điểm sau?
A. J ( −3; 2; 7 )
B. H ( −2; −1;3)
C. K ( 3; 0;15 )
D. I ( −1; −2;3)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -4; 0) và mặt cầu
(S) có phương trình ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3) 2 = 25 . Viết phương trình tham số của
đường thẳng d đi qua M nằm trong mặt phẳng Oxy và cắt (S) theo một dây cung
dài nhất.
x = 3 + t

A.  y = −4 − t
z = 0


x = 3 + t

B.  y = −4 + t
z = 0



x = 3 − t

C.  y = −4 − t
z = 0


 x = 3 − 2t

D.  y = −4 − t
z = 0


CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
I. Tiến hành thử nghiệm
- Tiến hành dạy 3 tiết tự chọn: 27, 28, 29.
- Để tiến hành thực nghiệm đạt kết quả tôi đã chọn 1 lớp thực nghiệm và một
lớp đối chứng, tôi căn cứ vào các tiêu chí sau:
Học lực hiện tại của học sinh hai lớp
Điều kiện cơ sở vật chất là như nhau
Sĩ số của hai lớp
Trình độ giảng dạy của giáo viên
Cụ thể khi tiến hành thử nghiệm tôi đã chọn lớp 12A1 có sĩ số 42 dạy thực
nghiệm và lớp 12A2 có sĩ số là 41 không thực nghiệm làm lớp đối chứng. Việc
lựa chọn hai lớp trên là hoàn toàn phù hợp với tiêu chí đặt ra, hai giáo viên đã có
kinh nghiệm giảng dạy.
Để đánh giá, nhận xét kết quả một cách khách quan. Trong quá trình thử
nghiệm, đối chứng tôi đã mời đồng chí tổ trưởng, các đồng chí giáo viên trong
tổ Toán - Tin cùng các đồng chí bộ môn khác quan tâm đến dự giờ nhằm mục

đích đánh giá, nhận xét và so sánh các giờ dạy.
- Trong đợt thử nghiệm, tôi đã tiến hành thu thập kết quả của học sinh hai lớp
thử nghiệm và đối chứng trước khi tiến hành giảng dạy thử nghiệm.
- Sau khi dạy thử nghiệm kết thúc, chúng tôi ra đề kiểm tra chung để kiểm tra
kết quả học tập của các em học sinh trong hai lớp nhằm mục đích: Xác định
trình độ tiếp nhận kiến thức của các em sau khi được thử nghiệm, so sánh kết
quả của hai lớp đối chứng và thử nghiệm.
Bảng 1: Kết quả của bài kiểm tra trước thử nghiệm của hai lớp thực
nghiệm (TN) và đối chứng (ĐC)
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kết quả
số
số
số
số
%
%
%
%
Lớp
lượng
lượng
lượng
lượng
12A1(TN)
15
36%

14
33%
11
26%
2
5%
17/20


12A2(ĐC)
6
15%
25
61%
5
12%
5
12%
Bảng 2: Kết quả của bài kiểm tra sau thử nghiệm của học sinh ở hai lớp thực
nghiệm (TN) và đối chứng (ĐC)
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kết quả
số
số
số
số
%

%
%
%
Lớp
lượng
lượng
lượng
lượng
12A1(TN)
20
48%
18
43%
4
9%
0
0%
12A2(ĐC)
7
17%
26
63%
4
10%
4
10%
II. Kết luận chung về thử nghiệm
1. Hiệu quả của thử nghiệm
Căn cứ vào kết quả kiểm tra trước và sau thử nghiệm của cả hai lớp chúng
tôi có các nhận xét sau:

Sau thử nghiệm kết quả của cả hai lớp thử nghiệm và đối chứng đều có sự
thay đổi. Bài làm của lớp thử nghiệm phần trăm giỏi tăng lên 13%, tỉ lệ học sinh
yếu đã giảm đi 7% không còn học sinh yếu nữa, số lượng học sinh trung bình và
khá là không thay đổi.
Kết quả của lớp đối chứng sau thử nghiệm thì tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên 1
em chiếm 2% tỉ lệ học sinh khá tăng lên 2% còn số lượng học sinh trung bình,
yếu thì giảm 2%.
Qua kết quả này cho thấy nội dung bài học là không dễ nên học sinh của
lớp đối chứng đã có tỉ lệ học sinh giỏi thấp hơn. Còn ở lớp thử nghiệm không
còn điểm yếu nghĩa là toàn bộ học sinh đã hiểu bài tốt. Tỉ lệ học sinh giỏi tăng
chứng tỏ dạy học theo hướng tăng cường rèn luyện năng lực giải toán đã phát
huy được năng lực tư duy sáng tạo, khả năng linh hoạt của học sinh. Học sinh
phát huy hết khả năng tiềm ẩn của mình, học sinh học tập tự tin hơn, mạnh dạn
hơn, không khí lớp học sôi nổi hơn.
Tóm lại việc dạy học Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng,
đường thẳng trong không gian Oxyz thảo mãn điều kiện cực trị hình học cho học
sinh lớp 12 THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh là hoàn toàn có khả
năng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, giúp học sinh hoc tập một cách chủ
động, tích cực, tự chiếm lĩnh tri thức, tự xây dựng tri thức cho bản thân, phát
huy được năng lực tạo được niềm tin, sự hứng thú trong quá trình học toán.
2. Hạn chế của thử nghiệm.
- Do thời gian tiến hành thử nghiệm không dài nên không thể khẳng định
được hiệu quả một cách chính xác hoàn toàn.
- Việc thử nghiệm không được thí điểm với quy mô lớn, chỉ thực hiện trên
một lớp nên các tỉ lệ trên không thể khẳng định là chính xác. Do vậy không thể
lấy đó làm số liệu để khẳng định tính hiệu quả của việc dạy học Rèn luyện kỹ
18/20


năng giải toán cho học sinh lớp 12 thông qua các bài toán Hình học giải tích

trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
3. Khả năng vận dụng dạy học Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp
12 thông qua các bài toán viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong
không gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh
Từ việc dạy thử, phân tích các số liệu thử nghiệm, đánh giá kết quả của
thử nghiệm, bước đầu có thể khẳng định việc dạy học Rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh lớp 12 thông qua các bài toán viết phương trình mặt phẳng,
đường thẳng trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm
cho học sinh là góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
III. Bài học kinh nghiệm
Qua quá trình thực hiện đề tài, SKKN đã thu được kết quả sau:
- Tìm hiểu một số quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh
giá và phương pháp ra đề thi trắc nghiệm khách quan.
- SKKN đã xây dựng được các dạng toán tổng quát và bài tập trắc nghiệm trong
dạy học trong không gian Oxyz có yếu tố cực trị.
Trong quá trình hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm, tôi đã nhận được sự
giúp đỡ nhiệt tình của các thầy giáo, cô giáo trong nhóm Toán. Do thời gian còn
hạn chế nên chắc chắn sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và của bạn đọc để sáng kiến kinh
nghiệm được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KH
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
CẤP CƠ SỞ
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Bình Long

19/20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Gia Đức (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Giáo
trình phương pháp dạy học các nội dung môn toán, NXB ĐHSP
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12, Nxb Giáo dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12-Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.
4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nxb Giáo dục Việt Nam
5. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên (2008), Bài
tập hình học 12, Nxb Giáo dục.
6. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư
phạm.
7. Đào Tam, Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,
NXB ĐHSP.
8. Các đề thi Minh họa, thử nghiệm, tham khảo, chính thức môn Toán từ năm
2017 đến 2019.
9. Các đề thi, đề thi thử, tài liệu được khai thác trên một số trang Website như:
hocmai.vn, moon.vn, k2pi.net.vn, dethi.violet.vn,...

20/20