lý thuyết HÀM số LIÊN tục trên một đoạn có kèm bài tập luyện tập có đáp án chi tiết

HÀM SỐ LIÊN TỤC (B2)
I. LÝ THUYẾT
Định lý:
Nếu hàm số

y  f  x

liên tục trên đoạn

 a; b

và

f  a . f  b  0

thì tồn tại ít nhất một điểm

c � a; b 

f c 0
sao cho  
.
Phát biểu cách khác:
y  f  x
a; b 
f a .f b 0
f x 0
Nếu hàm số
liên tục trên đoạn 
và    
thì phương trình  

có
a ;b
ít nhất một nghiệm thuộc khoảng 
.
Ý nghĩa hình học
y  f  x
a; b 
f a .f b 0
y  f  x
Nếu hàm số
liên tục trên đoạn 
và    
thì đồ thị của hàm số

cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ

VD 1.

VD 2.

c � a; b 

.

3
 2; 2  .
Chứng minh phương trình 2 x  6 x  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Lời giải
3
f  x  2x  6x 1

 2; 2 .
Xét hàm số
liên tục trên
f  2   3; f  2   5
Ta có:
.
f  2  . f  2   0
Suy ra:
.
3
 2; 2  .
Do đó phương trình 2 x  6 x  1  0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng
3
 2; 2  .
Chứng minh phương trình 2 x  6 x  1  0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc khoảng
Lời giải
3
f  x  2x  6x 1
 2; 2 .
Xét hàm số
liên tục trên
f  2   3; f  0   1; f  1  3; f  2   5
Ta có:
.
f  2  . f  0   0; f  0  . f  1  0; f  1 . f  2   0
Suy ra:
.
3
Nên phương trình 2 x  6 x  1  0 có ít nhất 1 ngiệm thuộc mỗi khoảng (-2;0), (0,1), (1;2).
3

 2; 2  .
Do đó phương trình 2 x  6 x  1  0 có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng

VD 3.

Chứng minh phương trình sin x  x  1  0 luôn có nghiệm.
Lời giải
Hàm số

f  x   sin x  x  1

� 3 �
0; �
�
liên tục trên � nên liên tục trên � 2 �. Ta lại có


�3 � 3
�3 �
f  0   1; f � � 
� f  0  . f � � 0
�2 � 2
�2 � nên phương trình đã cho có nghiệm trên
� 3
0;
�
2
�
khoảng
VD 4.

khoảng

�
�
�. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cho phương trình

x 4  10 x 2  x 

1
0
2
. Chứng minh phương trình có đúng 4 nghiệm trên

 2; 2  .
Lời giải
1
2 liên tục trên  2; 2 .
Xét hàm số
f  2  , f  1 , f  0  , f  1 , f  2 
Ta có
là dãy đan dấu.
f  x  0
 2; 2  .
Suy ra phương trình
có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng
Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.
 2; 2  .
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng

f  x   x 4  10 x 2  x 

????? Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b và f  a  . f  b   0 thì phương trình
f  x  0

vô nghiệm trên khoảng

 a ; b ?

 3;3 và liên tục trên đó,
Xét hàm số
. Hàm số này xác định trên đoạn
f  3 . f  3  4.4  16  0
x   5 x2  5
đồng thời
nhưng lại có hai nghiệm 1
,
thuộc vào
 3;3 .
khoảng
f  x   x2  5

Nhận xét: Nếu hàm số
được phương trình
VD 5.

Cho phương trình

y  f  x

f  x  0

liên tục trên đoạn

 a; b

và

f  a . f  b  0

có nghiệm hay không trên khoảng

x3  ax 2  bx  c  0

 1

thì chưa khẳng dịnh

 a ; b .

trong đó a, b, c là các tham số thực. Chứng minh

 1

có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .
Lời giải
3
2
f  x   x  ax  bx  c
y  f  x

. Ta có: Hàm số
liên tục trên �
Đặt
lim  x3  ax 2  bx  c   �� x1  0 : f  x1   0
+ x ��
.
3
2
lim  x  ax  bx  c   �� x2  0 : f  x2   0
+ x � �
.
f  x  0
 x ;x 
Suy ra phương trình
có ít nhất một nghiệm trên khoảng 1 2 . Suy ra phương trình
phương trình

 1

có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c .

Nhận xét: Phương trình đa thức bậc lẻ có hệ số bậc cao nhất khác 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm.


VD 6.

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm:
2017
2m 2  5m  2  x  1
x 2018  2  2 x  3  0









Lời giải
2x  3  0 � x  

3
2 .

+ Nếu 2m  5m  2  0 thì phương trình đã cho trở thành
2
+ Nếu 2m  5m  2 �0 phương trình đã cho là một đa thức bậc lẻ (bậc 4035) nên theo nhận xét ở
ví dụ 3, phương trình có ít nhất một nghiệm.
Vậy với mọi m �� phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.
2


II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
f x
a ; b
f a .f b  0
f x 0
I.   liên tục trên đoạn 

và    
thì phương trình  
có nghiệm.
f x
a ; b
f a . f b �0
f x 0
II.   không liên tục trên 
và    
thì phương trình  
vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng.
B. Chỉ II đúng.
C. Cả I và II đúng.
D. Cả I và II sai.
Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
 I  f  x  liên tục trên đoạn  a ; b và f  a  . f  b   0 thì tồn tại ít nhất một số c � a ; b  sao cho
f  c  0

.

 II  f  x 
cho

f  c  0

A. Chỉ
C. Cả
Câu 3.

Câu 4.

Câu 6.

 I .
 I

và

Câu 9.

f  a  . f  b  �0

thì tồn tại ít nhất một số

c � a ; b 

sao

 II  .

B. Chỉ

 II  đúng.

 3;  2  .

0;1
B.   .
f  x   x3  1000 x 2  0, 01

 I

D. Cả
f  x  0

và

 II  sai.

C.

 2;  1 .

D.

 2;3 .

f x 0
Cho hàm số
. Phương trình  
có nghiệm thuộc khoảng nào
trong các khoảng sau đây?
1; 0 
0;1
1; 2 
I. 
.
II. 
.

III. 
.
A. Chỉ I.
B. Chỉ I và II.
C. Chỉ II.
D. Chỉ III.

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng

2019
2020
C. 3 x  4 x  5  0 .

Câu 8.

và

.

2
A. 2 x  3 x  4  0 .

Câu 7.

 a ; b

3
2
Cho hàm số 4 x  8 x  1  0 . Phương trình
có nghiệm thuộc khoảng nào trong các

khoảng sau đây?
2;3
1; 2 
3; 4 
2;  1
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
5
Phương trình x  3x  23  0 có nghiệm thuộc khoảng nào

A.
Câu 5.

liên tục trên khoảng

 0;1 .

B.

 x  1

D.

f  x   3x

2019

 x 2021  2  0
2017

 8x  4

.

.

1
x 4  3x 2  x   0  1
8
Cho phương trình
. Chọn khẳng định đúng:
 1 có đúng một nghiệm trên khoảng  2; 2  .
A. Phương trình
 1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  2; 2  .
B. Phương trình
 1 có đúng ba nghiệm trên khoảng  2; 2  .
C. Phương trình
 1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng  2; 2  .
D. Phương trình
 1  m2  x5  3x  1  0 có nghiệm?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
A. m ��.
B. m  �1 .
C. m ��1 .

D. m ��.
 m2  5m  4  x5  2 x 2  1  0 có
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình
nghiệm.
m ��\  1; 4
m � �;1 � 4;  �
A.
.
B.
.
m � 1; 4
C.
.
D. m ��.


 m2  m  1 x4  2 x  2  0 có nghiệm?
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
A. m ��.
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m ��.
2
3
2 2
2
m  1 x  2m x  4x  m  1 0
Câu 11. Số nghiệm của phương trình
là
A. 1.

B. 2.
C. 3.
D. 4.





Câu 12. Có kết luận gì về nghiệm của phương trình
A. Có 4 nghiệm phân biệt.

m  x  1

3

 x  2  2x  3  0 ?

B. Vô nghiệm.

 1;2  .
C. Có 2 nghiệm phân biệt.
D. Có nghiệm trong khoảng
5
3
Câu 13. Cho hàm số x  5 x  4 x  1  0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt.
B. Phương trình chỉ có 3 nghiệm phân biệt.
C. Phương trình chỉ có 4 nghiệm phân biệt.
D. Phương trình có đủ 5 nghiệm phân biệt.
2 4

3
Câu 14. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình m x  2mx  3 x  1  0 có nghiệm?
A. m ��.
B. m  1 .
C. m  3 .
D. m ��.
3
2
Câu 15. Có thể kết luận gì về số nghiệm của phương trình x  ax  bx  c  0 , với mọi a, b, c là các tham
số thực?
A. Vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm.
C. Có ít nhất hai nghiệm.
D. Có ít nhất ba nghiệm.
Câu 16. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 4a  c  8  2b và a  b  c  1 . Khi đó số nghiệm thực phân
3
2
biệt của phương trình x  ax  bx  c  0 bằng
A. 1.
B. 2.
C. 3.

Câu 17. Xét tất cả các tam thức bậc hai
thực phân biệt trong khoảng

D. 0.

f  x   ax 2  bx  c, a  0 a, b, c ��
f x
,

sao cho   có hai nghiệm

 0;1 . Trong tất cả các tam thức như trên, xét tam thức thỏa mãn

2
nhỏ nhất. Khi đó giá trị của biểu thức P  a  2a bằng
A. 0.
B. 3.
C. 15.

D. 8.

a