THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ÔN THI THPT QUỐC GIA
Chuyên đề môn Toán:
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP VÀ ỨNG DỤNG

1


NỘI DUNG
A – LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Công thức tính thể tích khối chóp
Khối đa diện

Công thức

KHỐI CHÓP:

Hình minh họa

1
B.h
3

V=

Với B là diện tích đáy

h

h là chiều cao của khối chóp
B

Chú ý:
Hình chóp tam giác đều

Tứ diện đều

Là hình chóp có đáy là tam giác đều, hình Là hình chóp có 4 mặt là tam giác đều
chiếu vuông góc của đỉnh trùng với tâm
của tam giác đáy

Hình chóp tứ giác đều
Là hình chóp có đáy là hình vuông và hình
chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm
đáy
S

A

B
O

D

C

3


2. Tỉ số thể tích:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta
có:

S
C'

VSABC

SA SB SC

VSA'B'C'

SA ' SB ' SC '

A'

A

B'
C
B

* Một số lưu ý khi xác định chiều cao của khối chóp
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với
mặt đáy thì cạnh đó chính là chiều cao

S

A

C

B

Hình chóp có một mặt bên vuông góc
với mặt đáy thì chiều cao của hình chóp
là đường thẳng thuộc mặt bên, kẻ từ đỉnh
và vuông góc với giao tuyến của mặt bên
với mặt đáy

S

A
C

H
B

Hình chóp có hai mặt cùng vuông góc
với đáy thì giao tuyến của hai mặt đó
chính là đường cao của khối chóp

S

B

A

C

4

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau
hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy các
góc bằng nhau thì chân đường cao H là
tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

S

H
A
C
B

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với
đáy các góc bằng nhau thì chân đường
cao H là tâm đường tròn nội tiếp đa giác
đáy

S

A
C
H
B

Một số lưu ý khi tính thể tích
 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho




Định lý Pitago : BC2

AB2

BA 2

CH.CB



1
AH2

BH.BC; CA 2

ABC vuông ở A ta có :

AC2

A

AB. AC = BC. AH
1
AB2

b

c

1

AC2

 Hệ thức lượng trong tam giác thường:

B

* Định lý Côsin:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

* Định lý Sin:

a
sin A

b
sin B

c
sin C

M

H

C

a

2R

 Các công thức tính diện tích.
 Công thức tính diện tích tam giác:
S

1
a.h a
2

1
a.bsin C
2

a.b.c
4R

p.r

p.(p a)(p b)(p c) với p

a

b
2

c

Đặc biệt :
ABC vuông ở A : S

ABC đều cạnh a: S

1
AB.AC ,
2
a2 3
a 3
, với chiều cao h 
4
2
5


 Diện tích hình vuông : S = a2 (với a: độ dài cạnh của hình vuông)
 Diện tích hình chữ nhật : S = a.b (với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật)
 Diện tích hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD


Diện tích hình thoi : S =

1
a.b (với a, b là độ dài hai đường chéo của hình thoi)
2

= AB. AD.sin BAD


Diện tích hình thang : S

1

(a+b).h (với a, b là độ dài hai cạnh đáy của hình
2

thang, h là độ dài chiều cao của hình thang)
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP
I – THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
1. DẠNG 1: KHỐI CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Ví dụ 1. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông
góc với  ABCD  và SA  a 3 .
a. Tính thể tích của khối chóp S. ABCD

S

b. Tính thể tích khối tứ diện S.BCD
Hướng dẫn giải
1
3

a. Thể tích khối chóp VS . ABCD  S ABCD .SA 
b. VS .BCD

a3 3
.
3

A

D

B

1
1 a3 3 a3 3
 VS . ABCD 

2
2 3
6

C

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Biết
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Tính thể tích khối chóp S. ABO .

Hướng dẫn giải
Ta có:
S

AC
AC  2a. 2  OA  OB 
a 2
2
.
1
2
 SOAB  OA.OB  a
2
1
3

1
3

Vậy : VS .OAB  SA.SOAB  .a 2.a 2 

2 3
.a .
3

A

B

O
D

C

6


Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác S . ABC với SA , SB , SC đôi một vuông góc và
SA  SB  SC  a . Tính thế tích của khối chóp S . ABC .

Hướng dẫn giải
1 1
3 2

1
3

1
6

Ta có V  .SSBC .SA  . .SB.SC.SA  .a3 .
Ví dụ 4. Cho hình hình chóp S . ABC có cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA  a 3
Đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng.
Hướng dẫn giải
Ta có: SABC 

AB 2 3 a 2 3

..
4
4

1
1
a 2 3 a3
.
VS . ABC  SA.SABC  .a 3.

3
3
4
4

Ví dụ 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy hình vuông cạnh a ; SA vuông góc mặt đáy;
Góc giữa SC và mặt đáy của hình chóp bằng 600 . Thể tích khối chóp S. ABCD là
Hướng dẫn giải

S


Ta có  SC ,  ABCD     SC , AC   SCA  600 .
SA  AC.tan 600  a 2. 3  a 6 .

1
3

1
3

Vậy VABCD  S ABCD .SA  a 2 a 6 

a3 6
3

A

B

60
D

C

Ví dụ 6. Cho hình chóp S. ABCD đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên  SCD  hợp với đáy một góc 60 . Tính thể tích hình chóp
S. ABCD .

Hướng dẫn giải
Do

 AD  CD
 CD   SDA

 SA  CD
  SCD  ,  ABC   SDA
Khi đó SA  AD tan 60  a 3 .
7


1
a3 3
Suy ra VS . ABCD  SA.S ABCD 
.
3
3
Ví dụ 7. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hai mặt phẳng

 SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  ; góc giữa đường thẳng

SC

và mặt phẳng  ABCD  bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD .
Hướng dẫn giải
 SAB    ABCD 

Ta có  SAD    ABCD   SA   ABCD 


 SAB    SAD   SA

 AC là hình chiếu vuông góc của SC

lên mặt phẳng  ABCD 





 SC ,  ABCD   SCA  60

Tam giác SAC vuông tại A có SA  AC.tan 60  a 6 .
Khi đó VSABCD

1
1
a3 6
2
.
 .SA.S ABCD  .a 6.a 
3
3
3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.(NB) Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA  2a . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng
A.

4a 3
.
3

B. 2a3 .

C.

a3
.
3

D.

2a 3
3

Bài 2. (NB) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a, BC  2a ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD .
A.

2a 3 3
.
3

B. a3 2 .

C. 2a3 2 .

D.

2a 3 2
.
3

Bài 3. (NB) Cho khối chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA  2a . Tính thể tích khối chóp S. ABC .
A.

a3 3
.
6

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.

12

8


Bài 4. (NB) Cho hình chóp S. ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , đáy
ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB  a, AD  3a, BC  a. Biết SA  a 3, tính

thể tích khối chóp S.BCD theo a.
A.

3a 3
.
6

B.

2 3a 3
.
3

C.

3a 3
.
4

D. 2 3a3 .

Bài 5. (NB) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a ,

BC  2a , SA   ABC  , SA  3a . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng

A.

1 3
a .
6

B. a 3 .

C.

1 3
a .
3

D. 3a 3 .

Bài 6. (NB) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , BC  2a ,
đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  3a . Thể tích của khối chóp
S. ABCD bằng

A. a 3 .

B. 3a 3 .

C. 6a3 .

D. 2a3 .

Bài 7. (TH) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a . Biết
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a 2. Tính thể tích khối chóp S. ABO .
a3 2
A.
.
3

2a 3 2
B.
.
12

a3 2
C.
.
12

4a 3 2
D.
.
3

Bài 8. (TH) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . SA vuông góc
với
đáy và tạo với đường thẳng SB một góc 45 . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
A.

a3 3
.
12

B.

a3 3
.
4

C.

a3 3
.
24

D.

a3 3
6

Bài 9. (VDT) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau tại O
và OA  2 , OB  4 , OC  6 . Thể tích khối tứ diện đã cho bằng.
A. 24 .

B. 16 .

C. 8 .

D. 48 .

Bài 10. (VDT) Hình chóp S . ABC có SA  a , SB  b , SC  c đôi một vuông góc với
nhau. Thể tích khối chóp là.

A.

2abc
.
9

B.

abc
.
6

C.

abc
.
3

D.

abc
.
9

9


2. DẠNG 2: KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,  SAD    ABCD 
, SA  SD . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD biết SC 

a 21
.
2

Hướng dẫn giải

S

Gọi H là trung điểm của AD  SH  AD  SH  ( ABCD)
Ta có: HC 

a 5
1
2a 3
 SH  2a  V  .a 2 .2a 
.
2
3
3

A

D

H
B

C

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại C và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABD  , tam giác ABD là tam giác đều và có cạnh bằng
2a . Tính thể tích của khối tứ diện ABCD .
Hướng dẫn giải

D

Gọi H là trung điểm của AB .
Ta có DH   ABC  và DH  a 3 .
ABC vuông cân tại C nên 2CA2  AB 2
 AC  BC  a 2 .

Do đó VABCD

1
1
1
a3 3
.
 DH .S ABC  .a 3. .a 2.a 2 
3
3
2
3

A

C

H

B

Ví dụ 3. Cho khối chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp
S. ABCD , biết góc giữa SC và  ABCD  bằng 600 .
Hướng dẫn giải
Ta có S ABCD   3a   9a 2
2

Gọi H là trung điểm AB  SH   ABCD 
CH là hình chiếu vuông góc của SC trên  ABCD 

  SC,  ABCD     SC, CH   SCH  60
Xét SCH vuông tại H có

10


CH  BC 2  BH 2 

VS . ABCD

3a 5
3a 15
, SH  CH tan SCH 
2
2

1

9a 3 15
 S ABCD .SH 
.
3
2

Ví dụ 4. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC  a .
Mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một
góc 45 . Tính thể tích khối chóp S . ABC .
Hướng dẫn giải
Kẻ SH  BC vì  SAC    ABC  nên SH   ABC  .
Gọi I , J là hình chiếu của H trên AB và BC .
 SJ  AB, SJ  BC .

Theo giả thiết SIH  SJH  45 .
Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân giác của ABC từ đó suy ra H
là trung điểm của AC .
HI  HJ  SH 

a
1
a3
 VSABC  S ABC .SH  .
2
3
12

Ví dụ 5. Cho hình chóp S . ABC có tam giác SAB đều cạnh a, tam giác ABC cân tại C.
Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh AB. Đường thẳng SC
tạo với mặt đáy một góc 30. Tính theo a thể tích V của khối chóp S. ABC.

Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB  SH   ABC  .
  SC ,  ABC     SC , HC   SCH  30 .

SAB đều cạnh a  SH 

a 3
.
2

a 3
3a
Xét SCH vuông tại H , CH 
.
 2 
tan SCH tan 30 2
SH

1
a 3a 3a 2
ABC cân tại C ,  SABC  2SACH  2. AH .CH  . 
.
2
2 2
4
1
3

1 a 3 3a2
3 3

.

a .
3 2
4
8

Vậy VS . ABC  SH .SABC  .

11


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. (TH) Hình chóp S. ABCD đáy là hình chữ nhật có AB

2a 3; AD

2a . Mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp

S. ABD là.

A.

2 3 3
a .
3

B. 4 3a3 .

C. 4a3 .

D. 2 3a3 .

Bài 2. (TH) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên  SAB  là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp đáy. Thể tích khối chóp S. ABCD
là:
A. a3 3 .

B.

a3
.
3

C.

a3 3
.
2

D.

a3 3
.
6

Bài 3. (VDT) Cho khối chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp

S. ABCD biết góc giữa SC và  ABCD  bằng 60 .

A. VS . ABCD  18a3 3 .

B. VS . ABCD  9a3 15 .

9a 3 15
.
2

D. VS . ABCD  18a3 3 .

C. VS . ABCD 

Bài 4. (VDT) Cho hình chóp S . ABC có tam giác ABC vuông cân tại B , AC  a 2,
mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt đáy  ABC  . Các mặt bên  SAB  ,  SBC  tạo với
mặt đáy các góc bằng nhau và bằng 60 . Tính theo a thể tích V của khối chóp S . ABC
.
3a 3
B.
12

3a 3
6

A.

C.

3a 3

2

D.

3a 3
4

Bài 5. (VDT) Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam
giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD  . Biết côsin của góc
tạo bởi mặt phẳng  SCD  và  ABCD  bằng

2 17
. Thể tích V của khối chóp S. ABCD
17

là
a 3 17
a 3 17
a 3 13
A.
B.
.
C.
.
D.
6
6
2
Bài 6. (VDC) Cho hình chóp S . ABC có mặt phẳng  SAC  vuông góc với mặt phẳng
a

3

13
.
2

12


 ABC  ,

SAB là tam giác đều cạnh a 3 , BC  a 3 đường thẳng SC tạo với mặt phẳng

 ABC  góc
A.

60 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng:

a3 6
.
6

B. 2a3 6 .

C.

a3 3
.
3

D.

a3 6
.
2

Bài 7. (VDC) Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
, đáy nhỏ của hình thang là CD , cạnh bên SC  a 15 . Tam giác SAD là tam giác đều
cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm
cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng  SHC  bằng 2 6a . Tính thể tích V của
khối chóp S. ABCD ?
A. 24 6a3 .
B. 8 6a3 .
3. DẠNG 3: KHỐI CHÓP ĐỀU

D. 4 6a3

C. 12 6a 3 .

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một
góc 60 . Tính thể tích của hình chóp đều S.ABCD
Hướng dẫn giải
Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 

 SCO  60  tan 60 

SO
a
 SO  OC 3 

. 3
OC
2

1 3 2 a3 6
 V  a .a 
.
3 2
6
Ví dụ 2. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đã cho.
Hướng dẫn giải
S

a 2
Ta có AC  a 2  AO 
2
 SO  SA2  OA2 

a 14
.
2
C

Vậy VS .ABCD

1 14 3
14 3
1
.a 

a .
 SO.SABCD  .
3 2
6
3

B
O
D

A

Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một
mặt bên là a 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
Hướng dẫn giải
13


Ta có SM  a 3 . SCD đều nên SC  CD  2a .
Suy ra: SO 

AC 2a 2

a 2.
2
2

1
3

1
3

Vậy V  SO.S ABCD  a 2.4a 2 

4 a3 2
.
3

Ví dụ 4. Cho hình chóp đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và CD bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp đều S. ABCD .
Hướng dẫn giải
Gọi O  AC  BD , hình chóp đều S. ABCD  SO   ABCD và tứ giác ABCD là hình
vuông.
Ta có CD//AB
Bài ra

 CD //  SAB   d  CD; SA   d  C ;  SAB    2d  O;  SAB  

d  CD; SA  a 3

 d  O;  SAB   

Tứ diện vuông O.SAB 

với

h  d  O;  SAB   

.

a 3
.
2

1
1
1
1



2
2
2
h
OS OA OB 2

S

a 3
2 .

AB
a 2
2
4
1
1
1

 2
 2 2
2
3a
SO 2a 2a  SO  a 3 .
OA  OB 

A

Do đó
1
1
4a 3 3
VS . ABCD  SO.S ABCD  a 3.4a 2 
3
3 .
3

D
O

B

C

Ví dụ 5. Cho khối chóp đều S. ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy
một góc 45 . Tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a. .
Hướng dẫn giải
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC  SO   ABC  .
I là trung điểm của BC    SBC  ,  ABC    SIO  45. .

x là độ dài cạnh của tam giác ABC ( x  0 ).

1
3

Ta có: OI  AI 

x 3
x2
; SI  SC 2  IC 2  a2  . .
6
4
14


Trong tam giác SOI có:
OI  SIcos45 

x 3
2 2 x2
2 15a

a 
 5x 2  12a2  x 
..
6
2
4
5

Suy ra: SO  OI 

x2 3 3 3 2
5

a ..
a, SABC 
4
5
5

1 3 3 2 5
a3 15
a.
a
..
3 5
5
25

Vậy: VS . ABC  .

Ví dụ 6. Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt
phẳng đáy một góc 60. Tính thể tích V của khối chóp.
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của
SABC 
GM 

BC , G

là trọng tâm

ABC .

AB 2 3 a 2 3

..
4
4

S

1 AB 3 a 3
.

3 2
6

Ta có: góc giữa mặt đáy và mặt bên bằng

A

C

60
G

suy ra SMG  60. Xét tam giác vuông SGM :
tan SMG 

SG
a 3
a
. Suy ra: SG  GM .tan 60 
. 3  ..
6
2
GM
1
3

M

B

1 a a 2 3 a3 3
.

3 2 4
24

Vậy VS . ABC  SG.SABC  . .

Ví dụ 7. Cho hình chóp đều S .ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường thẳng SA và
mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Gọi A , B  , C tương ứng là các điểm đối xứng của A , B
, C qua S . Tính thể tích của khối bát diện có các mặt ABC, ABC , ABC , BCA , CAB ,
ABC , BAC  , CAB

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S . ABC :
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a  CH 

a 3
. Góc giữa đường thẳng SA
3

và mặt phẳng (ABC) bằng 600

15


A'

 SCH  60o  SH  a
1
1 a 2 3 a3 3
 VS . ABC  .S H .S ABC  a.

.
3
3
4
12
V  2VB. ACA 'C '  2.4VB.ACS  8VS . ABC 

B'

C'

2a 3 3
.
3

S

Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC 
Diện tích tam giác SBC là: SSBC 

a

3

3

12

.

a 2 39
.
12

C

B
H

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  là: d  A,  SBC   

3a
.
13

A

Tứ giác BCB ' C ' là hình chữ nhật vì có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Có SB 

2a 3
2a 3
a 39
.
 BB ' 
 B 'C 
3
3
3

Diện tích BCB ' C ' là: S BCB 'C ' 

a 2 39
.
3

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là: V  2. d  A,  SBC   .S BCB 'C ' 
1
3

2a 3 3
.
3

Cách 3 (Tham khảo Hướng dẫn giải của Ngọc HuyềnLB).
1
Thể tích khối bát diện đã cho là V  2VA' B 'C ' BC  2.4VA'.SBC  8VS . ABC  8. SG.S ABC .
3

Ta

 SA;  ABC   SAG  60 .
0

có:

tan SAG 

Xét

SGA

vuông

tại

G:

SG
 SG  AG.tan SAG  a .

AG
1
3

1
3

Vậy V  8. SG.S ABC  8. .a.

a 2 3 2 3a 3

.
4
3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.(NB) Thể tích của khối chóp tứ giác đều có chiều cao bằng

a 6
và cạnh đáy bằng
3

a 3 bằng:

A.

3a 3 2
.
2

B.

3a 3 2
.
4

C.

a3 6
.
3

D.

3a 3 6
.
2

16


Bài 2. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3
.Tính
thể tích V của khối chóp đó theo a .
A.

a3 3
.
3

B.

a3
.
2

C.

Bài 3. (TH) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng
A.

a3 2
.
12

B.

a3 3
.
6

a3 2
.
3

a 3 10
.
6

D.

2a . Tính thể tích của khối tứ diện đó.
a3
C. 3 .

a3 2
.
6

D.

Bài 4. (TH) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2 . Thể
tích khối chóp là
A.

a3 3
.
6

a3 6
.
3

B.
D.

2a 3 2
.
3

C.

a3 6
.
6

Bài 5. (VDT) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có độ dài cạnh đáy bằng a , góc hợp
bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Thể tích của hình chóp đã cho.
A.

3a 3
.
4

B.

3a 3
.
6

3a 3
.
3

C.

D.

3a 3
12

Bài 6. (VDT) Cho hình chóp tứ giác đều S .ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp
với đáy một góc 60 . Thể tích V của khối chóp S .ABCD bằng
A.

a3 3
.
2

B.

a3 3
.
3

C.

a3 6
.
6

D.

a3 6
.
3

Bài 7. (VDT) Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với
mặt phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích
A.

a3 3
.
24

B.

V

a3 3
.
4

của khối chóp.
C.

a3 2
.
6

D.

a3 3
.
8

Bài 8. (VDT) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi điểm O là
giao điểm của AC và BD . Biết khoảng cách từ O đến SC bằng

a

. Tính thể tích khối
6

chóp S . ABC .

a3
A.
.
6

a3
B.
.
4

a3
C.
.
8

a3
D.
.
12

Bài 10. (VDT) Cho hình chóp đều S. ABCD có AC  2a , mặt bên  SBC  tạo với đáy
17


 ABCD  một góc

45 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .

a3 2
B.
.
3

a3
A.
.
2

2 3a 3
C.
.
3

D. a3 2

Bài 11. (VD) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của SB, BC Tính thể tích khối chóp A.BCNM . Biết mặt phẳng  AMN 
vuông góc với mặt phẳng  SBC  .
A.

3a 3 15
.
48

B.

a 3 15
.
32

C.

3a 3 15
.
32

D.

3a 3 15
16

4. DẠNG 4: CÁC KHỐI CHÓP KHÁC
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có AB  3a , AC  4a , BC  5a , SA  SB  SC  6a . Tính
thể tích khối chóp S . ABC .
Hướng dẫn giải
Vì AB  3a , AC  4a , BC  5a nên tam giác ABC vuông tại A .
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  .
Vì SA  SB  SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và chính là trung điểm của BC .
SH  SB 2  HB 2  36a 2 

25 2
119a
.
a 

4
2

Diện tích tam giác ABC là SABC  6a2 .
1
3

Vậy thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC  .6a 2 .

119
a  a 3 119 .
2

Ví dụ 2. Cho khối chóp S . ABC có góc ASB  BSC  CSA  60 và SA  2 , SB  3 , SC  4
. Tính thể tích khối chóp S . ABC .
Hướng dẫn giải
2
3

Gọi B  trên SB sao cho SB  SB và
1
C trên SC sao cho SC  SC .
2

Khi đó SA  SB  SC  2
 S. ABC là khối tứ diện đều.
18


Ta có: AM 

2 3
2
2 3
 3  AO  AM 
2
3
3

Nên SO  SA2  AO 2 

2 6
và S ABC   3 .
3

1
3

Khi đó VS . ABC  S ABC .SO 
Mà ta lại có:

2 2
.
3

VS . ABC SA SB SC

.
.
 3  VS . ABC  3VS. ABC   2 2 .

VS. ABC  SA SB SC 

Ví dụ 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB = a 2 ;
SA = SB = SC. Góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích của
khối chóp S.ABC.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC  HA = HB = HC. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
Mặt khác SA = SB = SC nên SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 SH   ABC 

 Hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC) là AH
 Góc giữa SA và (ABC) chính là góc giữa SA và AH hay SAH  600
ABC vuông cân tại A: AC = AB = a 2  BC = 2a; AH = a

S

SAH vuông tại H: SH  AH .tan 600  a 3
SABC 

1
1
AB. AC  a 2a 2  a 2
2
2

Vậy VSABC

1
1

a3 3
 SH .S ABC  a 3.a 2 
3
3
3

B

C

H

A

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (VD – VDC)
Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD 

a 13
. Hình chiếu của S
2

lên  ABCD  là trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp S. ABCD là
2a 3
A.

3

a3 2

B.

3

C. a3 12 .

D.

a3

3

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD  BC  3 ; AC  BD  4 ; AB  CD  2 3 . Thể
tích tứ diện ABCD bằng:
19


A.

2470
.
12

B.

2474
.
12

C.

2740

.
12

2047
12

D.

.
Bài 3. Cho hình chóp S . ABC có AB  3a , AC  4a , BC  5a , SA  SB  SC  6a . Tính
thể tích khối chóp S . ABC .
A. a3 119 .

B.

a 3 119
.
3

C.

4a 3 119
.
3

D. 4a3 119

Bài 4. Hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB  4a , AD  3a ; các
cạnh bên đều có độ dài bằng 5a. Thể tích hình chóp S. ABCD bằng:
B. 9a 3 3 .

A. 10a3 3 .

C.

10a 3
.
3

D.

9a 3 3
2

Bài 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác
đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Thể tích khối chóp S. ABCD là
A.

3a 3
.
12

B.

a3
.
6

C.

3a 3
.
4

D.

3a 3
.
6

Bài 6. Cho tứ diện ABCD có BAC  CAD  DAB  60 , AB  a , AC  2a , AD  3a .
Thể tích khối đa diện đó bằng.
A.

2a 3
.
2

B.

3 2a 3
.
2

C. 3 2a3 .

D.

2a3 .

Bài 7. Cho hình chóp S . ABC có chiều cao bằng a , AB  a , BC  a 3 , ABC  60 .
Tính thể tích V của khối chóp.
A. V 

a3 3
.
12

B. V 

a3 3
.
4

C. V 

a3
.
4

D. V 

a3
2

Bài 8. Cho hình chóp S . ABC có ASB  60 , ASC  90 , CSB  120 và SA  1 , SB  2
, SC  3 . Khi đó thể tích khối chóp S . ABC là
A.

2

.
4

B.

2
.
2

C.

2.

D.

2
.
6

II. TỈ SỐ THỂ TÍCH
Bài tập áp dụng: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc
SA, SB, SC ta có:
S

VSABC

SA SB SC

C'
A'

VSA'B'C'

SA ' SB ' SC '

20
A

B'
C


Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không
xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp
cần tính là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú
ý đến một số điều kiện sau
Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.
Đáy hai khối chóp phải là tam giác.
Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng
*) Công thức giải nhanh:
Xét khối chóp S . A1 A2 ... An và mặt phẳng (P) song song với mặt đáy cắt SA1 tại M thỏa
mãn:

SM
 k . Khi đó mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai khối đa diện trong đó khối
SA1

V'
 k3
V

đa diện chứa đỉnh S có thể tích V’, và V là thể tích của khối chóp ban đầu thì

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB,
SC. Gọi V1 là thể tích khối chóp S.A’B’C’ và V2 là thể tích của khối chóp S.ABC. Tính
tỉ số

V1
V2

Hướng dẫn giải:

S

Áp dụng công thức ở bài toán áp dụng ta được:
VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 1 1

.
.
 . . 
VS . ABC
SA SB SC 2 2 2 8

A'

C'

B'

C

A

B

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tỉ số thể
tích của khối tứ diện AMCN với khối tứ diện ABCD
Hướng dẫn giải:

A

VAMCN AM AC AN 1 1 1

.
.
 .1. 
VA. BCD
AB AC AD 2 2 4

M

N

D

B

C

21

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông
góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng
SB, SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM
Hướng dẫn giải:
Gọi V là thể tích của khối chóp S.ABC.

S

VS . ABC  VS . AMN  VA.BCNM

Mặt khác:

N

VS . AMN SA SM SN SM .SB SN .SC

.
.

.
VS . ABC SA SB SC
SB 2
SC 2

M

Mà SAB và SAC vuông tại A, AM  SB; AN  SC
A

 SM .SB  SA ; SN .SC  SA
2

2

 SB 2  SA2  AB 2  5a 2 ; SC 2  5a 2

B

VS . AMN SA2 SA2 4a 2 4a 2 16

.


VS . ABC SB 2 SC 2 5a 2 5a 2 25

 VS . AMN 

16
16
16
9
VS . ABC  V  VA.BCNM  V  V  V
25
25
25
25

Do tam giác ABC đều cạnh a nên S ABC

VA.BCNM 

3a 2
1
1
3a 2
3a 3

 V  SA.S ABC  .2a.

4
3
3
4
6

9
9 a 3 3 3 3a 3
V

25
25 6
50

1
3

Ví dụ 4. Cho hình chóp SABCD. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM  SA . Mặt
phẳng   qua M và song song với mặt đáy lần lượt cắt SB, SC, SD lần lượt tại N, P,
Q. Tỉ số thể tích của khối chóp S.MNPQ với khối chóp S.ABCD là:

Hướng dẫn giải:
Do   qua M và song song với mặt đáy nên ta dựng MN//AB  N  SB 
NP//BC  P  SC  ; PQ / /CD  Q  SD     là mặt phẳng (MNPQ)
VS .MNPQ  VS .MNP  VS .MQP

Ta có:
S

VS .MNP SM SN SP 1
1

.
.

 VS .MNP  VS . ABC
VS . ABC
SA SB SC 27
27
VS .M QP
VS . ADC

Q

M

SM SQ SP 1
1

.
.


 VS .M QP  VS . ADC
SA SD SC 27
27

P
N

D

A

C
B

22


 VS .MNP  VS .MQP 
 VSMNPQ 

1
1
1
VS . ABC  VS . ADC  VS . ABC  VS . ADC 
27
27
27

1

VS . ABCD
27

*) Chú ý: Công thức tính tỉ số thể tích chỉ áp dụng cho khối chóp tam giác. Còn với
khối chóp tứ giác, ngũ giác, …ta cần chia ra thành các khối chóp tam giác và áp dụng
công thức.
Cách giải nhanh:

VSMNPQ
VS . ABCD

3

1
1
  
 3  27

Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ABCD là hình vuông, AB  a, SA  a 2 .
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, CD. Tính thể tích của khối chóp A.MNP
Hướng dẫn giải:
Do M là trung điểm của SA  d  A,  MNP    d  S ,  MNP  
1
1
 VA.MNP  d  A,  MNP   .SMNP  d S,  MNP   .SMNP  VS .MNP
3
3

Lại có:
S

VS .MNP SM SN SP 1 1
1
1

.
.
 . .1   VS .MNP  VS . ABP
VS . ABP
SA SB SP 2 2
4
4

1
1
1
1
VS . ABP  SO.SABP  SO. S ABCD  SO.S ABCD
3
3
2
6
Mà
1
 VA.MNP 
SO.S ABCD
24

M
N

A

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên S ABCD  a 2
SAO  O  SO  SA2  OA2 
 VS .MNP 

a 2 

D
P

O
B

C

2

2

 2a 
a 6
 
 
2
 2 

1
1 a 6 2 a3 6
SO.S ABCD  .

.a 
24
24 2
48

Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo
với đáy góc 600. Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng   đi qua AM và song song
với BD cắt SB tại E, và cắt SD tại F. Thể tích của khối chóp C.AEMF là:
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là giao điểm của SO và AM  I   

23


  là mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E, và cắt SD tại F nên EF
chứa I và EF//BD      AFME 
M là trung điểm của SC nên d  C,  AEMF    d S,  AEMF  
1
1
 VC . AEMF  d  C,  AEMF   .S AEMF  d  S,  AEMF   .S AEMF  VS. AEMF
3
3
VS. AEMF  VS . AMF  VS . AME

S

1
1
6a 3
VS . ABCD  SO.S ABCD  .OA.tan 600.a 2 

3
3
6

Do M là trung điểm của SC nên

SM 1

SC 2

Dễ thấy I là trọng tâm của tam giác SAC 
Mà I  FE;EF//BD 


M
E

SI 2

SO 3

I
F

B

C

SF 2


SD 3

VS.AMF SA SM SF 1
1

.
.
  VS.AMF  VS.ACD
VS.ACD SA SC SD 3
3

A

D

Tương tự:
1
1
6a 3
VS.AME  VS.ACB  VS. AEMF  VS . AMF  VS . AME  VS . ABCD 
 VC.AME
3
3
18

BÀI TẬP TỰ LUYỆN (VDT – VDC)
Bài 1. Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của
SB, SC. Lấy A’ là điểm thuộc SA thỏa mãn SA  3SA ' . Tính thể tích S.A’B’C’ theo V.
A. VS . A' B 'C ' 

1
6

1
V
12

B. VS . A' B 'C '  V

1
2

D. VS . A' B 'C '  V

1
8

C. VS . A' B 'C '  V

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều
cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi J là trung điểm của cạnh SD.
Tính thể tích khối tứ diện ACDJ theo a.
A.

3a 3
12

B.

3a 3

8

C.

3a 3
24

D.

3a 3
6

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  2a . Cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi cạnh bên SB và mặt phẳng  ABCD 
bằng 600 . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SB. Tính thể tích khối chóp H.ACD.
24


3a 3
4

A.

3a 3
6

B.

C.

3a 3
9

3a 3
12

D.

Bài 4. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC  2a , SA vuông
góc với đáy, SA = a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, mặt phẳng   qua AG và
song song với BC, cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Thể tích của khối chóp S.AMN là:
A.

5a3
27

B.

4a 3
27

3a 3
27

C.

D.

2a 3
27

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB  SA  a; AD  2a ,
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm
của AC và BM. Thể tích của khối chóp ANIM theo a là:
3a 3
12

A.

B. 3a3

3a 3
3

C.

2a 3
72

D.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA
= a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho
AH 

AC
. Gọi CM là đường cao tam giác SAC. Thể tích khối tứ diện SMBC là:
4
3a 3
8

A.
Bài 7.

B.

5a 3
13

14a 3
48

C.

33a 3
36

D.

Cho tứ diện S.ABC có M, N là các điểm thuộc cạnh SA, SB sao cho

SM 1 SN
 ;
 2 . Mặt phẳng   qua MN và song song với SC chia tứ diện thành 2
MA 2 NB
phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh A, V2 là thể tích của phần còn lại. Tính tỉ số
V1
:
V2

A.

4
9

B.

5
9

C. 2

D.

5
4

Bài 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng của B qua D. Mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện đỉnh A có thể tích V. Tính V:
A.

7 2a 3
216

B.

11 2a 3
216

C.

13 2a 3
216

D.

2a 3
18

Bài 9. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 5 cm. Gọi M, n lần lượt là trung
điểm của AB và BC, điểm P thuộc đoạn CD sao cho DP = 2cm. Mặt phẳng  MNP  chia
khối tứ diện thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V.
Tính V:

25


A.

95 2a 3
48

B.

95 2a 3
16

C.

125 2a 3
48

D.

125 2a 3
16

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG CÁCH
Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng

a3
. Tính cạnh bên SA.
4

Hướng dẫn giải
Đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích S ABC 

a2 3
.
4

3V
1
SA là đường cao nên VS . ABC  SA.S ABC  SA  S . ABC
3
S ABC

3a3

 24  a 3 .
a 3
4

Ví dụ 2. Khối chóp tam giác đều có thể tích V  2a3 , cạnh đáy bằng 2a 3 thì chiều cao
khối chóp bằng.
Hướng dẫn giải
1
3V
3.2a 3
2a 3
.
V  .B.h  h 


2
3
B
3
2a 3
3





4

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB  a , AC  a 2 , AD  a 3 , các tam giác ABC ,
ACD , ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt

phẳng  BCD  .
Hướng dẫn giải
Do các tam giác ABC , ACD , ABD vuông tại A nên nếu D là đỉnh hình chóp thì AD
là đường cao của hình chóp. Khi đó thể tích khối chóp D.ABC là:
D

VD. ABC

1
1
1
a3 6
.
 .DA.S ABC  .a 3. .a 2.a 
3
3
2
6

Ta lại có VABCD  VD. ABC  .d  A,  BCD   .SBCD
1
3

 d  A,  BCD   

3VABCD
.
S BCD

C

A

B

26