tich phan on thi tn cuc hot

III.Ph ơng pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
[ ]
;a b
thì:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
=

hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
=

.
áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng
'
udv uv dx=
bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm
u(x) và phần còn lại

'
( ) .dv v x dx=
Bớc 2: Tính
'
du u dx=
và
'
( )v dv v x dx= =

.
Bớc 3: Tính
'
b b
a a
vdu vu dx=

và
b
uv
a
.
Bớc 5: áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: Tính
1
ln
e
x xdx

Giải: Đặt
lnu x

dv xdx
=


=


2
2
dx
du
x
x
v

=





=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1

2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
+
= = =

.
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x

b)
2
0
cosx xdx


c)
1
0
x
xe dx

d)
2
0
cos
x
e xdx



Giải: a) Đặt
5
4
ln
1
1
4
dx
u x
du
x
dv dx
v
x
x

=
=

=

=



. Do đó:

2
2
2 2
5 4 5 4
1
1 1
1
ln ln 1 ln 2 1 1 15 4ln 2
4 4 64 4 4 256
x x dx
dx
x x x x


= + = + =
ữ


.
b) Đặt

cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =



= =

. Do đó:
( )
2 2
0 0
cos sin sin cos 1
2 2
2 2
0 0
x xdx x x xdx x



= = + =

.
c)Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =

= =

. Do đó:
( )
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
x x x x
xe dx xe e dx e e e e= = = =

.
d) Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv xdx v x

= =


= =

2 2
0 0
cos sin sin
2

0
x x x
e xdx e x e xdx


=

.
Đặt
1 1
1 1
sin cos
x x
u e du e dx
dv xdx v x

= =


= =

2 2
2
0 0
cos cos cos
2
0
x x x
e xdx e e x e xdx

= +

.
2 2
2
2
0 0
1
2 cos 1 cos .
2
x x
e
e xdx e e xdx




= =

*Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần.
( )
b
x
a
P x e dx

( )ln
b

a
P x xdx

( )cos
b
a
P x xdx

cos
b
x
a
e xdx

u P(x) lnx P(x)
x
e
dv
x
e dx
P(x)dx cosxdx cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và
'
dv v dx=
thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của
f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn
'
dv v dx=
là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số
đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những
hàm số:
, cos , sin
ax
e ax ax
thì ta thờng đặt
'
( )
( )
( )
( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx
=

=




=
=

Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì
ta đặt
( )
'
( )
( )
( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx
v P x dx
=

=




=
=

Nếu tính tích phân
cos
ax
I e bxdx


=

hoặc
sin
ax
J e bxdx


=

thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx

v bx
b
=

=




=
=



hoặc đặt
1
sin
cos
ax
ax
du ae dx
u e
dv bxdx
v bx
b
=

=

=
=



Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban
đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
V D :
a/ I=
2
0
.cos .x x dx


b/J=
1
.ln .
e
x x dx

a/:
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =

= =

I=x cosx
2
0

-
2
0
sin .x dx


= cosx
2
0

= -1
b/:
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=




=


=


J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e

x e e e
dx xdx x
x
+
= = =

1/
ln2
2
0
.
x
x e dx
−
∫
Đặt u = x
⇒
du = dx
dv =
2 2
1
2
x x
e dx v e
− −
⇒ =
ln 2
ln 2
2
2

0
0
ln 2 ln 2
2 2
0 0
1
2 2
=
2 4
3 2ln 2
=
16
x
x
x x
xe
I e dx
xe e
−
−
− −
⇒ = − +
− −
−
∫
2/
2
1
(3 2).lnx xdx+
∫

Đặt u = lnx
⇒

1
du dx
x
=
dv = ( 3x + 2 ) dx
⇒
v =
2
3
2
2
x
x+
2
2
2 2
1
1
3 3 1
( 2 )ln ( 2 )
2 2
x x
I x x x dx
x
⇒ = + − +
∫

=
17
10ln 2
4
−
3/
2
0
(3 2 )sinx xdx
π
−
∫
Đặt u = 3 – 2x
⇒
du = – 2 dx
dv = sinxdx
⇒
v = - cosx
2
2
0
0
(3 2 )cos 2 cosI x x xdx
π
π
⇒ = − − −
∫
= 1
4/
5

2
2 ln( 1)x x dx−
∫

Ñaët u = ln(x – 1)
⇒
du =
1
1
dx
x −
dv = 2xdx
⇒
v = x
2
– 1
5
5
2 2
2
2
1
( 1)ln( 1) ( 1).
1
I x x x dx
x
⇒ = − − − −
−
∫
I

⇒ =
5
5
2
2
2
( 1)ln( 1) ( 1).x x x dx= − − − +
∫
= 48ln2 -
27
2
Bài tập
Tính các tích phân sau:
1/
π
+
∫
2
2
0
(x 1)sin xdx
Đáp số:
1π −

2/
+
∫
2
2
1

ln(1 x)
dx
x
Đáp số:
3
ln 3 3ln 2
2
− +

3/
+
∫
1
2
0
x ln(x 1)dx
Đáp số:
1
ln 2
2
−

4/
π
+
∫
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
Đáp số:

2
2
π −
5/
1
2
0
x
xe dx
∫
Đáp số:
2
1
4
e +
6/
2
1
ln
e
xdx
∫
Đáp số: e - 2
7/
1
2 2
0
( 1)
x
x e dx+

∫
Đáp số:
2
3( 1)
4
e −
8/
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
Đáp số:
1
2
e
π
− −
9/
cos
0
( )sin
x
e x xdx
π
+
∫
Đáp số:
1

e
e
π
− +
10/
2
0
cos
x
e xdx
π
∫
Đáp số:
2
1
2
e
π
−